2024年广东省东莞市中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在各题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．
1. 2024的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了倒数的定义，根据互为倒数的两个数乘积为1，进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：∵
∴2024的倒数是
故选：A．
2. 月球与地球之间的平均距离约为384000千米，数据384000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
【详解】数据384000用科学记数法表示为．
故选：B．
3. 如图是由四个小正方体叠成的一个立体图形，那么它的主视图是（ ）.

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】解：从正面看易得第一层有3个正方形，第二层中间有1个正方形．
故选C．
【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法和除法，幂的乘方，积的乘方，分别根据相应的运算法则计算即可．
【详解】A. ，故选项A错误.
B.， 故选项B错误.
C. ，故选项C错误.
D. ，故选项D正确.
故选D.
【点睛】本题考查了整式的运算，关键是掌握同底数幂的乘法和除法，幂的乘方，积的乘方的运算法则．
5. 将一块含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了“两直线平行，内错角相等”的性质．熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质可得，再根据角的和差即可求出的度数．
【详解】
，
，
．
故选：C．
6. 在，，，，这五个数中，无理数的个数为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】根据无理数的定义，“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可．
【详解】解：在，，，，中，
，，是有理数，，，，是无理数，共2个，
故选：A．
【点睛】本题考查了无理数，求一个数的立方根，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数．
7. 甲、乙是两个不透明的纸箱，甲箱中有三张标有数字3，，5的卡片，乙箱中有三张标有数字1，2，3的卡片，卡片除所标数字外无其他差别．从甲箱中任取一张卡片，将其数字记为，从乙箱中任取一张卡片，将其数字记为．则数字，能使的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】画出表格，求出a与b的和即可求解．
【详解】如下表：
∵共有9种结果，使的结果有1种，
∴数字，能使的概率是．
故选A．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8. 对于反比例函数，下列结论不正确的是（ ）
A. 图象必经过点B. y随x的增大而增大
C. 图象在第二、四象限内D. 图象关于坐标原点中心对称
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，利用排除法求解即可．
【详解】解：A、把代入解析式得，所以点在函数图象上，故本选项正确，不符合题意；
B、，∴在每一个象限内，y随x的增大而增大，故本选项错误，符合题意；
C、，∴函数图象在二、四象限内，故本选项正确，不符合题意；
D、反比例函数的图象关于原点中心对称，故本选项正确，不符合题意．
故选：B．
9. 如图，四边形的点B，C，D都在上，分别与相切于B，D两点，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查圆周角定理、切线的性质．连接、，由与相切，可得，再由即可求解．
【详解】解：连接、，

、与相切，
，
，
，
，
故选：D．
10. 如图，等腰的直角边与正方形DEFG的边长均为2，且AC与DE在同一直线上，开始时点C与点D重合，让沿这条直线向右平移，直到点A与点E重合为止设CD的长为x，与正方形DEFG重合部分图中阴影部分的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）
A.
B.

C
D.

