2020-2021学年江苏省江阴二中、要塞中学等四校高二（上）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省江阴二中、要塞中学等四校高二（上）期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了命题“， “的否定是，现有这么一列数，设等比数列的前项和为，若，，则，设，则“”是“”的，设等差数列的前项和为，若，，则，已知正数，满足，则的最小值是，设，，则下列不等式中正确的是，下列四个函数中，最小值为2的是等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省江阴二中、要塞中学等四校高二（上）期中数学试卷一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题“， “的否定是　　A．， B．， C．， D．，2．（5分）现有这么一列数：1，，，，___，，，，按照规律，___中的数应为　　A． B． C． D．3．（5分）设等比数列的前项和为，若，，则　　A． B．511 C．1023 D．4．（5分）设，则“”是“”的　　A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．（5分）设等差数列的前项和为，若，，则　　A．63 B．45 C．36 D．276．（5分）已知正数，满足，则的最小值是　　A．18 B．16 C．8 D．107．（5分）过点且与有相同焦点的椭圆的方程是　　A． B． C． D．8．（5分）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为　　A． B． C． D．二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．（5分）设，，则下列不等式中正确的是　　A． B． C． D．10．（5分）下列四个函数中，最小值为2的是　　A． B． C． D．11．（5分）在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是　　A． B．数列是等比数列 C． D．数列是公差为2的等差数列12．（5分）等差数列是递增数列，公差为，前项和为，满足，下列选项正确的是　　A． B． C．当时，最小 D．时，的最小值为8三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）设，则函数的最大值为　　．14．（5分）若关于的不等式，，的解集为，则　　15．（5分）我国古代的天文学和数学著作《周碑算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷guǐ长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则立冬的日影子长为　　尺．16．（5分）若数列满足，为常数），则称数列为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是　　．四.解答题：本大题共6题，第17题10分，第18-22题每题12分，共70分）17．（10分）已知，，若是的充分条件，求实数的取值范围．18．（12分）在等差数列中，已知，．（1）求数列的通项公式；（2）若 ______，求数列的前项和．在①，②这两个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解．19．（12分）已知函数．（1）解关于的不等式；（2）当时，不等式在上恒成立，求实数的取值范围．20．（12分）椭圆的左焦点为，右焦点为，焦距为2，过的直线交椭圆于，两点，且的周长为8．（1）求椭圆的方程；（2）若轴，求的面积．21．（12分）如图所示，为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，要求，的长度大于1米，且比长0.5米，为了稳固广告牌，要求越短越好，设，．（1）求关于的表达式；（2）当为何值时，最短并求最短值．22．（12分）设数列的前项和为，已知，，．（1）证明：为等比数列，求出的通项公式；（2）若，求的前项和；（3）在（2）的条件下判断是否存在正整数使得成立？若存在，求出所有值；若不存在，说明理由．
2020-2021学年江苏省江阴二中、要塞中学等四校高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题“， “的否定是　　A．， B．， C．， D．，【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为，，故选：．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2．（5分）现有这么一列数：1，，，，___，，，，按照规律，___中的数应为　　A． B． C． D．【分析】分别求出分子分母的规律即可求解结论．【解答】解：由题意可得：分子为连续的奇数，分母依次为首项为1、公比为2的等比数列，即其通项为：；故括号中的数应该为．故选：．【点评】本题考查了数列通项公式的求法、观察法、归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．（5分）设等比数列的前项和为，若，，则　　A． B．511 C．1023 D．【分析】利用等比数列通项公式求出首项和公比，由此能求出等比数列前项和．