2022-2023学年福建省连城县第一中学高一上学期第二次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年福建省连城县第一中学高一上学期第二次月考数学试题

一、单选题

1．的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用特殊角的三角函数值求值.

【详解】根据特殊角的三角函数值，可得.

故选：B.

2．已知点是角终边上一点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据正弦函数的定义进行求解即可.

【详解】因为点是角终边上一点，

所以，

故选：D

3．已知幂函数的图象过点，若，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．4

【答案】D

【分析】根据已知条件，推出，再根据，即可得出答案.

【详解】由题意得：，解得，所以，解得：，

故选：D

【点睛】本题考查幂函数的解析式，属于基础题.

4．三个数，，的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由指数函数和对数函数的单调性分别和比较即可求解.

【详解】因为，，，

所以，

故选：D

5．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】首先求出函数的定义域，再判断函数的奇偶性，最后根据函数值的情况判断即可.

【详解】解：因为函数的定义域为，，

所以是偶函数，函数图象关于轴对称，排除A，B；

当时，，当时，，排除C．

故选：D．

6．声强级（单位：dB）由公式给出，其中为声强（单位：）．某班级为规范同学在公共场所说话的文明礼仪，开展了“不敢高声语，恐惊读书人”主题活动，要求课下同学之间交流时，每人的声强级不超过40dB．现已知3位同学课间交流时，每人的声强分别为，，，则这3人中达到班级要求的人数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】根据所给声强级公式计算声强级不超过40dB的声强，即可求解.

【详解】依题意，，

∴，

故声强为，的两人达到要求，

故选：C

7．已知函数满足：①定义域；②为偶函数，③为奇函数，④对任意的，且，都有，则、、的大小关系是（    ）.

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由得关于对称，由得关于点对称，且，由得在上单调递减，根据得出的信息，可知的周期，并画出草图，

即可得出结果.

【详解】在上为偶函数，

，

关于对称，

在上为奇函数，

，

关于点对称，且，

令，

又，

，

由得：，

由得：，(将中的换成)，

由得：，

的一个周期为，且，关于对称，

又对任意的，且，都有，

在上单调递减，

在一个周期内的草图为：

，

.

故选：C.

8．设函数y＝f（x）在R上有定义，对于任一给定的正数p，定义函数fp（x）＝，则称函数fp（x）为f（x）的“p界函数”若给定函数f（x）＝x2﹣2x﹣1，p＝2，则下列结论不成立的是（　　）

A．fp[f（0）]＝f[fp（0）] B．fp[f（1）]＝f[fp（1）]

C．fp[fp（2）]＝f[f（2）] D．fp[fp（3）]＝f[f（3）]

【答案】B

【分析】由题意可得，然后逐个分析判断即可

【详解】因为，

所以，

所以对于A，，所以A正确，

对于B，，所以B错误，

对于C，，所以C正确，

对于D，，所以D正确，

故选：B

二、多选题

9．已知全集，集合，，则（    ）

A． B．

C． D．的真子集个数是

【答案】ACD

【分析】根据题意，由集合的运算可求出，进而判断AC正确，B错误，

由集合A有三个元素，可得D正确.

【详解】因为集合，，

所以，A正确；

又因为全集，所以，B错误；

因为，所以C正确；

因为，其子集的个数为，真子集的个数为，故D正确.

故选：ACD.

10．下列命题为真命题的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】BC

【分析】利用作差法判断选项A；利用不等式的性质判断选项B；利用不等式的性质判断选项C；利用列举法判断选项D．

【详解】A项，=所以A选项是错误的；

B项，若，可得：，故，故B正确；

C项，若可得，由可得：，故C正确；

D项，举当时，则不成立，故D不正确；

故选：BC．

11．给出下面四个结论，其中正确的是（    ）

A．函数的定义域是.

B．的值域为.

C．函数在区间上有唯一一个零点.

D．角是的必要不充分条件.

【答案】BC

【分析】A选项：根据正弦函数的性质解不等式即可；

B选项：利用换元法和对勾函数的单调性求值域即可；

C选项：根据函数单调性和零点存在性定理判断即可；

D选项：根据三角函数判断充分性和必要性即可.

