2024年辽宁省初中学业水平跟踪训练卷（二）九年级数学模拟预测题（原卷版+解析版）

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1. 下列各数中，最大的是（ ）
A. －3B. 0C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】有理数的大小比较法则：正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小．
【详解】解：∵-3＜0＜1＜2
∴最大的是2
故选：D．
【点睛】本题考查有理数的大小比较，属于基础应用题，只需学生熟练掌握有理数的大小比较法则，即可完成．
2. 下列立体图形中，主视图是圆的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【详解】解：A、三棱柱的主视图是长方形（中间有条虚线），故A不符合题意；
B、圆柱体的主视图是长方形，故B不符合题意；
C、圆锥的主视图是三角形，故C不符合题意；
D、球的主视图是圆，故D符合题意；
故选：D．
3. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“清明”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中既是中心对称又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形的识别与中心对称图形的识别，根据轴对称图形与中心对称图形定义逐个判断即可得到答案；
【详解】解：A选项图形既是中心对称图形也是轴对称图形，符合题意，
B选项图形是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意，
C选项图形是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意，
D选项图形是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意，
故选：A．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查整式的运算法则，分别利用同底数幂相乘法则、整式乘法法则、
幂的乘方运算法则、整式的除法，即可得到答案．
【详解】解:Ａ．原式=，故错误；
Ｂ．原式=，故错误；
Ｃ．原式=，故正确；
D．原式=，故错误；
故选：C．
5. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】判断上述方程的根的情况，只要计算出判别式的值就可以了．有两个相等实数根的一元二次方程就是判别式的值是0的一元二次方程．
【详解】解：A、，即，，此方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
B、，即，，此方程有两个相等的实数根，符合题意；
C、，即，，此方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
D、，此方程有两个不相等的实数根，不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1） 方程有两个不相等的实数根；（2） 方程有两个相等的实数根；（3） 方程没有实数根．
6. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】移项，合并同类项，根据不等式性质即可求解．
【详解】解：，
，
，
故选：C
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的求解，求出不等式的解集是解题的关键．
7. 如图，直线y=kx+b（k>0）经过点P(−1，1)，当kx+b≥−x时，则x的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直线y=kx+b（k＞0）经过点P（-1，1），直线y=-x也经过点（-1，1），根据函数图象即可写出不等式的解集．
【详解】解：直线y=kx+b（k＞0）经过点P（-1，1），直线y=-x也经过点（-1，1），
根据图象可得：kx+b≥-x时，x的取值范围是：x≥-1．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式．数形结合是解决本题的关键．
8. 随着电影《你好，李焕英》热映，其同名小说的销量也急剧上升．某书店分别用400元和600元两次购进该小说，第二次数量比第一次多1倍，且第二次比第一次进价便宜4元，设书店第一次购进x套，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由第二次购进数量比第一次多1倍，可得出第二次购进2x套，利用单价=总价÷数量，结合第二次比第一次进价便宜4元，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：∵第二次购进数量比第一次多1倍，且第一次购进x套，
∴第二次购进2x套．
依题意得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
9. 如图，已知直线，直角三角板的直角顶点在直线上，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是平行线的性质，先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由余角的定义即可得出结论．
【详解】解：如图，
故选C．
10. 如图，小红在作线段的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于线段长度一半的长为半径画弧，相交于点C，D，则直线即为所求．连接，，，，根据她的作图方法可知，四边形定是（ ）
A. 矩形B. 正方形C. 菱形D. 平行四边形
【答案】C
【解析】
【分析】利用作法得到，然后根据菱形的判定方法求解．
【详解】解：由作法得，
所以四边形为菱形．
故选：C．
【点睛】本题考查了尺柜作图-作线段的垂直平分线，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解答本题的关键．
二．填空题（共5小题，共15题）
11. 计算：______．
【答案】14
【解析】
【分析】根据二次根式运算法则以及立方根的定义进行计算即可．
【详解】解：，
故答案为：14．
【点睛】本题主要考查了二次根式的运算和立方根的定义，解题的关键是掌握二次根式的乘法运算法则以及立方根是定理．
12. 如图，点A在DE上，AC＝EC，AB＝3，BC＝4，∠1＝∠2＝∠3，则DE的长度为________．
【答案】3
【解析】
【分析】设AB与CD交于点O，然后证明△ACB≌△ECD即可得到答案．
【详解】解：如图所示，设AB与CD交于点O，
∵∠1=∠2=∠3，∠DOA=∠COB，
∴∠B=∠D，∠BCA=∠2+∠ACD=∠3+∠ACD=∠DCE，
又∵AC=EC，
∴△ACB≌△ECD（AAS），
∴DE=AB=3，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．
13. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分，若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是__________．

