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2024年辽宁省初中学业水平练习卷（二） 数学模拟预测题（原卷版+解析版）
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这是一份2024年辽宁省初中学业水平练习卷（二） 数学模拟预测题（原卷版+解析版），文件包含2024年辽宁省初中学业水平练习卷二数学模拟预测题原卷版docx、2024年辽宁省初中学业水平练习卷二数学模拟预测题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。
1. 下列各数中，最小的无理数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了无理数的大小比较．利用无理数大小的比较方法：正数大于0，负数小于0，两个负数比较大小，绝对值大的反而小比较得出答案即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选：A．
2. 如图所示的几何体从上面看到的形状图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【详解】解：从上面看共有两层，底层右边是1个小正方形，上层有2个小正方形．
故选：D．
【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
3. 如图所示图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义求解即可．轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
4. 下列运算中，正确的是（ ）
A. x3•x2＝x5B. （x2）3＝x5
C. 2x3÷x2＝xD. ﹣（x﹣1）＝﹣x﹣1
【答案】A
【解析】
【分析】由同底数幂的乘法判断A，由幂的乘方判断B，由合并同类项判断C，由去括号判断D．
【详解】解：，故A正确，
，故B错误，
不是同类项，不能合并，故C错误，
故D错误，
故选A．
【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，去括号，掌握以上知识是解题的关键．
5. 一元二次方程根情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根D. 根的情况无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）判断方程的根的情况即可．
【详解】解：对于方程程，
∵△=16-4×4×1=0，
∴方程有两个相等的实数根，
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，记住一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
6. 不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先解出不等式的解集，然后看四个答案中哪个符合，即可解答；
【详解】解：不等式4x-8≥0，
4x≥8，
x≥2；
D符合；
故选：D．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线， “≤”实心圆点向左画折线．
7. 如图，直线经过点P（2，1），当时，则x的取值范围为（ ）
A. ≤2B. ≤1
C. ≥1D. ≥2
【答案】A
【解析】
【分析】首先求得直线OP解析式，再根据两函数图象及交点，即可求解．
【详解】解：设直线OP的解析式为
把P（2，1）代入得：
解得
故直线OP的解析式为
由图象可知：当时，则x的取值范围为≤2
故选：A．
【点睛】本题考查了利用两个一次函数的交点求不等式的解集，采用数形结合的思想是解决此类题的关键．
8. 为了能让更多人接种，某药厂的新冠疫苗生产线开足马力，24小时运转，该条生产线计划加工320万支疫苗，前5天按原计划的速度生产，5天后以原来速度的1.25倍生产，结果比原计划提前3天完成任务．设原计划每天生产万支疫苗，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据“结果比原计划提前3天完成任务”建立方程即可得．
【详解】由题意，可列方程为 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了列分式方程，正确找出等量关系是解题关键．
9. 如图，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝130°，则∠2等于（ ）
A. 30°B. 25°C. 35°D. 40°
【答案】B
【解析】
【分析】根据AB∥CD，∠3＝130°，求得∠GAB＝∠3＝130°，利用平行线的性质求得∠BAE＝180°﹣∠GAB＝180°﹣130°＝50°，由∠1＝∠2 求出答案即可．
【详解】解：∵AB∥CD，∠3＝130°，
∴∠GAB＝∠3＝130°，
∵∠BAE+∠GAB＝180°，
∴∠BAE＝180°﹣∠GAB＝180°﹣130°＝50°，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠BAE＝×50°＝25°．
故选：B．
【点睛】此题考查平行线的性质：两直线平行同位角相等，两直线平行同旁内角互补，熟记性质定理是解题的关键．
10. 如图，已知，按如下步骤作图：①分别以A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；②作直线，分别交，于点E，D，连接；③过C作交于点F，连接．则四边形的形状是（ ）
A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形
【答案】C
【解析】
【分析】先根据作图①得直线是线段的垂直平分线，从而得到，，根据作图③得到，从而证明，进而证明四边形是平行四边形，结合即可证明平行四边形是菱形．
【详解】解：由作图①得直线是线段的垂直平分线，
∴，，
由作图③得，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形．
故选：C
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图，菱形的判定、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，熟知菱形的判定定理，根据题意得到直线是线段的垂直平分线是解题关键．
二．填空题（共5小题，共15分）
11. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的乘法，根据二次根式的乘法法则计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 如图，已知AC与BD相交于点P，ABCD，点P为BD中点，若CD＝7，AE＝3，则BE＝_________．
【答案】4
【解析】
【分析】由题意利用全等三角形的判定得出，进而依据全等三角形的性质得出进行分析计算即可.
