2022-2023学年北京市海淀区清华附中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年北京市海淀区清华附中八年级（下）期中数学试卷（含解析），共35页。试卷主要包含了点A，数据组等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年北京市海淀区清华附中八年级（下）期中数学试卷
一．选择题（本大题共24分，每小题3分）
1．下列曲线中，表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，在▱ABCD中，AE⊥CD于点E，∠B＝60°，则∠DAE等于（　　）

A．15° B．30° C．45° D．60°
3．某校规定学生的学期学业成绩由平时成绩和期中成绩、期末成绩三部分组成，依次按照2：3：5的比例确定学期学业成绩．若小明的平时成绩为90分，期中成绩为80分，期末成绩为94分，则小明的学期学业成绩为（　　）分．
A．86 B．88 C．89 D．90
4．一次函数y＝﹣2x+4的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　）
A．对角互补 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分 D．四边相等
6．在英语听说模拟测试中，7名男生的成绩如下：28，22，22，25，23，25，25，则这组数据的众数是（　　）
A．28 B．22 C．23 D．25
7．点A（﹣3，m），B（2，n）都在一次函数y＝﹣2x+3的图象上，则m与n的大小关系为（　　）
A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．无法确定
8．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若AC＝16，S菱形ABCD＝64，则OH的长为（　　）

A． B．4 C．8 D．
二．填空题（本大题共16分，每小题2分）
9．函数中，自变量x的取值范围是 　 　．
10．数据组：28，37，32，37，35的中位数是　 　．
11．一次函数y＝x﹣2的图象与y轴的交点坐标　 　．
12．如图，在正方形ABCD内部作等边△CDE，连接BD．则∠BDE的度数为 　 　．

13．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数）的图象与x轴交于点（3，0），则关于x的不等式kx+b≥0的解集是 　 　．

14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝62°，CD⊥AB，垂足为D，E是BC的中点，连接ED，则∠EDC的度数是 　 　．

15．如图，直线y＝kx+b（k≠0，k，b为常数）与直线y＝x相交于点A（2，2），则不等式x＞kx+b的解集为 　 　．

16．如图，在矩形OABC中，点B的坐标为（5，12），则AC的长是 　 　．

三．解答题（本题共60分，第17-18题每题5分，第19-21题每题6分，第22-25题每题8分）
17．已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：BE＝DF．

18．某药研究所开发了一种新药，在实际用药时发现，如果成人按规定剂量服用，那么每毫升血液中含药量y（毫克）随时间x（小时）的变化情况如图所示．
（1）服药后 　 　小时，血液中含药量最高，达到每毫升 　 　毫克，接着逐渐减弱，　 　小时后血液中含药量为0；
（2）服药后10小时，血液中含药量为每毫升 　 　毫克．
（3）如果每毫升血液中含药量4毫克或4毫克以上时，治疗疾病最有效，那么这个有效时间是 　 　小时．

19．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB＝10，AC＝16．
（1）求证：BN＝DN；
（2）求MN的长．

20．如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）点C是直线AB上的一点，且满足S△BOC＝2．求点C的坐标．

21．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车分别从甲地开往乙地（轿车的平均速度大于货车的平均速度），如图，线段OA、折线BCD分别表示两车离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间的函数关系．
（1）线段OA与折线BCD中，表示货车离甲地的距离y与时间x之间的函数关系．
（2）求线段CD的函数解析式；
（3）货车出发多长时间两车相遇？

22．在矩形ABCD中，连接BD，延长BC至E，使BE＝BD，过点E作EF∥BD交AD延长线于点F．
（1）求证：四边形BEFD是菱形；
（2）连接BF，若BC＝3，CD＝4，
①求菱形BEFD的面积，
②直接写出线段BF的长为 　 　．

