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    2024年上海市静安区高三下学期高考二模数学试卷含答案

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    这是一份2024年上海市静安区高三下学期高考二模数学试卷含答案,共9页。试卷主要包含了01)等内容,欢迎下载使用。

    本试卷满分150分,考试时间120分钟. 2024.4
    一、填空题(本大题共12小题,满分54分)第1小题至第6小题每个空格填对得4分,第7小题至第12小题每个空格填对得5分,考生应在答题纸的相应编号后填写答案,否则一律得零分.
    1.中国国旗上所有颜色组成的集合为________.
    2.已知是虚数单位,复数是纯虚数,则实数的值为________.
    3.函数的定义域为________.
    4.若单位向量、满足,则________.
    5.某地区高三年级2000名学生参加了地区教学质量调研测试,已知数学测试成绩服从正态分
    布(试卷满分150分),统计结果显示,有320名学生的数学成绩低于80分,则数
    学分数属于闭区间的学生人数约为_______.
    6.已知物体的位移(单位:m)与时间(单位:s)满足函数关系,则在时间段
    内,物体的瞬时速度为的时刻_______(单位:s).
    7.已知等比数列的前项和为,则的值为________.
    8.在下列关于实数的四个不等式中,恒成立的是_______.(请填入全部正确的序号)
    ①;②;③;④.
    9.正四棱锥底面边长为2,高为3,则点到不经过点的侧面的距离为_______.
    10.某工厂生产的产品以100个为一批.在进行抽样检查时,只从每批中抽取10个来检查,如果发现其中有次品,则认为这批产品是不合格的.假定每一批产品中的次品最多不超过2个,
    并且其中恰有(0,1,2)个次品的概率如下:
    则各批产品通过检查的概率为________.(精确到0.01)
    11.已知实数,记.若函数在区间上的最小值为,
    x
    y
    O
    则的值为________.
    12.我们称右图的曲线为“爱心线”,其上的任意一点都满足方程
    .现将一边在x轴上,另外两个顶
    点在爱心线上的矩形称为心吧.若已知点到“爱心线”
    上任意一点的最小距离为,则用表示心吧面积的最大值为_______.
    二、选择题(本大题共4小题,满分18分)第13题、14题各4分,第15题、16题各5分.每题有且仅有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑.
    13.函数的最小正周期为 …………………………………………( )
    A.; B.; C.; D..
    14.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中真命题是 ………( )
    A.若m∥α,n∥α,则m∥n ; B. 若m⊂α,n ⊂ β,m∥n,则α∥β ;
    C.若m⊥α,n∥α,则m⊥n ; D.若m⊂α,n ⊂α,m∥β, n∥β,则α∥β.
    15.设,则双曲线的离心率的取值范围是…………………………( )
    A.; B.; C.; D..
    16.如果一个非空集合上定义了一个运算,满足如下性质,则称关于运算构成一个群.
    (1) 封闭性,即对于任意的,有;
    (2) 结合律,即对于任意的,有;
    (3) 对于任意的,方程与在中都有解.
    例如,整数集关于整数的加法()构成群,因为任意两个整数的和还是整数,且满足加法结合律,对于任意的,方程与都有整数解;而实数集关于实数的乘法()不构成群,因为方程没有实数解.
    以下关于“群”的真命题有 ………………………………………………………………( )
    自然数集关于自然数的加法()构成群;
    有理数集关于有理数的乘法()构成群;
    平面向量集关于向量的数量积()构成群;
    复数集关于复数的加法()构成群.
    A.0个; B.1个; C.2个; D.3个.
    三、解答题(本大题共5题,满分78分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
    17.(满分12分) 共2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分.
    在△中,角、、的对边分别为、、,已知,,.
    求角的大小;
    求的值.
    18.(满分15分) 共3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分10分.
    某高中随机抽取名学生,测得他们的身高(单位:cm),按照区间,,,,分组,得到样本身高的频率分布直方图(如下图所示).
    (1) 求身高不低于170cm的学生人数;
    (2) 将身高在,,区间内的学生依次记为,,三个组,用分层抽样的方法从三个组中抽取6人.
    = 1 \* GB3 ① 求从这三个组分别抽取的学生人数;
    身高/cm
    160 165 170 175 180 185
    0.07
    0.04
    0.02
    0.01
    = 2 \* GB3 ② 若要从6名学生中抽取2人,求组中至少有1人被抽中的概率.


