2024年山东省淄博市周村实验中学中考数学摸底试卷（3月份）（含解析）

这是一份2024年山东省淄博市周村实验中学中考数学摸底试卷（3月份）（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列实数中，无理数是( )
A. 16B. 319C. (π+5)0D. 37
2.如下图案，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.上网搜索“淄博烧烤”，网页显示找到相关结果约31600000个.数据31600000用科学记数法表示为( )
A. 3.167B. 3.16×106C. 3.16×107D. 31.6×106
4.下列运算正确的是( )
A. x2⋅x3=x6B. (x2)3=x6C. x2+x3=x5D. x2+x2=2x4
5.如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32°，那么∠2的度数是( )
A. 32°
B. 58°
C. 68°
D. 60°
6.将分式方程1x=2x−2去分母后得到的整式方程，正确的是( )
A. x−2=2xB. x2−2x=2xC. x−2=xD. x=2x−4
7.如图，从一块直径是8m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，圆锥的高是m．( )
A. 4 2
B. 5
C. 30
D. 2 15
8.为推进垃圾分类，推动绿色发展，某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类.已知用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为140万元.设甲型机器人每台x万元，根据题意，所列方程正确的是
( )
A. 360x=480140−xB. 360140−x=480x
C. 360x+480x=140D. 360x−140=480x
9.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(−3,0)，其对称轴为直线x=−12，结合图象分析下列结论：
①abc>0；
②3a+c>0；
③当x<0时，y随x的增大而增大；
④一元二次方程cx2+bx+a=0的两根分别为x1=−13，x2=12；
⑤b2−4ac4a<0；
⑥若m，n(m2，
其中正确的结论有( )
A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个
10.如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为( )
A. 3 2
B. 2 6
C. 2 5
D. 2 3
11.如图，ABCD是正方形，G是BC上(除端点外)的任意一点，DE⊥AG于点E，BF//DE，交AG于点F.下列结论不一定成立的是( )
A. △AED≌△BFA
B. DE−BF=EF
C. △BGF∽△DAE
D. DE−BG=FG
12.观察二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，下列四个结论：
①4ac−b2>0；②4a+c<2b；③b+c<0；④n(an+b)−b正确结论的个数是( )
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13.华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为______．
14.分解因式：−3a+12a2−12a3=______．
15.如图，直线AB/​/CD，∠C=44°，∠E为直角，则∠1= ．
16.如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB=2km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离(即CD的长)为______km(精确到0.1)．
17.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⨀O经过点D.若∠C=30°，且CD=3 3，则阴影部分的面积是______．
18.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OA1A2的直角边OA1在y轴的正半轴上，且OA1=A1A2=1，以OA2为直角边作第二个等腰直角三角形OA2A3，以OA3为直角边作第三个等限直角三角OA3A4，…，依此规律，得到等腰直角三角形OA2020A2021，则点A2021的坐标为______．
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
先化简，再求值：(x−1x−x−2x+1)÷2x2−xx2+2x+1，其中x满足x2−2x−2=0．
20.(本小题10分)
如图所示，直线y1=kx+b与反比例函数y2=mx(x>0)的图象交于点P(2,a)，Q(8,1)，与坐标轴交于A、B两点．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)观察图象，当x>0时，直接写出不等式kx+b(3)将直线y1=kx+b向下平移n个单位，若直线与反比例函数y2=mx(x>0)的图象有唯一交点，求n的值．
21.(本小题10分)
某种铂金饰品在甲、乙两个商店销售．甲店标价477元/克，按标价出售，不优惠．乙店标价530元/克，但若买的铂金饰品重量超过3克，则超出部分可打八折出售．
(1)分别写出到甲、乙商店购买该种铂金饰品所需费用y(元)和重量x(克)之间的函数关系式；
