2024年上海市静安区高三下学期高考二模数学试卷含答案

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本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2024.4
一、填空题（本大题共12小题，满分54分）第1小题至第6小题每个空格填对得4分，第7小题至第12小题每个空格填对得5分，考生应在答题纸的相应编号后填写答案，否则一律得零分．
1．中国国旗上所有颜色组成的集合为________．
2．已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为________．
3．函数的定义域为________．
4．若单位向量、满足，则________．
5．某地区高三年级2000名学生参加了地区教学质量调研测试，已知数学测试成绩服从正态分
布（试卷满分150分），统计结果显示，有320名学生的数学成绩低于80分，则数
学分数属于闭区间的学生人数约为_______．
6．已知物体的位移(单位：m)与时间(单位：s)满足函数关系，则在时间段
内，物体的瞬时速度为的时刻_______(单位：s)．
7．已知等比数列的前项和为，则的值为________．
8．在下列关于实数的四个不等式中，恒成立的是_______．(请填入全部正确的序号)
①；②；③；④．
9．正四棱锥底面边长为2，高为3，则点到不经过点的侧面的距离为_______．
10．某工厂生产的产品以100个为一批．在进行抽样检查时，只从每批中抽取10个来检查，如果发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的．假定每一批产品中的次品最多不超过2个，
并且其中恰有(0,1,2)个次品的概率如下：
则各批产品通过检查的概率为________．(精确到0.01)
11．已知实数，记．若函数在区间上的最小值为，
x
y
O
则的值为________．
12．我们称右图的曲线为“爱心线”，其上的任意一点都满足方程
．现将一边在x轴上，另外两个顶
点在爱心线上的矩形称为心吧．若已知点到“爱心线”
上任意一点的最小距离为，则用表示心吧面积的最大值为_______．
二、选择题（本大题共4小题，满分18分）第13题、14题各4分，第15题、16题各5分．每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑．
13．函数的最小正周期为 …………………………………………( )
A．； B．； C．； D．．
14．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中真命题是 ………( )
A．若m∥α，n∥α，则m∥n ； B． 若m⊂α，n ⊂ β，m∥n，则α∥β ；
C．若m⊥α，n∥α，则m⊥n ； D．若m⊂α，n ⊂α，m∥β， n∥β，则α∥β．
15．设，则双曲线的离心率的取值范围是…………………………( )
A．； B．； C．； D．．
16．如果一个非空集合上定义了一个运算，满足如下性质，则称关于运算构成一个群．
(1) 封闭性，即对于任意的，有；
(2) 结合律，即对于任意的，有；
(3) 对于任意的，方程与在中都有解．
例如，整数集关于整数的加法()构成群，因为任意两个整数的和还是整数，且满足加法结合律，对于任意的，方程与都有整数解；而实数集关于实数的乘法()不构成群，因为方程没有实数解．
以下关于“群”的真命题有 ………………………………………………………………( )
自然数集关于自然数的加法()构成群；
有理数集关于有理数的乘法()构成群；
平面向量集关于向量的数量积()构成群；
复数集关于复数的加法()构成群．
A．0个； B．1个； C．2个； D．3个．
三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．(满分12分) 共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
在△中,角、、的对边分别为、、，已知，，．
求角的大小；
求的值．
18．(满分15分) 共3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分10分．
某高中随机抽取名学生,测得他们的身高(单位：cm)，按照区间,,,,分组，得到样本身高的频率分布直方图(如下图所示).
(1) 求身高不低于170cm的学生人数；
(2) 将身高在,,区间内的学生依次记为，，三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人．
= 1 \* GB3 ① 求从这三个组分别抽取的学生人数；
身高/cm
160 165 170 175 180 185
0.07
0.04
0.02
0.01
= 2 \* GB3 ② 若要从6名学生中抽取2人，求组中至少有1人被抽中的概率．


19．(满分15分) 共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分9分．
如图1所示，是水平放置的矩形，，．如图2所示，将沿矩形的对角线向上翻折，使得平面平面．
(1) 求四面体的体积；
(2) 试判断与证明以下两个问题：
= 1 \* GB3 ① 在平面上是否存在经过点的直线，使得？
= 2 \* GB3 ② 在平面上是否存在经过点的直线，使得？
A
B
C
D
A
B
C
D
图1
图2
20．(满分18分) 共3个小题，每个小题均是满分6分．
江南某公园内正在建造一座跨水拱桥．如平面图所示，现已经在地平面以上造好了一个外沿
直径为20米的半圆形拱桥洞，地平面与拱桥洞外沿交于点与点． 现在准备以地平面上的点
与点为起点建造上、下桥坡道，要求： = 1 \* GB3 ① ； = 2 \* GB3 ② 在拱桥洞左侧建造平面图为直线
的坡道，坡度为 (坡度为坡面的垂直高度和水平方向的距离的比)； = 3 \* GB3 ③ 在拱桥洞右侧建造平
面图为圆弧的坡道； = 4 \* GB3 ④在过桥的路面上骑车不颠簸．
(1) 请你设计一条过桥道路，画出大致的平面图，并用数学符号语言刻画与表达出来；
(2) 并按你的方案计算过桥道路的总长度；(精确到0.1米)
(3) 若整个过桥坡道的路面宽为10米，且铺设坡道全部使用混凝土．请设计出所铺设路面的相关几何体，提出一个实际问题，写出解决该问题的方案，并说明理由 (如果需要，可通过假设的运算结果列式说明，不必计算)．

