上海市杨浦区2024届高三下学期二模质量调研数学试卷(含答案)

这是一份上海市杨浦区2024届高三下学期二模质量调研数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、填空题
1．已知集合，，则_________.
2．设抛物线的准线方程为_________.
3．计算_________（其中i为虚数单位）.
4．若，则_________.
5．已知二项式，其展开式中含项的系数为_________.
6．各项为正的等比数列满足：，，则通项公式为_________.
7．正方体中，异面直线与所成角的大小为_________.
8．若函数为奇函数，则函数，的值域为_________.
9．设复数与所对应的点为与，若，，则_________.
10．有5名志愿者报名参加周六、周日的公益活动，若每天从这5人中安排2人参加，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有_________种.
11．某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2024根，每根圆钢的直径为10厘米.现将它们堆放在一起.若堆成纵断面为等腰梯形（如图每一层的根数比上一层根数多1根），且为考虑安全隐患，堆放高度不得高于米，若堆放占用场地面积最小，则最下层圆钢根数为_________.
12．已知实数a满足：①；②存在实数b，c，使得a，b，c是等差数列，，，也是等差数列.则实数a的取值范围是_________.
二、选择题
13．下列函数中，在区间上为严格增函数的是( )
A.B.C.D.
14．已知实数a，b，c，d满足：，则下列不等式一定正确的是( )
A.B.C.D.
15．某区高三年级3200名学生参加了区统一考试.已知考试成绩X服从正态分布（试卷满分为150分）.统计结果显示，考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次考试中成绩不低于120分的学生人数约为( )
A.350B.400C.450D.500
16．平面上的向量、满足：，，.定义该平面上的向量集合.给出如下两个结论：
①对任意，存在该平面的向量，满足
②对任意，存在该平面向量，满足
则下面判断正确的为( )
A.①正确，②错误B.①错误，②正确C.①正确，②正确D.①错误，②错误
三、解答题
17．如图，P为圆锥顶点，O为底面中心，A，B，C均在底面圆周上，且为等边三角形.
（1）求证：平面平面；
（2）若圆锥底面半径为2，高为，求点A到平面的距离.
18．已知.
（1）若的最小正周期为，判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）已知，中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若，，，求c的值.
19．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.完成生产任务的工作时间不超过70分钟的工人为“优秀”，否则为“合格”.根据工人完成生产任务的工作时间（单位：分钟）绘制了如下茎叶图：
（1）求40名工人完成生产任务所需时间的第75百分数；
（2）独立地从两种生产方式中各选出一个人，求选出的两个人均为优秀的概率；
（3）根据工人完成生产任务的工作时间，两种生产方式优秀与合格的人数填入下面的2×2列联表：
根据上面的2×2列联表，判断能否有95%的把握认为两种生产方式的工作效率有显著差异？（.其中，）.
20．已知椭圆：的上顶点为，离心率，过点的直线l与椭圆交于B，C两点，直线、分别与x轴交于点M、N.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知命题“对任意直线l，线段的中点为定点”为真命题，求的重心坐标；
（3）是否存在直线l，使得？若存在，求出所有满足条件的直线l的方程；若不存在，请说明理由.（其中、分别表示、的面积）
21．函数、的定义域均为R，若对任意两个不同的实数a，b，均有或成立，则称与为相关函数对.
（1）判断函数与是否为相关函数对，并说明理由；
（2）已知与为相关函数对，求实数k的取值范围；
（3）已知函数与为相关函数对，且存在正实数M，对任意实数，均有.求证：存在实数m，n，使得对任意，均有.
参考答案
1．答案：
解析：集合，，所以.
故答案为：.
2．答案：
解析：由抛物线方程可得，则，故准线方程为.
故答案为.
3．答案：
解析：由题.
故答案为：.
4．答案：
解析：.
5．答案：45
解析：由题意知，展开式的通项公式为，
令，得，
即含项的系数为45.
故答案为：45.
6．答案：
解析：设正项等比数列的公比为q，，由，，得，
则，解得，
所以.
故答案为：.
7．答案：/
解析：正方体中，，因此异面直线与所成的角或其补角，
而，，因此.
所以异面直线与所成角的大小为.
故答案为：.
8．答案：
解析：当时，，因为为奇函数，则，所以，所以，时值域为.
故答案为：.
9．答案：2
解析：依题意，，则，
所以.
故答案为：2.
