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2024年广西初中学业水平数学模拟训练题（原卷+解析版）
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这是一份2024年广西初中学业水平数学模拟训练题（原卷+解析版），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 满分：120分）
第Ⅰ卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1. 2024年2月19日，沈阳、北京、武汉、南京四个城市的最低气温分别是，，0℃，2℃，其中最低气温是（ ）
A. B. C. 0℃D. 2℃
2. 鱼纹样是我国的传统吉祥图案之一．因与“余”谐音，往往用来比喻人们生活的富足有余．下列鱼纹剪纸图案是轴对称图形的是（ ）
A B.
C. D.
3. 2024年春节期间（大年初一至初八），青秀山风景区入园游客量共计达907000人次，创青秀山开园37年春节历史记录，同比2023年春节景区入园游客增长了111%，历史记录翻番．其中数据907000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 下列调查中，最适宜采用全面调查的是（ ）
A. 对我国中学生身高状况的调查B. 调查某批次汽车抗撞能力
C. 调查春节联欢晚会的收视率D. 了解某班学生身高情况
5. 把不等式的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，内接于，CD是的直径，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
8. 有两个直角三角形纸板，一个含角，另一个含角，如图1所示叠放．若将含角的纸板固定不动，将含角的纸板绕顶点B逆时针旋转，当时，如图2所示，旋转角的度数为（ ）
A. B. C. D.
9. 在二次函数的图象中，若y随x的增大而减小，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10. 某种型号插电混合动力汽车从甲地开往乙地时，纯用电行驶，花充电费元，沿相同路线返程时用纯燃油行驶，花燃油费元，已知每行驶千米，纯燃油费用比纯用电费用多元．小民根据这一情境中的数量关系列出方程，则未知数表示的意义为（ ）
A. 每行驶千米纯用电的费用B. 每行驶千米纯燃油的费用
C. 每元电费可行驶的路程D. 每元燃油费可行驶的路程
11. 如图，正方形的边长为，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
12. 如图，在平面直角坐标系中，等边的边经过原点，且顶点，都在的图象上，顶点在的图象上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13. 代数式有意义时，应满足条件是______.
14. 写出一个小于4的正无理数是________．
15. 将函数图象向上平移个单位长度，平移后的解析式为______．
16. 2023年12月3日，第十五届南宁马拉松比赛暨第三十八届南宁解放日长跑活动鸣枪开跑．小雨报名参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到半程马拉松、全程马拉松、10公里跑和4公里健身跑四个项目组．小雨被分配到“半程马拉松”项目组的概率为________．
17. 如图，是平面镜，于点C，于点D，且，，．光线从点A出发经上点O反射后照射到点B，若入射角为，反射角为（反射角等于入射角），则的值为________．
18. 如图，在中，，，．点D是延长线上一点，且．若，连接交边于点F，则面积的最小值为________．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. 计算：．
20. 先化简，再求值：，其中．
21. 如图，在平行四边形中，于点E．
（1）尺规作图：作的角平分线交于点F，连接；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）若，求证：四边形为矩形．
22. 某学校在“体育节”期间举行投篮活动．学校在每班随机抽取10名同学参加，规定每人在罚球线投篮10次．
下面对八年级（3）班10名参赛同学投中次数进行了收集、整理和分析．
【收集数据】
3，2，1，4，3，5，6，4，3，5
【整理数据】
根据上面整理的数据，制作出投中次数扇形统计图，如图所示．
投中次数扇形统计图
【分析数据】
【解决问题】
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：________，________，________；
（2）当投中次数不低于3次记为“良好投中数”，学校通过“良好投中数”来评估八年级（3）班学生的投篮情况，若八年级（3）班共有40名学生，估计全班同学能达到“良好投中数”的有多少名？
【数据应用】
（3）八年级（6）班10名参赛同学的投中次数的相关信息如下：
根据以上两个班表中统计量，你认为哪个班同学的投篮水平更高一些？并给出一条合理的解释．
23. 某景区元宵节举办灯会，需要购买两种款式的花灯．若购买款花灯盏和款花灯盏，则需元；若购买款花灯盏和款花灯盏，则需元．
（1）求每盏款花灯和每盏款花灯的价格；
（2）若该景区需要购买两种款式的花灯共盏（两种款式的花灯均需购买），且购买款花灯数量不超过购买款花灯数量的，为使购买花灯的总费用最低，应购买款花灯和款花灯各多少盏？
24. 如图，是的外接圆，为直径，点为圆外一点，连接，．若与相切于点，且．连接交于点，交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
25. 综合与实践
26. 【活动探究】在数学课上，老师出示了一个问题：如图1，在菱形中，，，点E，F分别是，边上一点，若，试猜想的形状，不用证明．
【尝试实践】小美受此启发，她尝试将“”改“”，通过测量验证发现猜想仍然成立，并进一步思考证法：如图2，过点F作，求证……
请你按照小美的思路进一步思考，并解答这个问题．
【拓展应用】小玲在老师问题上进一步改编：如图3，过C作于点G，当的中点M经过时，请直接写出的长度．
2024年广西初中学业水平模拟训练（一）
数学(解析版）
（考试时间：120分钟 满分：120分）
第Ⅰ卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1. 2024年2月19日，沈阳、北京、武汉、南京四个城市的最低气温分别是，，0℃，2℃，其中最低气温是（ ）
A. B. C. 0℃D. 2℃
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了有理数的大小比较的知识，解答本题的关键是掌握有理数的大小比较法则．根据有理数的大小比较，即可作出判断．
【详解】解：，
故最低气温是是，
故选：A．
2. 鱼纹样是我国的传统吉祥图案之一．因与“余”谐音，往往用来比喻人们生活的富足有余．下列鱼纹剪纸图案是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，根据轴对称图形的概念求解即可．
