四川省德阳市德阳市第二中学校2023-2024学年七年级下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

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（满分150分，答题时间120分钟）
一．选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列图形中，∠1和∠2是同位角的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，由此即可判断．
【详解】、和是同位角，故A符合题意；
B、和不是同位角，故B不符合题意；
C、和不是同位角，故C不符合题意；
D、和不是同位角，故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查同位角，关键是掌握同位角的定义．
2. 在实数中无理数的个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】无理数就是无限不循环小数，依据定义即可判断．
【详解】解：，
无理数有共有3个，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
3. 下列说法不正确的是（ ）
A. 的平方根是B. 是81的一个平方根
C. 的算术平方根是D. 的立方根是
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根，根据平方根、算术平方根、立方根，即可解答．解决本题的关键是熟记平方根、算术平方根、立方根的定义．
【详解】A、的平方根是，选项A正确；
B、是81的一个平方根，选项B正确；
C、的算术平方根是，选项C不正确；
D、的立方根是，选项D正确；
故选C．
4. 如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且，垂足是B，，则下列不正确的语句是（ ）
A. 线段的长是点P到直线a的距离
B. 、、三条线段中，最短
C. 线段的长是点A到直线的距离
D. 线段的长是点C到直线的距离
【答案】C
【解析】
【分析】利用点到直线的距离的定义、垂线段最短分析判断即可．
【详解】解：A．根据点到直线的距离的定义：即点到这一直线的垂线段的长度．因为，垂足是B，故此选项正确，不符合题意；
B．根据垂线段最短，，垂足是B，可知此选项正确，不符合题意；
C．线段的长是点A到直线的距离，故选项正确，符合题意；
D．线段的长是点C到直线的距离．故此选项正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了点到直线的距离的定义，及垂线段最短的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
5. 如图，在下列条件中，能判断AD∥BC的是( )
A. ∠DAC=∠BCAB. ∠DCB+∠ABC=180°
C. ∠ABD=∠BDCD. ∠BAC=∠ACD
【答案】A
【解析】
【分析】根据各选项中各角的关系及利用平行线的判定定理，分别分析判断AD、BC是否平行即可．
【详解】解：A、∵∠DAC=∠BCA，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），故A正确；
B、根据“∠DCB+∠ABC=180°”只能判定“DC∥AB”，而非AD∥BC，故B错误；
C、根据“∠ABD=∠BDC”只能判定“DC∥AB”，而非AD∥BC，故C错误；
D、根据“∠BAC=∠ACD”只能判定“DC∥AB”，而非AD∥BC，故D错误；
故选A．
【点睛】本题考查了平行线的判定．解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．
6. 已知三个数，，，则它们的大小顺序是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查实数的大小比较，先比较他们的绝对值大小，进而即可求解．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
7. 如图，在△ABC中，∠C＝90°．若BD∥AE，∠DBC＝20°，则∠CAE的度数是（ ）.
A. 40°B. 60°C. 70°D. 80
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形内角和定理求出∠CAB+∠CBA=90°，根据平行线的性质得出∠DBC+∠CBA+∠CAB+∠CAE=180°，即可求出答案．
【详解】解：∵在△ACB中，∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵BD∥AE，
∴∠DBC+∠CBA+∠CAB+∠CAE=180°，
∴∠CAE=180°-90°-20°=70°，
故选：C．
8. 下列命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②平行于同一直线的两条直线互相平行；③5是25的算术平方根；④不相交的两条直线叫做平行线；假命题的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查判断命题的真假，根据平行线的判定，算术平方根的定义，平行线的定义，逐一进行判断即可．
【详解】解：同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行；故①为假命题；
平行于同一直线的两条直线互相平行；故②是真命题；
5是25的算术平方根；故③是真命题；
同一平面内，不相交的两条直线，叫作平行线；故④是假命题；
故选B．
9. 如图，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠BEF，AB//CD，若∠1=72°,则∠2的度数为（ ）
A. 54°B. 59°C. 72°D. 108°
【答案】A
【解析】