【解答】解：设数列的公比为，由题意可得，则，故．故选：．【点评】本题考查等比数列的前项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．（5分）设，则“”是“”的　　A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】解得的范围，即可判断出结论．【解答】解：由，解得或，故”是“”的充分不必要条件，故选：．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．（5分）设等差数列的前项和为，若，，则　　A．63 B．45 C．36 D．27【分析】观察下标间的关系，知应用等差数列的性质求得．【解答】解：由等差数列性质知、、成等差数列，即9，27，成等差，故选：．【点评】本题考查等差数列的性质．6．（5分）已知正数，满足，则的最小值是　　A．18 B．16 C．8 D．10【分析】根据正数，满足，可得，然后由，利用基本不等式求出的最小值．【解答】解：正数，满足，．，当且仅当，即，时取等号，的最小值为18．故选：．【点评】本题考查了利用基本不等式求最值，考查了转化思想和计算能力，属基础题．7．（5分）过点且与有相同焦点的椭圆的方程是　　A． B． C． D．【分析】求出已知椭圆的焦点坐标，利用椭圆的定义，求出所求椭圆的，然后由隐含条件求出，则椭圆方程可求．【解答】解：椭圆的焦点坐标为，，所求椭圆与椭圆的焦点相同，且过点，则，，得．所求椭圆的方程为：．故选：．【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，椭圆的定义的应用，考查计算能力，是基础题．8．（5分）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为　　A． B． C． D．【分析】由图形可知：，．在中，由勾股定理可得：．利用即可得出．【解答】解：由图形可知：，．在中，由勾股定理可得：．，．．故选：．【点评】本题考查了圆的性质、勾股定理、三角形三边大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．（5分）设，，则下列不等式中正确的是　　A． B． C． D．【分析】由不等式的基本性质及作差法逐一判断即可．【解答】解：由，可得，，故选项，正确；，由，可得，则，即，故正确；因为，当时，故错误．故选：．【点评】本题主要考查不等式的基本性质，及作差法的应用，属于基础题．10．（5分）下列四个函数中，最小值为2的是　　A． B． C． D．【分析】逐项利用基本不等式判断即可，需要注意等号成立的条件．【解答】解：对于，当时，，，则，当且仅当时取等号，符合题意；对于，且时，可以小于0，此时的最小值显然不为2，不符合题意；对于，，当且仅当时取等号，显然此时在实数范围内无解，不符合题意；对于，，当且仅当时取等号，符合题意．故选：．【点评】本题考查基本不等式的运用，注意需满足“一正二定三相等”，属于基础题．11．（5分）在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是　　A． B．数列是等比数列 C． D．数列是公差为2的等差数列【分析】由，，，，公比为整数．解得，．可得，，进而判断出结论．【解答】解：，，，，公比为整数．解得．，．，数列是公比为2的等比数列．．．数列是公差为的等差数列．综上可得：只有正确．故选：．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）等差数列是递增数列，公差为，前项和为，满足，下列选项正确的是　　A． B． C．当时，最小 D．时，的最小值为8【分析】推导出，，从而得到，，则当或时，最小，时，的最小值为8．【解答】解：等差数列是递增数列，公差为，前项和为，满足，，解得，，故错误；，故正确；，当或时，最小，故错误；，时，，即，时，的最小值为8，故正确．故选：．【点评】本题考查命题真假的判断，等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）设，则函数的最大值为　　．【分析】由题设利用基本不等式求得结果．【解答】解：，，，当且仅当时取“ “，故答案为：．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题．14．（5分）若关于的不等式，，的解集为，则　1　【分析】根据不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系，即可求得、的值．【解答】解：关于的不等式的解集为，所以方程的实数解为和3，由根与系数的关系知，，解得，．故答案为：1．【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．15．（5分）我国古代的天文学和数学著作《周碑算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷guǐ长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则立冬的日影子长为　10.5　尺．【分析】设夏至的日影长为，公差为，利用等差数列的通项公式和前项和公式列出方程组，求出，，由此能求出立冬的日影之长．【解答】解：夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影之长依次成等差数列，设夏至的日影长为，公差为，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，，解得，，立冬的日影子长为（尺．