2024年河北省部分学校中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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命题：GST高考调研命题中心数学组
本试卷满分120分，考试时间为120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 下列计算中正确的是（ ）
A. B.
C. D. 和的积
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查绝对值运算、零指数幂运算、乘方预算及代数式的意义，根据相关定义与运算逐项验证即可得到答案，熟记绝对值运算、零指数幂运算、乘方预算及代数式的意义是解决问题的关键．
【详解】解：A、，计算错误，不符合题意；
B、，计算错误，不符合题意；
C、，计算错误，不符合题意；
D、根据单项式定义，表示与的积，计算正确，符合题意；
故选：D．
2. 若，，则（保留一位小数）（ ）
A. 5.6B. 6.5C. 5.5D. 6.6
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次根式性质及无理数估算，根据二次根式性质得到，，再由无理数估算方法，首先得到，再取与中间的数确定即可得到答案，熟练掌握二次根式性质及无理数估算方法是解决问题的关键．
【详解】解：，，，
，
，
，则，即，
取与中间的数，则，
，
，
由题中所给个选项，，
故选：A．
3. 结果是的原式可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键，利用二次根式的性质化简即可判断．
【详解】解：当时，，而不一定等于，不一定等于，不一定等于，
故选：D．
4. 若为任意的正整数，则总是能被（ ）
A. 2整除B. 绘画成一次函数
C. 当成任意方程的负数解D. 绘画成二次函数
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，熟记平方差公式是解本题的关键． 把利用平方差公式分解因式即可得到答案．
【详解】解：∵
，
∴总是能被绘画成一次函数，
故选：B．
5. 位于廊坊的金金要到哈尔滨参观，哈尔滨位于金金家西偏南的方向，则金金家位于哈尔滨（ ）
A. 南偏西B. 东偏北
C. 北偏东D. 西偏南
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查方位角的定义，直接由方位角定义及表示方法即可得到答案，熟记方位角的定义及方位表示方法是解决问题的关键．
【详解】解：如图所示：
哈尔滨位于金金家西偏南的方向，
金金家位于哈尔滨东偏北，
故选：B．
6. 将九年级中考的七科试卷放到桌面上，分为“文科”（语文英语道德与法治历史）和“理科”（数学物理化学）两类．随机抽取，抽到文科的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了概率公式，根据概率公式解答即可．
【详解】解：一共有七科试卷，其中文科有四科，
∴抽到文科概率是，
故选：C．
7. 天文单位是天文学中的重要单位，缩写一般记作，，则其用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，按照定义，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，按要求表示即可得到答案，确定与的值是解决问题的关键．
【详解】解：总共有12位数，根据科学记数法要求表示为，
故选：B．
8. 手机设计淋漓尽致的展示着美感，下列手机的后壳中，是对称图形（忽略）的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形的定义，轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判定即可得出结论．熟练掌握轴对称图形的定义是解决问题的关键．
【详解】解：A、该图是轴对称图形，故符合题意；
B、该图不是轴对称图形，故不符合题意；
C、该图轴对称图形，故符合题意；
D、该图不是轴对称图形，故不符合题意；
故选：AC．
9. 已知，，，均在反比例函数上，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查反比例函数图象与性质，将，，代入函数，比较的大小即可得到答案，熟练掌握反比例函数图像与性质是解决问题的关键．
【详解】解：，，，均在反比例函数上，
，，，
，
，
故选：B．
10. 如图，几何体由五个完全一致的正方体组成，则其左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体左面看所得到的图形，解答时易将三种视图混淆而错误的选其它选项．细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
【详解】解：从物体左面看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：A．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 中国铁路的转弯处可以抽象为以下模型，如图，若和都是扇形的切线，为，，则可以求的长是___________.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查扇形中求线段长，涉及切线性质、邻补角定义、四边形内角和及等边三角形的判定与性质，连接，如图所示，根据邻补角定义、切线性质及圆内角和可得，再利用圆的性质，由等边三角形的判定与性质即可得到答案，熟练掌握圆的性质是解决问题的关键．
【详解】解：连接，如图所示：
和都是扇形的切线，
，
为，
，
在四边形中，，，则，
，
是等边三角形，即，
故答案为：．
12. 打出租汽车是城市中最常见的运输方式．若出租汽车的起步价是5元，之后的每公里车程需要支付2元，则出租车价格y（元）和里程对应的函数是___________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查根据实际问题列一次函数关系式．根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．根据出租车价格=起步价+超过的付费，即可进行解答．
【详解】解：根据题意，得，
故答案为：．
13. 如图，四边形内接于，，为对角线，经过圆心O．若，则的度数为___________．
【答案】##50度
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角．先求出，再得出，最后根据直角三角形两锐角互余，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵经过圆心O，
∴，
∴，
故答案为：
14. 若不等式有解，则实数的最小值是___________.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查绝对值的代数意义，根据代数意义去绝对值，分类讨论求解即可得到答案，
熟练掌握利用绝对值的代数意义去绝对值是解决问题的关键．
【详解】解：①当时，，
，解得，
不等式有解，
，解得；
②当时，，
，解得，
不等式有解，
，解得；
③当时，，
，解得，
不等式有解，
，解得；
综上所述，若不等式有解，则，即实数的最小值是，
故答案为：．
15. 如图，在四边形中，，对角线，D相交于点O．若，，，则命题为___________命题．
【答案】真
【解析】
【分析】过点A作于点H，延长，交于点E，根据等腰三角形性质得出，根据勾股定理求出，证明，得出，设，求出，，在中，利用勾股定理可求出x的值，进而求出，即可判断出，根据垂直平分线的性质可得出，利用等腰三角形的性质和外角的性质可得出，即可判断．
【详解】解：过点A作于点H，延长，交于点E，如图所示：

