2022年上海市静安区高考数学二模试卷

这是一份2022年上海市静安区高考数学二模试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022年上海市静安区高考数学二模试卷
一、填空题（本大题共12题，满分54分）第1-6题，每题4分，第7-12题，每题5分
1．（4分）已知集合A＝[﹣2，2]，B＝[0，4]，则A∩B＝　 　．
2．（4分）已知复数z满足1+z＝（1﹣z）i，其中i是虚数单位，则z的虚部为 　 　．
3．（4分）双曲线的焦点到其渐近线的距离是 　 　．
4．（4分）解指数方程：　 　．
5．（4分）已知椭圆（a＞0）的一个焦点坐标为（0，1），则a＝　 　．
6．（4分）直线l的方向向量，且经过曲线的中心，则直线l的方程为 　 　．
7．（5分）函数f（x）＝arccos（3﹣4x）的定义域是 　 　．
8．（5分）若实数x，y满足约束条件，则z＝x+y的最小值为 　 　．
9．（5分）若函数的反函数为f﹣1（x），则不等式f﹣1（x）＞3的解集是 　 　．
10．（5分）上海进博会是世界上第一个以进口为主题的国家级展览会，每年举办一次．现有6名志愿者去两个进博会场馆工作，每个场馆都需要3人，则甲乙两人被分配到同一个场馆的概率是 　 　．
11．（5分）数列{an}满足a1＝2，，若对于大于2的正整数n，，则a102＝　 　．
12．（5分）已知函数，若对任意a≤﹣1，当﹣1＜b≤m时，总有a（f（b）﹣1）≥b成立，则实数m的最大值为 　 　．
二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）
13．（5分）2022年2月4日至2月20日春节期间，第24届冬奥会在北京市和张家口市联合举行．共有3个冬奥村供运动员和代表队官员入住，其中北京冬奥村的容量约为2250人，延庆冬奥村的容量约1440人，张家口冬奥村的容量约2610人．为了解各冬奥村服务质量，现共准备了140份调查问卷，采用分层抽样的方法，则需在延庆冬奥村投放的问卷数量是（　　）
A．58份 B．50份 C．32份 D．19份
14．（5分）设＝（x，y），＝（m，n），且，均为非零向量，则“”是“∥”的（　　）条件
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分又非必要
15．（5分）中国古代建筑使用榫卯结构将木部件连接起来，构件中突出的部分叫榫头，凹进去的部分叫卯眼，图中摆放的部件是榫头，现要在一个木头部件中制作出卯眼，最终完成一个直角转弯结构的部件，那么卯眼的俯视图可以是（　　）

A． B．
C． D．
16．（5分）在下列判断两个平面α与β平行的4个命题中，真命题的个数是（　　）
（1）α、β都垂直于平面r，那么α∥β．
（2）α、β都平行于平面r，那么α∥β．
（3）α、β都垂直于直线l，那么α∥β．
（4）如果l、m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，那么α∥β．
A．0 B．1 C．2 D．3
三、解答题（本大题共5题，满分76分）
17．（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60°．
（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；
（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

18．（14分）设函数f（x）＝sin（mx）．
（1）若m∈（0，1），且函数f（x）与y＝lgx的图像有横纵坐标均为正整数的交点，求m的值；
（2）设m＝1，g（x）＝2f2（x）+f（2x），在锐角△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若g（A）＝2，，求△ABC的面积．
19．（14分）某便民超市经销一种小袋装地方特色桃酥食品，每袋桃酥的成本为6元，预计当一袋桃酥的售价为x元（9≤x≤11）时，一年的销售量为万袋，并且全年该桃酥食品共需支付3x万元的管理费．一年的利润＝一年的销售量×售价−（一年销售桃酥的成本+一年的管理费）．（单位：万元）
（1）求该超市一年的利润L（万元）与每袋桃酥食品的售价x的函数关系式；
（2）当每袋桃酥的售价为多少元时，该超市一年的利润L最大，并求出L的最大值．
20．（16分）如图，点P（xP，yP）是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B，且PA，PB的中点均在抛物线C上．
（1）若P（﹣1，2），点A在第一象限，求此时点A的坐标；
（2）设AB中点为M，求证：直线PM⊥y轴；
（3）若P是曲线上的动点，求△PAB面积的最大值．

21．（18分）若数列{an}同时满足下列两个条件，则称数列{an}具有“性质A”．
①（n∈N*）；②存在实数A，使得对任意n∈N*，有an≥A成立．
（1）设，试判断{an}，{bn}是否具有“性质A”；
（2）设递增的等比数列{cn}的前n项和为Sn，若，证明：数列{Sn}具有“性质A”，并求出A的取值范围；
（3）设数列{dn}的通项公式，若数列{dn}具有“性质A”，其满足条件的A的最大值A0＝10，求t的值．