    19.(满分15分) 共2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分9分.
    如图1所示,是水平放置的矩形,,.如图2所示,将沿矩形的对角线向上翻折,使得平面平面.
    (1) 求四面体的体积;
    (2) 试判断与证明以下两个问题:
    = 1 \* GB3 ① 在平面上是否存在经过点的直线,使得?
    = 2 \* GB3 ② 在平面上是否存在经过点的直线,使得?
    A
    B
    C
    D
    A
    B
    C
    D
    图1
    图2
    20.(满分18分) 共3个小题,每个小题均是满分6分.
    江南某公园内正在建造一座跨水拱桥.如平面图所示,现已经在地平面以上造好了一个外沿
    直径为20米的半圆形拱桥洞,地平面与拱桥洞外沿交于点与点. 现在准备以地平面上的点
    与点为起点建造上、下桥坡道,要求: = 1 \* GB3 ① ; = 2 \* GB3 ② 在拱桥洞左侧建造平面图为直线
    的坡道,坡度为 (坡度为坡面的垂直高度和水平方向的距离的比); = 3 \* GB3 ③ 在拱桥洞右侧建造平
    面图为圆弧的坡道; = 4 \* GB3 ④在过桥的路面上骑车不颠簸.
    (1) 请你设计一条过桥道路,画出大致的平面图,并用数学符号语言刻画与表达出来;
    (2) 并按你的方案计算过桥道路的总长度;(精确到0.1米)
    (3) 若整个过桥坡道的路面宽为10米,且铺设坡道全部使用混凝土.请设计出所铺设路面的相关几何体,提出一个实际问题,写出解决该问题的方案,并说明理由 (如果需要,可通过假设的运算结果列式说明,不必计算).

