2023-2024学年山西省晋中市平遥县八年级（下）期中数学试卷-普通用卷

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这是一份2023-2024学年山西省晋中市平遥县八年级（下）期中数学试卷-普通用卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. (笛卡尔爱心曲线)B. (蝴蝶曲线)
C. (费马螺线曲线)D. (科赫曲线)
2.交通法规人人遵守，文明城市处处安全.在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高x(m)的范围可表示为( )
A. x≥4.5
B. x>4.5
C. x≤4.5
D. 03.如图，AO平分∠BAC，OM⊥AC于点M，ON⊥AB于点N，若AN=8cm，AO=10cm，则图中OM长为( )
A. 6cm
B. 5cm
C. 8cm
D. 10cm
4.如图，数轴上表示的解集为( )
A. x>−3B. x≤2C. −35.小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线.”他这样做的依据是( )
A. 在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C. 三角形的三条高交于一点
D. 三角形三边的垂直平分线交于一点
6.在平面直角坐标系中，将点A(0,−3)向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度后与点B重合，则点B的坐标是( )
A. (2,5)B. (−3,2)C. (−2,5)D. (5,−3)
7.如图，把△ABC绕着点A顺时针旋转得到△AB′C′，点C的对应点C′落在BC边上，若∠BAB′=40°，则∠C为( )
A. 50°
B. 60°
C. 70°
D. 80°
8.在平面直角坐标系中，若点P(x−5,6−2x)在第二象限，则x的取值范围是( )
A. 35C. x<3D. −39.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，将△ABC沿AB边所在的直线向下平移得到△DEF，BC与DF交于H，下列结论中不一定正确的( )
A. AD=BD
B. AD=BE
C. ∠DEF=90°
D. S四边形ADHC=S四边形BEFH
10.如图，已知直线y1=x+m与y2=kx−1相交于点P(−1,2)，则关于x的不等式x+mA. B.
C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是______．
12.已知直线y=kx+b(k≠0)过(1,0)和(0,−2)，则关于x的不等式kx+b<0的解集是______．
13.如图，将△ABC绕点A顺时针旋转角α(0°<α<180°)，得到△ADE，若AC=1，CE= 2，则α的度数为______．
14.定义[x]为不大于x的最大整数，如[2]=2，[ 3]=1，[4.1]=4，则满足[ n]=5，则n的最大整数为______．
15.如图，在△ABC中，∠B=15°，∠C=30°，MN是AB的中垂线，PQ是AC的中垂线，已知BC的长为3+ 3，则阴影部分的面积为______．
三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
(1)解不等式：2+x2≥2x−13；
(2)解不等式组：2(x−1)−12(1+2x)≤1x+23<2x−1，并将解集在数轴上表示出来．
17.(本小题6分)
如图：在直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(0,3)，B(3,4)，C(2,2)．
(1)画出△ABC向下平移4个单位的图形△A1B1C1；
(2)画出将△ABC绕点O逆时针方向旋转180°后的图形△A2B2C2，并写出此时A2、B2、C2的坐标．
18.(本小题5分)
如图，已知在△ABC中，∠A=90°.请用圆规和直尺在AC上求作一点P，使得点P到BC边的距离等于PA的长；(保留作图痕迹，不写作法和证明)
19.(本小题7分)
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=60度，AD是∠BAC的平分线，E为AD上一点，以BC为一边，且在BF下方作等边△BEF，连接CF．
(1)求证：△ABE≌△CBF；
(2)求∠ACF的度数．
20.(本小题8分)
如图，一次函数y1=kx+b和y2=−4x+a的图象相交于点B，且一次函数y1=kx+b分别与y轴和x轴交于A和C，若A(0,4)，C(−2,0)．
(1)求直线AC的解析式；
(2)若不等式kx+b>−4x+a的解集是x>1.求a的值．
21.(本小题9分)
近几年，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也在逐年增加.某商场从厂家购进了A、B两种型号的空气净化器，两种净化器的销售相关信息见下表：
(1)一台A型空气净化器和B型空气净化器的销售利润分别是多少？
(2)该公司计划一次购进两种型号的空气净化器共100台，其中B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，请你设计相应的进货方案．
22.(本小题12分)
综合与探究
(1)模型建立：如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E.求证：△BEC≌△CDA；
(2)模型应用：
①如图2，已知直线y=3x+3与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B逆时针旋转90°，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的函数解析式；
②如图3，长方形ABCO，点O为坐标原点，点B的坐标为(8,6)，A，C分别在坐标轴上，点P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y=2x−6上的一点，若△APD是不以点A为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
2.【答案】D
【解析】解：由题意可得，0故选：D．
根据不等式的定义解决此题．
本题主要考查不等式，熟练掌握不等式的定义是解决本题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵ON⊥AB，
∴∠ANO=90°，
∵AN=8cm，AO=10cm，
∴ON= AO2−AN2=6(cm)，
