2023年安徽省马鞍山市花山区中考数学二模试卷+

这是一份2023年安徽省马鞍山市花山区中考数学二模试卷+，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．2的相反数是（ ）
A．B．C．﹣2D．2
2．2022年马鞍山市GDP位于全省第六，约为2520亿元，2520亿用科学记数法表示为（ ）
A．252×109B．25.2×1010C．2.52×1011D．2.52×1012
3．如图是由8个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A．B．C．D．
4．a2•（﹣a3）的计算结果是（ ）
A．a6B．﹣a6C．a5D．﹣a5
5．如图，在由4个相同的小正方形拼成的网格中，∠2﹣∠1＝（ ）
A．60°B．75°C．90°D．105°
6．某校有25名同学参加某比赛，预赛成绩各不相同，取前13名参加决赛，能否进入决赛，只需要再知道这25名同学成绩的（ ）
A．最高分B．中位数C．方差D．平均数
7．关于x的方程x2﹣x﹣3＝0的两根分别为x1，x2，则x1+x2﹣x1•x2的值为（ ）
A．4B．﹣2C．2D．﹣4
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与反比例函数，将直线y＝x沿y轴向上平移b个单位长度，交x轴于点C，若BC＝2OA，则b的值为（ ）更多优质滋源请 家 威杏 MXSJ663
A．1.5B．2C．2.5D．3
9．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，2∠C＝180°+∠A，则下列关于AB、BC的关系描述正确的是（ ）
A．AB＞2BC
B．AB＝2BC
C．AB＜2BC
D．AB与2BC的关系无法判断
10．如图，△ABC为等边三角形，D、E分别是边BC、AC上的点BC，P是边AB上的动点，DE为对角线构造▱PDQE，若AB＝10（ ）
A．B．C．D．10
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）不等式的解集为 ．
12．（5分）因式分解：m2n﹣9n+3﹣m＝ ．
13．（5分）如图，AB为⊙O的直径，点E是AB上一点，四边形ACDE为菱形，CD交⊙O于点F，若EF⊥AB，AB＝6 ．
14．（5分）已知二次函数y＝﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数且m≥1），该函数恒过定点A
（1）定点A的坐标为 ；
（2）△ABC面积的最小值为 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：．
16．（8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）．
（1）将△ABC向上平移6个单位，再向右平移4个单位后得到△A1B1C1，请在网格中画出△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）观察以下等式：
第1个等式：﹣＝；
第2个等式：﹣＝；
第3个等式：﹣＝；
第4个等式：﹣＝；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
18．（8分）为弘扬助俭美德，落实节约政策，某旅游景点进行设施改造，已知改造完成后，平均每天的用水量减少，该景点在实施改造后平均每天用水多少吨？
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，校园内有块三角形土地ABC，其中AB＝AC，学校准备向边AB的外围拓展得到三角形地块ACD，要求点D、B、C在同一条直线．经测量BD＝39m，求扩充部分的地块ABD的面积．（结果精确到1m2，参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75，）
20．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C，AC＝CD，AD与BC相交于点E，且AF＝AE．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若AC＝4，，求cs∠BAD的值．
六、（本大满分12分）
21．（12分）为了让同学们进一步了解中国科技的快速发展，我市某中学九（1）班团支部组织了一次手抄报比赛，“北斗卫星”；C．“高速铁路”，绘制了不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）九（1）班共有 名学生；
（2）请以九（1）班的统计数据估计全校3000名学生中大约有多少人选择A主题？
（3）请求出C主题所对应扇形圆心角的大小；
（4）在手抄报比赛中，甲、乙两位同学均获得了一等奖，请用画树状图或列表的方法求出他们的手抄报主题不相同的概率．
七、（本大满分12分）
22．（12分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣1．
