2024年安徽省马鞍山市花山区东方实验学校中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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1. 相反数是（ ）
A B. C. 4D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数．
【详解】解：的相反数是．
故选D．
2. 2023年我国经济持续发展，国内生产总值达到126万亿元，同比增长．其中126万亿用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：126万亿，
故选：C．
3. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项，负整数指数幂，同底数幂相乘，幂的乘方，逐项判断，即可求解．
【详解】解：A、和不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项正确，符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了合并同类项，负整数指数幂，同底数幂相乘，幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
4. 把图1中的正方体的一角切下后摆在图2所示的位置，则图2中的几何体的主视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】【分析】根据实物的形状和主视图的概念判断即可．
【详解】从正面看是一个等腰三角形，高线是虚线，
观察只有D选项符合，
故选D．
【点睛】本题考查了几何体的三视图，从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图．
5. 在某县中小学安全知识竞赛中，参加决赛的6个同学获得的分数分别为（单位：分）：95、97、97、96、98、99，对于这6个同学的成绩下列说法正确的是（ ）
A. 众数为95B. 极差为3C. 平均数为96D. 中位数为97
【答案】D
【解析】
【分析】根据中位数，众数，平均数，极差的定义求解判断即可．
【详解】解：把这6个同学的成绩从小到大排列为：95、96、97、97、98、99，处在第3名和第4名的成绩为97、97，
∴中位数为97，
∵得分为97的出现了两次，出现的次数最多，
∴众数为97，
∵得分最高为99，得分最低为95，
∴极差为，
，
∴平均数为97，
∴四个选项中只有D选项符合题意，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了求中位数，众数，平均数和极差，熟知中位数，众数，平均数，极差的定义是解题的关键．
6. 如图，E、F分别是矩形ABCD边AB、CD上的点，将矩形ABCD沿EF折叠，使A、D分别落在A′和D′处，若∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A. 65°B. 60°C. 50°D. 40°
【答案】A
【解析】
【分析】由折叠的性质得到∠AEF＝∠A′EF，再根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】由折叠的性质得，∠AEF＝∠A′EF，
∵∠1＝50°，
∴∠AEF＝∠A′EF＝＝65°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠2＝∠AEF＝65°，
故选：A．
【点睛】本题主要考查矩形中折叠的性质与平行线的性质，掌握折叠的性质，是解题的关键．
7. 随着“二胎政策”出生的孩子越来越大，纷纷到了入学年龄，某校2021年学生数比2020年增长了，2022年新学期开学统计，该校学生数又比2021年增长了，设2021、2022这两年该校学生数平均增长率为，则满足的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是设2021、2022这两年该校学生数平均增长率为x，以2022年该校学生数为等量关系列方程．
【详解】解：设这两年该校学生数平均增长率为，列方程为，
故选D．
8. 如图，四边形的对角线平分，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用，对应边成比例和锐角三角函数即可解决
【详解】解：过点E做EF⊥AB于点F
∵AC平分∠BAD
∴∠BAC=∠DAC
∴ED=EF
因为∠ABE=30°，可设EF=x，则BE=2x
∵cs∠CBE=，
∴
∴
∵∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠ADE
∴
∴
故答案为：D
【点睛】本题主要考查了相似的性质和判定，以及锐角三角函数和角平分线的性质，找到相似三角形是解决本题的关键．
9. 已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设，则，，将点，代入，得出，代入二次函数，可得当时，，则，得出对称轴为直线，抛物线对称轴在轴的右侧，且过定点，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，

设，则，根据图象可得，