【详解】解：∵ABCD，
∴,
∵点P为BD中点，
∴,
∵,,
∴,
∴,
∵CD＝7，AE＝3，
∴.
故答案为：4.
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.
13. 在以“激情五月，唱响青春”为主题的演讲比赛中，只剩甲，乙，丙，丁四名同学进入决赛时段，则甲，乙同学获得前两名的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率；
画出树状图，根据树状图得出所有情况数和甲，乙同学获得前两名的情况数，再利用概率公式计算即可．
【详解】解：画树状图如图：
由树状图可得：共有12种等可能的结果，其中甲，乙同学获得前两名的情况有2种，
所以甲，乙同学获得前两名的概率是，
故答案为：．
14. 若一个边形的边数增加一倍，则内角和将增加____度．
【答案】
【解析】
【分析】边形的内角和是，将边形的边数增加一倍就变成边形，边形的内角和是，据此即可求得增加的度数．
【详解】∵边形的内角和是，边形的内角和是，
∴内角和将增加，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了多边形的内角和公式，解题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式的计算．
15. 如图，点E、F分别在正方形ABCD的边AD、DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，若GH的长为，则正方形的边长为_____．
【答案】5
【解析】
【分析】根据正方形的四条边都相等可得AB＝AD，每一个角都是直角可得∠BAE＝∠D＝90°，然后利用“边角边”证明△ABE≌△DAF得∠ABE＝∠DAF，进一步得∠AGE＝∠BGF＝90°，从而知GH＝BF，利用勾股定理求出BF的长即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA＝90°，
∴∠DAF+∠BEA＝90°，
∴∠AGE＝∠BGF＝90°，
∵点H为BF的中点，
∴GH＝BF，
∵GH＝，
∴BF＝，
设正方形的边长为a，则
BC＝a，CF＝CD﹣DF＝a﹣2，
在Rt△BCF中，
由勾股定理得，BF2＝CF2+BC2，
∴，
解得a＝5或a＝﹣3（舍去），
∴正方形的边长为5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识，掌握三角形全等的判定方法与正方形的性质是解题的关键．
三．解答题（共8小题，共75分）
16. （1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查的是零次幂的含义，实数的混合运算，二次根式的加减运算，分式的加减乘除混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键；
（1）先计算乘方运算，零次幂，化简二次根式，绝对值，再合并即可；
（2）先计算括号内的减法运算，再计算除法运算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
；
17. 某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg材料，且A型机器人2h搬运的材料比B型机器人3h搬运的材料少60kg．
（1）求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料；
（2）该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于2800kg，则至少购进A型机器人多少台？
【答案】（1）A型机器人每小时搬运150kg材料，B型机器人每小时搬运120kg材料
（2）至少购进A型机器人14台
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的实际应用．
（1）设B型机器人每小时搬运材料，则A型机器人每小时搬运材料，根据“A型机器人2h搬运的材料比B型机器人3h搬运的材料少60kg”列一元一次方程，即可求解；
（2）设购进A型机器人m台，则购进B型机器人台，根据题意列不等式，求出不等式的最小整数解即可．
【小问1详解】
解：设B型机器人每小时搬运材料，则A型机器人每小时搬运材料，
依题意得：，
解得：，
∴．
答：A型机器人每小时搬运材料，B型机器人每小时搬运材料；
【小问2详解】
解：设购进A型机器人m台，则购进B型机器人台，
依题意得：，
解得：．
又∵m为整数，
∴m的最小值为14．
答：至少购进A型机器人14台．
18. 课外阅读是提高学生素养的重要途径．某中学为了了解全校学生课外阅读情况，随机抽查了200名学生，统计他们平均每天课外阅读时间（小时）．根据每天课外阅读时间的长短分为A，B，C．D四类，下面是根据所抽查的人数绘制的两幅不完整的统计图表，请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
200名学生平均每天课外阅读时间统计表
（1）求表格中a的值，并在图中补全条形统计图：
（2）该校现有1800名学生，请你估计该校共有多少名学生课外阅读时间不少于1小时？