∵AO平分∠BAC，OM⊥AC，
∴OM=ON=6cm，
故选：A．
根据勾股定理得到ON= AO2−AN2=6(cm)，根据角平分线的性质即可得到结论．
本题考查了搞定了，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：由数轴得：x>−3x≤2，
∴−3故选：C．
找出两个不等式解集的公共部分即可．
本题考查在数轴上表示不等式的解集，通过数轴找到解集的公共部分是求解本题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：由题意可知，点P到射线OB的距离是直尺的宽度，点P到射线OA的距离也是直尺的宽度，
∴点P到射线OB，OA的距离相等，
∴点P在∠BOA的平分线上(在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上)．
故选：A．
由题意可知，点P到射线OB，OA的距离相等，则点P在∠BOA的平分线上，即可得出答案．
本题考查角平分线的性质，理解题意，掌握角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解答本题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：将点A(0,−3)向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度后与点B重合，则点B的坐标是(−3,2)．
故选：B．
根据点的坐标的平移规律即可得到结论．
本题考查了坐标与图形变化−平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．(即横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减)．
7.【答案】C
【解析】解：由旋转的性质得：∠BAB′=∠CAC′=40°，AC′=AC，
∴∠AC′C=∠C，
∵∠C+∠CAC′+∠AC′C=180°，
∴∠C=180°−40°2=70°，
故选：C．
首先根据旋转的性质求出∠CAC′的度数，进而判断出∠AC′C=∠ACC′，求出∠C的度数即可．
此题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握旋转的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵点P(x−5,6−2x)在第二象限，
∴x−5<06−2x>0，
解得x<3．
故选：C．
根据第二象限上的点的横坐标小于0，纵坐标大于0可列出一元一次不等式组，求解即可．
本题考查解一元一次不等式组、点的坐标，正确列出一元一次不等式组并求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵Rt△ABC沿直线边AB所在的直线向下平移得到△DEF，
∴AD=BE，△ABC≌△DEF，
∴∠DEF=∠ABC=90°，S△ABC=S△DEF，
∴S四边形ADHC=S四边形BEFH，
观察四个选项，AD≠BD不正确，
故选：A．
根据平移的性质逐一判断即可．
本题考查了平移的性质，三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：由题意可得，图象过一、二、三象限的为直线y1=x+m，
图象过二、三、四象限的为直线y2=kx−1，
根据图象得，当x<−1时，x+m故选：D．
利用函数图象，找出直线y=x+m在直线y=kx−1的下方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，属于基础题．
11.【答案】对应角相等的三角形是全等三角形
【解析】【分析】
此题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据逆命题的概念，交换原命题的题设与结论即可得出原命题的逆命题．
【解答】
解：命题“全等三角形对应角相等”的题设是“两个三角形是全等三角形”，结论是“它们的对应角相等”，
故其逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，
故答案为：对应角相等的三角形是全等三角形．
12.【答案】x<1
【解析】解：∵直线y=kx+b(k≠0)过点(1,0)和(0,−2)，
∴直线经过一、三、四象限，
∴y随x的增大而增大，
当x<1时，y<0，
即kx+b<0．
故答案为：x<1．
根据一次函数的性质得出y随x的增大而增大，当x<1时，y<0，即可求出答案．
本题主要考查对一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行说理是解此题的关键．
13.【答案】90°
【解析】解：由旋转得，AC=AE=1，
∵CE= 2，
∴AC2+AE2=CE2，
∴△ACE是直角三角形，∠CAE=90°，
∴旋转角α的度数为90°．
故答案为：90°．
先由旋转的性质得到AC=AE=1，然后结合CE的长得到△ACE为直角三角形，从而求出α的度数．
本题考查了旋转的性质和勾股定理，熟知“旋转过程中的对应边相等”是解题的关键．
14.【答案】25
【解析】解：由题意得：
∵4< n≤5，
∴16∴n的最大整数为25．
故答案为：25．
由题意得：4< n≤5，然后利用平方运算，进行计算即可解答．
本题考查了无理数的估算，掌握夹逼法，用有理数夹逼无理数是关键．
15.【答案】 32
【解析】解：∵在△ABC中，∠B=15°，∠C=30°，MN是AB的中垂线，PQ是AC的中垂线，
∴BN=AN，AQ=CQ，
∴∠BAN=∠B=15，∠CAQ=∠C=30°，
∴∠ANQ=30°，∠AQN=60°，
∴∠NAQ=90°，
∴AQ=12NQ，AN= 32NQ，
∵BC=3+ 3，
∴ 32NQ+NQ+12NQ=3+ 3，
∴NQ=2，
∴AN= 3，AQ=1，
∴阴影部分的面积=12×1× 3= 32，
故答案为： 32．
根据线段垂直平分线的性质得到BN=AN，AQ=CQ，根据等腰三角形的性质得到∠BAN=∠B=15，∠CAQ=∠C=30°，由三角形的外角的性质得到∠ANQ=30°，∠AQN=60°，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．
16.【答案】解：(1)去分母，得3(2+x)≥2(2x−1)，
去括号，得6+3x≥4x−2，
移项，得3x−4x≥−2−6，
合并，得−x≥−8，
系数化为1得x≤8；
(2)2(x−1)−12(1+2x)≤1①x+23<2x−1②，
解不等式①得x≤3.5，
解不等式②得x>−1，
所以不等式组的解集为−1用数轴表示为：

