2021-2022学年黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校高一下学期期末考试数学试题（解析版）

2021-2022学年黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校高一下学期期末考试数学试题

一、单选题

1．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由已知得，根据复数除法运算法则，即可求解.

【详解】，

.

故选：B.

2．向量在向量上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求出在上的投影，然后乘以的方向向量.

【详解】解：由题意得：

向量在向量上的投影为

在上的投影向量为

故选：B．

3．正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用斜二测画法求解.

【详解】解：因为正方形的边长为，

所以正方形的面积是，

又因为正方形是水平放置的一个平面图形的直观图，

所以原平面图形的面积是，

故选：A

4．交通锥是一种交通隔离警戒设施，可近似看成一个圆锥．如图，某交通锥的高为70cm，底面半径为20cm，则该圆锥体交通锥的体积为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】用圆锥的体积计算公式即可求解.

【详解】.

故选：C.

5．有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，，…，，其中，c为非零常数，则（    ）

A．两组样本数据的样本方差相同 B．两组样本数据的样本众数相同

C．两组样本数据的样本平均数相同 D．两组样本数据的样本中位数相同

【答案】A

【分析】由方差、平均数、众数和中位数的定义依次判断即可.

【详解】因为原来样本平均数，新样本平均数，C错误；

原来方差为，新样本方差为，A正确；

设原样本众数为，则新样本众数为，B错误；

设原样本中位数为，则新样本中位数为，D错误.

故选：A.

6．把红､蓝､黑､白4张纸牌随机分给甲､乙､丙､丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（    ）

A．对立事件 B．必然事件

C．互斥但不对立事件 D．不可能事件

【答案】C

【分析】事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不可能同时发生，也可能都不发生

【详解】事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不可能同时发生，

也可能都不发生，故它们是互斥但不对立事件

故选：C

【点睛】两个事件互斥指的是不能同时发生，两个事件对立指的是不能同时发生，但必有一个发生.

7．已知三角形的三边满足条件，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将整理可得，再利用余弦定理计算可得；

【详解】解：因为，所以，

即，所以，

由余弦定理，

因为，所以；

故选：A

8．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的直径均为1，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为1的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（　　）

A．3 B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意建立平面直角坐标系，然后将涉及到的点的坐标求出来，其中点坐标借助于三角函数表示，则所求的结果即可转化为三角函数的最值问题求解．

【详解】以为坐标原点，为轴，过做的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

则，，

圆的方程为，可设，

所以．

故．

所以的最大值为

故选：B．

【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的数量积，解题关键是建立平面直角坐标系，用坐标运算计算向量的数量积，结合三角函数的性质求得最大值，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于较难题.

二、多选题

9．已知复数，则（       ）

A．z的实部是 B．z的虚部是

C．z的共轭复数为 D．

【答案】ACD

【分析】根据复数除法运算得，再利用复数的定义，共轭复数，复数的模长公式依次判断各选项的正误.

【详解】∵，则有：

z的实部是，A正确；

z的虚部是，B错误；

z的共轭复数为，C正确；

，D正确；

故选：ACD.

10．已知向量，，则（    ）

A．若与垂直，则 B．若，则的值为

C．若，则 D．若，则与的夹角为45°

【答案】ABD

【分析】根据向量共线与垂直的坐标表示得到方程，计算即可判断A、B，再根据向量模及夹角的坐标表示计算判断C、D；

【详解】解：因为，，对于A：若与垂直，则，解得，故A正确；

对于B：若，则，解得，故B正确；

对于C：若，则，解得，故C错误；

对于D：若，则，设与的夹角为，则，因为，所以，故D正确；

故选：ABD

11．下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【解析】由平面展开图还原为正方体，根据正方体性质即可求解.

【详解】由正方体的平面展开图还原正方体如图，

由图形可知，

，故A错误；

由，四边形为平行四边形，所以，故B正确；

因为,,所以平面,所以，故C正确；

因为，而,所以，故D正确.

