16.2二次根式的乘除及加减

16.2二次根式的乘除及加减一．选择题（共10小题）1．化简的结果是（　　）A． B． C． D．2．下列二次根式中，最简二次根式的是（　　）A． B． C． D．3．下列二次根式化简后可以合并的一组是（　　）A．和 B．和 C．和 D．和4．若＝a，＝b，则可以表示为（　　）A． B． C．a2b D．ab5．若2+可以合并为一项，则m可以是（　　）A．6 B．12 C．15 D．186．若＝成立，则x的取值范围为（　　）A．x≥0 B．x≥0或x＜1 C．x＜1 D．0≤x＜17．若m＝5+2，n＝5﹣2，则下列关于m，n的说法正确的是（　　）A．m＝n B．m，n互为相反数 C．m，n互为倒数 D．m，n绝对值相等8．如图，在数轴上表示﹣1，﹣的对应点分别是A，B，若点A是线段BC的中点，则C点表示的实数为（　　）A．﹣2 B．1﹣ C．﹣1﹣ D．2﹣29．若a＝，b＝，则a与b关系是（　　）A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．互为负倒数10．已知a＜0，化简二次根式的正确结果是（　　）A． B． C． D．二．填空题（共6小题）11．已知，则m＝　 　．12．下列二次根式：①；②；③；④；⑤．其中可以与2合并的是 　 　（填序号）．13．观察分析下列数据，寻找规律：0，，，3，，，，…那么第n个数据应当是　 　．（n为正整数）14．若n为整数，且是自然数，则n＝　 　．15．已知a2+5a＝﹣2，b2+2＝﹣5b，且a≠b，则化简b+a＝　 　．16．阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例如：，（1）将分母有理化可得　 　 ；（2）关于x的方程3x﹣＝+++…+ 的解是　 　．三．解答题（共6小题）17．计算：（1）++﹣；（2）（×﹣4+3）÷2．18．观察下列等式，并回答问题：①×＝；②×＝；③×＝；……请直接写出第5个等式，并用含n（n为正整数）的等式表示你发现的规律，并证明这个规律．19．已知y＝﹣，求x、y的取值范围并化简．20．先化简，再求值：，其中，y＝3．21．已知x＝+，y＝﹣，求下列各式的值：（1）x2﹣y2；（2）÷．22．先阅读下列的解答过程，然后作答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b使a+b＝m，ab＝n，这样（）2+（）2＝m，•＝，那么便有＝＝±（a＞b）例如：化简解：首先把化为，这里m＝7，n＝12；由于4+3＝7，4×3＝12，即（）2+（）2＝7，•＝，∴＝＝＝2+由上述例题的方法化简：（1）；（2）；（3）．16.2二次根式的乘除及加减参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．化简的结果是（　　）A． B． C． D．【分析】将被开方数12写成平方数4与3的乘积，再将4开出来为2，易知化简结果为．【解答】解：，故选：B．【点评】本题考查了二次根式的化简，关键在于被开方数要写成平方数乘积的形式再进行化简．2．下列二次根式中，最简二次根式的是（　　）A． B． C． D．【分析】满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，由此判断即可．【解答】解：A、被开方数是分数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；B、被开方数4x含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；C、（a2≥b2）是最简二次根式，故此选项符合题意；D、被开方数3a2含有能开得尽方的因数a2，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了最简二次根式，熟知最简二次根式的定义是解题的关键．3．下列二次根式化简后可以合并的一组是（　　）A．和 B．和 C．和 D．和【分析】先将二次根式进行化简，根据被开方数相同的是同类二次根式，即可以合并，逐一判断即可得到答案．【解答】解：A、，与不是同类二次根式，不可合并，不符合题意，选项错误；B、和不是同类二次根式，不可合并，不符合题意，选项错误；C、，，同类二次根式，可以合并，符合题意，选项正确；D、，，不是同类二次根式，不可合并，不符合题意，选项错误，故选：C．【点评】本题主要考查二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．4．若＝a，＝b，则可以表示为（　　）A． B． C．a2b D．ab【分析】首先化简二次根式，进而得出答案．【解答】解：∵＝a，＝b，∴可以表示为：3＝（）2×＝a2b．故选：C．【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．5．若2+可以合并为一项，则m可以是（　　）A．6 B．12 C．15 D．18【分析】由2+可以合并为一项知2与是同类二次根式，再将各选项的值代入化简，利用同类二次根式的概念逐一判断即可．