将点代入，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
对称轴为直线，
当时，，
∴抛物线经过点，
∴抛物线对称轴在的右侧，且过定点，
当时，，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，二次函数图象的性质，得出是解题的关键．
10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，点D、F分别是边AB，BC上的动点，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GF+ FB的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由FB联想到给FB构造含30°角的直角三角形，故把Rt△ABC补成等边△ABP，过F作BP的垂线FH，故GF+FB＝GF+FH，易得当G、F、H成一直线时，GF+FB最短．又由于点G为动点，易证点G在以AC为直径的圆上，求点G到PB的最短距离即当点G在点O到BP的垂线段上时，GQ的长度．
【详解】延长AC到点P，使CP＝AC，连接BP，过点F作FH⊥BP于点H，取AC中点O，连接OG，过点O作OQ⊥BP于点Q，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝4
∴AC＝CP＝2，BP＝AB＝4
∴△ABP是等边三角形
∴∠FBH＝30°
∴Rt△FHB中，FH＝FB
∴当G、F、H在同一直线上时，GF+FB＝GF+FH＝GH取得最小值
∵AE⊥CD于点G
∴∠AGC＝90°
∵O为AC中点
∴OA＝OC＝OG＝AC
∴A、C、G三点共圆，圆心为O，即点G在⊙O上运动
∴当点G运动到OQ上时，GH取得最小值
∵Rt△OPQ中，∠P＝60°，OP＝3，
sin∠P＝
∴OQ＝
∴GH最小值为
故选C．
【点睛】本题考查了含30°直角三角形性质，垂直平分线性质，点到直线距离，圆上点与直线距离，最短路径．解题关键是找到点G运动到什么位置时，GH最小，进而联想到找出点G运动路径再计算．
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
11. 计算：________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用负指数幂的运算法则以及立方根的性质化简，进而利用有理数的加减运算法则计算得出答案．
【详解】解：原式=
=．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了负指数幂运算以及立方根的性质，正确化简各数是解题关键．
12. 因式分解：________．
【答案】
【解析】
【分析】根据多项式特点，进行分组，两次运用公式法分解因式即可.
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题无法直接提公因式或运用乘法公式进行分解因式，结合式子特点，对多项式分组，两次运用公式法进行分解，要注意符号问题，正确分组是解题关键.
13. 如图，抛物线过点，，且顶点在第一象限，设，则M的取值范围是___．
【答案】.
【解析】
【分析】将（-1，0）与（0，2）代入y=ax2+bx+c，可知b=a+2，利用对称轴可知：a＞-2，从而可知M的取值范围．
【详解】将与代入，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
故答案为.
【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．
14. 如图，在中，，是边上的一点，，，分别是，上的点，且，．
(1)设，则__(用含的式子表示)；
(2)若，，则的长为_____．
【答案】 ① ## ②.
【解析】
【分析】（1）依题意得，设，则，，，然后根据得，即，则，据此可得的度数；
（2）过点作交的延长线于，设则，证和全等得，则，再证得，然后在中由勾股定理构造关于的方程，解方程求出即可得的长．
【详解】解：（1），
，
设，
，
，
，
为的一个外角，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
（2）过点作交的延长线于，如下图所示：
则，
，
由（1）可知：当时，，，
，
设则
，
，
和中，
，
，
，
，
，
是的一个外角，
，
，，
，
，
，
在中，，，，
由勾股定理得：，
即，
整理得：，
解得： (不合题意，舍去)，
．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程，理解等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理构造方程是解决问题的关键，难点是正确地作出辅助线构造全等三角形．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
15. 计算：．
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查了实数的综合运算能力，涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、负整数幂、乘方．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【详解】解：原式