【详解】解：A.不是轴对称图形，本选项不符合题意；
B.不是轴对称图形，本选项不符合题意；
C.不是轴对称图形，本选项不符合题意；
D.轴对称图形，本选项符合题意．
故选：D．
3. 2024年春节期间（大年初一至初八），青秀山风景区入园游客量共计达907000人次，创青秀山开园37年春节历史记录，同比2023年春节景区入园游客增长了111%，历史记录翻番．其中数据907000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（a大于或等于1且小于10，n是正整数）；n的值为小数点向左移动的位数．
根据科学记数法的定义，计算求值即可；
【详解】解： ，
故选：C．
4. 下列调查中，最适宜采用全面调查的是（ ）
A. 对我国中学生身高状况的调查B. 调查某批次汽车抗撞能力
C. 调查春节联欢晚会的收视率D. 了解某班学生身高情况
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用．对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
【详解】解：A、对我国中学生身高状况的调查，适合抽样调查，故A选项错误；
B、调查某批次汽车抗撞能力，适合抽样调查，故B选项错误；
C、调查春节联欢晚会的收视率，适合抽样调查，故C选项错误；
D、了解某班学生身高情况，适于全面调查，故D选项正确．
故选：D．
5. 把不等式的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集．不等式的解集在数轴上表示的方法：“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线．在数轴上正确表示出不等式的解集是解题的关键．先求出不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示即可．
【详解】解：
将不等式移项得：，
合并同类项得：，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
故选：D．
6. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查合并同类项，同底数幂的乘法和除法，幂的乘方，掌握其运算法则是解题的关键．
【详解】A. 不是同类项，不能合并，原计算错误；
B. ，计算正确；
C. ，原计算错误；
D. ，原计算错误；
故选B．
7. 如图，内接于，CD是的直径，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理、直角三角形的锐角互余，先利用直径所对的圆周角是直角得到，进而利用直角三角形的锐角互余求解即可．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
8. 有两个直角三角形纸板，一个含角，另一个含角，如图1所示叠放．若将含角的纸板固定不动，将含角的纸板绕顶点B逆时针旋转，当时，如图2所示，旋转角的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质以及三角形的内角和定理，由平行线的性质可得∠，由三角形的内角和定理求出的度数是解题的关键．
【详解】设与交于点F，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选C．
9. 在二次函数的图象中，若y随x的增大而减小，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以直接得到当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，从而可以解答本题．
【详解】解：二次函数，
当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
故选：B．
10. 某种型号插电混合动力汽车从甲地开往乙地时，纯用电行驶，花充电费元，沿相同路线返程时用纯燃油行驶，花燃油费元，已知每行驶千米，纯燃油费用比纯用电费用多元．小民根据这一情境中的数量关系列出方程，则未知数表示的意义为（ ）
A. 每行驶千米纯用电的费用B. 每行驶千米纯燃油的费用
C. 每元电费可行驶的路程D. 每元燃油费可行驶的路程
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意中 与 的关系即可求解，理解题意是解题的关键．
【详解】解：∵已知每行驶千米，纯燃油费用比纯用电费用多元，
∴未知数表示的意义为每行驶千米纯用电的费用，
故选：．
11. 如图，正方形的边长为，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了不规则图形的计算，由图形可得，代入已知数据计算即可求解，通过观察图形得到是解题的关键．
【详解】解：由图形可得，，
故选：．
12. 如图，在平面直角坐标系中，等边的边经过原点，且顶点，都在的图象上，顶点在的图象上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查反比函数的综合应用以及相似三角形的判定及性质，解题关键是熟练掌握反比例函数系数的几何意义．连接，作上轴，轴于点，，通过一线三直角模型可得，从而通过面积比等于相似比平方求出的面积而求出．
【详解】解∶连接，作上轴，轴于点，，
∵、关于原点成中心对称，为等边三角形，
∴，，平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵平分为等边三角形，
∴，
∴
∴
∵点在函数的图象上，
∴
∴
∵
∴．
故选∶C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13. 代数式有意义时，应满足的条件是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数得到．
【详解】解：由题意，得，
解得．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
14. 写出一个小于4的正无理数是________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据无理数估算的方法求解即可．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，准确计算是解题的关键．
15. 将函数图象向上平移个单位长度，平移后的解析式为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象的平移，根据“上加下减”，即可求解，掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键．
【详解】解：将函数图象向上平移个单位长度，平移后的解析式为，
故答案为：．
