2024年辽宁省海城市初中学业水平考试数学中考模拟预测题（原卷版+解析版）

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（本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟）
考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 如图，比数轴上点A表示的数大3的数是（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据数轴及有理数的加法可进行求解．
【详解】解：由数轴可知点A表示的数是，所以比大3的数是；
故选D．
【点睛】本题主要考查数轴及有理数的加法，熟练掌握数轴上有理数的表示及有理数的加法是解题的关键．
2. 如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查三视图，熟练掌握几何体的特征是解题的关键；根据几何体的特征可进行求解．
【详解】解：由题可知该几何体的主视图为
故选：B．
3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查中心对称图形与轴对称图形识别．解题的关键是掌握中心对称图形与轴对称图形定义：中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重台，这样的图形叫做轴对称图形．据此依次对各选项逐一分析即可作出判断．
【详解】解：A．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：A．
4. 方程3x＝2x＋7的解是（ ）
A. x＝4B. x＝﹣4C. x＝7D. x＝﹣7
【答案】C
【解析】
【分析】先移项再合并同类项即可得结果；
【详解】解：3x＝2x＋7
移项得，3x-2x=7；
合并同类项得，x＝7；
故选：C．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，掌握一元一次方程的求解步骤是解题的关键．
5. 下列事件中的必然事件是（ ）
A. 地球绕着太阳转B. 射击运动员射击一次，命中靶心
C. 天空出现三个太阳D. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
【答案】A
【解析】
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，可得答案．
【详解】解∶ A、地球绕着太阳转是必然事件，故A正确；
B、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故B错误；
C、天空出现三个太阳是不可能事件，故C错误；
D、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，故D错误；
故选∶ A．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
6. 如图，在四边形中， ，若添加一个条件，使四边形为平形四边形，则下列正确的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定定理逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A．根据，，不能判断四边形为平形四边形，故该选项不正确，不符合题意；
B． ∵，∴，不能判断四边形为平形四边形，故该选项不正确，不符合题意；
C．根据，，不能判断四边形为平形四边形，故该选项不正确，不符合题意；
D．∵，
∴，
∵
∴，
∴
∴四边形为平形四边形，
故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
7. 已知正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值随x值的增大而增大，则一次函数y＝﹣2kx+k在平面直角坐标系内的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正比例函数图象性质判断出k的取值范围，继而根据一次函数的性质进行判断即可.
【详解】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）函数值随x的增大而增大，
∴k＞0，
∴﹣k＜0，
∴一次函数y＝﹣2kx+k的图象经过一、二、四象限；
故选：C．
【点睛】本题考查正比例函数的图象性质，一次函数的图象与性质，关键在于熟练掌握函数图象的性质及增减性.
8. 如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（ ）

A. B. C. 或D.
【答案】A
【解析】
【分析】设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，根据花草的种植面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】解：设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，
依题意得：
解得：，（不合题意，舍去），
∴小路宽为．
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9. 如图，在中，∠A＝30°，∠C＝45°，BC＝2，则的长度为（ ）
A. B. C. πD. 2π
【答案】C
【解析】
【分析】由题意知，，为等边三角形，，可得弧长的值．
【详解】解：如图连接、、
∵，
∴，
∴为等边三角形
∴
故选C．
【点睛】本题考查了圆周角，弧长等知识．解题的关键在于找出弧长所对的圆心角以及半径．
10. 如图，已知是一个锐角，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点A，，再分别以点A，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，画射线．过点A作，交射线于点，过点作，交于点．设，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图，连接，过点作于．首先证明四边形是菱形，解直角三角形求出即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，过点作于．
由作图可知，，，
∵，
，
，
，
，，
四边形是菱形，
，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查作图复杂作图，平行线的性质，角平分线的定义，菱形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 小张在“阳光大课间”活动中进行了5次一分钟跳绳练习，所跳个数分别为：160，163，160，157，160．这组数据的众数为__________．
【答案】160
【解析】
【分析】根据众数是一组数据中出现次数最多的数值求解即可．
【详解】解：这组数据中出现次数最多的是160，出现了三次，
∴这组数据的众数为160，
故答案为：160．
【点睛】题目注意考查求一组数据的众数，理解众数的定义是解题关键．
12. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于y轴对称点，纵坐标相同，横坐标互为相反进行求解即可．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是，
故答案：.
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，解决本题的关键是掌握关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
13. 若关于的不等式组有三个整数解，则实数的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】首先解不等式组求得解集，然后根据不等式组有三个整数解，确定整数解，则可以得到一个关于的不等式组求得的范围．
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组有三个整数解，
不等式组的整数解为，0、1，
则，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
14. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线（其中）相交于，两点，过点B作轴，交y轴于点P，则的面积是___________．