23．农业农村经济在国民经济中占有重要地位，科技兴农、为促进乡村产业振兴提供有力支撑．为了解甲、乙两种新品猕猴桃的质量，进行了抽样调查．在相同条件下，随机抽取了甲、乙各25份样品，对大小、甜度等各方面进行了综合测评，并对数据进行收集、整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．测评分数（百分制）如下：
甲 77 79 80 80 85 86 86 87 88 89 89 90 91 91 91 91 91 92 93 95 95 96 97 98 98
乙 69 87 79 79 8679 87 89 90 89 90 90 90 91 90 92 92 94 92 95 96 96 97 98 98
b．按如下分组整理、描述这两组样本数据：
测评分数x
个数
品种
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
甲
0
a
9
14
乙
1
3
b
16
注：分数90分及以上为优秀，80～89分为合格，80分以下为不合格．
c．甲、乙两种猕猴桃测评分数的平均数、众数、中位数如表所示：
品种
平均数
众数
中位数
甲
89.4
91
d
乙
89.4
c
90
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中a，b，c，d的值；
（2）记甲种猕猴桃测评分数的方差为，乙种猕猴桃测评分数的方差为，则，的大小关系为 　 　；
（3）根据抽样调查情况，可以推断 　 　种猕猴桃的质量较好，理由为 　 　．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）
24．在平面直角坐标系xOy中，将经过点A（﹣1，2）的直线l1：y＝2x+b向下平移5个单位得直线l2，直线l2经过点B（1，m），
（1）求直线l2的解析式及点B的坐标；
（2）直线l2与y轴交于点C，求△ABC的面积；
（3）若直线l3：y＝kx﹣2与线段AB有公共点，直接写出k的取值范围．

25．如图，点E在正方形ABCD的BC边上（不与点B，C重合），点B关于直线AE的对称点为F，作射线BF交AE交于点G，连接DF，过点C作OH∥DF交射线BF于点H．
（1）依题意补全图形；
（2）求∠DFH的度数；
（3）用等式表示线段BF与CH之间的数量关系．并证明．

四、附加题（本题共20分，第26～28题每题3分，第29题4分，第30题7分）
26．已知一组数据的方差s2＝[（x1﹣6）2+（x2﹣6）2+（x3﹣6）2+（x4﹣6）2]，那么这组数据的总和为　 　．
27．把图1中边长为10的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，且此菱形的一条对角线长为16，将这四个直角三角形拼成如图2所示的正方形，则图2中的阴影的面积为　 　．

28．矩形ABCD中，AB＝8，AD＝3，点A是y轴正半轴上任意一点，点B在x轴正半轴上．连接OD．则线段OD的长度最大值是 　 　．

29．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A、交y轴于点B，点C与点A关于y轴对称，动点P、Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ＝∠BAO．当△PQB为等腰三角形时，点P的坐标是 　 　．

30．在平面直角坐标系xOy中，对于点A，记线段OA的中点为M，若点A，M，P，Q按顺时针方向排列构成菱形AMPQ，其中∠QAM＝α（0°＜α＜180°），则称菱形AMPQ是点A的“α﹣旋半菱形”，称菱形AMPQ边上所有点都是点A的“α﹣旋半点”，已知点A（4，0）．

（1）在图1中，画出点A的“60°﹣旋半菱形”AMPQ，并直接写出点P的坐标；
（2）若点B（3，1）是点A的“α﹣旋半点”，求α的值；
（3）若存在α使得直线y＝﹣x+b上有点A的“α﹣旋半点”，直接写出b的取值范围．


参考答案
一．选择题（本大题共24分，每小题3分）
1．下列曲线中，表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据函数的定义解答即可．
解：A、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；
B、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；
C、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；
D、能表示y是x的函数，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了函数概念，关键是掌握在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．
2．如图，在▱ABCD中，AE⊥CD于点E，∠B＝60°，则∠DAE等于（　　）