【详解】A选项：令，解得，，故A错；

B选项：令，因为，所以，，函数在上单调递减，上单调递增，所以当时，取得最小值，，当时，，时，，所以的值域为，故B正确；

C选项：函数在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递减，又，，所以在上有唯一一个零点，故C正确；

D选项：当时，；当时，或（），即或（），不能推出，所以是的既不充分也不必要条件，故D错.

故选：BC.

12．已知函数，设， ，则（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】ABD

【分析】作出函数的图象，时，由于，可得到，化简可判断A，结合基本不等式可判断B;数形结合，结合函数的单调性，可判断C,D.

【详解】作出函数的图象，如图示：

当时，由于，可知，

则，则 ，即，A正确；

由于，则，即 ，B正确；

当时，单调递增，当时，有 ，

即，不符合C,D选项；

当时，，由于，则，即，

当时，递增，若，则即，

当时，递减，

若，则，即 ；

若，则由 ，令，

由于此时，则，

由，可得，即 ，故C错误，D正确，

故选：ABD

三、填空题

13．计算：________．

【答案】1

【分析】根据诱导公式化简即可得解.

【详解】，

故答案为：1

14．《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长（弧长）为20米，径长（两段半径的和）为20米，则该扇形田的面积为_____平方米.

【答案】100

【分析】本题可通过题意中的“以径乘周四而一”得出答案.

【详解】因为径长为20米，下周长为20米，

所以由题意中“以径乘周四而一”可知，

该扇形菜田的面积平方米。

故答案为：100.

15．若函数在上为减函数，则a取值范围是___________.

【答案】

【分析】令，且 ，，由是增函数且恒成立，列出关于的不等式组并解之即可.

【详解】令，且 ，，

因为函数在上是减函数且在上是减函数，

所以是增函数且恒成立，

即，解之得的取值范围是.

故答案为：.

四、双空题

16．已知函数，则________；若在既有最大值又有最小值，则实数的取值范围为________．

【答案】         

【解析】第一空：直接代入函数计算即可；

第二空：作出函数图像，观察图像可得结果.

【详解】解：第一空：，；

第二空：的图像如下：

令，，得，

，，得，

若在既有最大值又有最小值，则

实数的取值范围为.

故答案为：；

【点睛】本题考查分段函数的求值问题，考查学生数形结合的能力，关键是要作出函数图像，是一道中档题.

五、解答题

17．求值：

(1)；

(2)已知，求值：；

【答案】(1)0；

(2).

【分析】（1）根据指数幂的运算性质以及换底公式、对数运算性质即可求解；

（2）求出，分子分母同时除以，代入即可求值.

【详解】（1）.

（2），所以.

则.

18．已知函数．

(1)用五点法作图作出在的图像；

(2)求在的最大值和最小值．

【答案】(1)作图见解析

(2) ；

【分析】本题由课本29页，例2改编；利用五点法画出的图像，并利用图像研究性质．

【详解】（1）列表如下：

对应的图象如图：

（2），由且结合图象知            

19．设函数f(x)=ax2+(b－2)x+3（a≠0）．

(1)若不等式f(x)＞0的解集(－1，1)，求a，b的值；

(2)若f(1)=2，

①a＞0，b＞0，求的最小值；

②若f(x)＞1在R上恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)；

(2)①9；②

【分析】（1）由一元二次不等式的解得一元二次方程的解，利用根与系数关系列方程求解；

（2）由条件得，①利用基本不等式求最小值；②化简不等式为标准的一元二次不等式，然后由一元二次不等式恒成立可得．

【详解】（1）由题意的两根是和1且，

所以，解得．

（2）①，，

又，

所以，当且仅当，即时等号成立．

所以的最小值是9．

②由①得，，即，

的解集为R，时，不合题意，

所以，且，解得，

所以的范围是．

20．某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈(0,14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[14,40]时，曲线是函数（且）图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳．

(1)试求的函数关系式；

(2)一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由．

【答案】（1）；（2）能，见解析.

【分析】(1)根据所给的函数图像先求出当t∈(0,14]时的二次函数解析式，再由点，代入函数求出t∈[14,40]时的解析式，用分段函数表达即可.

(2)对分段函数，分别解不等式，求出的取值范围，然后取并集，再计算时间的长度，然后对老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完做出判断.