【答案】
【解析】
【分析】把代入到可求得的值，再把代入双曲线函数的表达式中，可求得的值，进而利用三角形的面积公式进行求解即可．
【详解】∵直线与双曲线（其中）相交于，两点，
∴
∴，
∴双曲线的表达式为：，，
∵过点作轴，交轴于点，
∴，
∴，
故答案为．
【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解答此题的关键．
15. 如图，在矩形中，，动点在矩形的边上沿运动．当点不与点重合时，将沿对折，得到，连接，则在点的运动过程中，线段的最小值为__________．

【答案】##
【解析】
【分析】根据折叠的性质得出在为圆心，为半径的弧上运动，进而分类讨论当点在上时，当点在上时，当在上时，即可求解．
【详解】解：∵在矩形中，，
∴，，
如图所示，当点在上时，

∵
∴在为圆心，为半径的弧上运动，
当三点共线时，最短，
此时，
当点在上时，如图所示，

此时
当在上时，如图所示，此时

综上所述，的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，圆外一点到圆上的距离的最值问题，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查实数的运算及整式的运算，熟练掌握实数的运算及整式的运算是解题的关键；
（1）根据算术平方根可进行求解；
（2）根据整式的加减及单项式乘以单项式可进行求解．
【小问1详解】
解：原式；
【小问2详解】
解：原式．
17. 为推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业．根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了，设更新设备前每天生产x件产品．解答下列问题：
（1）更新设备后每天生产_______件产品（用含x的式子表示）；
（2）更新设备前生产5000件产品比更新设备后生产6000件产品多用2天，求更新设备后每天生产多少件产品．
【答案】（1）
（2）125件
【解析】
【分析】（1）根据“更新设备后生产效率比更新前提高了”列代数式即可；
（2）根据题意列分式方程，解方程即可．
【小问1详解】
解：更新设备前每天生产x件产品，更新设备后生产效率比更新前提高了，
更新设备后每天生产产品数量为：（件），
故答案为：；
【小问2详解】
解：由题意知：，
去分母，得，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
（件），
因此更新设备后每天生产125件产品．
【点睛】本题考查分式方程的实际应用，解题的关键是根据所给数量关系正确列出方程．
18. 中学生心理健康受到社会的广泛关注，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了如图所示的两幅尚不完整的统计图．
根据图中信息回答下列问题：
（1）求接受问卷调查的学生共有多少人；
（2）求条形统计图中的值及扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数；
（3）若该校共有800名学生，根据上述调查结果，如果要让全体学生达到至少“基本了解”的程度，估计学校应该对多少名学生进行心理健康的培训．
【答案】（1）80人 （2），
（3）名
【解析】
【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体，解题的关键是将条形统计图与扇形统计图的信息进行关联．
（1）结合条形统计图与扇形统计图，“基本了解”的人数及所占比例计算即可；
（2）根据总人数即可求出的值，“非常了解”部分的人数计算即可；
（3）利用样本估计总体，达到至少“基本了解”的程度所占比例计算即可．
【小问1详解】
解：(人)，
答：接受问卷调查的学生共有80人；
【小问2详解】
，
扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为；
【小问3详解】
（人），
答：估计学校应该对名学生进行心理健康的培训．
19. 甲、乙两个相约登山，他们同时从入口处出发，甲步行登山到山顶，乙先步行15分钟到缆车站，再乘坐缆车到达山顶．甲、乙距山脚的垂直高度y（米）与甲登山的时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．

（1）当时，求乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式；
（2）求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）求得甲距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为，联立，即可求解．
【小问1详解】
解：设乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为，将，代入得，
，
解得：，
∴；
【小问2详解】
设甲距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为
将点代入得，
解得：，
∴；
联立
解得：
∴乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为米
【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
20. 图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离．

（1）身高的小杜，头部高度为，他站在离摄像头水平距离的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别．
（2）身高的小若，头部高度为，踮起脚尖可以增高，但仍无法被识别．社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．（精确到，参考数据）
【答案】（1）
（2）能，见解析
【解析】
【分析】（1）根据正切值求出长度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性质求出的长度，从而求出蹲下的高度．
（2）根据正切值求出长度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性质求出的长度，即可求出长度，与踮起脚尖后的高度进行比较，即可求出答案．
【小问1详解】
解：过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点，，交水平线于点，如图所示，

在中，．
．
，
．
．
，，
小杜下蹲的最小距离．
【小问2详解】
解：能，理由如下：
过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点，，交水平线于点，如图所示，