故答案为：10.5．【点评】本题考查等差数列的第10项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养．16．（5分）若数列满足，为常数），则称数列为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是　100　．【分析】先由“调和数列“的定义数列是正项等差数列，再由题设得到：，然后利用基本不等式求得结果．【解答】解：正项数列为“调和数列”，，为常数），数列是正项等差数列，，，即，（当且仅当时取“ “，故答案为：100．【点评】本题主要考查“调和数列”的定义的应用、等差数列的定义、性质、前项和公式及基本不等式的应用，属于中档题．四.解答题：本大题共6题，第17题10分，第18-22题每题12分，共70分）17．（10分）已知，，若是的充分条件，求实数的取值范围．【分析】先求出，，的集合范围，由是的充分条件，得，即可求得实数的取值范围．【解答】解：由题意得，或，因为是的充分条件，所以，所以或，解得或，故实数的取值范围是，，．【点评】本题考查了充分必要条件的判断，考查了集合子集等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．18．（12分）在等差数列中，已知，．（1）求数列的通项公式；（2）若 ______，求数列的前项和．在①，②这两个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解．【分析】（1）设等差数列的公差为，由题设列出与的方程组，求得与，即可求得；（2）当选条件①时：先由（1）求得，再利用裂项相消法求其前项和即可．当选条件②时：先由（1）求得，再对分奇数、偶数两种情况求得其前项和即可．【解答】解：（1）设等差数列的公差为，由题意得，，解得，；（2）选条件①：，．选条件②：，，，当为偶数时，；当为奇数时，为偶数，，．【点评】本题主要考查等差数列基本量的计算、裂项相消法及分类讨论思想在数列求和中的应用，属于中档题．19．（12分）已知函数．（1）解关于的不等式；（2）当时，不等式在上恒成立，求实数的取值范围．【分析】（1）运用因式分解和对讨论，分，，，可得不等式的解集；（2）由题意可得对一切恒成立，运用参数分离和构造函数法，结合函数的单调性可得所求范围．【解答】解：（1），，①当时，，②当时，，，③当时，，综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为．（2）当时，化为，对一切恒成立，，设，，为递增函数，，．【点评】本题考查二次不等式的解法和不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和参数分离、构造函数法，以及运算能力和推理能力，属于中档题．20．（12分）椭圆的左焦点为，右焦点为，焦距为2，过的直线交椭圆于，两点，且的周长为8．（1）求椭圆的方程；（2）若轴，求的面积．【分析】（1）利用已知条件求出，利用焦距求解，然后求解，得到椭圆方程．（2）求出，结合图形，求解三角形的面积即可．【解答】解：（1）由题意的周长为8，可知，，所以，由焦距为2，所以，所以，所以椭圆的方程为．（2）设直线的方程为，由，，得，解得，，所以．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，是基础题．21．（12分）如图所示，为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，要求，的长度大于1米，且比长0.5米，为了稳固广告牌，要求越短越好，设，．（1）求关于的表达式；（2）当为何值时，最短并求最短值．【分析】（1）在中，利用余弦定理即可得到关于的表达式；（2）利用基本不等式求解的最小值，以及此时的值即可．【解答】解：（1）由题意得，在中，由余弦定理得，即，化简并整理得．（2），当且仅当即时，等号成立，所以当时，取最小值，答：当米时，最短，最短值米．【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了余弦定理的应用，以及利用基本不等式求最值，是中档题．22．（12分）设数列的前项和为，已知，，．（1）证明：为等比数列，求出的通项公式；（2）若，求的前项和；（3）在（2）的条件下判断是否存在正整数使得成立？若存在，求出所有值；若不存在，说明理由．【分析】（1）由题设得，然后求得，即可证明数列为等比数列，进而求得，再由求得结果；（2）先由（1）求得，再利用错位相减法求得其前项和；（3）假设存在，利用（2）知，然后令，利用其单调性和函数值论证假设不成立，从而得到不存在这样的这一结论．【解答】解：（1）证明：，，又，，，数列为首项、公比均为2的等比数列，，即，又，当时，，又当时，也满足此式，；（2），，又，两式相减得：，；（3）假设存在，由（2）可得：，整理得：，，即，令，则，，在单调递减，又，当，，不存在正整数使得成立．【点评】本题主要考查等比数列的定义、通项公式的求法、错位相减法在数列求和中的应用及函数单调性在处理存在性问题中的应用，有一定的难度．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/2/23 14:35:43；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394