【解析】(1)先去分母，再去括号得到6+3x≥4x−2，然后移项、合并得到−x≥−8，最后把x的系数化为1即可；
(2)分别解两个不等式得到x≤3.5和x>−1，然后根据大小小大中间找确定不等式组的解集，最后在数轴上表示其解集．
本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．也考查了解一元一次不等式和数轴．
17.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1为所作；

(2)如图，△A2B2C2为所作；

此时A2、B2、C2的坐标分别为：此时A2(0,−3)、B2(−3,−4)、C2(−2,−2)．
【解析】(1)利用点平移的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
(2)根据关于原点对称的点的坐标特征写出A2、B2、C2的坐标，然后描点即可．
本题考查了作图−旋转变换：记住关于原点对称的点的坐标特征是解决问题的关键．也考查了平移变换．
18.【答案】解：如图，点P即为所求．

【解析】作∠ABC的角平分线交AC于点P，点P即为所求．
本题考查了角平分线的性质和尺规作图作角平分线，解题的关键是掌握角平分线的性质．
19.【答案】(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABE+∠EBC=60°，
∵△BEF是等边三角形，
∴BE=BF，∠CBF+∠EBC=60°，
∴∠ABE=∠CBF，
在△ABE和△CBF，
AB=CB∠ABE=∠CBFBE=BF，
∴△ABE≌△CBF(SAS)；
(2)解：∵等边△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAE=30°，∠ACB=60°，
∵△ABE≌△CBF，
∴∠BCF=∠BAE=30°，
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=30°+60°=90°．
【解析】(1)由△ABC是等边三角形的性质得出AB=BC，∠ABE+∠EBC=60°，EB=BF，∠CBF+∠EBC=60°，求出∠ABE=∠CBF，根据SAS证出△ABE≌△CBF；
(2)根据等边三角形的性质得出∠BAE=30°，∠ACB=60°，再根据△ABE≌△CBF，得出∠BCF=∠BAE=30°，从而求出∠ACF的度数．
此题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
20.【答案】解：(1)∵一次函数y1=kx+b分别与y轴和x轴交于A和C，A(0,4)，C(−2,0)，
∴b=4−2k+b=0，
解得k=2b=4，
∴直线AC的解析式为y1=2x+4；
(2)∵不等式kx+b>−4x+a的解集是x>1，
∴点B的横坐标是x=1，
当x=1时，y1=2×1+4=6，
∴点B的坐标为(1,6)，
把点B的坐标代入y2=−4x+a得，6=−4+a，
解得a=10．
故a的值为10．
【解析】(1)利用待定系数法即可求得；
(2)将x=1代入y1=kx+b即可求得点B的坐标，根据点B也在函数y2=−4x+a的图象上，从而可以求得a的值．
本题考查一次函数与一元一次不等式、待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
21.【答案】解：(1)设每台A型空气净化器的销售利润为x元，每台B型空气净化器的销售利润为y元，
根据题意得：
5x+10y=200010x+5y=2500，
解得：x=200y=100．
答：一台A型空气净化器的销售利润为200元，一台B型空气净化器的销售利润为100元；
(2)设购进A型空气净化器m台，则购进B型空气净化器(100−m)台，
∵B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，
∴100−m≥2m，
解得：m≤1003，
设销售完这100台空气净化器后的总利润为w元，