C
D
A
B
20米
21．(满分18分) 共3个小题，第一小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．
已知，记(且)．
(1) 当(是自然对数的底)时，试讨论函数的单调性和最值；
(2) 试讨论函数的奇偶性；
(3) 拓展与探究：
= 1 \* GB3 ① 当在什么范围取值时，函数的图像在轴上存在对称中心？请说明理由；
= 2 \* GB3 ② 请提出函数的一个新性质，并用数学符号语言表达出来．(不必证明)
参考答案与评分标准
一、1．{红，黄}； 2．； 3．； 4．2； 5．1360； 6．；
7．； 8．②③④； 9．； 10．0.91； 11．3； 12．．
二、13．A； 14．C； 15．D． 16．B．
三、17．解：(1) 由余弦定理，有，所以…………………6分
(2) 解1：由正弦定理，有，即
所以 ………………………6分
解2：由正弦定理，有，即
所以
故， ………………………6分
解3：由余弦定理，有，所以
故， ………………………6分
18．解:(1)由频率分布直方图可知
，所以．
身高在以上的学生人数为(人)．
(2),,三组的人数分别为人,人,人.
因此应该从,,三组中每组各抽取
(人),(人),(人)． ………………………4分
设组的位同学为,,,组的位同学为,,组的位同学为,则从名学生中抽取人有种可能：
,,,,,,, ,,,,,,,.
其中组的位学生至少有人被抽中有种可能：
A
B
C
D
E
F
,,, ,,,,,.
所以组中至少有人被抽中的概率为． ……………6分
19．解：(1) 过点作，垂足为．
因为平面平面，
有平面，则． ……………………4分
所以．………2分
(2) = 1 \* GB3①在平面上存在经过点的直线，使得． ……………………1分
证明：过点作，垂足为．
因为平面，则为在平面内的投影．
由三垂线定理，，则存在． ……………………4分
= 2 \* GB3②在平面上不存在经过点的直线，使得 ……………………1分
证明：假设存在，
因为不在平面内，则平面，与平面矛盾．…3分
所以不存在．
注：用异面直线判断定理证明给满分．
C
D
A
B
20米
E
O
F
x
y
20．解1：如图，以线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系. …………………1分
……………………2分
则，圆的方程为；
由，得，．
过点作圆的切线，切点为，直线的斜率为，其方程为．
所以直线的斜率为，其方程为，将其代入，得
点的坐标为．
经过点作圆与圆切于点（圆与y轴的交点），设圆的半径为，
则，，即，解得．
所以，圆的方程为，
故，用函数表示过桥道路为：……………………3分
(2) 解1：由点的坐标为，得，
所以圆弧的长为3.398， ……………………2分
由点的坐标为，点的坐标为，得，
所以圆弧的长为32.175， ……………………2分
故，过桥道路的总长度为． ……2分
C
D
A
B
20米
E
G
O
x
y
解2：(1)如图建系 …………………………………………………………1分
……………………2分
作圆与x轴相切于点，并和圆切于点，设圆的半径为，
则，，即，解得．
所以，圆的方程为，
将直线的方程代入得，点的坐标为
故，用函数表示过桥道路为：…………………3分
(2)因为，，
则，即，．
所以圆弧的长为9.833． ……………………2分
又由点的坐标为，得，
所以圆弧的长为25.740． ………………………2分
故，过桥道路的总长度为63.9． ………2分
(3) 设计让桥的侧面所在平面垂直于地平面，则桥拱左侧铺设的是以曲边形为底面，高为10米的柱体；桥拱右侧铺设的是以曲边形()为底面，高为10米的柱体； ……………………2分
提问：铺设坡道共需要混凝土多少立方米？ ……………………2分
方案1：
所以，铺设过桥路需要混凝土10()．………2分
方案2：
所以，铺设过桥路需要混凝土10()．………2分
注: 1、用直线和圆的方程表示坡道给满分；
2、在拱桥右边设计与圆拱相切，切点不在圆拱最高点的上凸圆弧坡道，若计算正确，可酌情给满分；
3、在拱桥右边设计与圆拱相切，与水平线相交的下凸圆弧作为坡道，若计算正确，可酌情给满分．
4、若学生在拱桥左边设计圆的割线段，建议各扣1分；
5、在拱桥右边设计相交圆弧作为坡道，但计算正确，建议各扣1分．
21．解：(1) ，
当时，，故函数在上为严格增函数；……………………1分
函数在上无最值． ……………………1分
当时，令，得，
所以，当时，，函数在上为严格减函数；…1分
当时，，函数在上为严格增函数． …………1分
函数在上有最小值0，无最大值．……………………1分
(2) 因为“为偶函数”“对于任意的，都有”
对于任意的，都有，并且；
对于任意的，．
故，是为偶函数的充要条件． ……………………3分
因为“为奇函数”“对于任意的，都有”
对于任意的，都有，并且；
对于任意的，．
故，是为奇函数的充要条件． ……………………3分
当时，是非奇非偶函数.
(3) = 1 \* GB3①当时，函数有对称中心．
即，当时，对于任意的，都有，并且． ………2分
证明：当时，令，解得为函数的零点
由得，
． ……………………2分
= 2 \* GB3② 答案1：当时，函数有对称轴．
即，当时，对于任意的，都有，并且．………………3分
参考证明：当时，由得，
．
答案2：当时，的图像关于y轴对称，
即，对于任意的，都有． ………………………………………………1分
答案3：当时，函数的零点为，即…………1分
答案4：表述函数的单调性和最值，并写出定义形式各给1分.
一批产品中有次品的个数
0
1
2
概率
0.3
0.5
0.2