【答案】A
【解析】
【分析】由题意写出y与x之间的函数关系式可以得到其图象．
【详解】解：由题意可以得到y与x之间的函数关系式为：
，
所以y与x之间的函数关系的图象大致是：
故选A ．
【点睛】本题考查函数及其图象，由题意列出函数关系式是解题关键．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应位置．
11. 计算：_____________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的运算，负整数指数幂和零指数幂，先计算零指数幂和负整数指数幂，再计算立方根，最后计算加减法即可得到答案．
【详解】解：
，
故答案为：．
12. 一个等腰三角形的两边长分别是和，这个等腰三角形的周长是____________．
【答案】16或17##17或16
【解析】
【分析】考查了等腰三角形的性质与三角形三边关系．由等腰三角形两边长为和，分别从等腰三角形的腰长为和去分析即可求得答案，注意分析能否组成三角形．
【详解】解：若等腰三角形的腰长为，底边长为，
∵，
∴能组成三角形，
∴它的周长是：；
若等腰三角形的腰长为，底边长为，
∵，
∴能组成三角形，
∴它的周长是：．
∴它的周长是：或．
故答案是：16或17
13. 不等式组的解集是____________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据去分母，移项，系数化为1，进行计算即可得．
【详解】解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解不等式组，解题的关键是掌握正确求解．
14. 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．欧几里得在《几何原本》中曾对该图做了深入研究，如图，在中，，分别以的三条边为边向外作正方形，连接BF，CD，过点C作于点M，若，，则的面积为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形全等的判定定理和性质定理，含30度角直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
先由已知条件利用的三角形全等的判定定理证出，然后得到，，进而得到，，然后利用勾股定理求出，最后利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：∵四边形和四边形是正方形
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
，
，
，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的面积．
故答案为：．
15. 有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是5，可发现第1次输出的结果是16，第2次输出的结果是8，第3次输出的结果是4．依次继续下去，第2024次输出的结果是____________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查数字类规律探究，根据题目所给运算程序，先计算出前几次输出结果，得出一般规律：从第3次开始，输出结果每3次按照4，2，1的顺序循环，即可解答．
【详解】解：根据题意可得：
第1次输出的结果是，
第2次输出结果是，
第3次输出的结果是，
第4次输出的结果是，
第5次输出的结果是1，
第6次输出的结果是，
……
从第3次开始，数出结果每3次按照4，2，1的顺序循环，
∵，
∴第2024次输出的结果与第5次输出的结果相同，即为1，
故答案：1．
三、解答题（一）（本大题共4小题，共26分）
16. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【解析】
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【详解】解：
，
当时，原式．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
17. 如图，在中，．
（1）请用尺规作图，作的平分线，与BC交于点D；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，，求的面积．
【答案】（1）详见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查作图-基本作图，角平分线的性质定理，
（1）根据角平分线的作图步骤画出图形即可；
（2）根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可得到结论．
【小问1详解】
解：如图，AD即为所求．
【小问2详解】
解：如图，作交于E，
∵平分，，
∴．
∴的面积为．
18. 电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少元．若充电费和加油费均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．
【答案】这款电动汽车平均每公里的充电费用为元
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设这款电动汽车平均每公里的充电费用为元，则燃油车平均每公里的加油费为元，根据电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，列出方程，解方程即可．
【详解】解：设这款电动汽车平均每公里充电费用为元，则燃油车平均每公里的加油费为元，
根据题意，得：，
解得：（或）
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：这款电动汽车平均每公里的充电费用为元．
19. 6月14日是“世界献血日”，某市组织市民义务献血．献血时要对献血者的血型进行检测，检测结果有“A型”、“B型”、“AB型”、“O型”4种类型．在献血者人群中，随机抽取了部分献血者的血型结果进行统计，并根据这个统计结果制作了两幅不完整的图表：
（1）这次随机抽取的献血者人数为________人，________；
（2）本次抽取的样本中，A型部分所占的圆心角的度数是________°；
（3）若这次活动中该市有3000人义务献血，请你根据抽样结果估计这3000人中大约有多少人是A型血？
【答案】（1）50，20；
（2）86.4 （3）3000人中大约有720人是A型血
【解析】
【分析】（1）用AB型的人数除以它所占的百分比得到随机抽取的献血者的总人数，然后计算m的值；