（1）二次函数的图象的对称轴是直线x＝ ；
（2）当﹣1≤x≤4时，y的最大值与最小值的差为9，求该二次函数的表达式；
（3）若a≤﹣2，直线y＝kx﹣3经过抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1的顶点A，且与该抛物线的另一交点为B，求OB的最大值．
八、（本大满分14分）
23．（14分）点D是△ABC内一点，AD平分∠BAC，延长CD交AB于点E
（1）如图1，若AB＝AC，证明：DE＝DF；
（2）如图2，若∠BDC+∠BAC＝180°，证明：＝；
（3）如图3，若∠BAC＝60°，∠BDC＝120°，＝，求BD的值．
2023年安徽省马鞍山市花山区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．2的相反数是（ ）
A．B．C．﹣2D．2
【分析】根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：2的相反数是﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2．2022年马鞍山市GDP位于全省第六，约为2520亿元，2520亿用科学记数法表示为（ ）
A．252×109B．25.2×1010C．2.52×1011D．2.52×1012
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：2520亿＝252000000000＝2.52×1011．
故选：C．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
3．如图是由8个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先细心观察原立体图形中正方体的位置关系，从正面看，一共三列，左边有2个小正方形，中间有2个小正方形，右边有3个小正方形，结合四个选项选出答案．
【解答】解：从正面看，一共三列，中间有2个小正方形，主视图是：
．
故选：C．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体及简单组合体的三视图，重点考查几何体的三视图及空间想象能力．
4．a2•（﹣a3）的计算结果是（ ）
A．a6B．﹣a6C．a5D．﹣a5
【分析】先根据积的乘方的运算性质计算乘方，再根据单项式的乘法法则计算即可．
【解答】解：a2•（﹣a3）
＝（﹣2×1）×（a2•a6）
＝﹣a5．
故选：D．
【点评】本题考查了积的乘方的运算性质及单项式的乘法法则，属于基础题型，比较简单．
5．如图，在由4个相同的小正方形拼成的网格中，∠2﹣∠1＝（ ）
A．60°B．75°C．90°D．105°
【分析】利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：如图所示，连接AD，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠1＝∠ACD，
∵∠2﹣∠ACD＝∠DCE＝90°，
∴∠3﹣∠1＝90°．
故选：C．
【点评】本题考查了全等图形，主要利用了网格结构以及全等三角形的判定与性质，准确识图并确定出全等三角形是解题的关键．
6．某校有25名同学参加某比赛，预赛成绩各不相同，取前13名参加决赛，能否进入决赛，只需要再知道这25名同学成绩的（ ）
A．最高分B．中位数C．方差D．平均数
【分析】根据中位数的意义分析．
【解答】解：某校有25名同学参加某比赛，预赛成绩各不相同，其中一名同学已经知道自己的成绩，只需要再知道这25名同学成绩的中位数．
故选：B．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
7．关于x的方程x2﹣x﹣3＝0的两根分别为x1，x2，则x1+x2﹣x1•x2的值为（ ）
A．4B．﹣2C．2D．﹣4
【分析】直接根据根与系数的关系求解．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣x﹣3＝5的两根分别为x1，x2，
∴x8+x2＝1，x2•x2＝﹣3，
∴x3+x2﹣x1•x4＝1+3＝5，
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与反比例函数，将直线y＝x沿y轴向上平移b个单位长度，交x轴于点C，若BC＝2OA，则b的值为（ ）
A．1.5B．2C．2.5D．3
【分析】解析式联立，解方程求得A的横坐标，根据定义求得B的纵坐标，把纵坐标代入反比例函数的解析式求得B的坐标，代入y＝x+b即可求得b的值．
【解答】解：∵直线y＝x与反比例函数0）的图象交于点A，
∴解得或，
∴A（2，3），
∵BC＝2OA，
∴B的纵坐标为4，
把y＝7代入y＝得，x＝1，
∴B（5，4），
∵将直线y＝x沿y轴向上平移b个单位长度，得到直线y＝x+b，
∴把C的坐标代入得4＝4+b，求得b＝3，
