2024年广东省东莞市厚街丰泰外国语学校中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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1. 的倒数是( )．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据倒数的性质分析，即可得到答案．
【详解】的倒数是
故选：B．
【点睛】本题考查了倒数的知识；解题的关键是熟练掌握倒数的性质，从而完成求解．
2. 2023年2月24日下午，中国载人航天工程三十年成就展在国家博物馆正式开展，面向社会公众全面系统展示中国载人航天工程三十年发展历程和建设成就．下列有关航空航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是中心对称图形的识别．根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：选项A、B、C不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
3. 据报道，2019年广东省的GDP接近10.8万亿，将10.8万亿用科学记数法表示为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：10.8万亿用科学记数法表示为：．
故选：D．
【点睛】此题主要考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4. 下列运算正确的是
A. 3a2－a2＝3B. (a2)3＝a5C. a3·a6＝a9D. (2a2)2＝4a2
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：A正确答案为2a2；B．正确答案为a6 ； C．正确；D正确答案为4a4．
5. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A. 函数图象的开口向下B. 函数图象的顶点坐标是
C. 该函数有最大值，最大值是5D. 当时，y随x的增大而增大
【答案】D
【解析】
【分析】由抛物线的表达式和函数的性质逐一求解即可．
【详解】解：对于y=（x-1）2+5，
∵a=1>0，故抛物线开口向上，故A错误；
顶点坐标为（1，5），故B错误；
该函数有最小值，最小值是5，故C错误；
当时，y随x的增大而增大，故D正确，
故选：D．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
6. 为了保护环境加强环保教育，某中学组织学生参加义务收集废旧电池活动，下面是随机抽取40名学生对收集废旧电池的数量进行的统计：
请根据学生收集到的废旧电池数，判断下列说法正确的是（ ）
A. 样本为40名学生B. 众数是11节
C. 中位数是6节D. 平均数是5.6节
【答案】D
【解析】
【分析】根据样本定义可判定A，利用众数定义可判定B，利用中位数定义可判定C，利用加权平均数计算可判定D即可．
【详解】解：A. 随机抽取40名学生对收集废旧电池的数量是样本，故选项A样本为40名学生不正确；
B. 根据众数定义重复出现次数最多的数据是5节或6节，故选项B众数是11节不正确，
C. 根据中位数定义样本容量为40，中位数位于两个位置数据的平均数，第20位、第21位两个数据为5节与6节的平均数节，故选项C中位数是6节不正确；
D. 根据样本平均数节
故选项D平均数是5.6节正确．
故选择：D．
【点睛】本题考查样本，众数，中位数，平均数，熟练掌握样本，众数，中位数，平均数是解题关键．
7. 如图，AB、BC为的两条弦，连接OA、OC，点D为AB的延长线上一点，若，则的度数为（ ）

A. 100°B. 118°C. 124°D. 130°
【答案】C
【解析】
【分析】根据∠CBD的度数可先求出弧AC所对应的圆周角的度数，进而可得答案．
【详解】解：如图，在优弧AC上取点P，连接PA，PC
∵
∴
∴
故选：C．
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质与圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
8. 如图，这是一把折叠椅子及其侧面的示意图，线段和相交于点，点在的延长线上，测得，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，先根据已知条件得到，即可求得角度．
【详解】解：∵，
∴，即，
又∵，
∴，
即，
∴，
故选：A．
9. 如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，若，则下列四个结论：①，②，③，④．
正确结论的个数为（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数对称性，即可判断①；由开口方向和对称轴即可判断②；根据抛物线与x轴的交点已经x=-1时的函数的取值，即可判断③；根据抛物线的开口方向、对称轴，与y轴的交点以及a－b＋c＜0，即可判断④．
【详解】∵对称轴为直线x=1，-2∴3＜x2＜4，①正确，
∵ = 1，
∴b=- 2а，
∴3a＋2b= 3a-4a= -a，
∵a＞0，
∴3a+2b<0，②错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2 - 4ac > 0，根据题意可知x=-1时，y<0，
∴a－b＋c<0，
∴a＋c∵a＞0，
∴b=-2a<0，
∴a＋c<0，
∴b2 -4ac > a+ c，
∴b2＞a＋c＋4ac，③正确；
∵抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方，
∴a＞0，c<0，
