黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学2023-2024学年高二下学期第一次月考（4月）数学试题（原卷版+解析版）

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时间：150分钟 总分：150分
一、单选题
1. 若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为（ ）．
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】求导，求出切点坐标，利用点线距求解.
【详解】∵，设为所求的点，
则
得，，则点P到直线的最小距离为．
故选:A.
2. 若，则（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先对函数求导，后利用导数的定义转化求值即可.
【详解】由题意得，所以，
所以.
故选：B.
3. 从编号为1，2，3，…，10，11的11个球中，取出5个球，使这5个球的编号之和为奇数，其取法总数为（ ）
A. 236B. 328
C. 462D. 2640
【答案】A
【解析】
【分析】首先对奇数球的个数分类，再结合组合数公式，即可求解.
【详解】以取出的编号为奇数的球的个数进行分类.
第一类，取出的5个球的编号中只有1个奇数，有(种)取法；
第二类，取出的5个球的编号中有3个奇数，有(种)取法；
第三类，取出的5个球的编号全是奇数，有(种)取法.
根据分类计数原理，共有30＋200＋6＝236(种)取法.
故选：A
4. 若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用导数与函数单调性的关系将问题转化为在上有解问题，再构造函数，利用导数求得其最小值，从而得解.
【详解】因为存在单调递减区间，
所以在上有解，即在上有解，
令，则，令，解得(负值舍去)，
当时，单调递减；
当时，单调递增；
所以，故，
故选：A.
5. 1949年10月1日，开国大典结束后，新成立的中央人民政府在北京饭店举行了有600余位宾客参加的新中国第一次国庆招待会，史称“开国第一宴”．该宴的主要菜品有：鲍鱼浓汁四宝、东坡肉方、蟹粉狮子头、鸡汁煮干丝、清炒翡翠虾仁和全家福．若这六道菜要求依次而上，其中“东坡肉方”和“鸡汁煮干丝”不能接连相邻上菜，则不同的上菜顺序种数为（ ）
A. 240B. 480C. 384D. 1440
【答案】B
【解析】
【分析】利用插空法求解.
【详解】鲍鱼浓汁四宝、蟹粉狮子头、清炒翡翠虾仁和全家福依次而上有种排列方式，
此时形成个空位，选出个空位将东坡肉方和鸡汁煮干丝分别插入进去，共有种排列方式，
由乘法原理可知不同的上菜顺序种数为，
故选：.
6. 已知函数，若对任意的，当时，都有，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】构造函数，求导，分离参数求最值即可.
【详解】不等式等价于，
令，根据题意对任意的，
当时，，所以函数在上单调递减，
所以在上恒成立，
即在上恒成立.
令，则，
所以当时，，单调递增，
当时，单调递减.所以，所以.
故选：C.
【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
（1）恒成立；
（2）恒成立.
7. 小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（ ）
A. 48B. 32C. 24D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解.
【详解】1与4相邻，共有种排法，
两个2之间插入1个数，
共有种排法，再把组合好的数全排列，共有种排法，
则总共有种密码．
故选：C
8. 已知函数有两个极值点，，若不等式恒成立，那么的取值范围是（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得，由函数有两个极值点，，可得方程在上有两个不相等的正实数根，由根与系数的关系可求得的取值范围，由，令，利用导数研究其范围即可．
【详解】函数的定义域为，且，
因为函数有两个极值点，，
所以方程在上有两个不相等的正实数根，
则，解得．
因为
，
设，
，易知在上恒成立，
故在上单调递增，
故，
所以，
所以的取值范围是．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：先求导函数，根据极值点、韦达定理求，，关于a的表达式及的范围，再将题设不等式转化为恒成立，最后利用导数研究范围可得答案.
二、多选题
9. 已知函数，则（ ）
A. 在处取得极小值B. 有3个零点
C. 在区间上的值域为D. 曲线的对称中心为
【答案】ABD
【解析】
【分析】求出函数的导数，利用导数研究函数的单调性，极值，零点，值域，可判断A，B，C选项，根据函数奇偶性及图象变换可判断D.