故选：D．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象与几何变换，求得交点B的坐标是解题的关键．
9．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，2∠C＝180°+∠A，则下列关于AB、BC的关系描述正确的是（ ）
A．AB＞2BC
B．AB＝2BC
C．AB＜2BC
D．AB与2BC的关系无法判断
【分析】在BA上截取BE＝BC，连接ED，可证明△BED≌△BCD，得∠BED＝∠C，而∠CDE＝360°﹣∠ABC﹣2∠C＝360°﹣∠ABC﹣（180°+∠A）＝∠C，所以∠BED＝∠CDE，则∠AED＝∠ADE，所以AD＝AE＝BC＝BE，则AB＝2AE＝2BC，于是得到问题的答案．
【解答】解：在BA上截取BE＝BC，连接ED，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠CBD，
在△BED和△BCD中，
，
∴△BED≌△BCD（SAS），
∴∠BED＝∠C，
∵2∠C＝180°+∠A，
∴∠CDE＝360°﹣∠ABC﹣2∠C＝360°﹣∠ABC﹣（180°+∠A）＝180°﹣∠ABC﹣∠A＝∠C，
∴∠BED＝∠CDE，
∴180°﹣∠BED＝180°﹣∠CDE，
∴∠AED＝∠ADE，
∴AD＝AE，
∵AD＝BC，
∴AE＝BC＝BE，
∴AB＝6AE＝2BC，
故选：B．
【点评】此题重点考查三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
10．如图，△ABC为等边三角形，D、E分别是边BC、AC上的点BC，P是边AB上的动点，DE为对角线构造▱PDQE，若AB＝10（ ）
A．B．C．D．10
【分析】依据题意，建立平面直角坐标系，由直线AB的解析式可设P（m，m），Q（x，y），再根据平行四边形的对角线互相平分进而求出x，y的关系，最后根据垂线段最短可以得解．
【解答】解：由题意，建立平面直角坐标系，设平行四边形对角线交于点M．
由题意，∵BD＝CE＝AB＝，
∴D（，0），）．
∵M是DE的中点，
∴M（，）．
由题意，设直线AB为y＝kx，），
∴2＝5k．
∴k＝．
∴直线AB为y＝x．
∵P在直线AB上，
∴可设P（m，m）．
再设Q（x，y），
∴＝，＝．
∴上面两式消去m得，x﹣y＝10．
∴Q在直线y＝x﹣10．
∴当BQ垂直于直线y＝x﹣10时．
对于直线y＝x﹣10，
令x＝6，∴y＝﹣10；
令y＝0，∴x＝10．
∴利用面积法可得BQ的最小值为＝4．
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）不等式的解集为 x＞3 ．
【分析】不等式去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解集．
【解答】解：去分母得：3x﹣1＞6（x+1），
去括号得：3x﹣6＞2x+2，
移项得：5x﹣2x＞2+3，
合并同类项得：x＞3．
故答案为：x＞3．
【点评】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
12．（5分）因式分解：m2n﹣9n+3﹣m＝ （m﹣3）（mn+3n﹣1） ．
【分析】依据题意，根据因式分解的一般方法，先分组再运用公式法及提公因式可以得解．
【解答】解：原式＝n（m2﹣9）﹣（m﹣2）
＝n（m+3）（m﹣3）﹣（m﹣4）
＝（m﹣3）（mn+3n﹣2）．
故答案为：（m﹣3）（mn+3n﹣8）．
【点评】本题主要考查了分组分解法进行因式分解，解题时要熟练掌握并理解．
13．（5分）如图，AB为⊙O的直径，点E是AB上一点，四边形ACDE为菱形，CD交⊙O于点F，若EF⊥AB，AB＝6 ．
【分析】过点C作CH⊥AB于H，连接AF，BF，设OE＝x，则BE＝3﹣x，AE＝3+x，由四边形ACDE为菱形得CD∥AB，AC＝CD＝DE＝AE＝3+x，先证OH＝OE＝x，则HE＝2x，证四边形CHEF为矩形得CF＝HE＝2x，则DF＝3﹣x，然后在Rt△EFD中由勾股定理得EF2＝12x，再证△AEF和△FEB相似得EF2＝AE•BE＝9﹣x2，据此得9﹣x2＝12x，由此解出x即可得出答案．
【解答】解：过点C作CH⊥AB于H，连接AF，如图：
∵AB为⊙O的直径，且AB＝6，
∴OA＝OB＝3，
设OE＝x，则BE＝OB﹣OE＝4﹣x，
∵四边形ACDE为菱形，
∴CD∥AB，AC＝CD＝DE＝AE＝3+x，
∴，CH＝FE，
∴AC＝BF，
在Rt△ACH和Rt△BFE中，
AC＝BF，CH＝FE，
∴Rt△ACH≌Rt△BFE（HL），
∴AH＝BE，
∵OA＝OB＝3，
∴OA﹣AH＝OB﹣BE，
即：OH＝OE＝x，
∴HE＝6x，
∵CH⊥AB，EF⊥AB，
∴CH∥EF，
又CD∥AB，
∴四边形CHEF为矩形，
∴CF＝HE＝2x，
∴DF＝CD﹣CF＝3+x﹣8x＝3﹣x，
在Rt△EFD中，DF＝3﹣x，
由勾股定理得：EF6＝DE2﹣DF2＝（8+x）2﹣（3﹣x）5＝12x，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴∠AFB+∠BFE＝90°，