根据题意得：w=200m+100(100−m)=100m+10000，
∴w的值随着m的增大而增大，
∴当m=33时，w取最大值，最大值=100×33+10000=13300，此时100−m=67．
答：为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，应购进A型空气净化器33台，购进B型空气净化器67台．
【解析】(1)设每台A型空气净化器的销售利润为x元，每台B型空气净化器的销售利润为y元，根据表格中的数据，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购进A型空气净化器m台，则购进B型空气净化器(100−m)台，根据B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设销售完这100台空气净化器后的总利润为w元，根据总利润=单件利润×购进数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，列出二元一次方程组；(2)根据总利润=单件利润×购进数量，找出w关于m的函数关系式；(3)根据两种空气净化器的净化能力结合活动场地的体积，列出关于a的一元一次不等式．
22.【答案】(1)证明：∵∠ACB=90°，
∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠EBC=∠ACD，
在△BEC和△CDA中，
∠EBC=∠ACD∠E=∠DBC=AC，
∴△BEC≌△CDA(AAS)；
(2)解：①如图，过C作CD⊥x轴于点D，

在y=3x+3中，令y=0可求得x=−1，令x=0可求得y=3，
∴OA=3，OB=1，
同(1)得△CDB≌△BAO，
∴CD=BO=1，BD=AO=3，
∴OD=4，
∴C(−4,1)，且A(0,3)，
设直线AC解析式为y=kx+3，
把C点坐标代入可得−4k+3=1，解得k=12，
∴直线AC解析式为y=12x+3；
②设P(m,12m+3)，Q(0,n)，
当BC为对角线时−4−1=m+01=12m+3+n，
解得m=−5n=12，
∴点Q(0,12)，
当BP为对角线时，−1+m=−4+012m+3=n+1，
解得m=−3n=12，
∴Q(0,12)，
当CP为对角线时，−4+m=−1+01+12m+3=n，
解得m=3n=112，
∴Q(0,112)；
综上：Q(0,12)或(0,112)；
③如图，当∠ADP=90°时，AD=PD，
过点P作PE⊥OA于E，过点D作DF⊥PE于F，

∴点E与点A重合，
∴DF=12AB=4，
设D点坐标为(x,2x−6)，
则6−(2x−6)=4，得x=4，
∴D(4,2)；
如图3，当∠APD=90°时，AP=PD，
过点P作PE⊥OA于E，过点D作DF⊥PE于F，

设点P的坐标为(8,m)，
同理得，△APE≌△PDF，
∴PF=AE=6−m，DF=PE=8，
∴D点坐标为(14−m,m+8)，
∴m+8=2(14−m)−6，
∴m=143，
∴D点坐标(283,383)；
如图，当∠ADP=90°时，AD=PD时，同理得D点坐标(203,223)，

综上可知满足条件的点D的坐标分别为(4,2)或(283,383)或(203,223).
【解析】(1)根据同角的余角相等得∠EBC=∠ACD，再利用AAS可证明结论；
(2)①过点B作BC⊥AB交直线l2于C过C作CD⊥x轴于点D，同(1)得△CDB≌△BAO，则CD=BO=1，BD=AO=3，可知点C的坐标，再利用待定系数法可得答案；
②根据等腰直角三角形的性质，分点D或点P为顶角顶点分别画图，利用模型建立三角形全等，从而解决问题．
本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，作辅助线构造模型是解决问题的关键，同时注意分类讨论思想的运用．A型销售数量(台)
B型销售数量(台)
总利润(元)
5
10
2000
10
5
2500

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