(2)李阿姨要买一条重量不少于4克且不超过10克的此种铂金饰品，到哪个商店购买最合算？
22.(本小题10分)
太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB的长度相同，均为300cm，AB的倾斜角为30°，BE=CA=50cm，支撑角钢CD，EF与底座地基台面接触点分别为D、F，CD垂直于地面，FE⊥AB于点E.两个底座地基高度相同(即点D，F到地面的垂直距离相同)，均为30cm，点A到地面的垂直距离为50cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少cm(结果保留根号)．
23.(本小题10分)
为了提高学生的阅读能力，我市某校开展了“读好书，助成长”的活动，并计划购置一批图书，购书前，对学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，并将调查数据绘制成两幅不完整的统计图，如图所示，请根据统计图回答下列问题：
(1)本次调查共抽取了______名学生，两幅统计图中的m=______，n=______；
(2)已知该校共有3600名学生，请你估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有多少人？
(3)学校将举办读书知识竞赛，九年级1班要在本班3名优胜者(2男1女)中随机选送2人参赛，请用列表或画树状图的方法求被选送的两名参赛者为一男一女的概率．
24.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC中点．
(1)尺规作图：以AC为直径作⊙O，交AB于点E(保留作图痕迹，不需写作法)；
(2)求证：DE是⊙O的切线；
(3)若AC=8，AB=10，求O到CE的距离．
25.(本小题10分)
在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2 2，D为BC的中点，E，F为别为线段AB，AD上任意一点，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转90°得到线段EG，连接FG，AG．
(1)如图1，点E与点B重合，且GF的延长线过点C，若点P为FG的中点，连接PD，求PD的长；
(2)如图2，EF的延长线交AC于点M，点N在AB上，∠AGN=∠AEG且GN=MF，求AM+AF= 2AE；
(3)如图3，F为线段AD上一动点，E为AB的中点，连接CE，H为直线BC上一动点，连接EH，将△CEH沿EH翻折至ABC所在平面内，得到△C′EH，连接C′G，直接写出线段C′G长度的最小值．
26.(本小题10分)
如图，已知二次函数y=x2+bx+c经过A，B两点，BC⊥x轴于点C，且点A(−1,0)，C(4,0)，AC=BC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E是线段AB上一动点(不与A，B重合)，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标及S△ABF；
(3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使△ABP成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A． 16=4，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B.319是无理数，故本选项符合题意；
C.(π+5)0=1，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D.37是分数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选：B．
根据无理数的定义判断即可．
本题考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
2.【答案】D
【解析】解：由题意可知，选项D的图形能绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
选项A、B、C的图形不是中心对称图形；
故选：D．
根据中心对称图形的定义解答即可．
本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
3.【答案】C
【解析】解：31600000=3.16×107．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】B
【解析】解：A、x2⋅x3=x5，故A错误；
B、(x2)3=x6，故B正确；
C、x2+x3=x5，不能合并，故C错误；
D、x2+x2=2x2，故D错误；
故选：B．
根据同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项进行计算即可．
本题考查了幂的乘方和积的乘方，掌握运算法则是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：根据题意可知，∠2=∠3，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠2=90°−∠1=58°．
故选：B．
本题主要利用两直线平行，同位角相等及余角的定义作答．
主要考查了平行线的性质和互余的两个角的性质．互为余角的两角的和为90°.解此题的关键是能准确的从图中找出这两个角之间的数量关系，从而计算出结果．
6.【答案】A
【解析】解：去分母得：x−2=2x，
故选：A．
