2023-2024学年天津市和平区汇文中学八年级（上）第二次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年天津市和平区汇文中学八年级（上）第二次月考数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图，∠A=20°，∠B=30°，∠C=50°，求∠ADB的度数( )
A. 50°B. 100°C. 70°D. 80°
2.一定能确定△ABC≌△DEF的条件是( )
A. ∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E
B. ∠A=∠E，AB=EF，∠B=∠D
C. AB=DE，BC=EF，∠A=∠D
D. ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F
3.剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美.如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为(2m,−n)，其关于y轴对称的点F的坐标为(3−n,−m+1)，则m−n的值为( )
A. −9
B. −1
C. 0
D. 1
4.下列变形从左到右一定正确的是( )
A. ab=a−2b−2B. ab=acbcC. ab=a2b2D. axbx=ab
5.下列各式：18(1−x)，4xπ−3，x2−y22，1x+x，5x2x，2(x+2)x+2，其中分式共有( )
A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个
6.一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形的边数为( )
A. 9B. 6C. 7D. 8
7.下列各式由左边到右边的变形，是因式分解的是( )
A. 3x(x+y)=3x2+3xyB. −2x2−2xy=−2x(x+y)
C. (x+5)(x−5)=x2−25D. x2+x+1=x(x+1)+1
8.下列约分正确的是( )
A. a6a2=a3B. a+xb+x=abC. a2+b2a+b=a+bD. −x−yx+y=−1
9.已知a=8131，b=2741，c=961，则a、b、c的大小关系是
( )
A. a>b>cB. a>c>bC. ac>a
10.如图，在等腰△ABC中，AB=AC=6，∠ACB=75°，AD⊥BC于D，点M、N分别是线段AB、AD上的动点，则MN+BN的最小值是( )
A. 3
B. 2 3
C. 4.5
D. 6
11.如图，设k=甲图中阴影部分面积乙图中阴影部分面积(a>b>0)，则有( )
A. 02
12.对于正数x，规定f(x)=x1+x，例如：f(3)=31+3=34，f(13)=131+13=14，则
f(12024)+f(12023)+…+f(12)+f(1)+f(2)+…+f(2023)+f(2024)的值为( )
A. 2024B. 2023C. 2022.5D. 2023.5
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.当分式|x|−5x2−4x−5的值为0时，x的值为______．
14.过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，则(m+n)2= ______．
15.已知a、b、c为△ABC的三边长，且a2+b2=8a+12b−52，其中c是△ABC中最短的边长，且c为整数，则c= ______．
16.若二次三项式x2+ax−6可分解为(x+2)(x+b)，则a+b=______．
17.若x2+(m−3)x+4是完全平方式，则m的值等于______．
18.已知a2+b2+c2−ab−3b−2c+4=0，则a+b+c的值为______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
19.如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B分别是x正半轴、y轴正半轴上的一点，以AB为斜边作等腰直角三角形，直角顶点C(a,b)在第二象限．
(1)探究a、b之间的数量关系并证明．
(2)若BO平分∠ABC，AC与OB交于点D，且A(2,0)，B(0,2 2+2)，求点D的坐标．
四、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
计算：
(1)(x−2y)2；
(2)(x+3)(x−1)+x(x−2)；
(3)(x−3y−1)(x−3y+1)．
21.(本小题8分)
已知：点(2a+3b,8)与点(−9,a−9b)关于y轴对称，
请化简：3(−3a)2⋅a⋅(−b)3⋅(−b)3+(−3ab2)3+(−3a)2⋅(15b).并求出该代数式的值．
22.(本小题8分)
(1)若x+1x=2，求x2+1x2，x4+1x4的值；
(2)若2m=3，2n=6，求2m+n和23m−2n
23.(本小题8分)
把下列各式分解因式：
(1)a2−49b2；
(2)xy2−2xy+x；
(3)在实数范围内分解因式：x2−19．
24.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE=AC．
(1)求证：AD⊥BC；
(2)若∠BAC=75°，求∠B的度数．
25.(本小题8分)