∴a>c，
∵a-b＋c<0，b=-2a，
∴3a+c<0，
∴c<-3a，
∴b=–2a，
∴b＞c，以④错误；
故选B
【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的对称性．
10. 如图，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB与CD之间的距离为4，AD＝5，CD＝3，∠ABC＝45°，点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB向终点B方向移动，在移动过程中始终保持PQ⊥AB，已知点P的移动速度为每秒1个单位长度，设点P的移动时间为x秒，△APQ的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依次分析当、、三种情况下的三角形面积表达式，再根据其对应图像进行判断即可确定正确选项．
【详解】解：如图所示，分别过点D、点C向AB作垂线，垂足分别为点E、点F，
∵已知AB∥CD，AB与CD之间的距离为4，
∴DE=CF=4，
∵点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB向终点B方向移动，在移动过程中始终保持PQ⊥AB，
∴PQ∥DE∥CF，
∵AD=5，
∴,
∴当时，P点在AE之间，此时，AP=t，
∵,
∴，
∴，
因此，当时，其对应的图像为，故排除C和D；
∵CD＝3，
∴EF=CD=3，
∴当时，P点位于EF上，此时，Q点位于DC上，其位置如图中的P1Q1，则，
因此当时，对应图像为，即为一条线段；
∵∠ABC＝45°，
∴BF=CF=4，
∴AB=3+3+4=10，
∴当时，P点位于FB上，其位置如图中的P2Q2，此时，P2B=10-x，
同理可得，Q2P2=P2B=10-x，
，
因此当时，对应图像为，其为开口向下的抛物线的的一段图像；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的推论、勾股定理、平行线的性质、三角形的面积公式、二次函数的图像等内容，解决本题的关键是牢记相关概念与公式，能分情况讨论等，本题蕴含了数形结合与分类讨论的思想方法等．
二．填空题（共5小题）
11. 因式分解： ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．先提取公因式，再利用完全平方公式即可．
【详解】原式
，
故答案为：．
12. 已知正n边形的一个外角是45°，则n＝____________
【答案】8
【解析】
【分析】根据正多边形的外角和的特征即可求出多边形的边数．
【详解】解：．
所以的值为8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查多边形的外角和的特征，解题的关键是掌握多边形的外角和等于，是基础题型．
13. 若m是方程的一个根．则的值为 ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，求代数式的值．根据一元二次方程解的定义可得，再代入，即可求解．
【详解】解：∵m是方程的一个根，
∴，即，
∴
．
故答案为：．
14. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降________米，水面宽8米．
【答案】##
【解析】
【分析】根据已知得出直角坐标系，通过代入A点坐标（3，0），求出二次函数解析式，再根据把x=4代入抛物线解析式得出下降高度，即可得出答案．
【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，由题意可得：AO=OB=3米，C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，把点A点坐标（3，0）代入得，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为：；
当水面下降，水面宽为8米时，有
把代入解析式，得；
∴水面下降米；
故答案为：；
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
15. 如图，函数在第一象限内的图象绕坐标原点顺时针旋转后，和过点，，的直线相交于点、，若的面积是，则的值为__．
【答案】．
【解析】
【分析】由题意点，，可知：，建立新的坐标系：为轴，为轴，设，，，，利用根与系数的关系和的面积是，可得结论．
【详解】解：连接，，过作轴于，过作轴于，
点，，，
，，
，，
，
同理得：，，
，
，
函数在第一象限内的图象绕坐标原点顺时针旋转，
建立新的坐标系：为轴，为轴，
则旋转后的函数解析式为：，
在新的坐标系中，，，
设直线的解析式为：，
则，解得，
直线的解析式为：，
设，，，，
由得：，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：．
【点睛】本题考查坐标与图形的性质，旋转的性质，反比例函数的性质等知识，解题的关键是学会建立新的坐标系解决问题，属于中考填空题的压轴题．
三．解答题（共10小题）
16. 解一元一次不等式组，并把解表示在数轴上．
【答案】，图见解析
【解析】
【分析】分别解不等式组中的两个不等式，再利用数轴确定解集的公共部分，从而可得答案．
【详解】解：
由①得：．
由②得，，
∴，
解得：．
把两个不等式的解表示在数轴上，如图．
∴原不等式组的解是．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组是解法，掌握“一元一次不等式组的解法步骤”是解本题的关键．
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后再将代入计算即可解答．
【详解】解：
．
当时，