【解答】解：∵2+可以合并为一项，∴2与是同类二次根式，当m＝6时，2与不是同类二次根式；当m＝12时，＝2与2是同类二次根式；当m＝15时，2与不是同类二次根式；当m＝18时，＝3与2不是同类二次根式；故选：B．【点评】本题主要考查同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的概念：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．6．若＝成立，则x的取值范围为（　　）A．x≥0 B．x≥0或x＜1 C．x＜1 D．0≤x＜1【分析】根据二次根式的乘除法，二次根式有意义的条件进行分析即可．【解答】解：若＝成立，则x≥0，1﹣x＞0，解得：0≤x＜1，故选：D．【点评】本题主要考查二次根式的乘除法，二次根式有意义的条件，解答的关键是对相应的知识的掌握．7．若m＝5+2，n＝5﹣2，则下列关于m，n的说法正确的是（　　）A．m＝n B．m，n互为相反数 C．m，n互为倒数 D．m，n绝对值相等【分析】利用二次根式的乘法运算求解．【解答】解：∵mn＝（5+2）（5﹣2）＝25﹣24＝1，∴m，n互为倒数；故选：C．【点评】本题考查了二次根式的运算，掌握运算法则是解题的关键．8．如图，在数轴上表示﹣1，﹣的对应点分别是A，B，若点A是线段BC的中点，则C点表示的实数为（　　）A．﹣2 B．1﹣ C．﹣1﹣ D．2﹣2【分析】根据点A是线段BC的中点，可得线段AC的长度等于线段AB的长度，用线段AB的长度加上点A表示的数，求出C点表示的数为多少即可．【解答】解：∵点A是BC的中点，∴AB＝AC，∵点A、点B表示的数分别是﹣1、﹣，∴AB＝（﹣1）﹣（﹣）＝﹣1，∴AC＝﹣1，∴点C表示的数为（﹣1）+（﹣1）＝﹣2．故选：A．【点评】本题考查了实数与数轴、线段的中点．解题的关键是理解线段中点的含义．9．若a＝，b＝，则a与b关系是（　　）A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．互为负倒数【分析】根据分母有理化化简a，然后判断a+b是否等于0即可求出答案．【解答】解：∵a＝＝3﹣2，∴a+b＝3﹣2+2﹣3＝0，∴a与b互为相反数，故选：A．【点评】本题考查分母有理化，解题的关键是正确判断a+b＝0，本题属于基础题型．10．已知a＜0，化简二次根式的正确结果是（　　）A． B． C． D．【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．【解答】解：∵a＜0，∴＝|a|＝﹣a，故选：A．【点评】本题考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质是正确化简的前提．二．填空题（共6小题）11．已知，则m＝　　．【分析】利用二次根式的乘法法则先计算等号左侧，再求m．【解答】解：∵×＝3，∴＝，∴10m＝9．∴m＝．故答案为：．【点评】本题考查了二次根式的乘法法则，掌握“×＝（a≥0，b≥0）”是解决本题的关键．12．下列二次根式：①；②；③；④；⑤．其中可以与2合并的是 　①③⑤　（填序号）．【分析】先把各二次根式化为简二次根式，然后找出2的同类二次根式即可．【解答】解：①＝3；②＝3；③＝4；⑤＝，所以可以与2合并的是 ，和．故答案为：①③⑤．【点评】本题考查了同类二次根式：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．13．观察分析下列数据，寻找规律：0，，，3，，，，…那么第n个数据应当是　（n≥1的正整数）　．（n为正整数）【分析】观察已知二次根式，归纳总结即可得到结果．【解答】解：0，，，3＝，2＝，，3＝，归纳总结得：第n个数据为（n≥1的正整数），故答案为：（n≥1的正整数）【点评】此题考查了算术平方根，以及规律型：数字的变化类，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．若n为整数，且是自然数，则n＝　﹣14或﹣7或﹣2或5　．【分析】设＝p，再把等式两边同时乘以4，利用平方差公式把等式左边化为两个因式积的形式，列出关于p、n的方程组，求出n的值即可．【解答】解：∵设＝p（P为非负整数），则n2+9n+30＝p2，∴4n2+36n+120＝4p2，∴（2n+9）2+39＝4p2，∴（2p+2n+9）（2p﹣2n﹣9）＝39，∴或或或，解得或或或，∴n＝﹣14或﹣7或﹣2或5．故答案为：﹣14或﹣7或﹣2或5．【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，先根据题意把原式化为两个因式积的形式是解答此题的关键．15．已知a2+5a＝﹣2，b2+2＝﹣5b，且a≠b，则化简b+a＝　﹣　．【分析】由a2+5a＝﹣2，b2+2＝﹣5b，即a2+5a+2＝0，b2+5b+2＝0，且a≠b可知a、b可看作方程x2+5x+2＝0的两不相等的实数根，继而知a+b＝﹣5，ab＝2，且a＜0，b＜0，将其代入到原式＝﹣﹣＝﹣＝﹣可得答案．