2023年广东省东莞市厚街海月学校中考数学模拟试卷（一）（含解析）

2023年广东省东莞市厚街海月学校中考数学模拟试卷（一）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列整式计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  在一个不透明纸箱中放有张外形完全相同的卡片，分别标有数字，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之积为偶数的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如果线段和线段分别是边上的中线和高，那么下列判断正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  关于的一元二次方程的解为，，则代数式的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，扇形中，，点，分别在，上，连接，，点，关于直线对称，的长为，则图中阴影部分的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  二次函数的图象与轴正半轴交于，对称轴为直线有以下结论：；；若点，，均在函数图象上，则；若方程的两根为，，且，则，其中结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  计算： ______ ．

12.  比较大小：______．

13.  劳动教育是全面发展教育体系的重要组成部分，是大中小学必须开展的教育活动某校积极响应，开设校园农场七年级学生共收获农产品，八年级学生共收获农产品，已知八年级学生比七年级学生人均多收获农产品，七年级学生人数是八年级学生人数的倍求七、八年级各有多少名学生若设八年级有名学生，则可列分式方程为______ ．

14.  如图，在平行四边形中，，是边的中点，是平行四边形内一点，且连接并延长，交于点若，，则的长为______ ．

15.  如图，菱形的对角线相交于点，点，分别是线段，上的动点，且，若，，则的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

17.  本小题分
解方程组：．

18.  本小题分
如图，在等腰三角形中，，点是中点，点是中点，过点作交的延长线于点，连接．
求证：四边形是矩形．

19.  本小题分
为提高学生数学运算能力核心素养，某中学开展了速算能力竞赛为了解学生某一周的计算训练情况，学校随机抽取部分学生，并对该周学生计算训练次数进行了统计，绘制成两幅尚不完整的统计图，如图．

本次抽取的学生共______ 人，抽取学生这周训练次数的众数是______ ，中位数是______ ；
请先计算，再将条形统计图补充完整．
若规定周训练次以上含次者为“数学学习优秀学员”，则该校七年级名学生中估计有多少人为“数学学习优秀学员”？

20.  本小题分
某超市销售的红豆进价为每千克元当红豆每千克售价为元时，日销售量为千克该超市为扩大销售量、增加经营利润，计划采取降价的方式进行促销经市场调查发现，当红豆每千克售价每下降元时，日销售量就会增加千克．
当红豆每千克售价是元时，日销售量是多少千克？
该商场计划每日销售红豆获利元，则红豆售价应定为每千克多少元？

21.  本小题分
在平面直角坐标系中，过点分别作轴，轴的垂线，与反比例函数的图象分别交于点，，直线与轴相交于点．
当时，求线段，的长．
当时，求的值．

22.  本小题分
如图，中，，，点是中点，与，分别相交于点，，延长交于点，，连结，．
求证：直线是的切线．
证明：．
求的长．

23.  本小题分
如图，在中，点是边上任意一点不与，重合，连接，过点作于点，连接，点为中点，连接，．

当时，判断四边形的形状，并证明．
点在线段上的什么位置时，的面积最大？请说明理由．
如图中的绕点旋转到如图所示位置，得到，使得点在直线上，连接，点为中点，与交于点，其他条件不变求证：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查的是倒数的定义，乘积是的两数互为倒数．
根据倒数的定义解答即可．
【解答】
解：的倒数是．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：点关于轴对称的点的坐标是
故选：．
根据关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点关于轴的对称点的坐标是，进而得出答案．
此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确掌握关于轴对称的横纵坐标符号关系是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据二次根式的性质，被开方数大于或等于，
可知：，即时，二次根式有意义．
故选：．
根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式即可．
本题考查了二次根式的概念和性质：概念：式子叫二次根式；性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 

4.【答案】 

【解析】解：，故A错误，不符合题意；
，，故B正确，符合题意；
，故C错误，不符合题意；
，故D错误，不符合题意；
故选：．
根据整式的相关运算法则逐项判断即可．
本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．
 

5.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，两次摸出的数字之积为偶数的结果有种，
两次摸出的数字之积为偶数的概率为，
故选：．
画树状图，共有种等可能的结果，两次摸出的数字之积为偶数的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题主要考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
故选：．
根据平行线的性质及角的和差求解即可．
此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等是解题的关键”．
 

7.【答案】 

【解析】解：线段是边上的高，
，
由垂线段最短可知，，
故选：．
根据三角形的高的概念得到，根据垂线段最短判断．
本题考查的是三角形的角平分线、中线和高的概念，掌握垂线段最短是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程的解为，，
，解得，
，
故选：．
根据根与系数的关系得到，解得，代入代数式即可求得结果．
本题考查根与系数的关系，解答本题的关键是明确根与系数的关系，若方程的两根为，，则和．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接、，交与，
由题意可知，，
，
，
，
，
，
的长为，
，
，
，
，，