（3）请你根据上述信息对该校提出相应的建议
【答案】（1）a的值为20，见解析；（2）720；（3）课外活动应该多增加阅读量和多运动．
【解析】
【分析】（1）用抽查的学生的总人数减去A，B，C三类的人数即为D类的人数也就是a的值，并补全统计图；
（2）先求出课外阅读时间不少于1小时的学生占的比例，再乘以1800即可．
（3）结合图上信息，符合实际意义即可．
【详解】（1）200﹣40﹣80﹣60＝20（名），
故a的值为20，
补全条形统计图如下：
（2）1800×＝720（名），
答：该校共有720名学生课外阅读时间不少于1小时；
（3）合理即可．如：课外活动应该多增加阅读量和多运动．
【点睛】本题主要考查样本的条形图的知识和分析问题以及解决问题的能力．
19. 如图，直线与反比例函数的图象交于，两点，与坐标轴分别交于点C和点D，连接，．
（1）求直线与反比例函数的表达式．
（2）求的面积．
（3）观察该函数图象，请直接写出不等式的解集．
【答案】（1），
（2）8 （3）
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用．
（1）待定系数法求出反比例函数的解析式，进而求出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式即可；
（2）利用分割法求的面积即可；
（3）图象法解不等式即可．
正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键．
【小问1详解】
解：由题意，得：，
∴，
∴反比例函数的解析式为：，，
把，代入一次函数解析式，得：
，解得：，
∴直线的解析式为：
【小问2详解】
∵，当时，，当时，，
∴，
∵，，
∴面积为；
【小问3详解】
由图象可知，的解集为：．
20. 如图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成加如图2所示的示意图，已知点，，，均在同一直线上，，测得．（结果保留小数点后一位）
（1）连接，求证：；
（2）求雕塑的高（即点E到直线BC的距离）．
（参考数据：）
【答案】（1）见解析 （2）雕塑的高约为米
【解析】
【分析】（1）根据等边对等角得出，根据三角形内角和定理得出，进而得出，即可得证；
（2）过点作，交延长线于点，在中，得出，则，在中，根据，即可求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴
∵
即
∴
即
∴；
【小问2详解】
如图所示，过点作，交的延长线于点，
在中，
∴，
∴
∴
在中，，
∴
（米）．
答：雕塑的高约为米．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
21. 如图，△ABC内接于⊙O，∠B=600，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC，
（1）求证：PA是⊙O切线；
（2）若PD=，求⊙O的直径．
【答案】（1）见解析（2）2
【解析】
【详解】解：（1）证明：连接OA，
∵∠B=600，∴∠AOC=2∠B=1200．
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=300．
又∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=300．
∴∠OAP=∠AOC﹣∠P=900．∴OA⊥PA．
∵OA是⊙O的半径，∴PA是⊙O的切线．
（2）在Rt△OAP中，∵∠P=300，
∴PO=2OA=OD+PD．
又∵OA=OD，∴PD=OA．
∵PD=，∴2OA=2PD=2．
∴⊙O的直径为2．．
（1）连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC，再由OA=OC得出∠ACO=∠OAC=300，再由AP=AC得出
∠P=300，继而由∠OAP=∠AOC﹣∠P，可得出OA⊥PA，从而得出结论．
（2）利用含300的直角三角形的性质求出OP=2OA，可得出OP﹣PD=OD，再由PD=，可得出⊙O的直径．
22. 图1所示是一个简易桶装水的取水装置，图2是其示意图．从出水口A处喷出的水流可抽象为抛物线，点C是水流与杯子底部的接触点．水流运动的高度与运动的水平距离近似满足函数关系式：．
（1）求抛物线的解析式；（不必写x的取值范围）
（2）为了取水便捷舒适，要将取水装置垫高，若垫高后点C离出水口的水平距离不得小于，求取水装置至少要垫高多少厘米？
【答案】（1）
（2）为了取水便捷舒适，取水装置至少要垫高
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的应用：
（1）运用待定系数法求解即可；
（2）设垫高的高度为，写出垫高后的函数解析式为，根据二次函数的性质可得答案．
【小问1详解】
由已知，把点、代入，
得，
解得．
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
设垫高，则垫高后的函数解析式为，
把代入，得，
解得，
∴为了取水便捷舒适，取水装置至少要垫高．
23. 李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．
（1）问题背景