【答案】
【解析】
【分析】用树状图把所有情况列出来，即可求出．
【详解】
总共有12种组合，
《论语》和《大学》的概率，
故答案为：．
【点睛】此题考查了用树状图或列表法求概率，解题的关键是熟悉树状图或列表法，并掌握概率计算公式．
14. 一个八边形的内角和是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了多边形内角和定理，直接套用多边形的内角和进行计算可求八边形的内角和，
【详解】解：内角和：．
故答案为：
15. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别为AC、BD上一点，且OE＝OF，连接AF、BE、EF，若∠AFE＝25°，则∠CBE的度数为_______．
【答案】##65度
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，根据正方形的性质证明，得到，利用，求出，由此得到，进而得到的度数．
【详解】解：在正方形中，，
∵，
∴，
，
，
，
∵，
，
，
故答案为：．
三．解答题（共8小题，共75分）
16. （1）计算：；
（2）化简：
【答案】（1）5；（2）1
【解析】
【分析】（1）先根据乘方，零指数幂，绝对值的性质化简，再计算，即可求解；
（2）先计算括号内的，再计算除法，即可求解．
【详解】解：（1）

＝1+8+1﹣5
＝5；
（2）
＝

＝1．
【点睛】本题主要考查了乘方，零指数幂，绝对值的性质，分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
17. 随着问天实验舱、梦天实验舱的成功发射，中国空间站建设取得重大成就，我国载人航天事业正式进入空间站应用与发展阶段，某学校举行了主题为“逐梦寰宇问苍穹”的航天知识竞赛，一共有道题，满分分，每一题答对得分，答错扣分，不答得分．
（1）小明同学有两道题没有作答，总分为分，问小明同学一共答对了多少道题？
（2）若规定每道题都必须作答，总分不低于分者将被评为“航天小达人”，问至少答对多少道题才能被评为“航天小达人”？
【答案】（1）小明同学一共答对了道题
（2）至少需答对道题才能被评为“航天小达人”
【解析】
【分析】（1）设小明同学一共答对了道题，则答错了道题，由此列方程即可求解；
（2）设需答对道题才能被评为“航天小达人”，则答错了道题，由此列不等式即可求解．
【小问1详解】
解：设小明同学一共答对了道题，则答错了道题，
∴由题意得，解得，
∴小明同学一共答对了道题．
【小问2详解】
解：设需答对道题才能被评为“航天小达人”，则答错了道题，
∴由题意得，解得，
∴至少需答对道题才能被评为“航天小达人”．
【点睛】本题主要考查方程与不等式的综合，理解题目中的数量关系，掌握数量关系列方程，不等式解实际问题是解题的关键．
18. 湖南省作为全国第三批启动高考综合改革的省市之一，从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施高考综合改革．深化高考综合改革，承载着广大考生的美好期盼，事关千家万户的切身利益，社会关注度高．为了了解我市某小区居民对此政策的关注程度，某数学兴趣小组随机采访了该小区部分居民，根据采访情况制做了如统计图表：
(1)根据上述统计图表，可得此次采访的人数为 ，m＝ ，n＝ ．
(2)根据以上信息补全图中的条形统计图．
(3)请估计在该小区1500名居民中，高度关注新高考政策的约有多少人？
【答案】(1)200，80，0.1；(2)补图见解析；(3)高度关注新高考政策的约有600人．
【解析】
【分析】（1）根据上述统计图表，可得此次采访的人数为100÷0.5=200（人），m=200×0.4=80（人），n=1-0.4-0.5=0.1；
（2）据上信息补全图中的条形统计图；
（3）高度关注新高考政策的人数：1500×0.4=600（人）．
【详解】解：(1)根据上述统计图表，可得此次采访的人数为(人)，
(人)，；
故答案200，80，0.1；
(2)补全图中的条形统计图
(3)高度关注新高考政策的人数：(人)，
答：高度关注新高考政策的约有600人．
【点睛】本题考查的是统计表和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．统计表能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）根据图象，写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．
【答案】（1）；
（2）
（3）或
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求两函数的解析式的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，数形结合思想的应用．
（1）将点的坐标代入反比例函数 ，求出，将点的坐标代入反比例函数求出，利用待定系数法确定一次函数解析式；
（2）根据，进行计算即可．
（3）找到反比例函数图象在一次函数图象之上的的取值范围即可．
【小问1详解】
解：将点代入，得：，
解得：，
则反比例函数解析式为：；
将点代入，得：，
将点的坐标代入一次函数解析式，得：
，解得：，
故一次函数解析式为：．
【小问2详解】
解：一次函数解析式为：，
令，则，
∴点的坐标为，
，
．
【小问3详解】
解：反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围为：或．
20. 如图①，这是一款升降电脑桌，它的升降范围是，图②是它的示意图．已知，点、在上滑动，点，在上滑动，，相交于点，．

（1）如图②，当时，求这款电脑桌当前的高度；
（2）当电脑离桌从图②位置升到最大高度（如图③）时，求的度数及点滑动的距离．（结果精确到十分位，参考数据：，，，，）
【答案】（1）这款电脑桌当前高度为
（2）的大小约为，点滑动的距离约为
【解析】
【分析】（1）过点作于点，交于点，根据含有角的直角三角形的性质即可得出答案；
（2）先求出图中的长，再根据解直角三角形得出图中的长，相减即可得出结论
【小问1详解】
过点作于点，交于点，如图：