A．15° B．30° C．45° D．60°
【分析】由在▱ABCD中，∠B＝60°，可求得∠D的度数，又由AE⊥CD，可求得答案．
解：∵在▱ABCD中，∠B＝60°，
∴∠D＝∠B＝60°，
∵AE⊥CD，
∴∠DAE＝90°﹣∠D＝30°．
故选：B．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及直角三角形的性质．注意掌握平行四边形的对角相等定理的应用是解此题的关键．
3．某校规定学生的学期学业成绩由平时成绩和期中成绩、期末成绩三部分组成，依次按照2：3：5的比例确定学期学业成绩．若小明的平时成绩为90分，期中成绩为80分，期末成绩为94分，则小明的学期学业成绩为（　　）分．
A．86 B．88 C．89 D．90
【分析】根据加权平均数的计算方法计算即可．
解：小明的学期学业成绩为：＝89（分）．
故选：C．
【点评】本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的定义是解题的关键．
4．一次函数y＝﹣2x+4的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】先根据一次函数的系数判断出函数图象所经过的象限，由此即可得出结论．
解：∵一次函数y＝﹣2x+4中，k＝﹣2＜0，b＝4＞0，
∴此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．
故选：C．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知当k＜0，b＞0时，一次函数y＝kx+b的图象在一、二、四象限是解答此题的关键．
5．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　）
A．对角互补 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分 D．四边相等
【分析】A中菱形对角不互补，则错误，B中矩形对角线不互相垂直，则错误，C中平行四边形的对角线互相平分，以上三个图形都是平行四边形，正确，D三个图形中，矩形四边不相等，错误．
解：A、菱形对角不互补，故本选项错误；
B、矩形对角线不互相垂直，故本选项错误；
C、平行四边形的对角线互相平分，以上三个图形都是平行四边形，故本选项正确；
D、三个图形中，矩形四边不相等，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质，主要从对角线着手考查的，正方形是平行四边形得最典型的图形．
6．在英语听说模拟测试中，7名男生的成绩如下：28，22，22，25，23，25，25，则这组数据的众数是（　　）
A．28 B．22 C．23 D．25
【分析】找到出现次数最多的数据，即为众数．
解：7个数据中，25出现的次数最多，
∴这组数据的众数是25．
故选：D．
【点评】本题考查众数．熟练掌握众数是出现次数最多的数据，可能不唯一，是解题的关键．
7．点A（﹣3，m），B（2，n）都在一次函数y＝﹣2x+3的图象上，则m与n的大小关系为（　　）
A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．无法确定
【分析】由k＝﹣2＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合﹣3＜2，即可得出m＞n．
解：∵k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵点A（﹣3，m），B（2，n）都在一次函数y＝﹣2x+3的图象上，且﹣3＜2，
∴m＞n．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
8．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若AC＝16，S菱形ABCD＝64，则OH的长为（　　）

A． B．4 C．8 D．
【分析】由菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，可计算出BD的长度，再根据直角三角形的性质可得直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出答案．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴，
∴BD＝8，
∵DH⊥AB，
在Rt△BHD中，点O是BD的中点，
∴．
故选：B．
【点评】本题主要考查了菱形及直角三角形的性质，合理应用性质进行计算是解决本题的关键．
二．填空题（本大题共16分，每小题2分）
9．函数中，自变量x的取值范围是 　x＞5　．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
解：由题意得：x﹣5＞0，
解得：x＞5，
故答案为：x＞5．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．
10．数据组：28，37，32，37，35的中位数是　35　．
【分析】先把这组数据从小到大排列，再找出最中间的数即可得出答案．
解：把这组数据从小到大排列为：28,32,35,37,37，最中间的数是35，
则中位数是35．
故答案为：35．
【点评】此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
11．一次函数y＝x﹣2的图象与y轴的交点坐标　（0，﹣2）　．
【分析】因为y轴上的点，其横坐标为0，即x＝0，因此可以把x＝0，代入一次函数的关系式中求出相应y的值，进而确定交点的坐标．
解：当x＝0时，y＝0﹣2＝﹣2
∴一次函数y＝x﹣2的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣2）
故答案为：（0，﹣2）．
【点评】考查一次函数的图象与y轴、x轴的交点坐标的求法，数形结合、坐标轴上点的坐标特点的应用，是解决问题的基础．
12．如图，在正方形ABCD内部作等边△CDE，连接BD．则∠BDE的度数为 　15°　．

【分析】根据等边三角形的性质可得CE＝DE，根据正方形的性质可得AD＝DC，从而得到DE＝AD，再根据等边对等角可得∠DAE＝∠DEA，然后求出∠ADE＝30°，再求出∠DAE的度数即可．
解：∵△CDE是等边三角形，
∴∠EDC＝60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BDC＝45°，
∴∠BDE＝∠EDC﹣∠BDC＝60°﹣45°＝15°，
故答案为：15°．
【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
13．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数）的图象与x轴交于点（3，0），则关于x的不等式kx+b≥0的解集是 　x≤3　．

【分析】找到函数图象在x轴上方（含x轴）对应的x的范围即可．
解：由图象和题意可知：
函数图象在x轴上方（含x轴）对应的x的范围是x≤3，
故答案为：x≤3．
【点评】本题考查了一次函数与不等式的关系，应从图象入手分析，将不等式与一次函数的关系梳理清楚，即可求得结果．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝62°，CD⊥AB，垂足为D，E是BC的中点，连接ED，则∠EDC的度数是 　62°　．