如图1，正方形中，点为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点A落在点处，当时， ；
如图2，连接，当点恰好落在上时，其他条件不变，则 ；
（2）探究迁移
如图3，在（1）的条件下，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，请写出与之间的数量关系式（用含的式子表示），并说明理由；
（3）拓展应用
如图4，在（1）的条件下，若把正方形改成菱形，且，，其他条件不变，当时，请直接写出的长．
【答案】（1），2
（2），理由见详解
（3）
【解析】
【分析】（1）根据翻折的性质以，全等三角形的性质平角的概念求出，再根据相似三角形的性质，得出和的关系即可求解；
（2）根据（1）中三角形的全等与相似条件不变，得出不变，再根据和的关系，和的关系即可；
（3）构造相似三角形，根据三角形相似的性质，得出和相等，然后根据相似三角形的性质和勾股定理求出的长，即为的长．
【小问1详解】
解：（1），
，
，，
由翻折的性质可知，，
，
，
又，
，
又，
，
，
由翻折的性质可知，，，
，
，
四边形为正方形，
，
，
，，
，
，
，
，即，
故答案为：，2；
【小问2详解】
，理由如下：
由（1）可知，，，
，
；
【小问3详解】
过作，交延长线于，作的平分线，交于，如图，
，
，，，
，
又，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
设，
四边形为菱形，
，
，
，
，，
，，
由勾股定理可得：，
，
解得：，即的长为．
【点睛】本题主要考查了正方形和菱形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，合理构造相似三角形是解题的关键．类别
时间t（小时）
人数
A
t＜0.5
40
B
0.5≤t＜1
80
C
1≤t＜1.5
60
D
t≥1.5
a
1. 下列各数中，最小的无理数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了无理数的大小比较．利用无理数大小的比较方法：正数大于0，负数小于0，两个负数比较大小，绝对值大的反而小比较得出答案即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选：A．
2. 如图所示的几何体从上面看到的形状图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【详解】解：从上面看共有两层，底层右边是1个小正方形，上层有2个小正方形．
故选：D．
【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
3. 如图所示图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义求解即可．轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
4. 下列运算中，正确的是（ ）
A. x3•x2＝x5B. （x2）3＝x5
C. 2x3÷x2＝xD. ﹣（x﹣1）＝﹣x﹣1
【答案】A
【解析】
【分析】由同底数幂的乘法判断A，由幂的乘方判断B，由合并同类项判断C，由去括号判断D．
【详解】解：，故A正确，
，故B错误，
不是同类项，不能合并，故C错误，
故D错误，
故选A．
【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，去括号，掌握以上知识是解题的关键．
5. 一元二次方程根情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根D. 根的情况无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）判断方程的根的情况即可．
【详解】解：对于方程程，
∵△=16-4×4×1=0，
∴方程有两个相等的实数根，
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，记住一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
6. 不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先解出不等式的解集，然后看四个答案中哪个符合，即可解答；
【详解】解：不等式4x-8≥0，
4x≥8，
x≥2；
D符合；
故选：D．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线， “≤”实心圆点向左画折线．
7. 如图，直线经过点P（2，1），当时，则x的取值范围为（ ）
A. ≤2B. ≤1
C. ≥1D. ≥2
【答案】A
【解析】
【分析】首先求得直线OP解析式，再根据两函数图象及交点，即可求解．
【详解】解：设直线OP的解析式为
把P（2，1）代入得：
解得
故直线OP的解析式为
由图象可知：当时，则x的取值范围为≤2
故选：A．
【点睛】本题考查了利用两个一次函数的交点求不等式的解集，采用数形结合的思想是解决此类题的关键．