如图，等腰△ABC中，CA=CB=4，∠ACB=120°，点D在线段AB上运动(不与A，B重合)，将△CAD与△CBD分别沿直线CA，CB翻折得到△CAP与△CBQ．
(1)求证：CP=CQ；
(2)求∠PCQ的度数；
(3)当点D是AB的中点时，判断△DPQ是何种三角形，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
根据三角形的外角性质计算即可．
【解答】
解：∠BEA是△ACE的外角，
∴∠BEA=∠A+∠C=70°，
∠BDA是△BDE的外角，
∴∠BDA=∠BEA+∠B=100°，
故选B．
2.【答案】A
【解析】解：
A、根据ASA即可推出△ABC≌△DEF，故本选项正确；
B、根据∠A=∠E，∠B=∠D，AB=DE才能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；
C、根据AB=DE，BC=EF，∠B=∠E才能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；
D、根据AAA不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；
故选：A．
全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，看看每个选项是否符合定理即可．
本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
3.【答案】D
【解析】解：∵E(2m,−n)和F(3−n,−m+1)关于y轴对称，
∵2m+(3−n)=0−n=−m+1，解得：m=−4n=−5，
∴m−n=−4−(−5)=1，
故选：D．
根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等，即可进行解答．
本题主要考查了关于y轴对称的点的坐标特征以及解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握“关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等”．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查的是分式的性质的有关知识，利用分式的性质对给出的各个选项进行逐一分析即可．
【解答】
解：A．ab≠a−2b−2，故A错误；
B.当c=0时，ab=acbc不成立，故B错误；
C.ab≠a2b2，故C错误；
D.axbx=ab ，故D正确．
故选D．
5.【答案】C
【解析】解：1x+x，5x2x，2(x+2)x+2的分母中含有字母，属于分式，共有3个．
故选：C．
根据分式的定义即可得出答案．
本题考查了分式的定义，掌握一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式是解题的关键，注意π是数字．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．多边形的内角和可以表示成(n−2)⋅180°，依此列方程可求解．
【解答】
解：设这个多边形边数为n，
则1080°=(n−2)⋅180°，
解得n=8．
故选D．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别.根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【解答】
解：A.是整式的乘法，故A错误；
B.是把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B正确；
C.是整式的乘法，故C错误；
D.是把一个多项式一部分转化成几个整式积的形式，故D错误．
故选B．
8.【答案】D
【解析】解：A、a6a2=a4，故本选项错误；
B、不能化简，故本选项错误；
C、不能化简，故本选项错误；
D、−x−yx+y=−x+yx+y=−1，故本选项正确．
故选D．
根据同底数幂的除法，底数不变指数相减，找出分子与分母的最大公因式，化简即可得出结果．
本题考查了分式的约分，先找出分子与分母的最大公因式，化简即可．
9.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方运算法则是解本题的关键．
先把81，27，9转化为底数为3的幂，再根据幂的乘方，底数不变，指数相乘化简．然后根据指数的大小即可比较大小．
【解答】
解：∵a=8131=(34)31=3124，
b=2741=(33)41=3123，
c=961=(32)61=3122．
则a>b>c．
故选：A．
10.【答案】A
【解析】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于N′点，过N′点作M′N′⊥AB，垂足为M′，则BN′+M′N′为所求的最小值．
∵AB=AC，D是BC边上的中点，
∴AD是∠BAC的平分线，
∴N′H=M′N′，
∴BH是点B到直线AC的最短距离(垂线段最短)，
∵AB=AC=6，∠ACB=75°，D是BC边上的中点，
∴∠BAC=30°，
∴BH=3，
故选：A．
作BH⊥AC，垂足为H，交AD于N′点，过N′点作M′N′⊥AB，垂足为M′，则BN′+M′N′为所求的最小值，根据含30°的直角三角形的性质求出BH即可．
本题考查的是轴对称−最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过三线合一的性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．