【分析】根据直角三角形的两锐角互余求出∠B，再去吃∠DCE，根据直角三角形斜边上的中线性质得出CE＝DE，求出∠EDC＝∠DCE，再求出答案即可．
解：∵∠ACB＝90°，∠A＝62°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣62°＝28°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠DCE＝90°﹣∠B＝90°﹣28°＝62°，
∵E是BC的中点，
∴DE＝，CE＝BC，
∴DE＝CE，
∴∠EDC＝∠DCE＝62°，
故答案为：62°．
【点评】本题考查了直角三角形的性质和等腰三角形的性质，注意：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，②直角三角形的两锐角互余．
15．如图，直线y＝kx+b（k≠0，k，b为常数）与直线y＝x相交于点A（2，2），则不等式x＞kx+b的解集为 　x＞2　．

【分析】根据题意知，直线y＝kx+b位于直线y＝x下方的部分符合题意．
解：如图，直线y＝kx+b与y＝x的交点坐标为A（2，2），
∴关于x的不等式x＞kx+b的解集为x＞2．
故答案为：x＞2．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式．本题要求利用图象求解各问题，根据图象观察，得出结论．要认真体会一次函数与一元一次不等式之间的关系．
16．如图，在矩形OABC中，点B的坐标为（5，12），则AC的长是 　13　．

【分析】根据勾股定理求出OB，根据矩形的性质得出AC＝OB，即可得出答案．
解：连接OB，过B作BM⊥x轴于M，

∵点B的坐标是（5，12），
∴OM＝5，BM＝12，
由勾股定理得：，
∵四边形OABC是矩形，
∴AC＝OB，
∴AC＝13，
故答案为：13．
【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理等知识点，能根据矩形的性质得出AC＝OB是解此题的关键．
三．解答题（本题共60分，第17-18题每题5分，第19-21题每题6分，第22-25题每题8分）
17．已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：BE＝DF．

【分析】要证明BE＝DF，可以证明它们所在的两个三角形全等，也可以通过证明四边形BEDF是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等进行证明．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BCAD∥BC，
∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴，
∴DE＝BF，DE∥BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE＝DF．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，通过此题可以发现：证明两条线段相等，除了通过证明全等三角形的方法，也可通过特殊四边形的性质进行证明．
18．某药研究所开发了一种新药，在实际用药时发现，如果成人按规定剂量服用，那么每毫升血液中含药量y（毫克）随时间x（小时）的变化情况如图所示．
（1）服药后 　2　小时，血液中含药量最高，达到每毫升 　6　毫克，接着逐渐减弱，　18　小时后血液中含药量为0；
（2）服药后10小时，血液中含药量为每毫升 　4　毫克．
（3）如果每毫升血液中含药量4毫克或4毫克以上时，治疗疾病最有效，那么这个有效时间是 　9　小时．

【分析】（1）根据函数图象中的数据可以解答本题；
（2）直接利用图象中的数据可得结果；
（3）求出0≤x≤2的解析式，令y＝4，求出最有效的开始时间，根据图象得出结束时间，可得时长．
解：（1）由图象可得，
服药后2小时，血液中含药量最高，达到每毫升8毫克，接着逐渐减弱，
从2小时开始，每小时减弱（毫克），
∴还需（小时），降为0，
∴18小时后血液中含药量为0，
故答案为：2，6，18；
（2）由图象可得，
服药后10小时，血液中含药量为每毫升4毫克，
故答案为：4；
（3）当0≤x≤2时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx，
2k＝8，得k＝4，
即当0≤x≤2时，y与x之间的函数关系式是y＝4x，
将y＝4代入y＝4x，得x＝1，
由图象可知，当x＝10时，y＝4，
故这个最有效时间x（小时）的范围是10﹣1＝9（小时），
故答案为：9．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
19．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB＝10，AC＝16．
（1）求证：BN＝DN；
（2）求MN的长．

【分析】（1）证明△ABN≌△ADN，即可得出结论；
（2）先判断MN是△BDC的中位线，从而得出MN．
【解答】证明：（1）∵AN平分∠BAC
∴∠1＝∠2，
∵BN⊥AN
∴∠ANB＝∠AND，
在△ABN和△ADN中，
，
∴△ABN≌△ADN（ASA）
∴BN＝DN；
（2）∵△ABN≌△ADN
∴AD＝AB＝10，DN＝NB，
∴CD＝AC﹣AD＝16﹣10＝6，
又∵点M是BC中点，
∴MN是△BDC的中位线，
∴MN＝CD＝3．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，关键是根据全等三角形的判定证明△ABN≌△ADN．
20．如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）点C是直线AB上的一点，且满足S△BOC＝2．求点C的坐标．