在中，．
，
，
．
，
．
小若垫起脚尖后头顶的高度为．
小若头顶超出点N的高度．
小若垫起脚尖后能被识别．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，涉及到的知识点有锐角三角函数中的正切值、矩形的性质、三角形的全等，解题的关键在于是否能根据生活实际题结合数学相关知识．解题的重点在于熟练掌握相关概念、性质和全等方法．
21. 如图，在中，，以为直径的与交于点D，点E是的中点，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长；
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，如图所示，由圆周角定理得到，由直角三角形斜边中线的性质结合证得，再证明得到，由切线的判定即可证得与相切；
（2）直角三角形斜边中线的性质求出，根据三角函数的定义和勾股定理即可求出，从而求出．
【小问1详解】
证明：连接，如图所示，
为的直径，
，
点为的中点，
，，
又，，
，，
，
是的半径，
与相切；
【小问2详解】
解：由（1）知，，，
，
，
．，
在中，，
即，
(负值已舍去)，
．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是：（1）熟练掌握切线的判定方法；（2）通过解直角三角形斜边中线的性质证得．
22. 第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌．在该项目中，首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止本项目．主要考核运动员飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：
下图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区CD所在水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡AC的坡角为30°，．某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，．在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离具备二次函数关系，其解析式为．
（1）求b、c的值；
（2）进一步研究发现运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离与飞行时间具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，，；空中飞行5s后着陆．
①求x关于t的函数解析式；
②当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？
【答案】（1），
（2）① ②时，最大，为
【解析】
【分析】（1）根据题中所给信息，得出，，利用待定系数法列出关于的二元一次方程组求解即可得出结论；
（2）①根据题意得到当运动员在起跳点腾空时，；空中飞行5s后着陆，，设出一次函数表达式，利用待定系数法求出函数关系式即可；②作轴交抛物线于，交于，利用待定系数法确定直线的函数表达式，再由（1）得出抛物线表达式，求出，表示出运动员离着陆坡的竖直距离，根据抛物线的性质得出当时，有最大值为．
【小问1详解】
解：过作于，于，如图所示：
，
着陆坡AC的坡角为30°，即，
，
在中，，
则，
，
，即，，
将，代入得，解得；
【小问2详解】
解：①由（1）知，根据运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离与飞行时间具备一次函数关系，设一次函数关系式为，
当运动员在起跳点腾空时，；空中飞行5s后着陆，，
，解得，
水平方向移动距离与飞行时间的一次函数关系式为；
②作轴交抛物线于，交于，如图所示：
设直线的表达式为，将，代入得，解得，即直线的表达式为，
由（1）知抛物线表达式为，
，
运动员离着陆坡的竖直距离，
由可知抛物线开口向下，当时，有最大值为．
【点睛】本题考查用二次函数及一次函数解决实际问题，涉及到待定系数法确定函数关系式、二次函数的图像与性质、二次函数求最值等知识，熟练掌握二次函数的图像与性质是解决问题的关键．
23. 已知线段，，线段绕点A在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且．
【基础探索】
（1）如图1，若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系，并说明理由．
【变式应用】
（2）如图2，在（1）的条件下，若，，，求的长．
【拓展探究】
（3）如图3，若，，，当的值最大时，求此时的值．
【答案】（1），理由见详解；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）证明，根据相似三角形的性质得出，，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解；
（2）求出，延长交于点，在 中，由直角三角形的性质求得，，进而求得的长，根据 的结论，得出，在中，勾股定理求得，进而根据，即可求出案．
（3）如图所示，以为边在上方作，且，，连接，，，，同（1）可得，求出的长，进而得出在以为圆心，为半径的圆上运动，当点，， 三点共线时，的值最大，进而求得，，根据得出，过点作于点，由直角三角形的性质分别求得，，然后求出，最后根据正切的定义即可得出答案．
【详解】解：（1）在中，，在中，，，
∴，，，
，，
∴，
，
，
故答案为：；
（2）在中，，，，
，，
延长交于点，如图所示，
，，
，
由（1）可得，
，
，
在中，，
∵，
，
，
即；
（3）如图所示，以为边在上方作，且，，连接，，，，
同（1）可得，
，
，
，
在中，，，
在以为圆心，为半径的圆上运动，
当点，，三点共线时，的值最大，此时如图所示，则，
在中，，
，，
，
，
，
，
过点作于点，
，，
，
，
，
在中，．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转性质，直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，锐角三角函数的定义，熟练掌握解直角三角形及相似三角形的性质与判定是解题的关键．