故选：BCD

12．设，为两个随机事件，以下命题正确的为（    ）

A．若，是互斥事件，，，则

B．若，是对立事件，则

C．若，是独立事件，，，则

D．若，，且，则，是独立事件

【答案】BCD

【分析】利用互斥事件与相互独立事件的性质逐一判断即可

【详解】对于A：若，是互斥事件，，，则，故A错误；

对于B：若，是对立事件，则，故B正确；

对于C：若，是独立事件，，，则，也是独立事件，则，故C正确；

对于D：若，，则且，则，是独立事件，故，也是独立事件，故D正确；

故选：BCD

三、填空题

13．葫芦岛市2021年5月份前十天最高气温（单位：℃）分别为21，19，31，28，34，30，15，22，25，26，则这十天最高气温的第60百分位数为______．

【答案】

【分析】把数据按照从小到大的顺序进行排列，直接计算第60百分位数即可.

【详解】把数据按照从小到大的顺序排列为，

因为，所以第60百分位数为.

故答案为：.

14．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：

137  960  197  925  271  815  952  683  829  436  730  257

据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为______.

【答案】0.25

【分析】根据在这12组随机数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有3组，即可得出结论.

【详解】这12组随机数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有：

137、271、436共3组，

故该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为：，

故答案为：.

15．半正多面体（semiregularsolid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为，则正确的序号是______.

①平面；              

②与所成角为；

③该二十四等边体的体积为；    

④该二十四等边体外接球的表面积为.

【答案】③④

【分析】将该二十四等边体补形为正方体，利用与是异面直线判定选项①错误，利用和的形状判定选项②错误，利用正方体和等二十四等边体的关系和分割法判定选项③正确，利用该二十四等边体外接球的球心即为正方体的中心及球的表面积公式判定选项④正确．

【详解】解：将该二十四等边体补形为正方体（如图所示），

因为该二十四等边体的所有棱长都为，所以正方体的棱长为，

对于①：根据正方体的性质可得平面，平面，所以，

同理可证，，平面，

所以平面，而与是异面直线，

所以平面不成立，即选项①错误；

对于②：因为，

所以是与所成角或其补角，

在中，，

因为，所以，

即选项②错误；

对于③：因为该二十四等边体的所有棱长都为，

所以正方体的棱长为2，

所以该二十四等边体的体积为，

即选项③正确；

对于④：设该二十四等边体外接球的半径为，

该二十四等边体外接球的球心即为正方体的中心，

正方体六个表面的面积都为1，

所以，

所以其表面积为，即选项④正确．

故答案为：③④．

16．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若有两解，写出a的一个可能的值为__________．

【答案】（满足均可，答案不唯一）

【分析】根据题意可得，解之即可得解.

【详解】解：由于满足条件的有两个，则，即.

故答案为：（满足均可，答案不唯一）．

四、解答题

17．如图所示，从底面半径为2a，高为的圆柱中，挖去一个底面半径为a且与圆柱等高的圆锥，求圆柱的表面积与挖去圆锥后的几何体的表面积 之比.

【答案】.

【解析】求出圆柱的表面积和挖去圆锥后的几何体的表面积，即可求解.

【详解】由题意，知

，

挖去圆锥的母线长为

.

∴.

【点睛】本题考查圆柱及组合体的表面积，属于基础题

18．某学校为了解学校食堂的服务情况，随机调查了50名就餐的教师和学生．根据这50名师生对食堂服务质量的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为，，…，．

(1)求频率分布直方图中a的值和样本的众数．

(2)若采用分层抽样的方式从评分在，，的师生中抽取10人，则评分在内的师生应抽取多少人？

(3)学校规定：师生对食堂服务质量的评分的均值不得低于75分，否则将进行内部整顿．用每组数据的中点值代替该组数据，试估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿．

【答案】(1)；众数为

(2)5（人）

(3)平均分为；食堂不需要内部整顿

【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为得到方程，求出，再由最高小组的组中值即为众数；

（2）根据频率分布直方图求出频率之比，再按照分层抽样计算可得；

（3）根据频率分布直方图中平均数公式计算平均数即可判断；

【详解】(1)解：由，

解得．

众数为

(2)解：由频率分布直方图可知，

评分在，，内的师生人数之比为

，

所以评分在内的师生应抽取（人）．

(3)解：由题中数据可得师生对食堂服务质量评分的平均分为

．

因为，所以食堂不需要内部整顿．

19．2020年某地爆发了新冠疫情，检疫人员为某高风险小区居民进行检测.