16. 2023年12月3日，第十五届南宁马拉松比赛暨第三十八届南宁解放日长跑活动鸣枪开跑．小雨报名参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到半程马拉松、全程马拉松、10公里跑和4公里健身跑四个项目组．小雨被分配到“半程马拉松”项目组的概率为________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查概率公式，根据概率公式直接求出结果即可．
【详解】解：∵组委会随机将志愿者分配到半程马拉松、全程马拉松、10公里跑和4公里健身跑四个项目组，
∴小雨被分配到“半程马拉松”项目组的概率为，
故答案为：．
17. 如图，是平面镜，于点C，于点D，且，，．光线从点A出发经上点O反射后照射到点B，若入射角为，反射角为（反射角等于入射角），则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】如图（见解析），先根据平行线的判定与性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得的长，然后根据正切的定义即可得．
【详解】解：如图，
由题意得：，
，
，
，
同理可得：，
，
，
∵于点C，于点D，
∴,
在和中，
，
，
，
∵，，． ，
，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
∴
则，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正切、垂直定义、平行线的判定及性质等知识点，正确找出两个相似三角形是解题关键．
18. 如图，在中，，，．点D是延长线上一点，且．若，连接交边于点F，则面积的最小值为________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质． 确定出当是的切线时，即时，最长，则最短，此时，面积的最小是银题的关键．
根据题意得点E在以长为半径的上，所以当是的切线时，即时， 最长，则最短，此时，面积的最小，然后证明，求出，继而求得，再根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：∵，
∴点E在以长为半径的上，当是的切线时，即时，最长，如图，
在中，，，
由勾股定理，得，
∵，
∴此时，最短，
∵
∴此时，面积的最小，
∵，
∴
∵
∴
∵
∴
∴，即
∴，
∴
∴．
即面积的最小值为3．
故答案为：3．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，有理数乘法分配律,先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减法即可.
【详解】解：
；
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序（先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的）和计算法则是解题关键．原式先算除法，再算加法，最后代入求值．
【详解】解：
．
当时，原式．
21. 如图，在平行四边形中，于点E．
（1）尺规作图：作的角平分线交于点F，连接；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）若，求证：四边形为矩形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据尺规基本作图—作的角平分线交于点F，再连接即可；
（2）先由平行四边形得，即，再根据平行线与角平分线的性质得得，从而证明，即可得出四边形为平行四边形，然后根据矩形的判定定理得出结论．
小问1详解】
解：如图，、即所求；
【小问2详解】
证明：∵，
∴，即，
∴，
由作图可知：平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵
∴
∴四边形为矩形．
【点睛】本题考查尺规基本作图—作角平分线，平行四边形的性质，矩形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定．熟练掌握平行四边形的性质，矩形的判定是解题的关键．
22. 某学校在“体育节”期间举行投篮活动．学校在每班随机抽取10名同学参加，规定每人在罚球线投篮10次．
下面对八年级（3）班10名参赛同学的投中次数进行了收集、整理和分析．
收集数据】
3，2，1，4，3，5，6，4，3，5
【整理数据】
根据上面整理的数据，制作出投中次数扇形统计图，如图所示．
投中次数扇形统计图
【分析数据】
【解决问题】
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：________，________，________；
（2）当投中次数不低于3次记为“良好投中数”，学校通过“良好投中数”来评估八年级（3）班学生的投篮情况，若八年级（3）班共有40名学生，估计全班同学能达到“良好投中数”的有多少名？
【数据应用】
（3）八年级（6）班10名参赛同学的投中次数的相关信息如下：
根据以上两个班表中的统计量，你认为哪个班同学的投篮水平更高一些？并给出一条合理的解释．
【答案】（1），， （2）名 （3）八（3）班同学的投篮水平更高一些，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查扇形统计图，中位数、众数、平均数、方差以及样本估计总体，理解中位数、众数、平均数、 方差的意义，掌握平均数、 中位数的计算方法是解决问题的关键．
（1）投中次的次数除以总次数即可求出，根据投中次的人数和中位数的定义解答即可；
（2）用样本估计总体即可；
（3）根据平均数、中位数、众数以及方差的意义解答即可．
【详解】（1）∵八年级（3）班10名参赛同学的投中次的有人，
∴；
∵八年级（3）班10名参赛同学的投中次的有人，
∴，
∴；
把这个数据从小到大排列为1，2，3，3，3，4，4，5，5，6，居于中间的两个数为3，4，
∴中位数，
故答案为：，，；
（2）解：名，
答：估计全班同学能达到“良好投中数”的有名．
（3）八（3）班同学的投篮水平更高一些，理由：两个班投中次数的平均数相同，八（3）班投中次数的众数比八（6）班的高，投中次数的方差小于八（6）班，水平比较稳定．
23. 某景区元宵节举办灯会，需要购买两种款式的花灯．若购买款花灯盏和款花灯盏，则需元；若购买款花灯盏和款花灯盏，则需元．
（1）求每盏款花灯和每盏款花灯的价格；
（2）若该景区需要购买两种款式的花灯共盏（两种款式的花灯均需购买），且购买款花灯数量不超过购买款花灯数量的，为使购买花灯的总费用最低，应购买款花灯和款花灯各多少盏？
【答案】（1）每盏款花灯元，每盏款花灯元；
（2）应购买款花灯盏，则应购买款花灯盏．
【解析】
【分析】（）设每盏款花灯元，每盏款花灯元，根据题意，列出方程组，解方程组即可求解；
（）设应购买款花灯盏，则应购买款花灯盏，根据题意，列出不等式求出的取值范围，设购买花灯的总费用为元，求出与的一次函数，根据一次函数的性质即可求解；
本题考查了二元一次方程组和一次函数的应用，根据题意，列出二元一次方程组和一次函数解析式是解题的关键．
【小问1详解】
解：设每盏款花灯元，每盏款花灯元，