【详解】由，
令，解得，令，解得或，
所以函数在和上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，故A正确；
又，，，，
，所以函数在有且仅有一个零点，
同理函数在有且仅有一个零点，在上有且仅有一个零点，
即函数共有3个零点，故B正确；
由前面得在上值域为，故C错误；
设，，，
所以函数是奇函数，图象关于对称，
又是向下平移1个单位得到，所以函数的对称中心为，故D正确.
故选：ABD.
10. 由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字组成无重复数字的五位数，且1不能在个位，则关于这样的五位数的个数，下列表示正确的有（ ）
A. B.
C D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据排除法和分类法，以及排列数公式的化简，即可判断选项.
【详解】0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字组成无重复数字的五位数，且1不能在个位，
排除法：从十个数字中任选五个进行排列，有个，1在个位和0在第一位的有个五位数，0在第一位且1在个位的有个五位数，
则符合题意的五位数共有（个），故C正确；
讨论法：若有1，
若1在第一位，共有个五位数．
若1在第二，第三，第四位，共有个五位数，
若没有1，第一位有种选法，剩下的四位有种选法，共有个五位数，
故有符合题意的个五位数，故D正确；
又，故B正确．
故选：BCD
11. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，此定理得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个实数，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，为函数的不动点.现新定义：若满足，则称为的次不动点.设函数，若在区间上存在次不动点，则的取值可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】由题意可得，在上有解，即有解，然后换元构造函数，利用导数求最值即可.
【详解】根据题意，若在区间上存在次不动点，
则在区间上有解，
即，
即有解，
令，，则，
令函数，且单调递增，
当时，，所以在上单调递增，
，所以为偶函数，
所以在上单调递减.
，，
故，，
则.
故选：AD.
【点睛】关键点点睛：通过分离参数和换元，构造函数，利用导数研究函数最值，从而得解.
三、填空题
12. 如图所示为函数的图象，则不等式的解集为 ____．
【答案】
【解析】
【分析】由函数图象的单调性可得其导数的正负，即可解出该不等式.
【详解】由的图象可得在，上单调递增，在上单调递减，
所以当时，，当x∈时，，
因为，所以或，
即或或，解得或，
所以原不等式的解集为．
故答案为：.
13. 某校思想品德课教师一天有3个不同班的课，每班一节，如果该校一天共7节课，上午4节，下午3节，该教师的3节课任意两节都不能连着上（第四节和第五节不算连着上），则该教师一天的课所有不同的排法有___________种．
【答案】78
【解析】
【分析】利用分类加法计数原理结合排列知识可直接求得答案.
【详解】上午2节不连堂，下午一节，共有种；
上午1节，下午2节不连堂，共有，
故不同的排课方案共有种．
故答案为：78.
14. 已知函数，过点可作曲线的3条切线，则实数a的取值范围为___.
【答案】
【解析】
【分析】构造新函数，利用导数求得其单调性和极值，作出函数图像，数形结合，进而求得实数的取值范围.
【详解】设点为曲线上一点，则
又，则，
则曲线在点处的切线方程为
，又切线过点，
则，即
令，则，
则时，单调递减；
时，单调递增；
时，单调递减，
则时取得极小值，时取得极大值，
又，
当时，恒成立，时，，
又由题意得方程有3个根，
则与图像有3个交点，则.
则曲线有三条过点的切线时实数的取值范围为.

故答案为：.
四、解答题
15. （1）已知，计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）126；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用组合数的性质求出并计算得解.
（2）利用组合计算公式、排列数公式求解即得.
【详解】（1）因为，则，解得，经验证符合题意，
所以
.
（2）由，得，
即，而由，知，解得，
所以原方程的解为.
16. 某学校举行男子乒乓球团体赛，决赛比赛规则采用积分制，两支决赛的队伍依次进行三场比赛，其中前两场为男子单打比赛，第三场为男子双打的比赛，每位出场队员在决赛中只能参加一场比赛. 某进入决赛的球队共有五名队员，现在需要提交该球队决赛的出场阵容，即三场比赛的出场的队员名单.
（1）一共有多少种不同的出场阵容？
（2）若队员A因为技术原因不能参加男子双打比赛，则一共有多少种不同的出场阵容？
【答案】（1）60 （2）36
【解析】
【分析】（1）根据分步计数原理，先安排前两场比赛人员，再安排第三场的比赛人员；
（2）从队员A上场和不上场来分类，分别求解，再利用分类加法原理可得答案.