【解答】解：∵a2+5a＝﹣2，b2+2＝﹣5b，即a2+5a+2＝0，b2+5b+2＝0，且a≠b，∴a、b可看作方程x2+5x+2＝0的两不相等的实数根，则a+b＝﹣5，ab＝2，∴a＜0，b＜0，则原式＝﹣﹣＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查方程的解、韦达定理、二次根式的化简求值等知识点，根据a、b满足的等式判断出a、b可看作方程x2+5x+2＝0的两不相等的实数根且a+b＝﹣5，ab＝2，a＜0，b＜0是解题的关键．16．阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例如：，（1）将分母有理化可得　﹣1　 ；（2）关于x的方程3x﹣＝+++…+ 的解是　　．【分析】（1）根据材料进行分母有理化即可；（2）先分母有理化，再根据式子的规律即可求解．【解答】解：（1）＝＝﹣1故答案为：﹣1；（2）3x﹣＝+++…+，3x﹣＝+++…+，3x﹣＝+++…+，3x﹣＝（+），6x﹣1＝﹣1+，6x＝3，x＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了分母有理化和解一元一次方程，解题的关键是根据材料能正确的进行分母有理化．三．解答题（共6小题）17．计算：（1）++﹣；（2）（×﹣4+3）÷2．【分析】（1）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可；（2）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算．【解答】解：（1）原式＝4+5+﹣3＝6+；（2）原式＝（3﹣2+6）÷2＝（3+4）÷2＝7÷2＝．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．18．观察下列等式，并回答问题：①×＝；②×＝；③×＝；……请直接写出第5个等式，并用含n（n为正整数）的等式表示你发现的规律，并证明这个规律．【分析】根据所给的式子的形式进行求解，再总结出规律，分别对等式的左边式子进行整理即可证明．【解答】解：第5个等式为：，规律：，证明：左边＝＝＝＝＝右边．【点评】本题主要考查二次根式的乘法，二次根式的化简，数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．19．已知y＝﹣，求x、y的取值范围并化简．【分析】根据已知得出y＜0，x﹣1＜0，进而化简求出即可．【解答】解：∵y＝﹣，∴y＜0，x﹣1＜0，∴＝＝＝（1﹣x）．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出y，（x﹣1）的符号是解题关键．20．先化简，再求值：，其中，y＝3．【分析】先确定x＞0，y＞0，再利用二次根式的性质化简，然后计算二次根式的加减法，最后将x，y的值代入计算即可得．【解答】解：由题意得：，∴x＞0，y＞0，则＝＝＝，当，y＝3时，原式＝．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键．21．已知x＝+，y＝﹣，求下列各式的值：（1）x2﹣y2；（2）÷．【分析】（1）根据二次根式的加减法法则分别求出x+y，x﹣y，根据平方差公式把原式变形，代入计算即可；（2）根据分式的除法法则把原式化简，把x﹣y的值代入计算，得到答案．【解答】解：（1）∵x＝+，y＝﹣，∴x+y＝（+）+（﹣）＝2，x﹣y＝（+）﹣（﹣）＝2，∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝2×2＝4；（2）原式＝•2（x+y）＝2（x﹣y），∵x﹣y＝2，∴原式＝4．【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，分式的化简求值，掌握二次根式的混合运算法则、分式的乘除法法则是解题的关键．22．先阅读下列的解答过程，然后作答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b使a+b＝m，ab＝n，这样（）2+（）2＝m，•＝，那么便有＝＝±（a＞b）例如：化简解：首先把化为，这里m＝7，n＝12；由于4+3＝7，4×3＝12，即（）2+（）2＝7，•＝，∴＝＝＝2+由上述例题的方法化简：（1）；（2）；（3）．【分析】先把各题中的无理式变成 的形式，再根据范例分别求出各题中的a、b，即可求解．【解答】解：（1）＝＝﹣；（2）＝＝＝﹣；（3）＝＝．【点评】主要考查二次根式根号内含有根号的式子化简．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式根号内含有根号的式子化简．二次根式根号内含有根号的式子化简主要利用了完全平方公式，所以一般二次根式根号内含有根号的式子化简是符合完全平方公式的特点的式子．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/4/11 10:54:33；用户：初中数学；邮箱：cyzxjy02@xyh.com；学号：30082752