由题意可得，，
解得，
答：设每盏款花灯元，每盏款花灯元；
【小问2详解】
解：设应购买款花灯盏，则应购买款花灯盏，
由题意可得，，
解得，
设购买花灯的总费用为元，
则，
∵是的一次函数，，
∴当时，总费用的值最小，
∴，
答：为使购买花灯的总费用最低，应购买款花灯盏，则应购买款花灯盏．
24. 如图，是的外接圆，为直径，点为圆外一点，连接，．若与相切于点，且．连接交于点，交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（）要证是的切线，只要连接，求证即可；
（）解直角三角形求得半径，再根据勾股定理求得，然后证明，利用相似三角形的性质即可得解．
【小问1详解】
证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
又∵是的切线，
∴，
∴，
∴
又∵是半径，
∴是的切线，
【小问2详解】
∵是的外接圆，为直径，
∴
∵，，
∴
∴
∵，
∴点在线段的垂直平分线上．
∵，
∴点在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分线段，
∴．
∵
∴
∴
∴，
∴即，
解得．
【点睛】本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，及勾股定理的运用．
25. 综合与实践
【答案】（1），最大射程为 （2）点的坐标为 （3）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数是实际应用，解题关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，二次函数与坐标轴的交点等知识，读懂题意，建立二次函数模型．
（1）根据题意可得是外边缘抛物线的顶点，抛物线过点，用顶点式即可求解函数解析式，求出函数值为时的的值即可求喷出水的最大射程；
（2）根据对称轴为直线可得点的对称点为,则是由向左平移得到的，即可求出点的坐标；
（3）根据，求出点F的坐标，利用增减性可得的最大值和最小值，从而得出答案．
【详解】解：（1）如图, 由题意得是外边缘抛物线的顶点，
设，
又∵抛物线过点，
，
，
∴外边缘抛物线的函数解析式为，
当时, ，解得(舍去)，
∴喷出水的最大射程为；
对称轴为直线
∴点的对称点为，
是由向左平移得到的，
由（1）可得，
∴点的坐标为；
（3）∵，
∴点的纵坐标为，
，
解得 ，
∵，
，
当时， 随的增大而减小，
∴当时, 要使，
则，
∵当时, 随的增大而增大，且时， ，
∴当时，要使，则，
∵，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴的最大值为，再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
∴的最小值为，
综上所述，的取值范围是．
26. 【活动探究】在数学课上，老师出示了一个问题：如图1，在菱形中，，，点E，F分别是，边上一点，若，试猜想的形状，不用证明．
【尝试实践】小美受此启发，她尝试将“”改为“”，通过测量验证发现猜想仍然成立，并进一步思考证法：如图2，过点F作，求证……
请你按照小美的思路进一步思考，并解答这个问题．
【拓展应用】小玲在老师问题上进一步改编：如图3，过C作于点G，当的中点M经过时，请直接写出的长度．
【答案】【活动探究】是等边三角形 【尝试实践】见解析 【拓展应用】
【解析】
【分析】活动探究：根据菱形的性质得到，即可判断的形状；
尝试实践：过点F作，利用证明，即可得到结论；
拓展应用：过点作于点，则有，即可得到，设，根据，求出，然后点A作于点N，然后根据勾股定理和等边三角形的性质解题即可．
【详解】解：【活动探究】是等边三角形，理由为：
∵菱形中，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
【尝试实践】
过点F作，
∵是菱形的对角线，
∴
∵，
∴，
∴是等边三角形，，
∴，
又∵
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
【拓展应用】
过点作于点，
∵，
∴，
又∵是菱形，
∴，
∴，
又∵是的中点，
∴，
又∵，
∴，
由（1）可得，
∴，
又∵，
∴，
设，
∵，，
∴，
∴，即，
解得：，即，
过点A作于点N，
则，，
∴，
∴，
又∵是等边三角形，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．投中次数
1
2
3
4
5
6
频数
1
a
b
2
2
1
统计量
班级
平均数
中位数
众数
方差
八年级（3）班
3.6
d
3
2.04
统计量
班级
平均数
中位数
众数
方差
八年级（6）班
3.6
3
2
3.64
优化洒水车为公路两侧绿化带浇水效率
信息1
如图1，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口H离地竖直高度为．
信息2
如图2，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口．
问题解决
任务1
确定浇灌方式
（1）求外边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
（2）直接写出内边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
任务2
提倡有效浇灌
（3）要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围．
投中次数
1
2
3
4
5
6
频数
1
a
b
2
2
1
统计量
班级
平均数
中位数
众数
方差
八年级（3）班
3.6
d
3
2.04
统计量
班级
平均数
中位数
众数
方差
八年级（6）班
3.6
3
2
3.64
优化洒水车为公路两侧绿化带浇水效率
信息1
如图1，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口H离地竖直高度为．
信息2
如图2，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口．
问题解决
任务1
确定浇灌方式
（1）求外边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
（2）直接写出内边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
任务2
提倡有效浇灌
（3）要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围．
（考试时间：120分钟 满分：120分）
第Ⅰ卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1. 2024年2月19日，沈阳、北京、武汉、南京四个城市的最低气温分别是，，0℃，2℃，其中最低气温是（ ）
A. B. C. 0℃D. 2℃
2. 鱼纹样是我国的传统吉祥图案之一．因与“余”谐音，往往用来比喻人们生活的富足有余．下列鱼纹剪纸图案是轴对称图形的是（ ）
A B.