分式方程两边乘以最简公分母x(x−2)即可得到结果．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
7.【答案】C
【解析】解：如图1，连接AO，
∵AB=AC，点O是BC的中点，
∴AO⊥BC，
又∵∠BAC=90°，
∴∠ABO=∠ACO=45°，
∴AB= 2OB= 2×(8÷2)=4 2(m)，
∴BC=90360×2π×4 2=2 2π(m)，
∴将剪下的扇形围成的圆锥的半径是：
2 2π÷2π= 2(m)，
∴圆锥的高是： (4 2)2−( 2)2= 32−2= 30(m)．
故选：C．
首先连接AO，求出AB的长度是多少；然后求出扇形的弧长BC为多少，进而求出扇形围成的圆锥的底面半径是多少；最后应用勾股定理，求出圆锥的高是多少即可．
此题主要考查了圆锥的计算，要熟练掌握，解答此题的关键是求出扇形围成的圆锥的底面半径是多少．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解题的关键正确找出等量关系，列出分式方程．
设甲种型号机器人每台的价格是x万元，根据“用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同”，列出关于x的分式方程．
【解答】
解：设甲型机器人每台x万元，则乙型机器人每台(140−x)万元，
根据题意，可得：360x=480140−x，
故选：A．
9.【答案】C
【解析】【解答】
解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(−3,0)，其对称轴为直线x=−12，
∴抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(−3,0)和(2,0)，且a=b，
由图象知：a<0，c>0，b<0，
∴abc>0，
故结论①正确；
∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(−3,0)，
∴9a−3b+c=0，
∵a=b，
∴c=−6a，
∴3a+c=−3a>0，
故结论②正确；
∵当x<−12时，y随x的增大而增大；当−12∴结论③错误；
∵cx2+bx+a=0，c>0，
∴cax2+bax+1=0，
∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(−3,0)和(2,0)，
∴ax2+bx+c=0的两根是−3和2，
∴ba=1，ca=−6，
∴cax2+bax+1=0，即为：−6x2+x+1=0，解得x1=−13，x2=12，
故结论④正确；
∵当x=−12时，y=4ac−b24a>0，
∴b2−4ac4a<0，
故结论⑤正确；
∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(−3,0)和(2,0)，
∴y=ax2+bx+c=a(x+3)(x−2)，
∵m，n(m∴m，n(m∴m，n(m结合图象得：m<−3且n>2，
故结论⑥正确．
故选：C．
【分析】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质．
利用二次函数图象与系数的关系，结合图象依次对各结论进行判断．
10.【答案】B
【解析】解：过点E作EM⊥BC于M，交BF于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC，
∵∠EMB=90°，
∴四边形ABME是矩形，
∴AE=BM，
由折叠的性质得：AE=GE，∠EGN=∠A=90°，
∴EG=BM，
∵∠ENG=∠BNM，
∴△ENG≌△BNM(AAS)，
∴NG=NM，
∴CM=DE，
∵E是AD的中点，
∴AE=ED=BM=CM，
∵EM//CD，
∴BN：NF=BM：CM，
∴BN=NF，
∴NM=12CF=12，
∴NG=12，
∵BG=AB=CD=CF+DF=3，
∴BN=BG−NG=3−12=52，
∴BF=2BN=5，
∴BC= BF2−CF2= 52−12=2 6．
故选B．
首先过点E作EM⊥BC于M，交BF于N，易证得△ENG≌△BNM(AAS)，MN是△BCF的中位线，根据全等三角形的性质，即可求得GN=MN，由折叠的性质，可得BG=3，继而求得BF的值，又由勾股定理，即可求得BC的长．
此题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、三角形中位线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
11.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，AD//BC，
∵DE⊥AG，BF//DE，
∴BF⊥AG，
∴∠AED=∠DEF=∠BFE=90°，
∵∠BAF+∠DAE=90°，∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠BAF=∠ADE，
∴△AED≌△BFA(AAS)；故A正确；
∴DE=AF，AE=BF，
∴DE−BF=AF−AE=EF，故B正确；
∵AD/​/BC，
∴∠DAE=∠BGF，
∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AED=∠GFB=90°，
∴△BGF∽△DAE，故C正确；
∵DE，BG，FG没有等量关系，
故不能判定DE−BG=FG正确．
故选：D．
由四边形ABCD是正方形，可得AB=AD，由DE⊥AG，BF//DE，易证得BF⊥AG，又由同角的余角相等，可证得∠BAF=∠ADE，则可利用AAS判定△AED≌△BFA；由全等三角形的对应边相等，易证得DE−BF=EF；有两角对应相等的三角形相似，可证得△BGF∽△DAE；利用排除法即可求得答案．