8. 为了能让更多人接种，某药厂的新冠疫苗生产线开足马力，24小时运转，该条生产线计划加工320万支疫苗，前5天按原计划的速度生产，5天后以原来速度的1.25倍生产，结果比原计划提前3天完成任务．设原计划每天生产万支疫苗，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据“结果比原计划提前3天完成任务”建立方程即可得．
【详解】由题意，可列方程为 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了列分式方程，正确找出等量关系是解题关键．
9. 如图，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝130°，则∠2等于（ ）
A. 30°B. 25°C. 35°D. 40°
【答案】B
【解析】
【分析】根据AB∥CD，∠3＝130°，求得∠GAB＝∠3＝130°，利用平行线的性质求得∠BAE＝180°﹣∠GAB＝180°﹣130°＝50°，由∠1＝∠2 求出答案即可．
【详解】解：∵AB∥CD，∠3＝130°，
∴∠GAB＝∠3＝130°，
∵∠BAE+∠GAB＝180°，
∴∠BAE＝180°﹣∠GAB＝180°﹣130°＝50°，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠BAE＝×50°＝25°．
故选：B．
【点睛】此题考查平行线的性质：两直线平行同位角相等，两直线平行同旁内角互补，熟记性质定理是解题的关键．
10. 如图，已知，按如下步骤作图：①分别以A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；②作直线，分别交，于点E，D，连接；③过C作交于点F，连接．则四边形的形状是（ ）
A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形
【答案】C
【解析】
【分析】先根据作图①得直线是线段的垂直平分线，从而得到，，根据作图③得到，从而证明，进而证明四边形是平行四边形，结合即可证明平行四边形是菱形．
【详解】解：由作图①得直线是线段的垂直平分线，
∴，，
由作图③得，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形．
故选：C
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图，菱形的判定、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，熟知菱形的判定定理，根据题意得到直线是线段的垂直平分线是解题关键．
二．填空题（共5小题，共15分）
11. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的乘法，根据二次根式的乘法法则计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 如图，已知AC与BD相交于点P，ABCD，点P为BD中点，若CD＝7，AE＝3，则BE＝_________．
【答案】4
【解析】
【分析】由题意利用全等三角形的判定得出，进而依据全等三角形的性质得出进行分析计算即可.
【详解】解：∵ABCD，
∴,
∵点P为BD中点，
∴,
∵,,
∴,
∴,
∵CD＝7，AE＝3，
∴.
故答案为：4.
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.
13. 在以“激情五月，唱响青春”为主题的演讲比赛中，只剩甲，乙，丙，丁四名同学进入决赛时段，则甲，乙同学获得前两名的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率；
画出树状图，根据树状图得出所有情况数和甲，乙同学获得前两名的情况数，再利用概率公式计算即可．
【详解】解：画树状图如图：
由树状图可得：共有12种等可能的结果，其中甲，乙同学获得前两名的情况有2种，
所以甲，乙同学获得前两名的概率是，
故答案为：．
14. 若一个边形的边数增加一倍，则内角和将增加____度．
【答案】
【解析】
【分析】边形的内角和是，将边形的边数增加一倍就变成边形，边形的内角和是，据此即可求得增加的度数．
【详解】∵边形的内角和是，边形的内角和是，
∴内角和将增加，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了多边形的内角和公式，解题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式的计算．
15. 如图，点E、F分别在正方形ABCD的边AD、DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，若GH的长为，则正方形的边长为_____．
【答案】5
【解析】
【分析】根据正方形的四条边都相等可得AB＝AD，每一个角都是直角可得∠BAE＝∠D＝90°，然后利用“边角边”证明△ABE≌△DAF得∠ABE＝∠DAF，进一步得∠AGE＝∠BGF＝90°，从而知GH＝BF，利用勾股定理求出BF的长即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA＝90°，
∴∠DAF+∠BEA＝90°，
