湘教版（2019）高中数学必修一 章末质量检测(4)幂函数、指数函数和对数函数

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章末质量检测(四)　幂函数、指数函数和对数函数考试时间：120分钟　 满分：150分一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知a>0，则a eq \s\up6(\f(1,4)) ·a－ eq \f(3,4) 等于(　　)A．a－ eq \f(1,2)  B．a－ eq \f(3,16)  C．a eq \s\up6(\f(1,3))  D．a2．方程2x－1＋x＝5的解所在的区间是(　　)A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1))  B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2))  C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，3))  D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，4)) 3．函数y＝ eq \r(lg x) ＋lg (5－3x)的定义域是(　　)A． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,3)))  B． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5,3)))  C． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,3)))  D． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(5,3))) 4．设a＝log20.3，b＝30.2，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系是(　　)A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a5．函数f(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) x2－1的单调递增区间为(　　)A． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，0))  B． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，＋∞))  C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，＋∞))  D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－1)) 6．函数f(x)＝ eq \f(ex＋1,|x|（ex－1）) (其中e为自然对数的底数)的图象大致为(　　)7．1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为历史上的珍闻．若2x＝ eq \f(5,2) ，lg 2＝0.301 0，则x的值约为(　　)A．1.322 B．1.410 C．1.507 D．1.6698．已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x，x≤0,ln \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1))，x>0)) ，若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是(　　)A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2，1] D．[－2，0]二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)9．若函数y＝xα的定义域为R且为奇函数，则α可能的值为(　　)A．－1 B．1 C．2 D．310．下列说法正确的是(　　)A．函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) ＝ eq \f(1,x) 在定义域上是减函数B．函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) ＝2x－x2有且只有两个零点C．函数y＝2|x|的最小值是1D．在同一坐标系中函数y＝2x与y＝2－x的图象关于y轴对称11．已知函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) ＝logax eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>0，a≠1)) 图象经过点(4，2)，则下列命题正确的有(　　)A．函数为增函数B．函数为偶函数C．若x>1，则f(x)>0D．若0b>c>0，满足f(a)f(b)f(c)<0，若实数x0是函数y＝f(x)的一个零点，那么下列不等式中可能成立的是(　　)A．x0a C．x00且a≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0].若函数g(x)＝ax＋m－3的图象不经过第一象限，则m的取值范围为________．16．已知函数f(x)＝3|x＋a|(a∈R)满足f(x)＝f(2－x)，则实数a的值为________；若f(x)在[m，＋∞)上单调递增，则实数m的最小值等于________．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)求下列各式的值：(1) ＋2log92－log3 eq \f(2,9) (2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,8)))  eq \s\up12(－\f(2,3)) ＋π0＋log2 eq \f(2,3) －log4 eq \f(16,9) 18.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝log2(x＋3)－2x3＋4x的图象在[－2，5]内是连续不断的，对应值表如下：(1)计算上述表格中的对应值a和b；(2)从上述对应填表中，可以发现函数f(x)在哪几个区间内有零点？说明理由．19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2x，x∈R.(1)若函数f(x)在区间[a，2a]上的最大值与最小值之和为6，求实数a的值；(2)若f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x))) ＝3，求3x＋3－x的值．20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝log4(4x－1).(1)求函数f(x)的定义域；(2)若x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)) ，求f(x)的值域．21．(本小题满分12分)科技创新在经济发展中的作用日益凸显．某科技公司为实现9 000万元的投资收益目标，准备制定一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到3 000万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，奖金总数不低于100万元，且奖金总数不超过投资收益的20%.(1)现有三个奖励函数模型：①f(x)＝0.03x＋8，②f(x)＝0.8x＋200，③f(x)＝100log20x＋50，x∈[3 000，9 000].试分析这三个函数模型是否符合公司要求？(2)根据(1)中符合公司要求的函数模型，要使奖金额达到350万元，公司的投资收益至少要达到多少万元？22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的图象经过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\r(3))) .(1)若函数F(x)＝－3f(x)＋10－m在区间(0，2)内存在零点，求实数m的取值范围；(2)若函数f(x)＝g(x)＋h(x)，其中g(x)为奇函数，h(x)为偶函数，若x∈(0，1]时，2ln h(x)－ln g(x)－t≥0恒成立，求实数t的取值范围．章末质量检测(四)　幂函数、指数函数和对数函数1．解析：a eq \s\up6(\f(1,4)) ·a－ eq \f(3,4) ＝＝a－ eq \f(1,2) .故选A.答案：A2．