【分析】依据两直线平行，同旁内角互补，可求出∠FEB，再根据角平分线可得到∠BEG，然后用两直线平行，内错角相等求出∠2即可．
【详解】∵AB∥CD，
∴∠BEF＝180°﹣∠1＝180°﹣72°＝108°，∠2＝∠BEG，
又∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG＝∠BEF＝×108°＝54°，
∴∠2＝∠BEG＝54°．
故选A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
10. 实数，在数轴上的位置如图所示，下列各式不成立的是（ ）

A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查实数与数轴，二次根式的性质，解题的关键掌握实数在数轴上的位置，根据绝对值，二次根式的性质，逐一判断即可．
【详解】∵，，
∴，
∴，正确，不符合题意；
∵，且，
∴，
∴，正确，不符合题意；
∵，，
∴，
∴，正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴，错误，符合题意；
故选：D．
11. 如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①；②；③如果，则有；④．其中正确的序号是（ ）
A. ①②③④B. ①②④C. ①②③D. ①③④
【答案】B
【解析】
【分析】根据，，即可得；根据角之间关系即可得；根据角之间关系可得，无法判断BC与AD平行；由题意得，，得；综上，即可得．
【详解】解：∵，，
∴，
故①正确；
∵
故②正确；
∵，
∴，
，
∴BC与AD不平行，
故③错误；
∵，
即，
又∵，
∴
,
故④正确；
综上，①②④正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，余角和同角的余角，平行线的判定，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点并认真计算．
12. 如图，,点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H，点F是边AB上一点，使得，作的角平分线交BH于点G，若，则的度数是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】AD∥BC，∠D=∠ABC，则AB∥CD，则∠AEF=180°-∠AED-∠BEG=180°-2β，在△AEF中，100°+2α+180°-2β=180°，故β-α=40°，即可求解．
【详解】解：设FBE=∠FEB=α，则∠AFE=2α，
∠FEH的角平分线为EG，设∠GEH=∠GEF=β，
∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
而∠D=∠ABC，
∴∠D+∠BAD=180°，
∴AB∥CD，
∠DEH=100°，则∠CEH=∠FAE=80°，
∠AEF=180°-∠FEG-∠BEG=180°-2β，
在△AEF中，
在△AEF中，80°+2α+180-2β=180°，
故β-α=40°，
而∠BEG=∠FEG-∠FEB=β-α=40°，
故选：B．
【点睛】此题考查平行线的性质，解题关键是落脚于△AEF内角和为180°，即100°+2α+180°-2β=180°，题目难度较大．
二．填空题（共7小题，每小题4分，共28分）
13. 若x、y为实数，且满足，则的平方根是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查非负性，求一个数的平方根，先根据非负性求出的值，再根据平方根的定义求出的平方根即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴的平方根为；
故答案为：．
14. 如图，将沿方向平移得到，若周长16cm，则四边形的周长为24cm，则平移的距离为__________．
【答案】##4厘米
【解析】
【分析】本题考查平移的性质，根据平移，得到，结合三角形和四边形的周长进行求解即可．
【详解】解：∵平移，
∴，
∵的周长，
∴四边形的周长，
∴，即：平移的距离为；
故答案为：．
15. 已知与互为相反数，则的值是__________．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查实数的性质，立方根的性质，先根据两个立方根互为相反数，得到被开方数互为相反数，求出的值，整体代入代数式进行求解即可．
【详解】解：∵与互为相反数，
∴和互为相反数，
∴，
∴，
∴；
故答案：5．
16. 如图，将一张长方形纸带沿折叠，点C，D的对应点分别为，若，请直接用含的式子表示为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查折叠中的角度计算，根据折叠的性质，平行线的性质，进行求解即可．
【详解】解：∵将一张长方形纸带沿折叠，
∴，，
∴，
∴；
故答案为：
17. 如图，已知，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】如图，过作 过作证明可得再证明从而可得答案．
【详解】解：如图，过作 过作
∵
∴
∴
∴
而
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，利用平行公理作出辅助线是解本题的关键．
18. 已知的平方根是的立方根是2，则的立方根是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查平方根和立方根，根据平方根和立方根的定义，求出x，y的值，进而求解即可．
【详解】解：∵的平方根是的立方根是2，
∴，
∴，
∴的立方根为：；
故答案为：．
19. 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按图中方式叠放在一起（其中），绕着点O顺时针旋转一周，旋转的速度为每秒，若旋转时间为t秒，当__________时，边．