∴∠AGE＝∠BGF＝90°，
∵点H为BF的中点，
∴GH＝BF，
∵GH＝，
∴BF＝，
设正方形的边长为a，则
BC＝a，CF＝CD﹣DF＝a﹣2，
在Rt△BCF中，
由勾股定理得，BF2＝CF2+BC2，
∴，
解得a＝5或a＝﹣3（舍去），
∴正方形的边长为5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识，掌握三角形全等的判定方法与正方形的性质是解题的关键．
三．解答题（共8小题，共75分）
16. （1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查的是零次幂的含义，实数的混合运算，二次根式的加减运算，分式的加减乘除混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键；
（1）先计算乘方运算，零次幂，化简二次根式，绝对值，再合并即可；
（2）先计算括号内的减法运算，再计算除法运算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
；
17. 某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg材料，且A型机器人2h搬运的材料比B型机器人3h搬运的材料少60kg．
（1）求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料；
（2）该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于2800kg，则至少购进A型机器人多少台？
【答案】（1）A型机器人每小时搬运150kg材料，B型机器人每小时搬运120kg材料
（2）至少购进A型机器人14台
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的实际应用．
（1）设B型机器人每小时搬运材料，则A型机器人每小时搬运材料，根据“A型机器人2h搬运的材料比B型机器人3h搬运的材料少60kg”列一元一次方程，即可求解；
（2）设购进A型机器人m台，则购进B型机器人台，根据题意列不等式，求出不等式的最小整数解即可．
【小问1详解】
解：设B型机器人每小时搬运材料，则A型机器人每小时搬运材料，
依题意得：，
解得：，
∴．
答：A型机器人每小时搬运材料，B型机器人每小时搬运材料；
【小问2详解】
解：设购进A型机器人m台，则购进B型机器人台，
依题意得：，
解得：．
又∵m为整数，
∴m的最小值为14．
答：至少购进A型机器人14台．
18. 课外阅读是提高学生素养的重要途径．某中学为了了解全校学生课外阅读情况，随机抽查了200名学生，统计他们平均每天课外阅读时间（小时）．根据每天课外阅读时间的长短分为A，B，C．D四类，下面是根据所抽查的人数绘制的两幅不完整的统计图表，请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
200名学生平均每天课外阅读时间统计表
（1）求表格中a的值，并在图中补全条形统计图：
（2）该校现有1800名学生，请你估计该校共有多少名学生课外阅读时间不少于1小时？
（3）请你根据上述信息对该校提出相应的建议
【答案】（1）a的值为20，见解析；（2）720；（3）课外活动应该多增加阅读量和多运动．
【解析】
【分析】（1）用抽查的学生的总人数减去A，B，C三类的人数即为D类的人数也就是a的值，并补全统计图；
（2）先求出课外阅读时间不少于1小时的学生占的比例，再乘以1800即可．
（3）结合图上信息，符合实际意义即可．
【详解】（1）200﹣40﹣80﹣60＝20（名），
故a的值为20，
补全条形统计图如下：
（2）1800×＝720（名），
答：该校共有720名学生课外阅读时间不少于1小时；
（3）合理即可．如：课外活动应该多增加阅读量和多运动．
【点睛】本题主要考查样本的条形图的知识和分析问题以及解决问题的能力．
19. 如图，直线与反比例函数的图象交于，两点，与坐标轴分别交于点C和点D，连接，．
（1）求直线与反比例函数的表达式．
（2）求的面积．
（3）观察该函数图象，请直接写出不等式的解集．
【答案】（1），
（2）8 （3）
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用．
（1）待定系数法求出反比例函数的解析式，进而求出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式即可；
（2）利用分割法求的面积即可；
（3）图象法解不等式即可．
正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键．
【小问1详解】
解：由题意，得：，
∴，
∴反比例函数的解析式为：，，
把，代入一次函数解析式，得：
，解得：，
∴直线的解析式为：
【小问2详解】
∵，当时，，当时，，
∴，
∵，，
∴面积为；
【小问3详解】
由图象可知，的解集为：．
20. 如图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成加如图2所示的示意图，已知点，，，均在同一直线上，，测得．（结果保留小数点后一位）
（1）连接，求证：；
（2）求雕塑的高（即点E到直线BC的距离）．