．
16. 如图所示，在边长为1个单位的小正方形网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段，直线l在网格线上．

（1）把线段向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到线段（其中A与C是对应点），请画出线段；
（2）把线段绕点D按顺时针方向旋转，得到线段，在网格中画出；
（3）请在网格中画出关于直线l对称的．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）将点及点分别向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到点和点，连接点和点即可；
（2）根据旋转的性质，找出点绕点按顺时针方向旋转后所得到的对应点，连接，，即可得到；
（3）根据对称的性质，分别找出点，点，点关于直线对称的点，点，点，连接点，，，即可得到．
【小问1详解】
解：所画线段如图①所示；
【小问2详解】
解：所画 ，如图②所示；
【小问3详解】
解：所画 ，如图③所示．
【点睛】本题考查了作图-图象的平移，画旋转图形，画轴对称图形，掌握图象平移的性质，旋转的性质及对轴称图形的性质是解题关键．
四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
17. 如图，某大楼上树立一块高为3米的广告牌．数学活动课上，立新老师带领小燕和小娟同学测量楼的高．测角仪支架高米，小燕在处测得广告牌的顶点的仰角为22°，小娟在处测得广告牌的底部点的仰角为45°，米．请你根据两位同学测得的数据，求出楼的高．（结果取整数，参考数据：）
【答案】楼的高约为26米
【解析】
【分析】延长EF交CH于点G，可得DG=FG，再根据锐角三角函数可得DG的长，进而可得DH的高度．
【详解】解：如图，延长交于，则，
∵，∴，
设米，则米，
米，
在中，，
∴，
∴，解得，
∴（米）
答：楼的高约为26米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题．在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．
18. 某花卉生产基地举行花卉展览，如图所示是用这两种花卉摆成的图案，白色圆点为盆景，灰色圆点为盆花．图1中盆景数量为2，盆花数量为2；图2中盆景数量为4，盆花数量为6；图3中盆景数量为6，盆花数量为12……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）图6中盆景数量为________，盆花数量为___________；
（2）已知该生产基地展出以上两种花卉在某种图案中的数量之和为130盆，分别求出该图案中盆景和盆花的数量；
（3）若有n（n为偶数，且）盆盆景需要展出（只摆一种图案），照此组合图案，需要盆花的数量为________．（用含n的代数式表示）
【答案】（1）12；42
（2）该图案中盆景和盆花的数量分别为20和110
（3）
【解析】
【分析】（1）由图可知，依次写出图1到图5的盆景的数量，盆花的数量；推导出一般性规律：图中盆景的数量为：；盆花的数量为：，将代入求解即可；
（2）由题意知，，求出满足要求的值，进而可得盆景，盆花的数量；
（3）根据推导出一般性规律作答即可．
【小问1详解】
解：由图可知，盆景的数量依次为：、、、、
盆花的数量依次为：、、、、
∴可推导出一般性规律：图中盆景的数量为：；盆花的数量为：
∴图6中盆景的数量为：；盆花的数量为：
故答案为：12；42．
【小问2详解】
解：由题意知，
整理得
解得，（不合题意，舍去）
当时，盆景数量为，盆花数量为
∴该图案中盆景和盆花的数量分别为20和110．
【小问3详解】
解：由一般性规律可知，当有n盆盆景需要展出时，需要盆花的数量为
故答案为：．
【点睛】本题考查了图形类规律探究，列代数式，解一元二次方程．解题的关键在于推导出一般性规律．
五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
19. 如图，直线y=ax+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线y=（x＞0）相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC=2，点A的坐标为（-2，0）．
（1）求直线AP和双曲线的表达式；
（2）若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且QH⊥x轴于H，当以点Q、C、H为顶点的三角形与△AOB相似时，求点Q的坐标．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）把点A（-2，0）代入，求出的值，求出一次函数解析式，在求出点P坐标，代入反比例函数解析式，即可得到答案；
（2）作轴，设Q（m，n），根据相似三角形的性质，通过列方程并求解，即可得到答案；
【小问1详解】
解：把A（-2，0）代入中，求得，
，
由PC=2，把y=2代入中，得，
即P（2，2），
把P（2，2）代入y=得k=4，
双曲线表达式为；
【小问2详解】
如图，作轴，
，
设Q（m，n），
∵Q（m，n）在y=上，
∴n=.