则，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，
则 ，
解得，，
∵，
∴，
解得，（舍去），（舍去）
∴，
∴，
∴，
又，
∴，即，
则该命题是真命题．
故答案为：真．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相似三角形的判定与性质．
三、解答题（本题共8个小题，共75分.题组一每题10分，题组二每题15分，题组3每题25分）
16. 为了丰富学生的假期生活，美丽中学准备购买生物学、地理两科寒假作业．已知买10本生物学和40本地理学的费用是1900元，购买30本生物学和20本地理学的费用是2200元．
（1）生物学和地理寒假作业的单价分别是多少？
（2）若学校是地理强校，教研能力较强；若需要共购买600本生物学和地理作业，并且支出不超过26000元，则能购买生物学寒假作业至多能买多少本？
【答案】（1）生物学和地理寒假作业的单价分别50元，35元
（2）至多能买333本
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，不等式的应用，根据数量关系列出方程组和不等式是解题的关键．
（1）设生物学和地理寒假作业的单价分别x元，y元．根据题意，列出方程组求解即可．
（2）设购买生物学寒假作业m本，根据题意，列出不等式，求整数解即可．
【小问1详解】
解：设生物学和地理寒假作业的单价分别x元，y元，
根据题意，得，
解得，
答：生物学和地理寒假作业的单价分别50元，35元；
【小问2详解】
解：设购买生物学寒假作业m本，
根据题意，得，
解得，
答：购买生物学寒假作业至多能买333本．
17. 为了丰富学生的在校生活，美丽中学准备开设A：历史，B：化学，C：生涯，D：心理四个社团，并要求每个学生只能参与并且只能参与一项社团．学校随机抽查部分学生进行调查，方便了解学生参与社团的情况，根据调查结果绘制了两张统计图，但是被小明同学的墨水浸染了统计图．请结合统计图所在的信息，解决下列问题．

（1）扇形统计图中，B所对的扇形圆心角的度数是多少？
（2）补充条形统计图．
（3）估计美丽中学2000名学生中参加心理社团的学生人数是多少？
（4）美丽中学思政部要求各社团进行思想政治建设，并且要求英语素质高的学生．学校将符合条件的两名学生（2男2女）担任思想政治引领人．请用画树状图的方法，求出恰好选中1男1女的概率．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）500人
（4）
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图的结合，用样本估计总体，利用列表法求概率，正确地求出利用条形统计图和扇形统计图计算出各类型的人数是解题的关键．
（1）算出调查的总人数，然后求出B的占比，再乘以即可；
（2）利用调查总人数减去被调查的参与其余三类的学生人数，即可得到参与A类型的学生人数，将条形统计图补充完成即可；
（3）利用参加心理社团的学生占比乘以该中学2000名学生，即可解答；
（4）画树状图分析，根据概率公式，即可解答．
【小问1详解】
解：总人数：，
B所对的扇形圆心角的度数是；
【小问2详解】
解：A组人数为，
补图如下：
；
【小问3详解】
解：，
估计美丽中学2000名学生中参加心理社团的学生人数是500人；
【小问4详解】
解：画树状图，如图，