【分析】（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，将点A（1，0）、点B（0，﹣2）分别代入解析式即可组成方程组，从而得到AB的解析式；
（2）设点C的横坐标为x，根据三角形面积公式以及S△BOC＝2求出C的横坐标，再代入直线即可求出纵坐标的值，从而得到其坐标．
解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵直线AB过点A（1，0）、点B（0，﹣2），
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝2x﹣2．

（2）设点C的横坐标为x，
∵S△BOC＝2，
∴•2•|x|＝2，
解得x＝±2，
∵点C是直线AB上的一点，
∴x＝2时，y＝2×2﹣2＝2，
x＝﹣2时，y＝2×（﹣2）﹣2＝﹣6，
∴点C的坐标是（2，2）或（﹣2，﹣6）．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，解答此题不仅要熟悉函数图象上点的坐标特征，还要熟悉三角形的面积公式．
21．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车分别从甲地开往乙地（轿车的平均速度大于货车的平均速度），如图，线段OA、折线BCD分别表示两车离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间的函数关系．
（1）线段OA与折线BCD中，表示货车离甲地的距离y与时间x之间的函数关系．
（2）求线段CD的函数解析式；
（3）货车出发多长时间两车相遇？

【分析】（1）根据题意可以分别求得两个图象中相应函数对应的速度，从而可以解答本题；
（2）设CD段的函数解析式为y＝kx+b，将C（2.5，60），D（4.5，300）两点的坐标代入，运用待定系数法即可求解；
（3）根据题意可以求得OA对应的函数解析式，从而可以解答本题．
解：（1）线段OA表示货车货车离甲地的距离y与时间x之间的函数关系，
（千米/时），
线段OA表示货车离甲地的距离y与时间x之间的函数关系为：y＝60x；
（2）设CD段函数解析式为y＝kx+b（k≠0）（2.5≤x≤4.5）．
∵C（2.5，60），D（4.5，300）在其图象上，
∴，
解得，
∴CD段函数解析式：y＝120x﹣240（2.5≤x≤4.5）；
（3）设线段OA对应的函数解析式为y＝kx，300＝5k，得k＝60，
即线段OA对应的函数解析式为y＝60x，
∴，
解得，
即货车出发4小时两车相遇．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
22．在矩形ABCD中，连接BD，延长BC至E，使BE＝BD，过点E作EF∥BD交AD延长线于点F．
（1）求证：四边形BEFD是菱形；
（2）连接BF，若BC＝3，CD＝4，
①求菱形BEFD的面积，
②直接写出线段BF的长为 　4　．