    C
    D
    A
    B
    20米
    21.(满分18分) 共3个小题,第一小题满分5分,第2小题满分6分,第3小题满分7分.
    已知,记(且).
    (1) 当(是自然对数的底)时,试讨论函数的单调性和最值;
    (2) 试讨论函数的奇偶性;
    (3) 拓展与探究:
    = 1 \* GB3 ① 当在什么范围取值时,函数的图像在轴上存在对称中心?请说明理由;
    = 2 \* GB3 ② 请提出函数的一个新性质,并用数学符号语言表达出来.(不必证明)
    参考答案与评分标准
    一、1.{红,黄}; 2.; 3.; 4.2; 5.1360; 6.;
    7.; 8.②③④; 9.; 10.0.91; 11.3; 12..
    二、13.A; 14.C; 15.D. 16.B.
    三、17.解:(1) 由余弦定理,有,所以…………………6分
    (2) 解1:由正弦定理,有,即
    所以 ………………………6分
    解2:由正弦定理,有,即
    所以
    故, ………………………6分
    解3:由余弦定理,有,所以
    故, ………………………6分
    18.解:(1)由频率分布直方图可知
    ,所以.
    身高在以上的学生人数为(人).
    (2),,三组的人数分别为人,人,人.
    因此应该从,,三组中每组各抽取
    (人),(人),(人). ………………………4分
    设组的位同学为,,,组的位同学为,,组的位同学为,则从名学生中抽取人有种可能:
    ,,,,,,, ,,,,,,,.
    其中组的位学生至少有人被抽中有种可能:
    A
    B
    C
    D
    E
    F
    ,,, ,,,,,.
    所以组中至少有人被抽中的概率为. ……………6分
    19.解:(1) 过点作,垂足为.
    因为平面平面,
    有平面,则. ……………………4分
    所以.………2分
    (2) = 1 \* GB3①在平面上存在经过点的直线,使得. ……………………1分
    证明:过点作,垂足为.
    因为平面,则为在平面内的投影.
    由三垂线定理,,则存在. ……………………4分
    = 2 \* GB3②在平面上不存在经过点的直线,使得 ……………………1分
    证明:假设存在,
    因为不在平面内,则平面,与平面矛盾.…3分
    所以不存在.
    注:用异面直线判断定理证明给满分.
    C
    D
    A
    B
    20米
    E
    O
    F
    x
    y
    20.解1:如图,以线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系. …………………1分
    ……………………2分
    则,圆的方程为;
    由,得,.
    过点作圆的切线,切点为,直线的斜率为,其方程为.
    所以直线的斜率为,其方程为,将其代入,得
    点的坐标为.
    经过点作圆与圆切于点(圆与y轴的交点),设圆的半径为,
    则,,即,解得.
    所以,圆的方程为,
    故,用函数表示过桥道路为:……………………3分
    (2) 解1:由点的坐标为,得,
    所以圆弧的长为3.398, ……………………2分
    由点的坐标为,点的坐标为,得,
    所以圆弧的长为32.175, ……………………2分
    故,过桥道路的总长度为. ……2分
    C
    D
    A
    B
    20米
    E
    G
    O
    x
    y
    解2:(1)如图建系 …………………………………………………………1分
    ……………………2分
    作圆与x轴相切于点,并和圆切于点,设圆的半径为,
    则,,即,解得.
    所以,圆的方程为,
    将直线的方程代入得,点的坐标为
    故,用函数表示过桥道路为:…………………3分
    (2)因为,,
    则,即,.
    所以圆弧的长为9.833. ……………………2分
    又由点的坐标为,得,
    所以圆弧的长为25.740. ………………………2分
    故,过桥道路的总长度为63.9. ………2分
    (3) 设计让桥的侧面所在平面垂直于地平面,则桥拱左侧铺设的是以曲边形为底面,高为10米的柱体;桥拱右侧铺设的是以曲边形()为底面,高为10米的柱体; ……………………2分
    提问:铺设坡道共需要混凝土多少立方米? ……………………2分
    方案1:
    所以,铺设过桥路需要混凝土10().………2分
    方案2:
    所以,铺设过桥路需要混凝土10().………2分
    注: 1、用直线和圆的方程表示坡道给满分;
    2、在拱桥右边设计与圆拱相切,切点不在圆拱最高点的上凸圆弧坡道,若计算正确,可酌情给满分;
    3、在拱桥右边设计与圆拱相切,与水平线相交的下凸圆弧作为坡道,若计算正确,可酌情给满分.
    4、若学生在拱桥左边设计圆的割线段,建议各扣1分;
    5、在拱桥右边设计相交圆弧作为坡道,但计算正确,建议各扣1分.
    21.解:(1) ,
    当时,,故函数在上为严格增函数;……………………1分
    函数在上无最值. ……………………1分
    当时,令,得,
    所以,当时,,函数在上为严格减函数;…1分
    当时,,函数在上为严格增函数. …………1分
    函数在上有最小值0,无最大值.……………………1分
    (2) 因为“为偶函数”“对于任意的,都有”
    对于任意的,都有,并且;
    对于任意的,.
    故,是为偶函数的充要条件. ……………………3分
    因为“为奇函数”“对于任意的,都有”
    对于任意的,都有,并且;
    对于任意的,.
    故,是为奇函数的充要条件. ……………………3分
    当时,是非奇非偶函数.
    (3) = 1 \* GB3①当时,函数有对称中心.
    即,当时,对于任意的,都有,并且. ………2分
    证明:当时,令,解得为函数的零点
    由得,
    . ……………………2分
    = 2 \* GB3② 答案1:当时,函数有对称轴.
    即,当时,对于任意的,都有,并且.………………3分
    参考证明:当时,由得,

    答案2:当时,的图像关于y轴对称,
    即,对于任意的,都有. ………………………………………………1分
    答案3:当时,函数的零点为,即…………1分
    答案4:表述函数的单调性和最值,并写出定义形式各给1分.
    一批产品中有次品的个数
    0
    1
    2
    概率
    0.3
    0.5
    0.2
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