【小问1详解】
出场阵容可以分两步确定：
第1步，从5名运动员中选择2人，分别参加前两场男单比赛，共有种；
第2步，从剩下的3名运动员中选出两人参加男双比赛，共有种，
根据分步乘法计数原理，不同的出场阵容种数为.
【小问2详解】
队员A不能参加男子双打比赛，有两类方案：
第1类方案是队员A不参加任务比赛，即除了队员A之外的4人参加本次比赛，只需从4人中选出两人，分别取参加前两场单打比赛，共有种，剩余人员参加双打比赛；
第2类方案是队员A参加单打比赛，可以分3个步骤完成：
第1步，确定队员A参加的是哪一场单打比赛，共2种；
第2步，从剩下4名队员中选择一名参加另一场单打比赛，共4种；
第3步，从剩下的3名队员中，选出两人参加男双比赛，共有种，
根据分步乘法计数原理，队员A参加单打比赛的不同的出场阵容有种；
根据分类加法计数原理，队员A不参加男子双打比赛的不同的出场阵容种数为.
17. 已知函数，.
（1）若在处取得极值，求的值；
（2）设，试讨论函数的单调性.
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）利用函数在处取极值得，即可求得值.
（2）由，通过讨论的取值来判断的符号，进而得到函数的单调性.
【详解】（1）因为，所以，
因为在处取得极值，
所以，解得.
验证：当时，，
易得在处取得极大值.
（2）因为，
所以.
①若，则当时，，所以函数在上单调递增；
当时，，∴函数在上单调递减.
②若，，
当时，易得函数在和上单调递增，
在上单调递减；
当时，恒成立，∴函数在上单调递增；
当时，易得函数在和上单调递增，在上单调递减.
18. 已知函数.
（1）若函数在其定义域内单调递增，求实数的最大值；
（2）当，确定函数零点的个数；
（3）若存在正实数对，使得当时，能成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）个；（3）.
【解析】
【分析】（1）由题意可知，对任意的恒成立，利用参变量分离法和基本不等式可求得实数的最大值；
（2）当时，，利用导数分析函数的单调性，并求出该函数的极大值和极小值，进而可得出函数的零点个数；
（3）当时，由可得，令，构造函数，利用导数求出函数在区间上的值域，即可得出实数的取值范围.
【详解】（1）函数的定义域为，，
由题意可知对任意的恒成立，，
当时，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，
所以，，因此，实数的最大值为；
（2）当时，，定义域为，.
令，得或，列表如下：
所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.
所以，函数的极大值为，极小值为，
且，
所以，函数只有一个零点；
（3），，
，
令，得，构造函数，，
令，得，，解得，
当时， ；当时，.
所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
所以，函数的最小值为，
当时，；当时，.
因此，实数的取值范围是.
【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，同时也考查了利用导数研究函数的零点个数问题，以及利用导数研究等式成立时参数的取值范围问题，考查运算求解能力，属于中等题.
19. 英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.
（1）证明：；
（2）设，证明：；
（3）设，若是的极小值点，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）首先设，利用导数判断函数的单调性，转化为求函数的最值问题；
（2）首先由泰勒公式，由和，再求得和的解析式，即可证明；
（3）分和两种情况讨论，求出在附近的单调区间，即可求解.
【小问1详解】
设，则.
当时，：当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
因此，，即.
【小问2详解】
由泰勒公式知，①
于是，②
由①②得
所以
即.
【小问3详解】
，则
，设，
由基本不等式知，，当且仅当时等号成立.
所以当时，，所以在上单调递增.
又因为是奇函数，且，
所以当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
因此，是的极小值点.
下面证明：当时，不是的极小值点.
当时，，
又因为是上的偶函数，且在上单调递增,
所以当时，.
因此，上单调递减.
又因为是奇函数，且，
所以当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减.
因此，是的极大值点，不是的极小值点.
综上，实数的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：第三问是本题难点，关键是分和两种情况，利用导数判断附近的单调性.
极大值
极小值