C. D.
3. 2024年春节期间（大年初一至初八），青秀山风景区入园游客量共计达907000人次，创青秀山开园37年春节历史记录，同比2023年春节景区入园游客增长了111%，历史记录翻番．其中数据907000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 下列调查中，最适宜采用全面调查的是（ ）
A. 对我国中学生身高状况的调查B. 调查某批次汽车抗撞能力
C. 调查春节联欢晚会的收视率D. 了解某班学生身高情况
5. 把不等式的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，内接于，CD是的直径，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
8. 有两个直角三角形纸板，一个含角，另一个含角，如图1所示叠放．若将含角的纸板固定不动，将含角的纸板绕顶点B逆时针旋转，当时，如图2所示，旋转角的度数为（ ）
A. B. C. D.
9. 在二次函数的图象中，若y随x的增大而减小，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10. 某种型号插电混合动力汽车从甲地开往乙地时，纯用电行驶，花充电费元，沿相同路线返程时用纯燃油行驶，花燃油费元，已知每行驶千米，纯燃油费用比纯用电费用多元．小民根据这一情境中的数量关系列出方程，则未知数表示的意义为（ ）
A. 每行驶千米纯用电的费用B. 每行驶千米纯燃油的费用
C. 每元电费可行驶的路程D. 每元燃油费可行驶的路程
11. 如图，正方形的边长为，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
12. 如图，在平面直角坐标系中，等边的边经过原点，且顶点，都在的图象上，顶点在的图象上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13. 代数式有意义时，应满足条件是______.
14. 写出一个小于4的正无理数是________．
15. 将函数图象向上平移个单位长度，平移后的解析式为______．
16. 2023年12月3日，第十五届南宁马拉松比赛暨第三十八届南宁解放日长跑活动鸣枪开跑．小雨报名参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到半程马拉松、全程马拉松、10公里跑和4公里健身跑四个项目组．小雨被分配到“半程马拉松”项目组的概率为________．
17. 如图，是平面镜，于点C，于点D，且，，．光线从点A出发经上点O反射后照射到点B，若入射角为，反射角为（反射角等于入射角），则的值为________．
18. 如图，在中，，，．点D是延长线上一点，且．若，连接交边于点F，则面积的最小值为________．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. 计算：．
20. 先化简，再求值：，其中．
21. 如图，在平行四边形中，于点E．
（1）尺规作图：作的角平分线交于点F，连接；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）若，求证：四边形为矩形．
22. 某学校在“体育节”期间举行投篮活动．学校在每班随机抽取10名同学参加，规定每人在罚球线投篮10次．
下面对八年级（3）班10名参赛同学投中次数进行了收集、整理和分析．
【收集数据】
3，2，1，4，3，5，6，4，3，5
【整理数据】
根据上面整理的数据，制作出投中次数扇形统计图，如图所示．
投中次数扇形统计图
【分析数据】
【解决问题】
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：________，________，________；
（2）当投中次数不低于3次记为“良好投中数”，学校通过“良好投中数”来评估八年级（3）班学生的投篮情况，若八年级（3）班共有40名学生，估计全班同学能达到“良好投中数”的有多少名？
【数据应用】
（3）八年级（6）班10名参赛同学的投中次数的相关信息如下：
根据以上两个班表中统计量，你认为哪个班同学的投篮水平更高一些？并给出一条合理的解释．
23. 某景区元宵节举办灯会，需要购买两种款式的花灯．若购买款花灯盏和款花灯盏，则需元；若购买款花灯盏和款花灯盏，则需元．
（1）求每盏款花灯和每盏款花灯的价格；
（2）若该景区需要购买两种款式的花灯共盏（两种款式的花灯均需购买），且购买款花灯数量不超过购买款花灯数量的，为使购买花灯的总费用最低，应购买款花灯和款花灯各多少盏？
24. 如图，是的外接圆，为直径，点为圆外一点，连接，．若与相切于点，且．连接交于点，交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
25. 综合与实践
26. 【活动探究】在数学课上，老师出示了一个问题：如图1，在菱形中，，，点E，F分别是，边上一点，若，试猜想的形状，不用证明．
【尝试实践】小美受此启发，她尝试将“”改“”，通过测量验证发现猜想仍然成立，并进一步思考证法：如图2，过点F作，求证……
请你按照小美的思路进一步思考，并解答这个问题．
【拓展应用】小玲在老师问题上进一步改编：如图3，过C作于点G，当的中点M经过时，请直接写出的长度．
2024年广西初中学业水平模拟训练（一）
数学(解析版）
（考试时间：120分钟 满分：120分）
第Ⅰ卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1. 2024年2月19日，沈阳、北京、武汉、南京四个城市的最低气温分别是，，0℃，2℃，其中最低气温是（ ）
A. B. C. 0℃D. 2℃
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了有理数的大小比较的知识，解答本题的关键是掌握有理数的大小比较法则．根据有理数的大小比较，即可作出判断．
【详解】解：，
故最低气温是是，
故选：A．
2. 鱼纹样是我国的传统吉祥图案之一．因与“余”谐音，往往用来比喻人们生活的富足有余．下列鱼纹剪纸图案是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，根据轴对称图形的概念求解即可．
【详解】解：A.不是轴对称图形，本选项不符合题意；
B.不是轴对称图形，本选项不符合题意；
C.不是轴对称图形，本选项不符合题意；
D.轴对称图形，本选项符合题意．
故选：D．