总共有12种结果，且每种结果出现的可能性相同．其中所评选2名学生为1名男生1名女生的结果有8种，所以恰好选中1名男生和1名女生的概率．
18. 如图，小祺在焦作游玩时想利用手中的手机测量焦作云台山的高度，云台山化简的模型近似为垂直于地面的模型，如图．小祺从手机处A看向云台山寺庙B的仰角是，从云台山寺庙到云台山顶端C的仰角是，看山崖底部俯角D的俯角是，手机B到山崖E的水平距离是50米．
（1）绘画出小祺测量云台山的模型．
（2）山崖的高度是多少？
（3）如果点A距离地面，求小祺到山崖E的水平距离
【答案】（1）见解析 （2）米
（3）米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当辅助线是解题的关键．
（1）根据题意，补图即可；
（2）利用锐角三角函数求得和，根据，即可得到答案；
（3）过点A作于点F，过点B作于点G，得矩形，进而求得，利用锐角三角函数求得，即可得到答案．
【小问1详解】
解：如图，
；
【小问2详解】
解：由题意可知：，，，
在中，，
，
在中，，
，
米
答：山崖的高度约为米；
【小问3详解】
解：如图，过点作于点，过点作于点，得矩形，

则，，
，
在中，，
，
，
，
答：小明到山崖的距离约为米．
19. 如图19-1和图19-2，平面上，四边形中，，，，．，点在边上，且．将线段绕点顺时针旋转到，的平分线所在直线交折线于点，设点在该折线上运动的路径长为，连接．
（1）证明的前提条件是在上；
（2）如图2，连接．
①求的度数；
②若点到的距离为2，求的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）①；②或
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质和角平分线的概念得到，，然后证明出，即可得到；
（2）①首先根据勾股定理得到，然后利用勾股定理的逆定理即可求出；②当点在上时，，，分别求得，，根据正切的定义即可求解；当在上时，则，过点作的延长线于点，延长交的延长线于点，证明，得 ，，进而求得，证明，即可得到答案．
【小问1详解】
证明：将线段绕点顺时针旋转 得到，
，
的平分线所在的直线交折线于点，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：①，，，
，
又，，
，，
，
；
②当点在上时，，，如图3所示：
，，，
，
，
，
，
；
当在上时，则，过点作交的延长线于点，延长交的延长线于点，如图4所示：
，
，
，
，即，
，，
，
，，
，
，
，
，解得，
；
综上所述，的值为或．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，折叠的性质，求正切值，熟练掌握以上知识且分类讨论是解题的关键．
20. 如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点，与轴交于点C．

（1）求直线的函数表达式及点C的坐标；
（2）点是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，与直线交于点D，设点的横坐标为．
①当时，求的值；
②当点在直线上方时，连接，过点作轴于点，与交于点，连接．设四边形的面积为，求关于的函数表达式，并求出S的最大值．
【答案】（1），点的坐标为
（2）①2或3或；②，S的最大值为
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法可求得直线的函数表达式，再求得点C的坐标即可；
（2）①分当点在直线上方和点在直线下方时，两种情况讨论，根据列一元二次方程求解即可；
②证明，推出，再证明四边形为矩形，利用矩形面积公式得到二次函数的表达式，再利用二次函数的性质即可求解．
小问1详解】
解：由得，当时，．
解得．
∵点A在轴正半轴上．
∴点A的坐标为．
设直线的函数表达式为．
将两点的坐标分别代入，
得，
解得，
∴直线的函数表达式为．
将代入，得．
∴点C的坐标为；
【小问2详解】
①解：点在第一象限内二次函数的图象上，且轴于点，与直线交于点，其横坐标为．
∴点的坐标分别为．
∴．
∵点的坐标为，
∴．
∵，
∴．
如图，当点在直线上方时，．

∵，
∴．
解得．
如图2，当点在直线下方时，．

∵，
∴．
解得，
∵，
∴．
综上所述，的值为2或3或；
②解：如图3，由（1）得，．

∵轴于点，交于点，点B的坐标为，
∴．
∵点在直线上方，
∴．
∵轴于点，
∴．
∴，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴四边形为平行四边形．
∵轴，
∴四边形为矩形．
∴．
即．
∵，
∴当时，S的最大值为．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数、一次函数、等腰三角形、矩形、勾股定理、相似三角形等知识点，第二问难度较大，需要分情况讨论，画出大致图形，用含m的代数式表示出是解题的关键．