原式．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质及其运算、分母有理化，正确的化简分式是解答本题的关键．
18. 已知：如图，，，是的延长线上一点．
求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【解析】
【分析】()根据推出，根据全等三角形的性质得出即可；
()根据推出，根据全等三角形的性质得出即可；
本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
【小问1详解】
在和中
，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴．
19. 中国共产党的助手和后备军----中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务，成立一百周年之际，各中学持续开展了A：青年大学习；B：青年学党史；C：中国梦宣传教育：D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项参加，为了解学生参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图．

请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）若该校共有学生名，请估计参加项活动的学生数；
（3）小王和小林参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据项活动的人数除以占比，得出抽取的人数，进而求得的人数，补全统计图；
（2）用1180乘以B项活动学生的占比即可求解；
（3）根据画树状图法求概率即可．
【小问1详解】
在这次调查中，一共抽取了学生
（名），
（名），补全条形统计图如下：
【小问2详解】
（名），故估计参加项活动的学生为名；
【小问3详解】
画树状图如下：

共有种等 可能的结果，其中小王和小林参加同一项活动的结果有种，
小王和小林参加同一项活动的概率为．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，画树状图法求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20. 某文具店王老板用240元购进一批笔记本，很快售完；王老板又用600元购进第二批笔记本，所购本数是第一批的2倍，但进价比第一批每本多了2元．
（1）第一批笔记本每本进价多少元？
（2）王老板以每本12元的价格销售第二批笔记本，售出60%后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批笔记本的销售总利润不少于48元，剩余的笔记本每本售价最低打几折？
【答案】（1）第一批笔记本每本进价为8元；（2）剩余的笔记本每本最低打七五折．
【解析】
【分析】（1）设第一批笔记本每本进价为元，则第二批每本进价为元，则第一批购进本，第二批购进本，结合第二批的数量等于第一批的2倍，列方程，解方程即可；
（2）由（1）得第二批购进60本，设剩余的笔记本每本最低打折，由第二批笔记本的销售总利润不少于48元，列不等式，再解不等式可得答案.
【详解】解：（1）设第一批笔记本每本进价为元，则第二批每本进价为元
由题意得：
解之得：
经检验为原方程的解
答：第一批笔记本每本进价为8元．
（2）设剩余的笔记本每本最低打折，而第二批购进本，
由题意得：
解之得：
答：剩余的笔记本每本最低打七五折
【点睛】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，熟悉购买数量等于购买总金额除以单价，每本笔记本的利润乘以销售的数量等于总利润是解本题的关键.
21. 如图，在四边形中，，对角线交于点平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）利用平行线和角的平分线，证明，继而判断四边形是平行四边形，结合得证．
（2）利用勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，计算即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
【小问2详解】
解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
22. 定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．

（1）如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“梦之点”的是___________；
（2）点是反比例函数图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是___________，直线的解析式是___________．当时，x的取值范围是___________．
（3）如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点，连接，，，判断的形状，并说明理由．
【答案】（1），
（2），，或
（3）是直角三角形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形内部或边上即可；
（2）把代入求出解析式，再求与的交点即为，最后根据函数图象判断当时，x的取值范围；
（3）根据“梦之点”的定义求出点A，B的坐标，再求出顶点C的坐标，最后求出，，，即可判断的形状．
【小问1详解】
∵矩形的顶点坐标分别是，，，，
∴矩形“梦之点”满足，，
∴点，是矩形“梦之点”，点不是矩形“梦之点”，
故答案为：，；
【小问2详解】
∵点是反比例函数图象上的一个“梦之点”，