3. 2024年春节期间（大年初一至初八），青秀山风景区入园游客量共计达907000人次，创青秀山开园37年春节历史记录，同比2023年春节景区入园游客增长了111%，历史记录翻番．其中数据907000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（a大于或等于1且小于10，n是正整数）；n的值为小数点向左移动的位数．
根据科学记数法的定义，计算求值即可；
【详解】解： ，
故选：C．
4. 下列调查中，最适宜采用全面调查的是（ ）
A. 对我国中学生身高状况的调查B. 调查某批次汽车抗撞能力
C. 调查春节联欢晚会的收视率D. 了解某班学生身高情况
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用．对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
【详解】解：A、对我国中学生身高状况的调查，适合抽样调查，故A选项错误；
B、调查某批次汽车抗撞能力，适合抽样调查，故B选项错误；
C、调查春节联欢晚会的收视率，适合抽样调查，故C选项错误；
D、了解某班学生身高情况，适于全面调查，故D选项正确．
故选：D．
5. 把不等式的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集．不等式的解集在数轴上表示的方法：“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线．在数轴上正确表示出不等式的解集是解题的关键．先求出不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示即可．
【详解】解：
将不等式移项得：，
合并同类项得：，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
故选：D．
6. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查合并同类项，同底数幂的乘法和除法，幂的乘方，掌握其运算法则是解题的关键．
【详解】A. 不是同类项，不能合并，原计算错误；
B. ，计算正确；
C. ，原计算错误；
D. ，原计算错误；
故选B．
7. 如图，内接于，CD是的直径，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理、直角三角形的锐角互余，先利用直径所对的圆周角是直角得到，进而利用直角三角形的锐角互余求解即可．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
8. 有两个直角三角形纸板，一个含角，另一个含角，如图1所示叠放．若将含角的纸板固定不动，将含角的纸板绕顶点B逆时针旋转，当时，如图2所示，旋转角的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质以及三角形的内角和定理，由平行线的性质可得∠，由三角形的内角和定理求出的度数是解题的关键．
【详解】设与交于点F，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选C．
9. 在二次函数的图象中，若y随x的增大而减小，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以直接得到当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，从而可以解答本题．
【详解】解：二次函数，
当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
故选：B．
10. 某种型号插电混合动力汽车从甲地开往乙地时，纯用电行驶，花充电费元，沿相同路线返程时用纯燃油行驶，花燃油费元，已知每行驶千米，纯燃油费用比纯用电费用多元．小民根据这一情境中的数量关系列出方程，则未知数表示的意义为（ ）
A. 每行驶千米纯用电的费用B. 每行驶千米纯燃油的费用
C. 每元电费可行驶的路程D. 每元燃油费可行驶的路程
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意中 与 的关系即可求解，理解题意是解题的关键．
【详解】解：∵已知每行驶千米，纯燃油费用比纯用电费用多元，
∴未知数表示的意义为每行驶千米纯用电的费用，
故选：．
11. 如图，正方形的边长为，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了不规则图形的计算，由图形可得，代入已知数据计算即可求解，通过观察图形得到是解题的关键．
【详解】解：由图形可得，，
故选：．
12. 如图，在平面直角坐标系中，等边的边经过原点，且顶点，都在的图象上，顶点在的图象上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查反比函数的综合应用以及相似三角形的判定及性质，解题关键是熟练掌握反比例函数系数的几何意义．连接，作上轴，轴于点，，通过一线三直角模型可得，从而通过面积比等于相似比平方求出的面积而求出．
【详解】解∶连接，作上轴，轴于点，，
∵、关于原点成中心对称，为等边三角形，
∴，，平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵平分为等边三角形，
∴，
∴
∴
∵点在函数的图象上，
∴
∴
∵
∴．
故选∶C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13. 代数式有意义时，应满足的条件是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数得到．
【详解】解：由题意，得，
解得．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
14. 写出一个小于4的正无理数是________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据无理数估算的方法求解即可．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，准确计算是解题的关键．
15. 将函数图象向上平移个单位长度，平移后的解析式为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象的平移，根据“上加下减”，即可求解，掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键．
【详解】解：将函数图象向上平移个单位长度，平移后的解析式为，
故答案为：．