解析： 设f(x)＝2x－1＋x－5，则由指数函数与一次函数的性质可知，函数y＝2x－1与y＝x在R上都是递增函数，所以f(x)在R上单调递增，故函数f(x)＝2x－1＋x－5最多有一个零点，而f(2)＝22－1＋2－5＝－1<0，f(3)＝23－1＋3－5＝2>0，根据零点存在定理可知，f(x)＝2x－1＋x－5有一个零点，且该零点处在区间(2，3)内．故选C.答案：C3．解析：要使函数有意义，需满足 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lg x≥0,5－3x>0)) ，解得1≤x< eq \f(5,3) ，则函数的定义域为 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,3))) .故选C.答案：C4．解析：a＝log20.330＝1，c＝0.30.2<0.30＝1，且0.30.2>0，∴b>c>a.故选D.答案：D5．解析：令t＝x2－1，则y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) t，因为y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) t为单调递减函数，且函数t＝x2－1在 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，0)) 上递减，所以函数f(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) x2－1的单调递增区间为 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，0)) .故选A.答案：A6．解析：由题意，函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(－x)＝ eq \f(e－x＋1,|－x|（e－x－1）) ＝ eq \f(ex（e－x＋1）,|－x|（e－x－1）ex) ＝ eq \f(ex＋1,|x|（1－ex）) ＝－f(x)，即f(x)为奇函数，排除A，B；当x→＋∞时， eq \f(ex＋1,ex－1) →1， eq \f(1,|x|) →0，即x→＋∞时， eq \f(ex＋1,|x|（ex－1）) →0，可排除D，故选C.答案：C7．解析：∵2x＝ eq \f(5,2) ，∴x＝log2 eq \f(5,2) ＝ eq \f(lg 5－lg 2,lg 2) ＝ eq \f(1－2lg 2,lg 2) ＝ eq \f(1－2×0.301 0,0.301 0) ≈1.322.故选A.答案：A8．解析：作出y＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(f（x）)) 的图象如图，由对数函数图象的变化趋势可知，要使ax≤|f(x)|，则a≤0，且ax≤x2－2x(x<0)，即a≥x－2对任意x<0恒成立，所以a≥－2，综上－2≤a≤0.故选D.答案：D9．解析：当α＝－1时，幂函数y＝x－1的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，A不符合；当α＝1时，幂函数y＝x，符合题意；当α＝2时，幂函数y＝x2的定义域为R且为偶函数，C不符合题意；当α＝3时，幂函数y＝x3的定义域为R且为奇函数，D符合题意．故选BD.答案：BD10．解析：对于A，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) ＝ eq \f(1,x) 在定义域上不具有单调性，故命题错误；对于B，函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) ＝2x－x2有三个零点，一个负值，两个正值，故命题错误；对于C，∵|x|≥0，∴2|x|≥20＝1，∴函数y＝2|x|的最小值是1，故命题正确；对于D，在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝2－x的图象关于y轴对称，命题正确．故选CD.答案：CD11．解析：由题2＝loga4，a＝2，故f(x)＝log2x.对A，函数为增函数正确．对B, f(x)＝log2x不为偶函数．对C，当x>1时， f(x)＝log2x>log21＝0成立．对D，因为f(x)＝log2x往上凸，故若00且a≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0].当a>1时，f(x)＝loga(－x＋1)单调递减，∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（－2）＝loga3＝0，,f（0）＝loga1＝－1，)) 无解；当00解得x>0，故函数f(x)的定义域为(0，＋∞).(2)令t＝4x－1，∵x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)) ，∴t∈[1，15]，∴y＝log4t∈[0，log415]，∴f(x)∈[0，log415]，即函数f(x)的值域为[0，log415].21．解析：(1)由题意符合公司要求的函数f(x)在[3 000，9 000]为增函数，且对∀x∈[3 000，9 000]，恒有f(x)≥100且f(x)≤ eq \f(x,5) .①对于函数f(x)＝0.03x＋8，当x＝3 000时，f(3 000)＝98＜100，不符合要求； ②对于函数f(x)＝0.8x＋200为减函数，不符合要求；③对于函数f(x)＝100log20x＋50在[3 000，10 000 ]，显然f(x)为增函数，且当x＝3 000时，f(3 000)>100log2020＋50≥100；又因为f(x)≤f(9 000)＝100log209 000＋50<100log20160 000＋50＝450；而 eq \f(x,5) ≥ eq \f(3 000,5) ＝600，所以当x∈[3 000，9 000]时，f(x)max≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,5))) min.所以f(x)≤ eq \f(x,5) 恒成立；因此，f(x)＝100log20x＋50为满足条件的函数模型．(2)由100log20x＋50≥350得：log20x≥3，所以x≥8 000，所以公司的投资收益至少要达到8 000万元．22．解析：(1)因为函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的图象经过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\r(3))) ，所以a eq \s\up6(\f(1,2)) ＝ eq \r(3) ，解得a＝3，则f(x)＝3x，因为x∈(0，2)，故1＜3x＜9，令t＝3x，则1＜t＜9，函数F(x)＝－3f(x)＋10－m在区间(0，2)内存在零点，即函数G(t)＝－3t＋10－m在区间(1，9)内有零点，所以G(1)·G(9)＜0，即(7－m)(－17－m)＜0，解得－17＜m＜7，所以实数m的取值范围为(－17，7)；(2)由题意可得，函数f(x)＝g(x)＋h(x)，其中g(x)为奇函数，h(x)为偶函数，可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x）＝g（x）＋h（x）＝3x,f（－x）＝g（－x）＋h（－x）＝3－x)) ，即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(g（x）＋h（x）＝3x,－g（x）＋h（x）＝3－x)) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(g（x）＝\f(3x－3－x,2),h（x）＝\f(3x＋3－x,2),)) ，因为2ln h(x)－ln g(x)－t≥0，所以t≤ln  eq \f(h2（x）,g（x）) ＝ln  eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x＋3－x,2)))\s\up12(2),\f(3x－3－x,2)) ＝ln  eq \f(（3x－3－x）2＋4,2（3x－3－x）) ，设a＝3x－3－x，因为0＜x≤1，且a＝3x－3－x在R上为单调递增函数，所以0＜a≤ eq \f(8,3) ，所以t≤ln  eq \f(a2＋4,2a) ＝ln  eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(4,a))))) ，因为a＋ eq \f(4,a) ≥2 eq \r(a·\f(4,a)) ＝4，当且仅当a＝ eq \f(4,a) ，即a＝2时取等号，所以t≤ln 2，故实数t的取值范围为(－∞，ln 2].x－2－1012345f(x)a－11.58b－5.68－39.42－109.10－227