又EF⊥AB，则∠AEF＝∠FEB＝90°，
∴∠BFE+∠B＝90°
∴∠AFB＝∠B，
∴△AEF∽△FEB，
∴AE：EF＝EF：BE，
∴EF2＝AE•BE＝（3+x）（4﹣x）＝9﹣x2，
∴3﹣x2＝12x，
即：x2+12x﹣4＝0，
解得：（舍去负值），
∴．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了菱形的性质，矩形的判定及性质，相似形的判定及性质，勾股定理等，解答此题的关键是准确的作出辅助线构造矩形和相似三角形，难点是利用相似形的性质及勾股定理构造方程求解．
14．（5分）已知二次函数y＝﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数且m≥1），该函数恒过定点A
（1）定点A的坐标为 （﹣1，0） ；
（2）△ABC面积的最小值为 3 ．
【分析】（1）利用y＝﹣x2+（m﹣1）x+m＝﹣（x+1）（x﹣m），即可求得A的坐标；
（2）将二次函数与一次函数联立方程组求得B、C的坐标，过点A作AD∥y轴交直线BC于点D，则D（m﹣1，﹣1），利用S△ABC＝S△ABD+S△ACD即可求得结果．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+（m﹣1）x+m＝﹣（x+6）（x﹣m），
∴定点A的坐标为：（﹣1，0）；
（2）联立，
解得：或，
∴B（﹣2，﹣8﹣m），0），
过点A作AD∥y轴交直线BC于点D，则D（m﹣1，
∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，
∴S△ABC＝（m+1）（m﹣5+2）+，
＝（m3+3m+2）
＝（m+）2﹣
∵a＝＞6且m≥1，
∴当m＞﹣时，S随m的增大而减小，
∴当m＝1时，S有最小值×（1+）2﹣＝3，
∴△ABC面积的最小值为 3．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的特征以及二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的相关知识点是解决本题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：．
【分析】先计算零次幂、负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值，再计算加减．
【解答】解：
＝1﹣3+2﹣
＝﹣1．
【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算．
16．（8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）．
（1）将△ABC向上平移6个单位，再向右平移4个单位后得到△A1B1C1，请在网格中画出△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C2即为所求；
（2）如图，△A2B2C8即为所求．
【点评】本题考查作图﹣位似变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握位似变换的性质，平移变换的性质．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）观察以下等式：
第1个等式：﹣＝；
第2个等式：﹣＝；
第3个等式：﹣＝；
第4个等式：﹣＝；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ＝ ；
（2）写出你猜想的第n个等式： ＝ （用含n的等式表示），并证明．
【分析】（1）根据题目中给出的等式，可以写出第5个等式；
（2）根据题目中的式子，可以猜想出第n个等式，并加以证明．
【解答】解：（1）由题意可得，
第5个等式是＝，
故答案为：＝；
（2）猜想的第n个等式是：＝，
证明：
＝﹣
＝﹣
＝
＝
＝
＝，
故＝成立．
【点评】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的猜想并加以证明．
18．（8分）为弘扬助俭美德，落实节约政策，某旅游景点进行设施改造，已知改造完成后，平均每天的用水量减少，该景点在实施改造后平均每天用水多少吨？
【分析】设该景点在设施改造后平均每天用水x吨，则在改造前平均每天用水x吨，根据“64吨水可以比原来多用8天”列出方程并解答．
【解答】解：设该景点在设施改造后平均每天用水x吨，
则在改造前平均每天用水x吨，
根据题意，得＝8．
解得x＝8.6．
经检验：x＝1.4是原方程的解，且符合题意．
答：该景点在设施改造后平均每天用水1.6吨．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，校园内有块三角形土地ABC，其中AB＝AC，学校准备向边AB的外围拓展得到三角形地块ACD，要求点D、B、C在同一条直线．经测量BD＝39m，求扩充部分的地块ABD的面积．（结果精确到1m2，参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75，）