（参考数据：）
【答案】（1）见解析 （2）雕塑的高约为米
【解析】
【分析】（1）根据等边对等角得出，根据三角形内角和定理得出，进而得出，即可得证；
（2）过点作，交延长线于点，在中，得出，则，在中，根据，即可求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴
∵
即
∴
即
∴；
【小问2详解】
如图所示，过点作，交的延长线于点，
在中，
∴，
∴
∴
在中，，
∴
（米）．
答：雕塑的高约为米．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
21. 如图，△ABC内接于⊙O，∠B=600，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC，
（1）求证：PA是⊙O切线；
（2）若PD=，求⊙O的直径．
【答案】（1）见解析（2）2
【解析】
【详解】解：（1）证明：连接OA，
∵∠B=600，∴∠AOC=2∠B=1200．
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=300．
又∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=300．
∴∠OAP=∠AOC﹣∠P=900．∴OA⊥PA．
∵OA是⊙O的半径，∴PA是⊙O的切线．
（2）在Rt△OAP中，∵∠P=300，
∴PO=2OA=OD+PD．
又∵OA=OD，∴PD=OA．
∵PD=，∴2OA=2PD=2．
∴⊙O的直径为2．．
（1）连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC，再由OA=OC得出∠ACO=∠OAC=300，再由AP=AC得出
∠P=300，继而由∠OAP=∠AOC﹣∠P，可得出OA⊥PA，从而得出结论．
（2）利用含300的直角三角形的性质求出OP=2OA，可得出OP﹣PD=OD，再由PD=，可得出⊙O的直径．
22. 图1所示是一个简易桶装水的取水装置，图2是其示意图．从出水口A处喷出的水流可抽象为抛物线，点C是水流与杯子底部的接触点．水流运动的高度与运动的水平距离近似满足函数关系式：．
（1）求抛物线的解析式；（不必写x的取值范围）
（2）为了取水便捷舒适，要将取水装置垫高，若垫高后点C离出水口的水平距离不得小于，求取水装置至少要垫高多少厘米？
【答案】（1）
（2）为了取水便捷舒适，取水装置至少要垫高
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的应用：
（1）运用待定系数法求解即可；
（2）设垫高的高度为，写出垫高后的函数解析式为，根据二次函数的性质可得答案．
【小问1详解】
由已知，把点、代入，
得，
解得．
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
设垫高，则垫高后的函数解析式为，
把代入，得，
解得，
∴为了取水便捷舒适，取水装置至少要垫高．
23. 李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．
（1）问题背景
如图1，正方形中，点为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点A落在点处，当时， ；
如图2，连接，当点恰好落在上时，其他条件不变，则 ；
（2）探究迁移
如图3，在（1）的条件下，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，请写出与之间的数量关系式（用含的式子表示），并说明理由；
（3）拓展应用
如图4，在（1）的条件下，若把正方形改成菱形，且，，其他条件不变，当时，请直接写出的长．
【答案】（1），2
（2），理由见详解
（3）
【解析】
【分析】（1）根据翻折的性质以，全等三角形的性质平角的概念求出，再根据相似三角形的性质，得出和的关系即可求解；
（2）根据（1）中三角形的全等与相似条件不变，得出不变，再根据和的关系，和的关系即可；
（3）构造相似三角形，根据三角形相似的性质，得出和相等，然后根据相似三角形的性质和勾股定理求出的长，即为的长．
【小问1详解】
解：（1），
，
，，
由翻折的性质可知，，
，
，
又，
，
又，
，
，
由翻折的性质可知，，，
，
，
四边形为正方形，
，
，
，，
，
，
，
，即，
故答案为：，2；
【小问2详解】
，理由如下：
由（1）可知，，，
，
；
【小问3详解】
过作，交延长线于，作的平分线，交于，如图，
，
，，，
，
又，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
设，
四边形为菱形，
，
，
，
，，
，，
由勾股定理可得：，
，
解得：，即的长为．
【点睛】本题主要考查了正方形和菱形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，合理构造相似三角形是解题的关键．类别
时间t（小时）
人数
A
t＜0.5
40
B
0.5≤t＜1
80
C
1≤t＜1.5
60
D
t≥1.5
a
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