(1)假设A，B，C，D，E，F，G，H，I，J这10人的检测标本中有1份呈阳性，且这10人中恰有1人感染，请设计一种最多只需做4次检测，就能确定哪一位居民被感染的方案，并写出设计步骤；

(2)已知A，B，C，D，E这5人是密切接触者，要将这5人分成两组，一组2人，另一组3人，分派到两个酒店隔离，求A，B两人在同一组的概率.

【答案】(1)答案见解析；

(2).

【分析】(1)先把10份样本平均分成两组，检测一次可确定有阳性的一组，再将这组分成2份和3份的两组即可.

(2)根据给定条件列出所有可能结果，确定A，B两人在同一组的结果数计算作答.

【详解】(1)第一步，将10人的样本随机5份作为一组，剩余5份作为另一组，任取一组，若呈阳性，

则该组记为Ⅰ组；若呈阴性，则另一组记为Ⅰ组，

第二步，将Ⅰ组的样本随机分为2组，2人一组记为Ⅱ组，3人一组记为Ⅲ组，

第三步，将Ⅱ组样本进行检验，若呈阳性，再任取这两人中的一人进行检验即可得知患病人员，因此，

共检测3次；若呈阴性，则阳性样本必在Ⅲ组内，再逐一检验，最多2次即可得知患病人员，因此，最多检测4次，

或者先将Ⅲ组样本进行检验，若呈阳性，再逐一检验，最多2次即可得知患病人员，因此最多检测4次；

若呈阴性，则将Ⅱ组样本任取一人检验，即可得知患病人员，因此，共检测3次，

综上所述，最多只需做4次检测.

(2)将A，B，C，D，E按要求分成两组，(AB，CDE)，(AC，BDE)，(AD，BCE)，(AE，BCD)，

(BC，ADE)，(BD，ACE)，(BE，ACD)，(CD，ABE)，(CE，ABD)，(DE，ABC)，共有10种情况，

其中A，B两人在同一组的共有4种，

所以A，B两人在同一组的概率为.

20．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.

(1)求A角的值；

(2)若为锐角三角形，利用（1）所求的A角值求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理和二倍角公式化简，可求得，即可求出求A角的值.

（2）由正弦定理化简，再结合二倍角的正弦、余弦公式化简可得，因为为锐角三角形，则，由范围可求出的范围，即可求出答案.

【详解】(1)因为，所以，

因为，∵，

∴，∵，∴，∴，

因为，∴，∴.

(2)由正弦定理，

，

∵为锐角三角形，∴，即，，

∴}

∴的取值范围是.

21．已知四棱锥满足：四边形ABCD为正方形，△PAD为等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，，E为PA的中点．

(1)证明：平面BDE；

(2)求直线PC和平面ABCD所成角的正切值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据三角形中位线，得线线平行，进而可证线面平行.

（2）由面面垂直可得线面垂直，进而可找到线面角，然后在三角形中求正切值即可.

【详解】(1)

证明：连接AC，BD交于点O，连接OE．

由已知OE为的中位线，故，平面BDE，平面BDE，所以平面BDE

(2)取AD中点F，连接PF，则由△PAD为等边三角形可知PF⊥AD

因为平面PAD⊥平面ABCD，它们的交线为AD，平面PAD，PF⊥AD

所以PF⊥平面ABCD，故PC在平面ABCD的射影为CF，故PCF即为所求．

由已知，

故，

故PC和平面ABCD所成角的正切值为

22．随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一，若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试．在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，若5次都没有通过，则需要重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费，某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，现有这个驾校的一对夫妻学员同时报名参加驾驶证科目二考试，若这对夫妻每人每次是否通过科目二考试相互独立，他们参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．

(1)求这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且都不需要交补考费的概率；

(2)求这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且产生的补考费用之和为200元的概率．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）分别表示丈夫和妻子第i次通过考试的事件，再将夫妻二人都不需要交补考费的事件用表示，然后利用互斥事件和相互独立事件的概率公式计算作答.

（2）将夫妻二人共交200元补考费的事件用（1）中事件表示，再利用互斥事件和相互独立事件的概率公式计算作答.

【详解】(1)分别表示丈夫和妻子第i次通过考试的事件，则，

夫妻二人都不需要交补考费的事件，

则，

所以这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且都不需要交补考费的概率是.

(2)由（1）知，夫妻二人共交200元补考费的事件，

则，

所以这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且产生的补考费用之和为200元的概率.