此题考查了相似三角形的判定、正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题综合性很强，难度适中，注意数形结合思想的应用，注意排除法在解选择题中的应用．
12.【答案】C
【解析】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，4ac−b2<0，故①错误．
根据图象知道当x=−2时，y=4a−2b+c<0，4a+c<2b，故②正确；
∵抛物线开口朝下，
∴a<0，
∵对称轴x=1=−b2a，
∴b>0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c>0，b+c>0，故③错误；
∵x=1时，函数值有最大值a+b+c，
∴an2+bn+c∴n(an+b)−b故选：C．
首先根据开口方向确定a的取值范围，根据对称轴的位置确定b的取值范围，根据抛物线与y轴的交点确定c的取值范围，根据抛物线与x轴是否有交点确定b2−4ac的取值范围，根据图象和x=−2的函数值即可确定4a−2b+c的取值范围，根据b、c的取值范围可以确定b+c<0是否成立．根据二次函数的最值问题得到an2+bn+c本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根据函数图象解答问题，体现了数形结合的数学思想方法．
13.【答案】7×10−9
【解析】解：0.000000007=7×10−9；
故答案为：7×10−9
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
14.【答案】−3a(1−2a)2
【解析】解：原式=−3a(1−4a+4a2)
=−3a(1−2a)2．
故答案为：−3a(1−2a)2．
首先提公因式−3a，然后利用完全平方公式即可分解．
本题主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于需要进行二次分解因式．
15.【答案】134°
【解析】【分析】
本题考查了平行线的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．过E作EF/​/AB，得出AB/​/CD/​/EF，
根据平行线的性质得出∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，求出∠BAE，即可求出答案．
【解答】
解：过E作EF/​/AB，
∵AB/​/CD，
∴AB//CD//EF，
∴∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，
∵∠C=44°，∠AEC为直角，
∴∠FEC=44°，∠BAE=∠AEF=90°−44°=46°，
∴∠1=180°−∠BAE=180°−46°=134°．
故答案为：134°．
16.【答案】3.4
【解析】【分析】
此题主要考查了解直角三角形的应用，得出BE=EC=2是解题关键．
根据题意在CD上取一点E，使BD=DE，设BD=DE=x，则由AD与CD的关系和勾股定理可求得x，从而可求得CD的长．
【解答】
解：在CD上取一点E，使BD=DE，设BD=DE=x．
∵BD=DE，
∴∠EBD=45°，
由题意可得∠CAD=45°，
∴AD=DC，
∵从B测得船C在北偏东22.5°的方向，
∴∠BCE=∠CBE=22.5°，
∴BE=EC，
∵AB=AD−BD=2km，
∴EC=BE=DC−DE=2km，
∵BD=DE=x，
∴CE=BE= 2x，
∴2+x=x+ 2x，
解得x= 2．
∴DC=(2+ 2)≈3.4(km)，
故答案为3.4．
17.【答案】3π2
【解析】解：连接OD，连接DE、OD、DF、OF，设圆的半径为R，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAB=∠DAO，
∵OD=OA，
∴∠DAO=∠ODA，
则∠DAB=∠ODA，
∴DO/​/AB，而∠B=90°，
∴∠ODB=90°，
∵∠C=30°，CD=3 3，
∴OD=CD⋅tan30°=3 3× 33=3，
∵∠DAB=∠DAE=30°，
∴DE=DF，
∵∠DOE=60°，
∴∠DOF=60°，
∴∠FOA=60°，
∴△OFD、△OFA是等边三角形，
∴DF/​/AC，
∴S阴影=S扇形DFO=60⋅π⋅32360=3π2．
故答案为：3π2．
证明△OFD、△OFA是等边三角形，S阴影=S扇形DFO，即可求解．
本题考查了扇形的面积，等边三角形的判定，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
18.【答案】(0,−21010)
【解析】解：∵等腰直角三角形OA1A2的直角边OA1在y轴的正半轴上，且OA1=A1A2=1，
∴A1(0,1)，A2(1,1)；
根据勾股定理得：OA2= 12+12= 2，
∴OA3= 2OA2=2，
∴A3(2,0)，A4(2,−2)，
根据勾股定理得：OA4= 22+22=2 2，
∴OA5= 2OA4=4，
∴A5(0,−4)，
∴A6(−4,−4)，
根据勾股定理得：OA6= 2OA5=4 2，
∴OA7= 2OA6=8，
∴A7(−8,0)，A8(−8,−8)，
根据勾股定理得：OA8= 2OA7=8 2，
∴OA9= 2OA8=16，
∴A9(0,16)，
∴坐标的循环节为8，
∵2021÷8=252…5，
∴A2021的坐标与A5(0,−4)的规律相同，
∵−4=−22=−25−12，
∴A2021的纵坐标为−22021−12=−21010，
∴A2021的坐标为(0,−21010)，
故答案为：(0,−21010).