阴影部分的面积．
故选：．
连接、，交与，根据对称求出，求出是等边三角形，求出，求出根据弧长公式求出，根据阴影部分的面积求得即可．
本题考查了轴对称的性质，扇形面积的计算，弧长公式的计算，等边三角形的性质和判定，解直角三角形等知识点，能综合运用知识点进行计算是解此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象与轴正半轴交于，对称轴为直线，
，
，
由题意可知，，
，
，故正确；
由题意可知，当时，，
，即，故正确；
抛物线开口向下，离对称轴水平距离越大，值越小；
又，，，
；故正确；
由抛物线对称性可知，抛物线与轴另一个交点为，
抛物线解析式为：，
方程的两根为，，
抛物线与直线有两个交点，，
由二次函数的性质可知；故错误；
故选：．
根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．
本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，抛物线与轴的交点，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接利用负整数指数幂的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，
，
．
故答案为：．
将两数进行平方，然后比较大小即可．
本题考查了实数的大小比较，注意运用平方法比较两个正数的大小．属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：依题意有：．
故答案为：．
求的是初中七年级和八年级学生人数，本题的关键描述语是：七年级学生人数是八年级学生人数的倍．等量关系为：八年级学生比七年级学生人均多收获农产品．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：

如图所示，延长交于点．
▱中，，，是的中点已知，
，；即，平行四边形的性质：平行四边形对边平行且相等．
即，
四边形是平行四边形平行四边形的判定；平行的传递性，
，．
，且是的中点，
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
．
，
．
已知，
．
，
，
，即是一个直角三角形．
，即，
．
故答案为．
根据题意构造出包含的图形，通过推断证明该图形的特征，利用四边形及三角形的相关性质进行计算得出答案．
本题考查了几何构图的能力，平行四边形的性质，三角形勾股定理的运用．
 

15.【答案】 

【解析】解：以为边作使≌，则，，
，当、、三点一线时，取最小值，最小值为，
连接，与分别交于点，此时如图所示，

菱形中，，
，，，
，，
四边形是菱形，
，，，
，
又，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
∽，
，即，
解得：，
，
即的最小值为，
故答案为：．
以为边作使≌，则，，，当、、三点一线时，取最小值，可取最小值为，易证≌，进而可得根据，，，根据勾股定理得，再由∽，得，从而可得，由此解题．
此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用数形结合的思想是解题关键．
 

16.【答案】解：原式

，
当时，原式． 

【解析】原式括号中利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

17.【答案】解：原方程组化为：，
得：，
，
把代入得：，
，
原方程组的解是． 

【解析】原方程组化为：，求出，把代入求出即可．
本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程，关键是能把二元一次方程组转化成一元一次方程．
 

18.【答案】证明：，
，
点是中点，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形，
，点是中点，
，
，
平行四边形是矩形． 

【解析】证≌，得，再证四边形是平行四边形，然后由等腰三角形的性质得，则，即可得出结论．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
 

19.【答案】     

【解析】解：本次抽取的学生有人，
阅读次的人数为，
阅读次数的众数为，中位数为，
故答案为：，，；
补全图形如下：

名．
答：该校七年级名学生中估计“数学学习优秀学员”的人数大约为名．
由次人数及其所占百分比可得总人数，先求出阅读次的人数，再根据众数和中位数的定义求解即可；
根据以上所求结果即可补全图形；
用总人数乘以样本中阅读、、次人数所占比例即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、众数、中位数以及用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

20.【答案】解：根据题意得：千克．
答：当红豆每千克售价是元时，日销售量是千克；
设红豆售价应定为每千克元，则每千克的销售利润为元，日销售量为千克，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：则红豆售价应定为每千克元． 

【解析】利用日销售量，即可求出结论；
设红豆售价应定为每千克元，则每千克的销售利润为元，日销售量为千克，利用每日销售红豆获得的总利润每千克的销售利润日销售量，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

21.【答案】解：当时，反比例函数为，
把代入得，，把代入得，，
，，．
，；
点，
，，，
，，
，
，
解得． 

【解析】分别把，分别代入解析式求得对应的函数值和自变量的值，即可求得，，，从而求得，；
根据，即可得出，解得即可．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，表示出点的坐标是解题的关键．
 

22.【答案】证明：连接，如图，

，点是中点，
．
．
．
，为圆的直径，
的半径为．
是的半径，
，
直线是的切线；
证明：连接，，如图，

，，
．
，
∽．
．
．
，
．
．
．
，
．
∽．
．
；
解：设与交于点，如图，

，，
．
．
，
．
．
．
．
，
．
为的直径，
．
．
，
． 

【解析】连接，利用等腰三角形的三线合一可得；通过计算得到的长度等于圆的半径，利用切线的判定定理即可得出结论；
连接，，利用相似三角形的判定与性质可得，利用垂径定理和圆周角定理可得；通过判定∽，利用相似三角形的性质即可得出结论；
设与交于点，利用平行线的性质和勾股定理求得的长，利用中的结论，将，的长代入即可求得结论．
本题主要考查了圆的切线的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，连接，，添加恰当的辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】解：四边形是菱形，理由如下：
，，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，点是的中点，
，
，
四边形是菱形；
解：当时，的面积最大，理由如下：
设，，则，，，，，，
点是中点，
，
当时，有最大值，
当时，的面积最大；
证明：作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，，，

则，，，，
，
由可得：，
和是等边三角形，
，
≌，
，
点是的中点，，
，
． 

【解析】由锐角三角函数可求，由直角三角形的性质可求，可证，可得，可得结论；
设，，有三角形的面积公式和二次函数的性质可求解；
由“”可证≌，可得，由三角形中位线定理可得，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，二次函数的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．