【分析】（1）利用矩形的性质得到AD∥BC，结合已知证明平行四边形，再利用BE＝BD即可证明菱形；
（2）①根据矩形和菱形的性质求出BE，再利用面积公式计算；②求出AF的长度，利用勾股定理计算即可．
【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，
AD∥BC，
∵EF∥BD，
∴四边形BEFD是平行四边形，
∵BE＝BD，
∴四边形BEFD是菱形；
（2）解：①在矩形ABCD中，∠BCD＝∠A＝90°，
∵BC＝AD＝3，CD＝AB＝4，
∴，
∵四边形BEFD是菱形，
∴BE＝BD＝5，
∴菱形BEFD的面积为BE×CD＝5×4＝20；
②在菱形BEFD中，DF＝BD＝5，
∴AF＝AD+DF＝8，
∴．
【点评】本题考查了菱形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握菱形的判定方法，灵活运用菱形的性质．
23．农业农村经济在国民经济中占有重要地位，科技兴农、为促进乡村产业振兴提供有力支撑．为了解甲、乙两种新品猕猴桃的质量，进行了抽样调查．在相同条件下，随机抽取了甲、乙各25份样品，对大小、甜度等各方面进行了综合测评，并对数据进行收集、整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．测评分数（百分制）如下：
甲 77 79 80 80 85 86 86 87 88 89 89 90 91 91 91 91 91 92 93 95 95 96 97 98 98
乙 69 87 79 79 8679 87 89 90 89 90 90 90 91 90 92 92 94 92 95 96 96 97 98 98
b．按如下分组整理、描述这两组样本数据：
测评分数x
个数
品种
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
甲
0
a
9
14
乙
1
3
b
16
注：分数90分及以上为优秀，80～89分为合格，80分以下为不合格．
c．甲、乙两种猕猴桃测评分数的平均数、众数、中位数如表所示：
品种
平均数
众数
中位数
甲
89.4
91
d
乙
89.4
c
90
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中a，b，c，d的值；
（2）记甲种猕猴桃测评分数的方差为，乙种猕猴桃测评分数的方差为，则，的大小关系为 　＜　；
（3）根据抽样调查情况，可以推断 　甲　种猕猴桃的质量较好，理由为 　①甲品种猕猴桃的测评分数的中位数、众数均比乙品种的高，②甲品种猕猴桃的测评分数方差比乙种小　．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）
【分析】（1）根据题意以及中位数、众数的意义求解即可；
（2）根据数据大小波动情况，直观可得答案；
（3）从中位数、众数的比较得出答案．
解：（1）由题意可知，甲种猕猴桃的测评分数在70≤x＜80中有2个，故a＝2；乙种猕猴桃的测评分数在80≤x＜90中有5个，故b＝5；
乙种猕猴桃的测评分数出现次数最多的是90，所以众数是90，即c＝90；
将甲种猕猴桃的测评分数从小到大排列处在中间位置的一个数是91，因此中位数是91，即d＝91；
（2）由甲、乙猕猴桃的测评分数大小波动情况，直观可得s12＜s22，
故答案为：＜；
（3）可以推断甲品种较好，理由为：①甲品种猕猴桃的测评分数的中位数、众数均比乙品种的高；②甲品种猕猴桃的测评分数方差比乙种小．
故答案为：甲；①甲品种猕猴桃的测评分数的中位数、众数均比乙品种的高，②甲品种猕猴桃的测评分数方差比乙种小．
【点评】本题考查频数分布表，中位数、众数、平均数，理解中位数、众数、平均数的意义和计算方法是正确解答的前提．
24．在平面直角坐标系xOy中，将经过点A（﹣1，2）的直线l1：y＝2x+b向下平移5个单位得直线l2，直线l2经过点B（1，m），
（1）求直线l2的解析式及点B的坐标；
（2）直线l2与y轴交于点C，求△ABC的面积；
（3）若直线l3：y＝kx﹣2与线段AB有公共点，直接写出k的取值范围．

【分析】（1）将点A代入y＝2x+b中求出b值，得到l1的解析式，再根据平移的性质得到l2的解析式，将点B坐标代入，可得m值；
（2）在l2中令x＝0求出点C坐标，再利用割补法计算面积即可；
（3）分别将点A和点B代入l3：y＝kx﹣2中，求出对应k值，再根据l3与线段AB有公共点，结合图象得出结果．
解：（1）将A（﹣1，2）代入y＝2x+b中，
得：2＝2×（﹣1）+b，解得：b＝4，
∴l1：y＝2x+4，
向下平移5个单位后，得：l2：y＝2x+4﹣5，即y＝2x﹣1，
将B（1，m）代入l2中，得：m＝2×1﹣1＝1，
∴B（1，1）；
（2）l2中，令x＝0，得y＝﹣1，
∴C（0，﹣1），
∴；
（3）当l3：y＝kx﹣2经过点A时，
得2＝﹣k﹣2，
解得：k＝﹣4；
当l3：y＝kx﹣2经过点B时，
得1＝k﹣2，
解得：k＝3；
∴当直线l3：y＝kx﹣2与线段AB有公共点时，
k≥3或k≤﹣4．

【点评】本题考查了一次函数的表达式，求一次函数的自变量和函数值，一次函数与坐标轴的交点问题，以及综合问题，解题的关键是利用数形结合思想，从图象角度出发求出k的取值范围．
25．如图，点E在正方形ABCD的BC边上（不与点B，C重合），点B关于直线AE的对称点为F，作射线BF交AE交于点G，连接DF，过点C作OH∥DF交射线BF于点H．
（1）依题意补全图形；
（2）求∠DFH的度数；
（3）用等式表示线段BF与CH之间的数量关系．并证明．

【分析】（1）依据题意补全图形即可；
（2）连接AF，根据对称的性质得到AB＝AD＝AF，利用等边对等角得到∠ABF＝∠AFB，∠ADF＝∠AFD，结合四边形内角和求出∠AFB+∠AFD＝135°，可得∠DFH；
（3）过C作CT⊥BH，垂足为T，证明△CHT是等腰直角三角形，得到，再证明△ABG≌△BCT（AAS），得出，结合对称的性质BG＝FG，可得结果．
解：（1）如图所示：