根据题意，利用等腰直角三角形的性质，勾股定理，坐标系中点与象限的关系，确定一部分点的坐标，从坐标中寻找的规律计算即可．
本题考查了坐标系中坐标的变化规律，等腰直角三角形的性质，勾股定理，坐标的特点熟练掌握等腰直角三角形的性质，勾股定理灵活运用一般与特殊的思想，构造幂运算是解题的关键．
19.【答案】解：(x−1x−x−2x+1)÷2x2−xx2+2x+1
=x2−1−x2+2xx(x+1)⋅(x+1)2x(2x−1)
=2x−1x(x+1)⋅(x+1)2x(2x−1)
=x+1x2，
∵x2−2x−2=0，
∴x2=2x+2，
∴当x2=2x+2时，原式=x+12x+2=x+12(x+1)=12．
【解析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x2=2x+2代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
20.【答案】解：(1)把Q(8,1)代入y2=mx得：m=8×1=8，
∴反比例函数的解析式为y2=8x．
把P(2,a)代入y2=8x得：2a=8，解得a=4，
∴P(2,4)．
把P(2,4)，Q(8,1)分别代入y1=kx+b得：
2k+b=48k+b=1，解得：k=−12b=5，
∴一次函数的解析式为y1=−12x+5；
(2)当x>0时，不等式kx+b8；
(3)将直线y1=−12x+5向下平移n个单位后，直线的解析式为y1=−12x+5−n．
∵直线y1=−12x+5−n与反比例函数y2=8x(x>0)有唯一交点，
∴方程−12x+5−n=8x有唯一解，
整理得：x2+(2n−10)x+16=0，
∴△=(2n−10)2−4×16=0，
解之得：n1=1，n2=9(舍去)．
∴n的值为1．
【解析】(1)把Q(8,1)代入y2=mx，求出m=8，得到反比例函数的解析式，把点P(2,a)代入反比例函数解析式，求出a=4，即P(2,4)，再将P、Q两点的坐标代入y1=kx+b，利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；
(2)根据P、Q两点的坐标以及两函数的图象即可得出结论；
(3)先根据平移的规律得出直线y1=−12x+5向下平移n个单位后直线的解析式，再根据此时它与反比例函数的图象有唯一交点，得出判别式△=0，进而求解即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，一次函数与几何变换，利用数形结合与方程思想是解题的关键．
21.【答案】解：(1)y甲=477x．
y乙=530x(x≤3)．
y乙=530×3+530(x−3)⋅80%=424x+318(x>3)．
(2)由y甲=y乙得477x=424x+318，则x=6．
由y甲>y乙得477x>424x+318，则x>6．
由y甲所以当x=6时，到甲、乙两个商店购买费用相同．
当6当4≤x<6时，到甲商店购买合算．
【解析】(1)根据等量关系“去甲商店购买所需费用=标价×重量”“去乙商店购买所需费用=标价×3+标价×0.8×超出3克的重量(x>3)；当x≤3时，y乙=530x，”列出函数关系式；
(2)通过比较甲乙两商店费用的大小，得到购买一定重量的铂金饰品去最合算的商店．
此题为函数方程与实际相结合的问题，近几年为热点，同学们应加强这方面的训练．
22.【答案】解：过A作AG⊥CD于G，则∠CAG=30°，
在Rt△ACG中，CG=ACsin30°=50×12=25，
∵GD=50−30=20，∴CD=CG+GD=25+20=45，
连接FD并延长与BA的延长线交于H，则∠H=30°，
在Rt△CDH中，CH=CDsin30∘=2CD=90，
∴EH=EC+CH=AB−BE−AC+CH=300−50−50+90=290，
在Rt△EFH中，EF=EH⋅tan30°=290× 33=290 33，
答：支撑角钢CD和EF的长度各是45cm，290 33cm．
【解析】过A作AG⊥CD于G，在Rt△ACG中，求得CG=25，连接FD并延长与BA的延长线交于H，在Rt△CDH中，根据三角函数的定义得到CH=90，在Rt△EFH中，根据三角函数的定义即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题，构造直角三角形并解直角三角形，难度适中．