∴把代入得，
∴，
∵“梦之点”的横坐标和纵坐标相等，
∴“梦之点”都在直线上，
联立，解得或，
∴，
∴直线的解析式是，
函数图象如图：

由图可得，当时，x的取值范围是或；
故答案为：，，或；
【小问3详解】
是直角三角形，理由如下：
∵点A，B是抛物线上的“梦之点”，
∴联立，解得或，
∴，，
∵
∴顶点，
∴，，，
∴，
∴是直角三角形．
【点睛】本题是函数的综合题，考查了一次函数、反比例函数、二次函数，理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式，正确理解新定义是解决此题的关键．
23. 如图，已知，是的直径，，与的边，分别交于点，，连接并延长，与的延长线交于点，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的值；
（3）在（2）的条件下，若的平分线交于点，连接交于点，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）连接DF，由圆周角性质可得，则利用平行线的判定与性质可得，再根据等腰三角形性质及直角三角形性质可推出，即可证得结论；
（2）由相似三角形的判定可得，则推出，由得出，可利用勾股定理求得，即可求出的值；
（3）连接MN，并延长CO与AF，分别相交于点P，点Q，连接AQ，利用（2）所得结论及已知分别求得，，，，，，再由相似三角形的判定及性质可推出，代入求值后即可求得的值．
【小问1详解】
证明：如图，连接DF，
∵是的直径，
∴．
∴DF∥AE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥OC．
∴DF∥OC．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴是的切线；
【小问2详解】
解：∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
设，则．
由勾股定理得，
即，
解得，（不合题意，舍去）．
∴．
∵，
∴；
【小问3详解】
解：连接MN，并延长CO与AF，分别相交于点P，点Q，连接AQ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，AB∥OC．
∴，
∵平分，
∴．
∴．
∴．
∵
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵AB∥OC，
∴．
∴．
∵，
∴．
在Rt△APO中，由勾股定理得．
∴．
在Rt△APH中，由勾股定理得．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题属于圆的综合问题，考查了圆周角定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质及求角的三角函数值等知识，熟练掌握圆的相关知识及相似三角形的判定与性质等知识是解题的关键．
24. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于两点，与y轴交于点，顶点为点G，连接，点P为直线上方抛物线上一动点，连接交于点M．
（1）求抛物线的函数表达式及顶点G的坐标；
（2）当的值最大时，求点P的坐标及的最大值；
（3）如图2，在（2）的条件下，是此抛物线对称轴上长为2的一条动线段（点E在点F上方），连接，当四边形周长取最小值时，求点E的坐标；在此条件下，以点G、E、H、P为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点H的坐标．
【答案】（1），
（2）的最大值，此时
（3），）或或
【解析】
【分析】（1）先运用待定系数法求得函数解析式，然后再化成顶点式即可解答；
（2）过点A作x轴垂线交直线于点F，过点P作x轴的垂线交直线于点E，再求得设直线的解析为，设，则；进而说明，即当取得最大值时取得最大值，再根据二次函数求得的最值即可解答；
（3）四边形中，边与为定值，即当最小时，四边形的周长最小．将点A向上平移2个单位得到，作点C关于对称轴的对称点，连接，与对称轴的交于点．当点E运动到和点重合时最小，运用待定系数法求出直线的解析式为，将代入可求得点；然后分为平行四边形的对角线，为平行四边形的对角线，为平行四边形的对角线时三种情况分别求解即可．
【小问1详解】
解：将代入，
得，解得：，
∴抛物线的函数表达式为，
∵，
∴顶点G的坐标为．
【小问2详解】
解：过点A作x轴的垂线交直线于点F，过点P作x轴的垂线交直线于点E，
∴，
∴，
∴，
∵，
设直线的解析为，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴当取得最大值时取得最大值，
∵，
∴当时，有最大值3，
∴，
∴的最大值，此时．
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴四边形中，边与为定值，
∴当最小时，四边形的周长最小．
将点A向上平移2个单位得到，作点C关于对称轴的对称点，连接，与对称轴的交于点．
∴当点E运动到和点重合时最小，
∵，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线解析式为，
将代入，则，
∴点，
设，
①当为平行四边形的对角线时，
∵，
∴，解得：，
∴；
②当为平行四边形的对角线时，
∵，
∴，解得：，
∴；
③当为平行四边形的对角线时，
∵，
∴，，解得：，
∴．
综上所述，点H的坐标为）或或．
【点睛】本题主要考查了待定系数法、二次函数的图象和性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握中点坐标公式并灵活运用数形结合思想、分类讨论思想是解题关键．
废旧电池数/节
4
5
6
7
8
人数/人
9
11
11
5
4