11.【答案】C
【解析】解：甲图中阴影部分的面积=a2−b2，乙图中阴影部分的面积=a(a−b)，
k=甲图中阴影部分面积乙图中阴影部分面积=a2−b2a(a−b)=a+ba=1+ba，
∵a>b>0，
∴0∴1故选：C．
先分别表示出甲乙图中阴影部分的面积，再利用因式分解进行化简即可．
本题主要考查了平方差公式以及求图形的面积．
12.【答案】D
【解析】解：由题意可得f(2)+f(12)=f(3)+f(13)=f(4)+f(14)=…=f(2024)+f(12024)=1，
原式=f(1)+[f(2)+f(12)]+[f(3)+f(13)]+[f(4)+f(14)]+…+[f(2024)+f(12024)]
=11+1+1+1+1+…+1
=0.5+1×2023
=2023.5，
故选：D．
根据题干中的规律将原式变形后计算即可．
本题考查代数式求值及规律探索，结合已知条件总结出规律是解题的关键．
13.【答案】−5
【解析】解：∵分式|x|−5x2−4x−5的值为0，
∴|x|−5=0x2−4x−5≠0，解得x=−5．
故答案为：−5．
先根据分式的值为0的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可．
本题考查的是分式的值为0的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解答此题的关键．
14.【答案】169
【解析】解：∵过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，
∴m−3=7，n=3，
∴m=10，n=3，
∴m+n=10+3=13，
∴(m+n)2=169，
故答案为169．
根据题意列方程即可得到结论．
本题考查了多边形的对角线，掌握对角线的求法是解题的关键．
15.【答案】3
【解析】解：∵a2+b2=8a+12b−52
∴a2−8a+16+b2−12b+36=0
∴(a−4)2+(b−6)2=0
∴a=4，b=6
∴6−4即 2且c<4．
∴整数c可取3．
故答案为：3．
由a2+b2=8a+12b−52，得a，b的值．进一步根据三角形一边边长大于另两边之差，小于它们之和，则b−a此题考查了因式分解的实际运用，非负数的性质以及三角形的三边关系，分组利用完全平方公式分解因式是解决问题的关键．
16.【答案】−4
【解析】解：∵x2+ax−6可分解为(x+2)(x+b)，
∴x2+ax−6=(x+2)(x+b)，
=x2+(2+b)x+2b，
则a=2+b−6=2b，
解得：a=−1b=−3，
故a+b=−4．
故答案为：−4．
直接利用多项式乘法结合二元一次方程组的解法得出a，b的值进而得出答案．
此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确得出关于a，b的方程组是解题关键．
17.【答案】m=7或−1
【解析】解：∵多项式x2+(m−3)x+4是完全平方式，
∴(m−3)=±4，
解得：m=7或m=−1，
则m的值为−1或7．
故答案为：m=7或−1．
根据完全平方公式的特征判断即可得到m的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
18.【答案】4
【解析】解：a2+b2+c2−ab−3b−2c+4=0
a2−ab+14b2+34(b2−4b+4)+c2−2c+1=0
(a−12b)2+34(b−2)2+(c−1)2=0
∴a−12b=0，34(b−2)=0，c−1=0
∴a=1，b=2，c=1，
则a+b+c=4．
故答案为：4．
首先分组利用完全平方公式分解因式，利用非负数的性质求得a、b、c的数值，进一步求得a+b+c的值即可．
此题考查利用完全平方公式因式分解，注意分组的技巧和方法．
19.【答案】解：(1)a、b之间的数量关系为：a=−b．
过点C作CE⊥OA，CF⊥OB分别交x轴，y轴于
点E、F两点，如图(1)所示：
∵∠CBF+∠OBA+∠BAC=90°，
∠OBA+∠BAC+∠CAE=90°，
∴∠CBF=∠CAE，
又∵CE⊥OA，CF⊥OB，
∴∠CEA=∠CFB=90°，
在△ACE和△BCF中，
∠CBF=∠CAEAC=BC∠CEA=∠CFB
∴△ACE≌△BCF(ASA)，
∴CE=CF，
又∵点C在第二象限，CE=b，CF=−a，
∴a=−b．
(2)作BC的延长线交x轴于点G，设点D的坐标为(0,m)，
如图(2)所示：
∵BO平分∠ABC，
∴∠GBO=∠ABO，
在△GBO和△ABO中，
∠GBO=∠ABOBO=BO∠GOB=∠AOB
∴△GBO≌△ABO(ASA)，
∴AO=GO，
又∵AO=2，∴GO=2，
∴AG=4，
在△ACG和△BCD中，
∠GAC=∠DCBAC=BC∠ACG=∠BCD
∴△ACG≌△BCD(ASA)
∴AG=BD，
又∵BD+OD=OB，OB=2 2+2，
∴OD=m=2 2+2−4=2 2−2，
∴点D的坐标为(0,2 2−2)．
【解析】(1)由图分析计算出∠CBF=∠CAE，又因AC=BC，∠CEA=∠CFB，可证明△ACE≌△BCF，最后全等三角形的性质和点C在第二象限可推出a、b之间的数量关系a=−b；
(2)由∠GBO=∠ABO，BO公用，∠GOB=∠AOB证明△GBO≌△ABO，其性质得AG=4，再证明△ACG≌△BCD得AG=BD，最后根据线段的和差求出OD=2 2−2，即可求出点D的坐标为(0,2 2−2)．