2022年上海市静安区高考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共12题，满分54分）第1-6题，每题4分，第7-12题，每题5分
1．（4分）已知集合A＝[﹣2，2]，B＝[0，4]，则A∩B＝　[0，2]　．
【分析】直接利用交集运算的概念得答案．
【解答】解：∵A＝[﹣2，2]，B＝[0，4]，
∴A∩B＝[﹣2，2]∩[0，4]＝[0，2]．
故答案为：[0，2]．
【点评】本题考查交集及其运算，是基础题．
2．（4分）已知复数z满足1+z＝（1﹣z）i，其中i是虚数单位，则z的虚部为 　1　．
【分析】根据已知条件，结合虚部的定义，以及复数的四则运算，即可求解．
【解答】解：∵1+z＝（1﹣z）i，
∴1+z＝i﹣zi，
∴z（1+i）＝﹣1+i，
∴＝i，
∴z的虚部为1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查虚部的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．
3．（4分）双曲线的焦点到其渐近线的距离是 　3　．
【分析】求出一个焦点坐标，一条渐近线方程，直接用点到直线距离公式求解即可．
【解答】解：等轴双曲线的的焦点坐标是（±5，0），渐近线是3x±4y＝0，选其中一个焦点坐标（5，0）
和一条直线方程3x+4y＝0，d＝＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式的应用，是基础题．
4．（4分）解指数方程：　x＝﹣3或x＝3+log32　．
【分析】取对数，解方程即可．
【解答】解：∵，
两边取对数，则（x+3）ln2＝（x+3）（x﹣3）ln3，
∴（x+3）[ln2﹣（x﹣3）ln3]＝0，
解得x＝﹣3或x＝3+log32，
故答案为：x＝﹣3或x＝3+log32．
【点评】本题考查了指数，对数的运算，解指数方程问题，考查转化思想，是基础题．
5．（4分）已知椭圆（a＞0）的一个焦点坐标为（0，1），则a＝　　．
【分析】由椭圆的标准方程直接求解即可．
【解答】解：由焦点坐标（0，1）知焦点在y轴上，且a2﹣1＝1，解得．
故答案为：．
【点评】本题考查了椭圆的性质，属于基础题．
6．（4分）直线l的方向向量，且经过曲线的中心，则直线l的方程为 　x+y+2＝0　．
【分析】由方向向量求出直线的斜率，再由该曲线的中心求出直线方程．
【解答】解：∵直线l的方向向量，
∴直线l的斜率为k＝＝﹣1，
∵曲线的中心为（2，﹣4），
∴直线l过点（2，﹣4），
∴直线l的方程为y+4＝﹣（x﹣2），即x+y+2＝0．
故答案为：x+y+2＝0．
【点评】本题考查直线的方向向量、直线的斜率、曲线的中心、点斜式方程等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7．（5分）函数f（x）＝arccos（3﹣4x）的定义域是 　　．
【分析】由题意可得﹣1≤3﹣4x≤1，求解得答案．
【解答】解：要使原函数有意义，
则﹣1≤3﹣4x≤1，解得≤x≤1．
∴函数f（x）＝arccos（3﹣4x）的定义域是[，1]．
故答案为：[，1]．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
8．（5分）若实数x，y满足约束条件，则z＝x+y的最小值为 　3　．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