（2）连接AF，∵B，F关于AE对称，
∴AE垂直平分BF，
∴AB＝AF，
在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴AB＝AD＝AF，
∴∠ABF＝∠AFB，∠ADF＝∠AFD，
∵∠BAD+∠ABF+∠ADF+∠BFD＝360°，
∴2∠AFB+2∠AFD＝360°﹣90°＝270°，
∴∠AFB+∠AFD＝135°，
∴∠DFH＝45°；

（3），理由是：
过C作CT⊥BH，垂足为T，

∵DF∥CH，
∴∠CHT＝∠DFH＝45°，
∴△CHT是等腰直角三角形，
∴，
在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABG+∠CBG＝90°，
∵∠BTC＝90°，
∴∠CBG+∠BCT＝90°，
∴∠ABG＝∠BCT，
又AB＝BC，∠AGB＝∠BTC＝90°，
∴△ABG≌△BCT（AAS），
∴，
∵BG＝FG，
∴．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了正方形的性质，轴对称变换，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
四、附加题（本题共20分，第26～28题每题3分，第29题4分，第30题7分）
26．已知一组数据的方差s2＝[（x1﹣6）2+（x2﹣6）2+（x3﹣6）2+（x4﹣6）2]，那么这组数据的总和为　24　．
【分析】根据方差公式S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]中各个字母表示的意义，得出这组数据的平均数是6，数据个数是4，从而得出这组数据的总和．
解：∵s2＝[（x1﹣6）2+（x2﹣6）2+（x3﹣6）2+（x4﹣6）2]，
∴这组数据的平均数是6，数据个数是4，
∴这组数据的总和为4×6＝24；
故答案为：24．
【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]．
27．把图1中边长为10的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，且此菱形的一条对角线长为16，将这四个直角三角形拼成如图2所示的正方形，则图2中的阴影的面积为　4　．

【分析】根据菱形的性质对角线互相垂直，利用勾股定理可得另一条对角线长的一半为6，所以图2所示的阴影的正方形边长为8﹣6＝2，进而可得结论．
解：因为菱形的一条对角线长为16，
所以它的一半是8，
菱形的边长为10，
因为菱形对角线互相垂直，
根据勾股定理，得
所以另一条对角线长的一半为6，
所以图2所示的阴影的正方形边长为8﹣6＝2，
所以图2中的阴影的面积为4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，勾股定理，全等图形，解决本题的关键是求出图2中小正方形的边长．
28．矩形ABCD中，AB＝8，AD＝3，点A是y轴正半轴上任意一点，点B在x轴正半轴上．连接OD．则线段OD的长度最大值是 　9　．

【分析】取AB的中点M，连接OM、MD，当OM、MD成一条直线时，OD有最大值，利用勾股定理及直角三角形斜边中线的性质可得答案．
解：取AB的中点M，连接OM、MD，当OM、MD成一条直线时，OD有最大值，

在矩形ABCD中，AB＝CD＝8，AD＝BC＝3，∠DAB＝90°，
∴AM＝BM＝4，
在Rt△ADM中，，
在Rt△AOB中，，
∴OD的最大值是5+4＝9，
故答案为：9．
【点评】此题考查的是矩形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质及勾股定理，正确作出辅助线是解决此题的关键．
29．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A、交y轴于点B，点C与点A关于y轴对称，动点P、Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ＝∠BAO．当△PQB为等腰三角形时，点P的坐标是 　（4，0）或　．

【分析】把x＝0和y＝0分别代入一次函数的解析式，求出B、A的坐标，分为三种情况：①PQ＝BP，②BQ＝QP，③BQ＝BP，分别求解即可．
解：∵，
∴当x＝0时，y＝8，
当y＝0时，x＝﹣6，
即点A的坐标是（﹣6，0），点B的坐标是（0，8），
∵C点与A点关于y轴对称，
∴C的坐标是（6，0），
分为三种情况：
①当PB＝PQ时，
∵A和C关于y轴对称，
∴∠BAO＝∠BCP，
∵∠BPQ＝∠BAO，∠BAO+∠AQP+∠APQ＝180°，∠APQ+∠BPQ+∠BPC＝180°，
∴∠AQP＝∠BPC，
∵A和C关于y轴对称，
∴∠BAO＝∠BCP，
在△APQ和△CBP中，
，
∴△APQ≌△CBP（AAS），
∴AP＝CB，
∵B（0，8），C（6，0），
∴，
∴AP＝10，
∴点P的坐标是（4，0）；