（2）计算出A型人数百分比，从而可计算出A型部分所占的圆心角的度数；
（3）用3000乘以此百分比可估计这3000人中是A型血的人数．
【小问1详解】
这次随机抽取的献血者人数为5÷10%=50（人），
所以m=×100=20；
故答案为50，20；
【小问2详解】
A型献血的人所占百分比为：1-46%-10%-20%=24%，
A型部分所占的圆心角的度数是：，360°×24%=86.4°，
故答案为∶ 86.4；
【小问3详解】
这3000人中大约是A型血约有：3000×24%=720（人）．
【点睛】本题考查了用样本估计总体、统计表、扇形统计图，解决本题的关键是综合运用以上知识．
四、解答题（二）（本大题共3小题，共25分）
20. 如图，在矩形中，
（1）如图一，以为折痕将折叠，点D落在点F的位置，与交于点E，求证：是等腰三角形；
（2）如图二，点G为上一点，以为折痕将折叠，点D落在点F的位置，与的交点E，连接交于点H，连接，，求证：四边形是菱形．
【答案】（1）详见解析
（2）详见解析
【解析】
【分析】（1）根据折叠性质得到，根据矩形性质结合平行线性质得到，利用等角对等边即可得证；
（2）利用折叠性质以及平行线性质得到四边形是平行四边形，再根据即可得证．
小问1详解】
证明：以为折痕将折叠，
，
在矩形中，，
，
，
，
是等腰三角形；
【小问2详解】
证明：以为折痕将折叠，
，，
，
，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，等腰三角形的判定，菱形的判定，平行线的性质，熟练掌握相关性质定理是解答本题的关键．
21. 如图，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点B，点B的横坐标为1，连接，过点B作轴于点C．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）设点D是x轴上一点，使得，求点D的坐标．
【答案】（1），
（2）点D的坐标为或
【解析】
【分析】本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
（1）把点代入一次函数中，解得，进而可得点B的坐标为，再利用待定系数法解答即可；
（2）根据坐标求得，可知，再根据，得，即可求解．
【小问1详解】
解：把点代入一次函数中，
得，解得，
∴一次函数的解析式为．
把点B的横坐标代入中，得，
∴点B的坐标为，
∵点B为一次函数和反比例函数图象的交点，
∴把点代入反比例函数中，得，
∴反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
∵，，轴，
∴，，，
∴，
∴，
∵，∴，
∵，
∴点D的坐标为或．
22. 图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角．
（参考数据：）．
（1）求点P到地面的高度；
（2）当挖掘机挖到地面上的点时，，求．
【答案】（1）点到地面的高度为；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）过点作，延长交于，易知四边形为矩形，则，，进而可求得答案；
（2）由（1）可知，四边形为矩形，则，求得进而可得,据此求解可得答案．
【小问1详解】
解：过点作于H，延长交于，
则四边形为矩形，
∴，，
则，
∴点到地面的高度：，
即点到地面的高度为；
【小问2详解】
解：由（1）可知，四边形为矩形，
则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴,
∴．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
23. 如图所示，在的内接中，，，作于点P，交于另一点B，点C是弧上的一个动点（不与A，M重合），射线交线段的延长线于点D，分别连接和，交于点E．
（1）求证：．
（2）若，，求BC的长．
【答案】（1）详见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用圆周角定理得到，再利用两角分别相等即可证明相似；
（2）连接，先证明是直径，再求出和的长，接着证明，利用相似三角形的性质求出和，再利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：连接，
∵，
∴是直径，
∵，
∴，
∵，且
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴
∴，即
由，
∴，
∴，
∴
∴．
【点睛】本题考查了圆的相关知识、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识，涉及到了动点问题，解题关键是构造相似三角形，正确表示出各线段并找出它们的关系．
24. 如题，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，连接，．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点为抛物线的对称轴上一动点，当周长最小时，求点的坐标．
（3）点是的中点，射线交抛物线于点，是抛物线上一动点，过点作轴的平行线，交射线与点，是否存在点使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，点的坐标为或
【解析】
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）点关于对称轴的对称点为点，连接交对称轴于点，连接，此时最小，得出直线的解析式为，当时，，得出即可求解；
（3）分两种情况：，，根据相似三角形的性质，即可求解．
【小问1详解】
解：把点，分别代入，
得解得
∴抛物线的解析式为．
【小问2详解】
∵，
∴对称轴为直线
点关于对称轴的对称点为点，连接交对称轴于点，连接，此时最小，
当时，，
∴点．
设直线的解析式为，代入得
∴
∴直线的解析式为
当时，，
∴点．
【小问3详解】
存在．
∵，是的中点，
．
又，
∴直线的解析式为，．
联立得．
解得，（舍）．
当时，．
∴．
设，则．
∴．
分以下两种情况：
①如图2，若，则，．
∴轴．
∴．
∴．
解得或（舍）．
∴．
②如图3，若，则，．
过点作于点，则，
即．
解得或（舍）．
∴．
综上，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求二次函数解析式，线段周长问题以及相似三角形的性质，解题的关键是求出二次函数解析式．
1
2
3
3
4
5
6
0
1
5
6
7
8
血型
A
B
AB
O
人数
*
10
5
*