当△QCH∽△BAO时，可得，
即，
∴，
即，
整理得，
解得或（舍去），
，
当△QCH∽△ABO时，可得，
即，
整理得，
，
解得或（舍去），
∴Q，
综上，或．
【点睛】本题考查了一次函数、双曲线、三角函数、分式方程、相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握双曲线、三角函数、相似三角形的性质，从而完成求解．
20. 如图1，等腰中，，以为直径的与所在直线、分别交于点、，于点．
（1）求证：为的切线；
（2）如图2，当时，若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，证出，由切线的判定可得出结论；
（2）证明，得出，证明，得出，求出的长，由勾股定理可得出答案．
【小问1详解】
解：证明: 连接，
∵是等腰三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
如图所示, 连接，
∵，
由勾股定理可得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
，即 ，
解得，
∵为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，三角形相似的性质和判定，勾股定理，矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 某校在课后服务中，成立了以下社团：A．计算机，B．围棋，C．篮球，D．书法每人只能加入一个社团，为了㸷学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图1中D所占扇形的圆心角为．请结合图中所给信息解答下列问题：

（1）这次被调查的学生共有______人；
（2）请你将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有1800学生加入了社团，请你估计这1800名学生中有多少人参加了篮球社团；
（4）在书法社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，恰好四位同学中有两名是男同学，两名是女同学．现决定从这四人中任选两名参加全市书法大赛，用画树状图求恰好选中一男一女的概率．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）这名学生中有人参加了篮球社团
（4）
【解析】
【分析】（1）由D所占扇形的圆心角为，根据，计算可求这次被调查的学生；
（2）根据C组人数为：，计算求解，然后补图即可；
（3）根据，计算求解即可；
（4）根据题意，画树状图，然后求概率即可．
【小问1详解】
解：∵D所占扇形的圆心角为，
∴这次被调查的学生共有：（人）；
故答案为：；
【小问2详解】
解：由题意知，C组人数为：（人），
补充条形统计图如下：
【小问3详解】
解：（人），
答：这名学生中有人参加了篮球社团，
【小问4详解】
解：设甲乙为男同学，丙丁为女同学，画树状图如下：

∴一共有种可能的情况，恰好选择一男一女有种，
∴．
【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图，用样本估计总体，列举法求概率．从统计图中获取正确的信息，正确的画树状图是解题的关键．
七、（本题满分12分）
22. 如图1，在△ABC中，AB=AC，过点B作BD⊥AC交AC于E点，且BD=AC，N为BC边中线AM上一点，且MN=MB．
（1）求证：BN平分∠ABE；
（2）连接DN．若BD=1，且四边形DNBC恰为平行四边形，试求线段BC的长；
（3）如图2，若点F为AB的中点，连接FN、FM，求证：∠MFN=∠BDC．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，然后根据余角的性质求出，然后根据等腰直角三角形的性质和三角形外角的性质，即可推出结论；
（2）设，由平行四边形的性质得出，再利用证明，得出，在 中，根据勾股定理建立方程求解，即可解答；
（3）根据两边对应成比例且夹角相等，证明，即可得出结论．
【小问1详解】
证明：∵AB=AC，
，
∵M是的中点，
，
在中，，
在中，，
，
∵MB=MN，
是等腰直角三角形，
，
∵，
，
即平分．
【小问2详解】
解：设，如图，
∵四边形是平行四边形，
，
在和中，
，
，
，
在中，由，
可得：，
解得a=（舍去负值），
．
【小问3详解】
证明：∵F是AB的中点，
在中，，
，
∵∠MAB=∠CBD，
，
∵，
即，
．
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是能综合运用所学的几何知识解决问题．
八、（本题满分14分）
23. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，点．点在轴正半轴上，且，分别是线段，上的动点（点不与点重合，点不与点重合）．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）连接．
①将沿轴翻折得到，点的对应点分别是点和点，当点在拋物线上时，求点的坐标；
②连接，当时，求的最小值．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）抛物线与轴交于两点，点，用待定系数法即可求解；
（2）①如图，连接交于点，根据折叠的性质，设，用含的式子表示点， 根据点在抛物线上即可求解；②如下图，过点作轴，可证，、、三点共线时，取到最小值，在中，根据勾股定理即可求解．
【小问1详解】
解：抛物线与轴交于两点，，
，解得，
，
∴抛物线的表达式为．
【小问2详解】
解：已知抛物线与轴交于两点，点，
∴令，则，解得，，，
∴，
①如图，连接交于点，
与关于轴对称，
，，
设，则，且，
在中，，
∴，
∴在中，，
，
点在抛物线上，
，解得或（舍去），
；
②如下图，过点作轴，使得，作延长线于点，
，
又，，
，
，
、、三点共线时，取到最小值，
，，，
，，
在中，，，
．
【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握二次函数图像的性质，几何图形的性质，折叠的性质，勾股定理，最短路径的计算方法是解题的关键．