10．答案：60
解析：从5人中选1人两天都参加，有种方法，再从余下4人中选2人分派到周六、周日参加，有种方法，
所以不同安排方式共有（种）.
故答案为：60.
11．答案：134
解析：设第一层有m根，共有n层，则，
，显然n和中一个奇数一个偶数，
则或或，即或或，
显然每增加一层高度增加厘米，
当时，厘米厘米，此时最下层有189根；
当时，厘米厘米，此时最下层有134根；
当时，厘米，超过米，
所以堆放占用场地面积最小时，最下层圆钢根数为134根.
故答案为：134.
12．答案：
解析：设等差数列a，b，c的公差为m，，，依题意，，
于是，整理得，
即，因此，
即有，则m随b增大而增大，而
当，时，c到达时是临界值点，此时，
代入得，即，整理得，
而，解得，则，即，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：.
13．答案：D
解析：对于A，函数在上单调递减，A不是；
对于B，函数在上单调递减，B不是；
对于C，函数在上单调递减，C不是；
对于D，函数在上为严格增函数，D是.
故选：D.
14．答案：C
解析：对于ABD，取，，，，满足，
显然，，，ABD错误；
对于C，，则，C正确.
故选：C.
15．答案：B
解析：依题意，，而X服从正态分布，
因此，
所以此次考试中成绩不低于120分的学生人数约为.
故选：B.
16．答案：C
解析：由，，，不妨令，，设，
，得，而，，
则，整理得，由，得，
平行直线和间的距离为，
到直线和直线距离相等的点到这两条直线的距离为0.35，
如图，阴影部分表示的区域为集合A，因此无论是否属于A，都有，
所以命题①②都正确.
故选：C
17．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）连接，交于点M，由为等边三角形，得O是的中心，则，
而平面，平面，则，又，，平面，
因此平面，又平面，
所以平面平面.
（2）连接，作于H，由（1）知平面，平面，则，
而，，平面，则平面，
显然，，则，
而，于是，因此，
所以点A到平面的距离为.
18．答案：（1）非奇非偶函数，理由见解析
（2）
解析：（1）由的最小正周期为，得，则，
于是，
；
，
所以函数非奇非偶函数.
（2）当时，则，，
在中，，，则，有，
于是，解得，由余弦定理得，
即，整理得，解得，
所以.
19．答案：（1）88.5
（2）
（3）有95%的把握认为两种生产方式的工作效率有显著差异
解析：（1）根据题意，将这40个数据从小到大排列，61，61，62，63，63，65，65，67，68，69，70，70，71，72，72，72，72，74，75，77，78，81，82，82，83，84，84，84，87，87，90，90，91，91，91，92，92，93，94，94，，故取第30人和第31人时间的平均值为.
（2）设选出的工人为优秀为事件A，第一种生产方式A的基本事件数是2个，
第二种生产方式A的基本事件数是10个，
所以独立地从两种生产方式中各选出一个人，选出的两个人均为优秀的概率为.
（3）
，
故有95%的把握认为两种生产方式的工作效率有显著差异.
20．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）依题意，，又，
解得，所以椭圆的方程为；
（2）因为命题“对任意直线l，线段的中点为定点”为真命题，
可以取直线l为，由，解得或，
所以，，
则，所以，，所以，
设的重心为G，则，，
所以，即的重心坐标为.
（3）依题意可得直线l的斜率存在、不为0且斜率为负数，
设直线，，，
则直线：，令，得，同理可得：；
所以
设直线l与y轴交于Q点，则，所以，，，
因为，故得①，
由，
则，，
代入①得，解得，
所以，故直线l的方程为.
21．答案：（1）是，理由见解析
（2）
（3）证明见解析
解析：（1）若与不为相关函数对，则且，
则，所以只要即可，
当，时，
，
所以函数与是相关函数对.
（2）因为与为相关函数对，
所以，
令，，当时，；当时，，
所以是极小值点，，
所以，
所以；
（3）假设对任意m，n均存在，
均有，
则取，，，使得，
对任意，，有，，
又函数与为相关函数对，
则①若，则；
②若，则，
由①②知：，由，将其分为很多个子区间，
如，，，……
则以上每个区间至多包含一个，矛盾，假设不成立，
故存在实数m，n，使得对任意，均有.
第一种生产方式
第二种生产方式
总计
优秀
合格
总计
第一种生产方式
第二种生产方式
总计
优秀
2
10
12
合格
18
10
28
总计
20
20
40