【答案】或##21或3
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据题意，画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解即可．
【详解】解：①如图：
∵，
∴，
∴；
②如图：
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：或．
三．解答题（共6大题，共74分）
20. 计算：
（1）；
（2）．
（3）解方程：；
（4）解方程：．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）或
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算，利用立方根和平方根解方程：
（1）先进行开方和去绝对值运算，再进行加减运算；
（2）先进行乘方，开方运算，再进行乘法运算，最后算加法；
（3）利用立方根解方程即可；
（4）利用平方根解方程即可．
【小问1详解】
解：原式
；
小问2详解】
原式
；
小问3详解】
∵，
∴，
∴；
【小问4详解】
，
∴，
∴，
∴，
∴或．
21. 如图，，，，求的度数．请把下面的解答过程补充完整：
解：∵（已知），
∴______（______）．
又∵（已知），
∴______（等量代换），
∴______（______），
∴______（______）．
又∵（已知），
∴______．
【答案】；两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；
【解析】
【分析】根据平行线的性质和判定就可以解题．
【详解】解：∵（已知），
∴（两直线平行，同位角相等）．
又∵（已知），
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同旁内角互补）．
又∵（已知），
∴．
【点睛】本题考查的是平行线的性质和判定，解题的关键是灵活运用有关知识．
22. 已知是的算术平方根，是的立方根，求的平方根．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查立方根和平方根的运算，先根据算术平方根和立方根的定义，求出的值，进而求出的值，再根据平方根的定义进行求解即可，掌握相关定义，是解题的关键．
【详解】解：由题意，得：，
∴，
∴，，
∴的平方根为；
故答案为：．
23. 如图，直线交于点O，分别平分和，已知．

（1）若，求的度数．
（2）试判断与的位置关系，并说明理由；
【答案】（1）
（2），理由见解析
【解析】
【分析】本题考查与角平分线有关的计算，平行线的判定，找准角度之间的等量关系，是解题的关键．
（1）根据角平分线平分角，得到，结合平角的定义和，进行求解即可；
（2）角平分线平分角，结合平角的定义推出，推出，即可得出结论．
【小问1详解】
解：∵平分，
∴，
∵，
∴设，则：，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
，理由如下：
∵分别平分和，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
24. 喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．
（1）请直接判断3，12，32是不是“和谐组合”，______．
（2）请证明2，18，8这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根．
（3）已知9，，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求的值．
【答案】（1）不是 （2）4，12
（3）81
【解析】
【分析】（1）根据“和谐组合”的定义，进行判断即可；
（2）根据“和谐组合”的定义求解即可；
（3）根据题意分3种情况讨论，然后根据最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，分别列方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵，，，
∵，不是整数，
∴3，12，32不是“和谐组合”；
故答案为：不是；
【小问2详解】
证明：∵，，
∴2，18，8这三个数是“和谐组合”
∴最小算术平方根是4，最大算术平方根是12；
【小问3详解】
分三种情况：①当时，得：（舍去）
②当时，，得：（舍去）
③当时，．得：．
综上所述，a的值为81．
【点睛】此题考查了新定义问题，算术平方根等知识，解题的关键是理解并掌握新定义的运算法则．
25. 已知：如图，．
（1）如图1所示：点为上一点，，直接写出与的数量关系；
（2）如图2，平分，的反向延长线与的平分线交于点，若比大，求的度数；
（3）保持（2）中所求的的度数不变，如图3，平分，平分，作，求的度数．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，求角的度数，正确作出相关的辅助线，根据条件逐步求出角度的度数是解题的关键．
（1）延长交于点F，根据平行线的性质推出；
（2）过点E作，过点H作，根据，推出，再根据，推出，最后根据比大得出的度数；
（3）过点E作，则，利用前面的结论和方法，进行等量代换并推理计算即可．
【小问1详解】
解：延长交于点F．
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【小问2详解】
解：过点E作，过点H作，如图所示：
设，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵比大，
∴，
∴，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：过点E作，
根据（2）得，，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．