16. 2023年12月3日，第十五届南宁马拉松比赛暨第三十八届南宁解放日长跑活动鸣枪开跑．小雨报名参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到半程马拉松、全程马拉松、10公里跑和4公里健身跑四个项目组．小雨被分配到“半程马拉松”项目组的概率为________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查概率公式，根据概率公式直接求出结果即可．
【详解】解：∵组委会随机将志愿者分配到半程马拉松、全程马拉松、10公里跑和4公里健身跑四个项目组，
∴小雨被分配到“半程马拉松”项目组的概率为，
故答案为：．
17. 如图，是平面镜，于点C，于点D，且，，．光线从点A出发经上点O反射后照射到点B，若入射角为，反射角为（反射角等于入射角），则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】如图（见解析），先根据平行线的判定与性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得的长，然后根据正切的定义即可得．
【详解】解：如图，
由题意得：，
，
，
，
同理可得：，
，
，
∵于点C，于点D，
∴,
在和中，
，
，
，
∵，，． ，
，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
∴
则，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正切、垂直定义、平行线的判定及性质等知识点，正确找出两个相似三角形是解题关键．
18. 如图，在中，，，．点D是延长线上一点，且．若，连接交边于点F，则面积的最小值为________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质． 确定出当是的切线时，即时，最长，则最短，此时，面积的最小是银题的关键．
根据题意得点E在以长为半径的上，所以当是的切线时，即时， 最长，则最短，此时，面积的最小，然后证明，求出，继而求得，再根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：∵，
∴点E在以长为半径的上，当是的切线时，即时，最长，如图，
在中，，，
由勾股定理，得，
∵，
∴此时，最短，
∵
∴此时，面积的最小，
∵，
∴
∵
∴
∵
∴
∴，即
∴，
∴
∴．
即面积的最小值为3．
故答案为：3．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，有理数乘法分配律,先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减法即可.
【详解】解：
；
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序（先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的）和计算法则是解题关键．原式先算除法，再算加法，最后代入求值．
【详解】解：
．
当时，原式．
21. 如图，在平行四边形中，于点E．
（1）尺规作图：作的角平分线交于点F，连接；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）若，求证：四边形为矩形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据尺规基本作图—作的角平分线交于点F，再连接即可；
（2）先由平行四边形得，即，再根据平行线与角平分线的性质得得，从而证明，即可得出四边形为平行四边形，然后根据矩形的判定定理得出结论．
小问1详解】
解：如图，、即所求；
【小问2详解】
证明：∵，
∴，即，
∴，
由作图可知：平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵
∴
∴四边形为矩形．
【点睛】本题考查尺规基本作图—作角平分线，平行四边形的性质，矩形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定．熟练掌握平行四边形的性质，矩形的判定是解题的关键．
22. 某学校在“体育节”期间举行投篮活动．学校在每班随机抽取10名同学参加，规定每人在罚球线投篮10次．
下面对八年级（3）班10名参赛同学的投中次数进行了收集、整理和分析．
收集数据】
3，2，1，4，3，5，6，4，3，5
【整理数据】
根据上面整理的数据，制作出投中次数扇形统计图，如图所示．
投中次数扇形统计图
【分析数据】
【解决问题】
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：________，________，________；
（2）当投中次数不低于3次记为“良好投中数”，学校通过“良好投中数”来评估八年级（3）班学生的投篮情况，若八年级（3）班共有40名学生，估计全班同学能达到“良好投中数”的有多少名？
【数据应用】
（3）八年级（6）班10名参赛同学的投中次数的相关信息如下：
根据以上两个班表中的统计量，你认为哪个班同学的投篮水平更高一些？并给出一条合理的解释．
【答案】（1），， （2）名 （3）八（3）班同学的投篮水平更高一些，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查扇形统计图，中位数、众数、平均数、方差以及样本估计总体，理解中位数、众数、平均数、 方差的意义，掌握平均数、 中位数的计算方法是解决问题的关键．
（1）投中次的次数除以总次数即可求出，根据投中次的人数和中位数的定义解答即可；
（2）用样本估计总体即可；
（3）根据平均数、中位数、众数以及方差的意义解答即可．
【详解】（1）∵八年级（3）班10名参赛同学的投中次的有人，
∴；
∵八年级（3）班10名参赛同学的投中次的有人，
∴，
∴；
把这个数据从小到大排列为1，2，3，3，3，4，4，5，5，6，居于中间的两个数为3，4，
∴中位数，
故答案为：，，；
（2）解：名，
答：估计全班同学能达到“良好投中数”的有名．
（3）八（3）班同学的投篮水平更高一些，理由：两个班投中次数的平均数相同，八（3）班投中次数的众数比八（6）班的高，投中次数的方差小于八（6）班，水平比较稳定．
23. 某景区元宵节举办灯会，需要购买两种款式的花灯．若购买款花灯盏和款花灯盏，则需元；若购买款花灯盏和款花灯盏，则需元．
（1）求每盏款花灯和每盏款花灯的价格；
（2）若该景区需要购买两种款式的花灯共盏（两种款式的花灯均需购买），且购买款花灯数量不超过购买款花灯数量的，为使购买花灯的总费用最低，应购买款花灯和款花灯各多少盏？
【答案】（1）每盏款花灯元，每盏款花灯元；
（2）应购买款花灯盏，则应购买款花灯盏．