23.【答案】解：(1)200；84；15 ；
(2)3600×34%=1224，
所以估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有1224人；
(3)画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中被选送的两名参赛者为一男一女的结果数为4，
所以被选送的两名参赛者为一男一女的概率=46=23．
【解析】【分析】
(1)用喜欢阅读“A”类图书的学生数除以它所占的百分比得到调查的总人数；用喜欢阅读“B”类图书的学生数所占的百分比乘以调查的总人数得到m的值，然后用30除以调查的总人数可以得到n的值；
(2)用3600乘以样本中喜欢阅读“A”类图书的学生数所占的百分比即可；
(3)画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出被选送的两名参赛者为一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
【解答】
解：(1)68÷34%=200(名)，
所以本次调查共抽取了200名学生，
m=200×42%=84，
n%=30200×100%=15%，即n=15；
故答案为200；84；15；
(2)见答案；
(3)见答案．
24.【答案】(1)解：如图，⊙O即为所求；
(2)证明：如图，连接OE，CE，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AEC=90°，
∴∠CEB=90°，
∵D是BC中点，
∴CD=ED，
∴∠DCE=∠DEC，
∵OC=OE，
∴∠OCE=∠OEC，
∴∠OED=∠OEC+∠DEC=∠OCE+∠DCE=∠ACB=90°，
∵OE是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
(3)解：如图，过点O作OF⊥CE于点F，
∴F是CE的中点，
∵O是AC的中点，
∴OF是△ACE的中位线，
∴OF=12AE，
在△ABC中，∠ACB=90°，
∵AC=8，AB=10，
∴BC= AB2−AC2=6，
∵S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CE，
∴10CE=8×6，
∴CE=4.8，
∴AE= AC2−CE2= 82−(4.8)2=6.4，
∴OF=3.2，
∴O到CE的距离为3.2．
【解析】(1)先作AC的垂直平分线得到AC的中点O，然后以O点为圆心，OA为半径画圆交AB于E;
(2)连接OE，CE，根据圆周角定理可得∠CEB=90°，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=ED，进而可以解决问题；
(3)过点O作OF⊥CE于点F，根据垂径定理证明OF是△ACE的中位线，所以OF=12AE，然后利用三角形的面积求出CE的长，再利用勾股定理可得AE，进而可以解决问题．
本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质．
25.【答案】(1)解：如图1，

连接CP，由旋转知，CF=CG，∠FCG=90°，
∴△FCG为等腰直角三角形，
∵点P是FG的中点，
∴CP⊥FG，
∵点D是BC的中点，
∴DP=12BC，
在Rt△ABC中，AB=AC=2 2，
∴BC= 2AB=4，
∴DP=2；
(2)证明：如图2，

过点E作EH⊥AE交AD的延长线于H，
∴∠AEH=90°，
由旋转知，EG=EF，∠FEG=90°，
∴∠FEG=∠AEH，
∴∠AEG=∠HEF，
∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC=45°，
∴∠H=90°−∠CAD=45°=∠CAD，
∴AE=HE，
∴△EGA≌△EFH(SAS)，
∴AG=FH，∠EAG=∠H=45°，
∴∠EAG=∠BAD=45°，
∵AB⊥AC，HE⊥AC，
∴AB//HE，
∴∠AMF=∠HEF，
∵△EGA≌△EFH，