②当BQ＝BP时，则∠BPQ＝∠BQP，
∵∠BAO＝∠BPQ，
∴∠BAO＝∠BQP，
而根据三角形的外角性质得：∠BQP＞∠BAO，
∴此种情况不存在；
③当QB＝QP时，则∠BPQ＝∠QBP＝∠BAO，
即BP＝AP，
设此时P的坐标是（x，0），
在Rt△OBP中，由勾股定理得：BP2＝OP2+OB2，
∴（x+6）2＝x2+82，
解得：，
即此时P的坐标是，0）．
∴当△PQB为等腰三角形时，点P的坐标是（4，0）或，0）．
故答案为：（4，0）或．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是分类思想的运用．
30．在平面直角坐标系xOy中，对于点A，记线段OA的中点为M，若点A，M，P，Q按顺时针方向排列构成菱形AMPQ，其中∠QAM＝α（0°＜α＜180°），则称菱形AMPQ是点A的“α﹣旋半菱形”，称菱形AMPQ边上所有点都是点A的“α﹣旋半点”，已知点A（4，0）．

（1）在图1中，画出点A的“60°﹣旋半菱形”AMPQ，并直接写出点P的坐标；
（2）若点B（3，1）是点A的“α﹣旋半点”，求α的值；
（3）若存在α使得直线y＝﹣x+b上有点A的“α﹣旋半点”，直接写出b的取值范围．
【分析】（1）依题意可得A（4，0）则M（2，0），P、Q在第一象限，且P、Q分别在以M、A为圆心，2为半径的圆上，如图，当α＝60°时易证△PMO是等边三角形，作PD⊥x轴于D，解直角三角形可求解；
（2）点B（3，1）是点A的“α﹣旋半点”，则点B（3，1）在菱形AMPQ的边上，作BE⊥x轴于E，当点B（3，1）在AQ边上时，求得α＝45°；当点B（3，1）在MP边上时，求得α＝135°；
（3）求得直线y＝﹣x+b与x轴、y轴的交点坐标分别为N（b，0）F（0，b）则∠FNO＝45°，当直线y＝﹣x+b与⊙A相切或经过原点时进行分析，即可求解．
解：（1）依题意可得A（4，0），
则M（2，0），P、Q在第一象限，且P、Q分别在以M、A为圆心，2为半径的圆上，
如图，当α＝60°时，
∴∠PMO＝∠QAM＝60°，
∵PM＝OM＝2，
∴△PMO是等边三角形，
作PD⊥x轴于D，
则OD＝DM＝1，
∴，
∴；

（2）点B（3，1）是点A的“α﹣旋半点”，
则点B（3，1）在菱形AMPQ的边上，作BE⊥x轴于E，
当点B（3，1）在AQ边上时，
则OE＝3，BE＝1，
∴AE＝OA﹣OE＝1，
∴BE＝AE，
∴△BEA是等腰直角三角形，
∴∠QAM＝45°，
即α＝45°，

当点B（3，1）在MP边上时，
则OE＝3，BE＝1，
∴ME＝OE﹣OM＝1，
∴BE＝ME，
∴△BEM是等腰直角三角形，
∴∠BME＝45°，
∴∠QAM＝180°﹣∠BME＝135°，
即α＝135°；
综上所述：α＝45°或α＝135°；

（3）直线y＝﹣x+b，
令y＝0求得x＝b，
令x＝0求得y＝b，
直线y＝﹣x+b与x轴、y轴的交点坐标分别为：N（b，0）F（0，b），
∴∠FNO＝45°，
当直线y＝﹣x+b与⊙A相切时，
∴∠AQN＝90°，
∴∠QAN＝45°，
作QH⊥x轴于H，
∴△QAH是等腰直角三角形，
∴AH＝QH，
∵AH2+QH2＝AQ2＝4，
解得：，
∴，
∴，
代入y＝﹣x+b，
得；

当直线y＝﹣x+b经过原点时，b＝0；

综上所述：．
【点评】本题考查了菱形的性质，坐标与图形，勾股定理解直角三角形，直线与圆的位置关系等；熟练确定菱形AMPQ中点P、Q的运动轨迹，分类讨论是解题的关键．