【解析】
【分析】（）设每盏款花灯元，每盏款花灯元，根据题意，列出方程组，解方程组即可求解；
（）设应购买款花灯盏，则应购买款花灯盏，根据题意，列出不等式求出的取值范围，设购买花灯的总费用为元，求出与的一次函数，根据一次函数的性质即可求解；
本题考查了二元一次方程组和一次函数的应用，根据题意，列出二元一次方程组和一次函数解析式是解题的关键．
【小问1详解】
解：设每盏款花灯元，每盏款花灯元，
由题意可得，，
解得，
答：设每盏款花灯元，每盏款花灯元；
【小问2详解】
解：设应购买款花灯盏，则应购买款花灯盏，
由题意可得，，
解得，
设购买花灯的总费用为元，
则，
∵是的一次函数，，
∴当时，总费用的值最小，
∴，
答：为使购买花灯的总费用最低，应购买款花灯盏，则应购买款花灯盏．
24. 如图，是的外接圆，为直径，点为圆外一点，连接，．若与相切于点，且．连接交于点，交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（）要证是的切线，只要连接，求证即可；
（）解直角三角形求得半径，再根据勾股定理求得，然后证明，利用相似三角形的性质即可得解．
【小问1详解】
证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
又∵是的切线，
∴，
∴，
∴
又∵是半径，
∴是的切线，
【小问2详解】
∵是的外接圆，为直径，
∴
∵，，
∴
∴
∵，
∴点在线段的垂直平分线上．
∵，
∴点在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分线段，
∴．
∵
∴
∴
∴，
∴即，
解得．
【点睛】本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，及勾股定理的运用．
25. 综合与实践
【答案】（1），最大射程为 （2）点的坐标为 （3）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数是实际应用，解题关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，二次函数与坐标轴的交点等知识，读懂题意，建立二次函数模型．
（1）根据题意可得是外边缘抛物线的顶点，抛物线过点，用顶点式即可求解函数解析式，求出函数值为时的的值即可求喷出水的最大射程；
（2）根据对称轴为直线可得点的对称点为,则是由向左平移得到的，即可求出点的坐标；
（3）根据，求出点F的坐标，利用增减性可得的最大值和最小值，从而得出答案．
【详解】解：（1）如图, 由题意得是外边缘抛物线的顶点，
设，
又∵抛物线过点，
，
，
∴外边缘抛物线的函数解析式为，
当时, ，解得(舍去)，
∴喷出水的最大射程为；
对称轴为直线
∴点的对称点为，
是由向左平移得到的，
由（1）可得，
∴点的坐标为；
（3）∵，
∴点的纵坐标为，
，
解得 ，
∵，
，
当时， 随的增大而减小，
∴当时, 要使，
则，
∵当时, 随的增大而增大，且时， ，
∴当时，要使，则，
∵，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴的最大值为，再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
∴的最小值为，
综上所述，的取值范围是．
26. 【活动探究】在数学课上，老师出示了一个问题：如图1，在菱形中，，，点E，F分别是，边上一点，若，试猜想的形状，不用证明．
【尝试实践】小美受此启发，她尝试将“”改为“”，通过测量验证发现猜想仍然成立，并进一步思考证法：如图2，过点F作，求证……
请你按照小美的思路进一步思考，并解答这个问题．
【拓展应用】小玲在老师问题上进一步改编：如图3，过C作于点G，当的中点M经过时，请直接写出的长度．
【答案】【活动探究】是等边三角形 【尝试实践】见解析 【拓展应用】
【解析】
【分析】活动探究：根据菱形的性质得到，即可判断的形状；
尝试实践：过点F作，利用证明，即可得到结论；
拓展应用：过点作于点，则有，即可得到，设，根据，求出，然后点A作于点N，然后根据勾股定理和等边三角形的性质解题即可．
【详解】解：【活动探究】是等边三角形，理由为：
∵菱形中，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
【尝试实践】
过点F作，
∵是菱形的对角线，
∴
∵，
∴，
∴是等边三角形，，
∴，
又∵
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
【拓展应用】
过点作于点，
∵，
∴，
又∵是菱形，
∴，
∴，
又∵是的中点，
∴，
又∵，
∴，
由（1）可得，
∴，
又∵，
∴，
设，
∵，，
∴，
∴，即，
解得：，即，
过点A作于点N，
则，，
∴，
∴，
又∵是等边三角形，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．投中次数
1
2
3
4
5
6
频数
1
a
b
2
2
1
统计量
班级
平均数
中位数
众数
方差
八年级（3）班
3.6
d
3
2.04
统计量
班级
平均数
中位数
众数
方差
八年级（6）班
3.6
3
2
3.64
优化洒水车为公路两侧绿化带浇水效率
信息1
如图1，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口H离地竖直高度为．
信息2
如图2，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口．
问题解决
任务1
确定浇灌方式
（1）求外边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
（2）直接写出内边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
任务2
提倡有效浇灌
（3）要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围．
投中次数
1
2
3
4
5
6
频数
1
a
b
2
2
1
统计量
班级
平均数
中位数
众数
方差
八年级（3）班
3.6
d
3
2.04
统计量
班级
平均数
中位数
众数
方差
八年级（6）班
3.6
3
2
3.64
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（2）直接写出内边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
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