【详解】解：（1）当t∈(0,14]时，设p＝f(t)＝c(t－12)2＋82(c<0)，

将点(14,81)代入得c＝－，

∴当t∈(0,14]时，p＝f(t)＝－ (t－12)2＋82；

当t∈(14,40]时，将点(14,81)代入y＝loga(t－5)＋83，得a＝.

所以p＝f(t)＝

(2)当t∈(0,14]时，－ (t－12)2＋82≥80，

解得:，

所以；

当t∈(14,40]时，log (t－5)＋83≥80，

解得5<t≤32，所以t∈(14,32]，

综上时学生听课效果最佳.

此时

所以，教师能够合理安排时间讲完题目.

【点睛】本题考查分段函数，函数与方程的思想，用函数解决实际问题的关键是建立数学模型，属于基础题.

21．已知函数（）是奇函数,是偶函数.

(1)求;

(2)判断函数在上的单调性并说明理由;

(3)若函数满足不等式,求出的范围.

【答案】(1)3;

(2)单调递增,理由见解析;

(3).

【分析】(1)根据奇偶性的定义将点代入求出即可;

(2)先判断单调性,再用单调性定义证明,注意变形时需要变到几个因式乘积;

(3) 根据的奇偶性,将不等式化为,再根据的单调性及定义域写出范围解出即可.

【详解】（1）解:由题知（）是奇函数,

,

是偶函数,

,

,

,

故;

（2）在上的单调递增,理由如下:

由(1)知,

任取,

,

,

,

故在上的单调递增;

（3）由(1)(2)知是奇函数且在上的单调递增,

,

,

,

故.

22．已知函数为偶函数.

(1)求实数的值;

(2)解关于的不等式;

(3)设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据偶函数的定义及性质直接化简求值；

（2）判断时函数的单调性，根据奇偶性可得函数在各区间内的单调性，解不等式即可；

（3）由函数与图象有个公共点，可得有两个实数根，再利用换元法转化为二次方程有两个根，利用判别式求参数范围.

【详解】（1）函数的定义或为，

函数为偶函数.

，即 ，

，

；

（2），

当时，，单调递增，

在上单调递增，

又函数为偶函数，所以函数在上单调递增，在上单调递减；

，

，

解得或，

所以所求不等式的解集为 ；

（3）函数与图象有个公共点，

，

即，，

设，则，即，

又在上单调递增，

所以方程有两个不等的正根；

，

解得，即的取值范围为.

23．已知函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足，则称函数为“自均值函数”，其中称为的“自均值数”.

(1)判断函数是否为“自均值函数”，并说明理由：

(2)若函数，为“自均值函数”，求的取值范围；

(3)若函数，有且仅有1个“自均值数”，求实数的值.

【答案】(1)不是，理由见解析；

(2)；

(3)或.

【分析】(1)假定函数是 “自均值函数”，由函数的值域与函数的值域关系判断作答.

(2)根据给定定义可得函数在上的值域包含函数在上的值域，由此推理计算作答.

(3)根据给定定义可得函数在上的值域包含函数在上的值域，再借助a值的唯一性即可推理计算作答.

【详解】（1）假定函数是 “自均值函数”，显然定义域为R，则存在，对于，存在，有，

即，依题意，函数在R上的值域应包含函数在R上的值域，

而当时，值域是，当时，的值域是R，显然不包含R，

所以函数不是 “自均值函数”.

（2）依题意，存在，对于，存在，有，即，

当时，的值域是，因此在的值域包含，

当时，而，则，

若，则，，此时值域的区间长度不超过，而区间长度为1，不符合题意，

于是得，，要在的值域包含，

则在的最小值小于等于0，又时，递减，且，

从而有，解得，此时，取，的值域是包含于在的值域，

所以的取值范围是.

（3）依题意，存在，对于，存在，有，即，

当时，的值域是，因此在的值域包含，并且有唯一的a值，

当时，在单调递增，在的值域是，

由得，解得，此时a的值不唯一，不符合要求，

当时，函数的对称轴为，

当，即时，在单调递增，在的值域是，

由得，解得，要a的值唯一，当且仅当，即，则，

当，即时，，，，，

由且得：，此时a的值不唯一，不符合要求，

由且得，，要a的值唯一，当且仅当，解得，此时；

综上得：或，

所以函数，有且仅有1个“自均值数”，实数的值是或.

【点睛】结论点睛：若，，有，则的值域是值域的子集.