【分析】过点A作AE⊥CD，垂足为E，根据垂直定义可得∠AED＝90°，再根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠C＝53°，从而可得∠BAE＝37°，然后设AE＝xm，分别在Rt△ABE和Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出DE和BE的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，
∴∠AED＝90°，
∵AB＝AC，∠C＝53°，
∴∠ABC＝∠C＝53°，
∴∠BAE＝90°﹣∠ABC＝37°，
设AE＝xm，
在Rt△ABE中，BE＝AE•tan37°≈0.75x（m），
在Rt△ADE中，∠D＝30°，
∴DE＝＝＝x（m），
∵DE﹣BE＝BD，
∴x﹣4.75x＝39，
解得：x≈41.1，
∴AE＝41.1m，
∴△ABD的面积＝BD•AE＝2），
∴扩充部分的地块ABD的面积约为801m2．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C，AC＝CD，AD与BC相交于点E，且AF＝AE．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若AC＝4，，求cs∠BAD的值．
【分析】（1）由圆周角定理可得∠CAD＝∠ABC，由等腰直角三角形的性质可得∠FAC＝∠CAD，由余角的性质可证AF⊥AB，可得结论；
（2）利用锐角三角函数和勾股定理可求AE，CE，AB，BE的长，通过证明△ACE∽△BDE，可得，可求DE的长，即可求解．
【解答】（1）证明：∵AC＝CD，
∴，
∴∠CAD＝∠ABC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，
∵AE＝AF，∠ACB＝90°，
∴∠FAC＝∠CAD，CE＝FC，
∴∠FAC＝∠CAD＝∠ABC，
∴∠FAC+∠CAB＝90°，
∴AF⊥AB，
又∵AB是直径，
∴AF是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接BD，
∵cs∠ABC＝cs∠CAD＝，AC＝5，
∴AE＝5，
∴AF＝AE＝5，CE＝＝，
∴CE＝CF＝3，
∵tanF＝，
∴，
∴AB＝，
∵cs∠ABC＝＝，
∴BF＝，
∴BE＝BF﹣EF＝﹣（3+6）＝，
∵∠CAD＝∠CBD，∠AEC＝∠BED，
∴△ACE∽△BDE，
∴，
∴，
∴DE＝，
∴AD＝+5＝，
∴cs∠BAD＝＝＝．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，利用锐角三角函数求线段的长是解题的关键．
六、（本大满分12分）
21．（12分）为了让同学们进一步了解中国科技的快速发展，我市某中学九（1）班团支部组织了一次手抄报比赛，“北斗卫星”；C．“高速铁路”，绘制了不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）九（1）班共有 50 名学生；
（2）请以九（1）班的统计数据估计全校3000名学生中大约有多少人选择A主题？
（3）请求出C主题所对应扇形圆心角的大小；
（4）在手抄报比赛中，甲、乙两位同学均获得了一等奖，请用画树状图或列表的方法求出他们的手抄报主题不相同的概率．
【分析】（1）根据D主题的人数除以占的百分比求出调查的学生总数即可；
（2）根据样本中A主题的百分比，估计出全校学生选择A主题的学生数即可；
（3）由C主题的百分比，乘以360°，确定出所求即可；
（4）列表确定出所有等可能的情况数，找出手抄报主题不相同的情况数，求出所求概率即可．
【解答】解：（1）根据题意得：15÷30%＝50（名），
则九（1）班共有50名学生；
故答案为：50；
（2）根据题意得：3000×＝300（名），
则估计全校3000名学生中大约有300人选择A主题；
（3）根据题意得：360°×＝72°，
则C主题所对应扇形圆心角的大小72°；
（4）根据题意列表如下：
所有等可能的情况有16种，其中手抄报主题不相同的情况有12种，
则P（手抄报主题不相同）＝＝．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用样本估计总体，以及扇形统计图，弄清题中的数据是解本题的关键．
七、（本大满分12分）
22．（12分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣1．
（1）二次函数的图象的对称轴是直线x＝ 1 ；
（2）当﹣1≤x≤4时，y的最大值与最小值的差为9，求该二次函数的表达式；
（3）若a≤﹣2，直线y＝kx﹣3经过抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1的顶点A，且与该抛物线的另一交点为B，求OB的最大值．