∴∠AEG=∠HEF，
∵∠AGN=∠AEG，
∴∠AGN=∠HEF，
∴∠AGN=∠AMF，
∵GN=MF，
∴△AGN≌△AMF(AAS)，
∴AG=AM，
∵AG=FH，
∴AM=FH，
∴AF+AM=AF+FH=AH= 2AE；
(3)解：∵点E是AC的中点，
∴AE=12AC= 2，
根据勾股定理得，BE= AE2+AB2= 10，
由折叠知，BE=B′E= 10，
∴点B′是以点E为圆心， 10为半径的圆上，
由旋转知，EF=EG，
∴点G在点A右侧过点A与AD垂直且等长的线段上，
∴B′G的最小值为B′E−EG，
要B′G最小，则EG最大，即EF最大，
∵点F在AD上，
∴点F在点A或点D时，EF最大，最大值为 2，
∴线段B′G的长度的最小值 10− 2．
【解析】(1)连接CP，判断出△FCG为等腰直角三角形，进而判断出CP⊥FG，进而得出DP=12BC，再求出BC，即可求出答案；
(2)过点E作EH⊥AE交AD的延长线于H，先判断出△EGA≌△EFH(SAS)，得出AG=FH，∠EAG=∠H=45°，进而判断出△AGN≌△AMF(AAS)，即可得出结论；
(3)先求出BE= 10，再判断出点B′是以点E为圆心， 10为半径的圆上，再判断出点G在点A右侧过点A与AD垂直且等长的线段上，进而得出EF最大时，B′G最小，即可求出答案．
此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．
26.【答案】解：(1)∵点A(−1,0)，C(4,0)，
∴AC=5，OC=4，
∵AC=BC=5，
∴B(4,5)，
把A(−1,0)和B(4,5)代入二次函数y=x2+bx+c中得：
1−b+c=016+4b+c=5，解得：b=−2c=−3，
∴二次函数的解析式为：y=x2−2x−3；
(2)如图1，∵直线AB经过点A(−1,0)，B(4,5)，
设直线AB的解析式为y=kx+b′，
∴−k+b′=04k+b′=5，解得：k=1b′=1,
∴直线AB的解析式为：y=x+1，
∵二次函数y=x2−2x−3，
∴设点E(t,t+1)，则F(t,t2−2t−3)，
∴EF=(t+1)−(t2−2t−3)=−(t−32)2+254，
∴当t=32时，EF的最大值为254，
∴点E的坐标为(32,52)，
∴S△ABF=12EF⋅(xB−xA)=12×254×(4+1)=1258．
(3)存在，
y=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴设P(1,m)，
分三种情况：
①以点B为直角顶点时，由勾股定理得：PB2+AB2=PA2，
∴(4−1)2+(m−5)2+(4+1)2+52=(1+1)2+m2，
解得：m=8，
∴P(1,8)；
②以点A为直角顶点时，由勾股定理得：PA2+AB2=PB2，
∴(1+1)2+m2+(4+1)2+52=(4−1)2+(m−5)2，
解得：m=−2，
∴P(1,−2)；
③以点P为直角顶点时，由勾股定理得：PB2+PA2=BA2，
∴(1+1)2+m2+(4−1)2+(m−5)2=(4+1)2+52，
解得：m=6或−1，
∴P(1,6)或(1,−1)；
综上，点P的坐标为(1,8)或(1,−2)或(1,6)或(1,−1)．
【解析】此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，二次函数和一次函数图象上点的坐标的特征，三角形面积公式，二次函数的性质，勾股定理，解一元二次方程，利用了数形结合及分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法和分类讨论思想是解本题的关键．
(1)先求得点B的坐标，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式可得到关于b、c的方程组，从而可求得b、c的值；
(2)设点E的坐标为(x,x+1)，则点F的坐标为F(x,x2−2x−3)，则可得到EF与x的函数关系式，利用配方法可求得EF的最大值以及点E的坐标，最后根据EF的最大值可得△ABF的面积；
(3)存在，设P(1,m)，分三种情况：分别以A，B，P为直角顶点，根据勾股定理和两点的距离公式列方程，解方程即可．