本题综合考查了在平面直角坐标系中点的点的坐标与图形的关系，等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形全等的判定与性质和角、线段等量代换等知识点，重点掌握三角全等的判定方法，难点是作辅助线构建全等三角形．
20.【答案】解：(1)(x−2y)2=x2−4xy+4y2；
(2)(x+3)(x−1)+x(x−2)
=x2−x+3x−3+x2−2x
=2x2−3；
(3)(x−3y−1)(x−3y+1)
=[(x−3y)−1][(x−3y)+1]
=(x−3y)2−1
=x2−6xy+9y2−1．
【解析】(1)根据完全平方公式来计算；
(2)根据多项式乘多项式和单项式乘多项式的方法计算小括号的，再用合并同类项的方法计算出结果；
(3)根据平方差公式和完全平方公式进行计算．
本题考查了整式的混合运算，解题的关键是运用公式法和因式分解法来计算．
21.【答案】解：∵点(2a+3b,8)与点(−9,a−9b)关于y轴对称，
∴2a+3b=9a−9b=8，
解得：a=357，b=−13，
3(−3a)2⋅a⋅(−b)3⋅(−b)3+(−3ab2)3+(−3a)2⋅(15b)
=3⋅9a2⋅a⋅(−b3)⋅(−b3)+(−27a3b6)+9a2⋅15b
=27a3b6−27a3b6+95a2b
=95a2b，
当a=357，b=−13时，原式=−3．
【解析】相加轴对称求出a、b的值，再根据整式的运算法则进行化简，最后代入求出即可．
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标和整式的混合运算和求值，能求出a、b的值和正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
22.【答案】解：(1)∵x+1x=2，
∴(x+1x)2=4，即x2+2+1x2=4，
∴x2+1x2=2，
则(x2+1x2)2=4，即x4+2+1x4=4，
∴x4+1x4=2；
(2)∵2m=3，2n=6，
∴2m+n=2m⋅2n=3×6=18，
23m−2n=23m÷22n
=(2m)3÷(2n)2
=33÷62
=2736
=34．
【解析】(1)将原式两边平方可得x2+2+1x2=4，据此得出x2+1x2的值，再进一步两边平方可得x4+1x4的值；
(2)将2m=3，2n=6代入2m+n=2m⋅2n和23m−2n=23m÷22n=(2m)3÷(2n)2计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及幂的运算．
23.【答案】解：(1)a2−49b2=(a+7b)(a−7b)；
(2)xy2−2xy+x=x(y2−2y+1)=x(y−1)2；
(3)x2−19=(x+ 19)(x− 19).
【解析】(1)(3)利用平方差公式分解；
(2)先提取公因式，再利用完全平方公式分解．
本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的平方差公式、完全平方公式等知识点是解决本题的关键．
24.【答案】解：(1)连接AE，
∵EF垂直平分AB，
∴AE=BE，
∵BE=AC，
∴AE=AC，
∵D是EC的中点，
∴AD⊥BC；
(2)设∠B=x°
∵AE=BE，
∴∠BAE=∠B=x°，
∴由三角形的外角的性质，∠AEC=2x°，
∵AE=AC，
∴∠C=∠AEC=2x°，
在三角形ABC中，3x+75=180，
解得x=35，
∴∠B=35°．
【解析】本题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是正确理解等腰三角形的性质，垂直平分线的性质．(1)连接AE，根据垂直平分线的性质，可知BE=AE=AC，根据等腰三角形三线合一即可知AD⊥BC
(2)设∠B=x°，由(1)可知∠BAE=∠B=x°，求出∠C=∠AEC=2x°，然后根据三角形ABC的内角和为180°列出方程求出x的值即可．
25.【答案】(1)证明：∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，
∴CP=CD=CQ；
(2)解：∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，
∴∠ACP=∠ACD，∠BCQ=∠BCD，
∴∠ACP+∠BCQ=∠ACD+∠BCD=∠ACB=120°，
∴∠PCQ=360°−(∠ACP+BCQ+∠ACB)=360°−(120°+120°)=120°，
(3)解：△DPQ是等边三角形，理由如下：
∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，
∴AD=AP，∠DAC=∠PAC，
∵∠DAC=30°，
∴∠PAD=60°，
∴△APD是等边三角形，
∴PD=AD，∠ADP=60°，
同理：△BDQ是等边三角形，
∴DQ=BD，∠BDQ=60°，
∴∠PDQ=60°，
∵当点D在AB的中点，
∴AD=BD，
∴PD=DQ，
∴△DPQ是等边三角形．
【解析】(1)由折叠的性质可得CP=CD=CQ；
(2)由折叠的性质可得∠ACP=∠ACD，∠BCQ=∠BCD，由周角的性质可求解；
(3)由折叠的性质可得AD=AP，∠DAC=∠PAC，可证△APD是等边三角形，可得PD=AD，∠ADP=60°，同理可得DQ=BD，∠BDQ=60°，由等腰三角形的性质可得AD=BD，即可求解．
本题是几何变换综合题，主要考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．