江苏省江阴长泾中学2023-2024学年高二下学期3月阶段性检测数学试卷

这是一份江苏省江阴长泾中学2023-2024学年高二下学期3月阶段性检测数学试卷，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
客观题请用2B铅笔填涂在答题卡上，主观题用黑色水笔书写在答题卡上。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.
1.已知函数在处的导数为，则 （ ）
A．B．C．D．
2.已知函数的导函数的图象如右图所示，
则函数的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
3.五一小长假前夕，甲、乙、丙三人从A,B,C,D四个旅游景点中任选一个前去游玩，其中甲到过A景点，所以甲不选A景点，则不同的选法有（ ）
A．60B．48C．54D．64
4.某物体沿直线运动，其位移s（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，
则在这段时间内，该物体位移的平均速度为
A．2B．4C．5 D．6
5.若f（x）在R上可导，,则
A．1 B．﹣1 C． D．2
6.若为函数（其中）的极小值点，则
A． B． C． D．
7.已知函数，为的导函数，则
A．0 B．2021C．2022 D．6
8.已知函数恰有三个零点，则实数的取值范围为
A． B．C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.
9.（多选）下列命题正确的是
A．若，则
B．设函数，且，则
C．已知函数，则
D．
10.已知函数．若过原点可作函数的切线有三条，则
A．恰有2个异号极值点 B．若，则
C．恰有2个异号零点 D．若，则
11.已知函数，则下列结论中正确的是
A．函数恒有1个极值点
B．当时，曲线恒在曲线上方
C．若函数有2个零点，则
D．若过点存在2条直线与曲线相切，则
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共计15分.
12.已知在区间上，如图所示的图像中， ▲ 有可能表示函数
的图像.
13.若函数f(x)＝x3＋mx2＋x＋1在R上无极值点，则实数m的取值范围是 ▲ .
14.若，则按照由小到大的顺序排列为
▲ .
四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（本题满分13分）
已知函数．
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)求的极值．
16.（本题满分15分）
某公园有一个半圆形荷花池（如图所示），为了让游客深入花丛中体验荷花美景，公园管理处计划在半圆形荷花池中设计栈道观景台P和栈道PA，PB，PC，AB，观景台P在半圆形的中轴线上（如图，与AB直径垂直，P与O，C不重合），通过栈道把荷花池连接起来，使人行其中有置身花海之感．已知米，，栈道总长度为．
(1)求关于的函数关系式．
(2)若栈道的造价为每米千元，问：栈道长度是多少时，栈道的建设费用最小？并求出
该最小值．
17．（本题满分15分）
已知：函数
(1)求的单调区间．
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
18.（本题满分17分）
已知函数，令．
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)当为正数且时，，求实数的最小值；
(3)若对一切都成立，求实数的取值范围．
19．（本题满分17分）
若时，函数取得极大值或极小值，则称为函数的极值点.已知函数，其中为正实数.
(1)若函数有极值点，求实数的取值范围；
(2)当和的几何平均数为，算术平均数为.
①判断与和的几何平均数和算术平均数的大小关系，并加以证明；
②当时，证明：.
参考答案：
D D B C D C D D
BD BD BCD

15．（1）解：因为，该函数的定义域为，则，
，，
所以，函数在点处的切线方程为，即.
（2）解：因为，该函数的定义域为，
则，列表如下：
所以，函数的极小值为，极大值为.
16．（1）因为在半圆形的中轴线上，，米，，
所以，，
所以，
所以栈道总长度
，.
（2）由（1）得，，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以当，即时，栈道的建设费用最小，
建设费用最小值为千元.
17．（Ⅰ）的定义域为，
（1）当时，在上，在上，
因此，在上递减，在上递增．
（2）当时，在上，在上，
因此，在上递减，在上递增．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：时，
由得：，
当时，
由得：
综上得：
18.（1）a＝1时，g（x）＝x2﹣3x，g′（x）＝2x﹣3，
故g（1）＝﹣2，g′（1）＝﹣1，
所以y＝g（x）在x＝1处的切线方程为y+2＝﹣（x﹣1），即x+y+1＝0；
（2）f（x）＝g（x）+h（x）＝ax2﹣（a+2）x+lnx，1≤x≤e，
则f′（x）＝2ax﹣（a+2）+＝＝，
因为a＞0，
当a≥1时，易得f（x）在[1，e]上单调递增，f（x）min＝f（1）＝﹣2，
当时，f（x）在[1，]上单调递减，在[，e]上单调递增，
故f（x）min＝f（）＜﹣2，不合题意；
当0＜a时，f（x）在[1，e]上单调递减，f（x）在[1，e]上的最小值f（e）＜f（1）＝﹣2，不符合题意，
故a的最小值为1；
（3）若＞﹣2对一切0＜x1＜x2都成立，则f（x1）﹣f（x2）＜2x2﹣2x1对一切0＜x1＜x2都成立，
所以f（x1）+2x1＜f（x2）+2x2对一切＜x1＜x2都成立，
令F（x）＝f（x）+2x＝ax2﹣ax+lnx，x＞0，
则F（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以F′（x）＝2ax﹣a+＝≥0在x＞0时恒成立，即2ax2﹣ax+1≥0在x＞0时恒成立，
当a＝0时，F′（x）＝≥0在x＞0时恒成立，符合题意，
当a≠0时，因为y＝2ax2﹣ax+1 过定点（0，1），对称轴x＝，则只要Δ＝a2﹣8a≤0，
所以0≤a≤8，
故a的取值范围为[0，8]．
19．（1）在上有变号零点，
即在上有变号零点.
①若，即时，只需矛盾，
②若，即时，只需故的取值范围为.
（2）①，
先证右边，证，令
证：，令，
在上单调递增，
再证左边证：，令证令
在上单调递减，，证毕!
②时，关于单调递减
，
设，
当时，，；
当时，，，
在上单调递增，上单调递减，，
所以当时，.
减
极小值
增
极大值
减