【分析】（1）利用二次函数的性质解答即可；
（2）利用二次函数的性质和待定系数法解答即可；
（3）把A点的坐标代入y＝kx﹣3求得k＝2﹣a，然后两解析式联立，解方程组求得B点的坐标为B（，﹣5），设＝m，则B（m，2m﹣5），利用勾股定理求得OB2＝5（m﹣2）2+5，由a≤﹣2，求得﹣1≤m＜0，即可利用二次函数的性质求得OB2的最大值，进一步求得OB的最大值．
【解答】解：（1）∵x＝﹣＝5，
∴二次函数图象的对称轴是直线x＝1．
故答案为：1；
（2）y＝ax7﹣2ax﹣1＝a（x﹣2）2﹣a﹣1，
a＞6时，
∴当x＝1时，二次函数有最小值为﹣a﹣1，
当﹣6≤x≤4时，x＝4时函数有最大值7a﹣1，
∵当﹣1≤x≤3时，y的最大值与最小值的差为9，
∴8a﹣8﹣（﹣a﹣1）＝9，
∴a＝4．
∴该二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣6；
a＜0时，
∴当x＝1时，二次函数有最大值为﹣a﹣3，
当﹣1≤x≤4时，x＝8时函数有最小值8a﹣1，
∵当﹣7≤x≤4时，y的最大值与最小值的差为9，
∴﹣a﹣8﹣（8a﹣1）＝6，
∴a＝﹣1．
∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2+5x﹣1；
故该二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣1或y＝﹣x2+3x﹣1；
（3）∵y＝ax2﹣6ax﹣1＝a（x﹣1）2﹣a﹣1，
∴A（1，﹣a﹣6），
∵直线y＝kx﹣3经过抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1的顶点A，
∴﹣a﹣1＝k﹣5，
∴k＝2﹣a，
∴直线为y＝（2﹣a）x﹣2，
由，解得或，
∴B（，﹣5），
设＝m，2m﹣5），
∴OB2＝m7+（2m﹣5）7＝5m2﹣20m+25＝4（m﹣2）2+2，
∵a≤﹣2，
∴﹣1≤＜0，
∴当m＝﹣1时，OB6有最大值为50，
∴OB的最大值为5．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法确定二次函数的解析式，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
八、（本大满分14分）
23．（14分）点D是△ABC内一点，AD平分∠BAC，延长CD交AB于点E
（1）如图1，若AB＝AC，证明：DE＝DF；
（2）如图2，若∠BDC+∠BAC＝180°，证明：＝；
（3）如图3，若∠BAC＝60°，∠BDC＝120°，＝，求BD的值．
【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△ACD，可得∠ABF＝∠ACE，BD＝CD，由“ASA”可证△ABF≌△ACE，可得BF＝CE，可得结论；
（2）通过证明△CDF∽△BDH，可得，即可求解；
（3）通过证明点A，点E，点D，点F四点共圆，可得∠DEF＝∠DFE＝30°，可求DE＝DF＝4，DC＝6，由勾股定理可求CF＝2，由勾股定理可求解．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
又∵AB＝AC，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴∠ABF＝∠ACE，BD＝CD，
又∵AB＝AC，∠BAF＝∠CAE，
∴△ABF≌△ACE（ASA），
∴BF＝CE，
∴DE＝DF；
（2）证明：如图2，作∠HBD＝∠ACD，
∵∠BDC+∠BAC＝180°，
∴∠BAC+∠EDF＝180°，
∴∠AFD+∠AED＝180°，
∵∠AFD+∠DFC＝180°，
∴∠AED＝∠CFD＝∠BEH，
∵∠HBD＝∠ACD，∠CDF＝∠BDH，
∴△CDF∽△BDH，
∴，∠CFD＝∠H，
∴∠H＝∠BEH，
∴BE＝BH，
∴；
（3）解：如图3，连接EF，过点F作FH⊥EC于H，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∵∠BAC+∠BDC＝180°，
∴∠BAC+∠EDF＝180°，
∴点A，点E，点F四点共圆，
∴∠DFE＝∠DAE＝30°，∠DEF＝∠DAF＝30°，
∴∠DEF＝∠DFE＝30°，
∴DE＝DF＝4，
∵，
∴DF＝5，
∵∠EDB＝∠FDC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠DEN＝∠DFH＝30°，
∴DN＝DH＝2，FH＝EN＝2，
∴CH＝4，
∴CF＝＝＝2，
∵，
∴，
设BD＝4x，则BE＝2x，
∵BE6＝EN2+BN2，
∴28x4＝12+（6x﹣2）3，
解得：x＝1或x＝2，
∴BD＝6或12．
【点评】本题是相似形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．A
B
C
D
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
（D，D）