，
，
∴当 时， ，
在中
，
在中，
同理可得：
，
即这款电脑桌当前的高度为；
【小问2详解】
在图的中，
，
当电脑桌从图位置升到最大高度如图时，则 ，如图：

，
在中，
，
，
，
，
即的大小约为，点滑动的距离约为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，读懂题意得出的长是解题的关键．
21. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若AB＝3，AC＝4，求线段PB的长．
【答案】（1）见解析；（2）PB＝.
【解析】
【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角得到∠BAC为直角，再由AD为角平分线，得到一对角相等，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍及等量代换确定出∠DOC为直角，与平行线中的一条垂直，与另一条也垂直得到OD与PD垂直，即可得证；
（2）由PD与BC平行，得到一对同位角相等，再由同弧所对的圆周角相等及等量代换得到∠P＝∠ACD，根据同角的补角相等得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似；由三角形ABC为直角三角形，利用勾股定理求出BC的长，再由OD垂直平分BC，得到DB＝DC，相似三角形的性质，得比例，求出所求即可．
【详解】（1）证明：∵圆心O在BC上，
∴BC是圆O的直径，
∴∠BAC＝90°，
连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠DAC，
∵∠DOC＝2∠DAC，
∴∠DOC＝∠BAC＝90°，即OD⊥BC，
∵PD∥BC，
∴OD⊥PD，
∵OD为圆O的半径，
∴PD是圆O的切线；
（2）∵PD∥BC，
∴∠P＝∠ABC，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠P＝∠ADC，
∵∠PBD+∠ABD＝180°，∠ACD+∠ABD＝180°，
∴∠PBD＝∠ACD，
∴△PBD∽△DCA；
∵△ABC为直角三角形，
∴BC2＝AB2+AC2＝32+42＝25，
∴BC＝5，
∵OD垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∵BC为圆O的直径，
∴∠BDC＝90°，
在Rt△DBC中，DB2+DC2＝BC2，即2DC2＝BC2＝25，
∴DC＝DB＝，
∵△PBD∽△DCA，
∴，
则PB＝．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定与性质，熟练掌握各自的判定与性质是解本题的关键．
22. 一次足球训练中，小军从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米.现以为原点建立如图所示直角坐标系.

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）已知球门高为米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；
（3）已知点C为上一点，米，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当时小军带球向正后方移动米再射门，足球恰好经过区域（含点但不含点），求的取值范围.
【答案】（1）
（2）球不能射进球门 （3）
【解析】
【分析】（1）设抛物线的函数表达式为，然后将点代入即可解答；
（2）令，求得函数值，然后与比较即可解答；
（3）设小明带球向正后方移动n米，则移动后的抛物线为，把点、分别代入求得n的值，据此确定n的取值范围即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，设抛物线为，
把点代入得：，解得，
∴抛物线的函数表达式为．
【小问2详解】
解：令时，．
∴球不能射进球门．
【小问3详解】
解：设小明带球向正后方移动n米，则移动后抛物线为，
把点代入得：，解得：（舍去）或，
把点代入得：，解得：（舍去）或，
∴足球恰好经过区域（含点但不含点）时，n的取值范围为．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，读懂题意、把实际问题转化为数学问题解决是解题的关键．
23. 综合与实践
【问题情境】在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．
如图1，将矩形纸片沿对角线剪开，得到和，并且量得．
【操作发现】
（1）将图1中的以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使，得到如图2所示的，过点C作的平行线，与的延长线交于点E，请你判断四边形的形状，并证明你的结论．
（2）创新小组将图1中的以点为旋转中心，按逆时针方向旋转，使三点在同一条直线上，得到如图3所示的，连接，取的中点F，连接并延长至点G，使，连接，得到四边形，请你判断四边形的形状，并证明你的结论．
【实践探究】
（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将沿着方向平移，使点B与点A重合，此时A点平移至A′点，与相交于点H，如图4所示，连接，直接写出线段的长度．
【答案】（1）是菱形，证明见解析；（2）是正方形，证明见解析；（3）cm．
【解析】
【分析】（1）先证，再证，则，得，然后证四边形是平平行四边形，即可得结论；
（2）先证，再证，，进而证四边形是平菱形，即可得出结论；
（3）先证，再求出、的长，然后求出、的长，即可求解．
【详解】解：（1）四边形是菱形，证明如下：
由图1可知，是矩形的对角线，，，
，
在图2中，由旋转知，，，
，
，
，
，
，
∴四边形平行四边形，
又，
是菱形；
（2）是正方形，证明如下：
图1中，四边形是矩形，
，
，，
，
在图3中，由旋转知，，
，
，
∵点在同一条直线上，
，
由旋转知，，
∵点F是的中点，
，，
，
∴四边形是平行四边形，
，
是菱形，
又，
∴菱形是正方形；
（3）在中，，，
，，
由（2）结合平移知，，
在中，，
，
．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形是性质，平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，旋转的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
关注程度
频数
频率
A．高度关注
m
0.4
B．一般关注
100
0.5
C．没有关注
20
n