联立，解得A（1，2），
由z＝x+y，得y＝﹣x+z，由图可知，当直线y＝﹣x+z过A时，
直线在y轴上的截距最小，z有最小值为1+2＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．
9．（5分）若函数的反函数为f﹣1（x），则不等式f﹣1（x）＞3的解集是 　　．
【分析】根据反函数的定义求出f﹣1（x），解不等式，求出不等式的解集即可．
【解答】解：由y＝2++（x＞0），
得＝y﹣1（y＞1），
则+1＝，
则x＝，
故f﹣1（x）＝，
不等式f﹣1（x）＞3，即＞3，
即＜0，故1＜＜，
解得2＜x＜，
故答案为：（2，）．
【点评】本题考查了反函数的定义，考查解不等式问题，是基础题．
10．（5分）上海进博会是世界上第一个以进口为主题的国家级展览会，每年举办一次．现有6名志愿者去两个进博会场馆工作，每个场馆都需要3人，则甲乙两人被分配到同一个场馆的概率是 　　．
【分析】利用古典概型公式计算即可．
【解答】解：设甲乙两人被分配到同一个场馆的事件为A，基本事件总数为＝20，
事件A包含的基本事件数为＝8，
则P（A）＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型．
11．（5分）数列{an}满足a1＝2，，若对于大于2的正整数n，，则a102＝　　．
【分析】先由递推关系式求出数列{an}的周期，再由周期性求出a102即可．
【解答】解：由题意知：a2＝＝﹣1，a3＝＝，a4＝＝2，a5＝＝﹣1，
故数列{an}是周期为3的周期数列，则a102＝a3×34＝a3＝．
故答案为：．
【点评】本题考查由递推关系式求出数列的项，属基础题．
12．（5分）已知函数，若对任意a≤﹣1，当﹣1＜b≤m时，总有a（f（b）﹣1）≥b成立，则实数m的最大值为 　1　．
【分析】分b≥2、1＜b＜2、0＜b≤1、﹣1＜b≤0依次讨论f（b）的范围，进而判断a（f（b）﹣1）≥b是否恒成立，即可求解．
【解答】解：当b≥2时，f（b）＝log2b≥log22＝1，则a（f（b）﹣1）≥b不成立；
当1＜b＜2，0＜f（b）＝log2b＜1，取a＝﹣1，0＜a（f（b）﹣1）＝1﹣f（b）＜1，此时a（f（b）﹣1）≥b不成立；
当0＜b≤1时，f（b）＝log2b≤0，则f（b）﹣1≤﹣1，对于任意a≤﹣1，有a（f（b）﹣1）≥1，当b＝1，a＝﹣1时取等号，所以总有a（f（b）﹣1）≥b成立；
当﹣1＜b≤0时，0≤f（b）＝|2b+1|≤1，当b＝﹣1，0取最大值1，当时取最小值0，则﹣1≤f（b）﹣1≤0，
对于任意a≤﹣1，有a（f（b）﹣1）≥0，当b＝﹣1，0时取等号，所以总有a（f（b）﹣1）≥b成立；
综上可得﹣1＜b≤1，故实数m的最大值为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了分段函数的应用，属于中档题．
二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）
13．（5分）2022年2月4日至2月20日春节期间，第24届冬奥会在北京市和张家口市联合举行．共有3个冬奥村供运动员和代表队官员入住，其中北京冬奥村的容量约为2250人，延庆冬奥村的容量约1440人，张家口冬奥村的容量约2610人．为了解各冬奥村服务质量，现共准备了140份调查问卷，采用分层抽样的方法，则需在延庆冬奥村投放的问卷数量是（　　）
A．58份 B．50份 C．32份 D．19份
【分析】直接由分层抽样的概念计算求解即可．
【解答】解：在延庆冬奥村投放的问卷数量是＝32份．
故选：C．
【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例公式是解决本题的关键．
14．（5分）设＝（x，y），＝（m，n），且，均为非零向量，则“”是“∥”的（　　）条件
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分又非必要
【分析】由向量共线的坐标公式判断充分性和必要性即可求解．
【解答】解：若，则nx＝my，则，满足充分性；
反之，若，则nx＝my，不能推出，比如m＝x＝0，显然满足nx＝my，但无意义，不满足必要性；
故“”是“”的充分非必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了向量共线定理、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
15．（5分）中国古代建筑使用榫卯结构将木部件连接起来，构件中突出的部分叫榫头，凹进去的部分叫卯眼，图中摆放的部件是榫头，现要在一个木头部件中制作出卯眼，最终完成一个直角转弯结构的部件，那么卯眼的俯视图可以是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】利用三视图判断即可．
【解答】解：．由题知，卯眼中间空出的部分看不见，需用虚线表示，且中间空出的部分是轴对称的，
故选：B．
【点评】本题考查三视图，属于基础题．
16．（5分）在下列判断两个平面α与β平行的4个命题中，真命题的个数是（　　）
（1）α、β都垂直于平面r，那么α∥β．
（2）α、β都平行于平面r，那么α∥β．
（3）α、β都垂直于直线l，那么α∥β．
（4）如果l、m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，那么α∥β．
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据题意，依次分析4个命题是否正确，即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析4个命题：
对于（1），α、β都垂直于平面r，则α与β可以平行和可能相交，错误；
对于（2），平行与同一个平面的两个平面平行，正确；
对于（3），垂直于同一直线的两个平面平行，正确；
对于（4），l，m是两条异面直线，l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，
则存在直线m′使得m′∥m，且l，m′相交，
设l，m′确定的平面γ，
由面面平行的判定可知γ∥α，同理可得γ∥β，则α∥β，故（4）正确．
正确的有3个；
故选：D．
【点评】本题考查直线与平面的位置关系，涉及命题真假的判断，属于基础题．
三、解答题（本大题共5题，满分76分）
17．（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60°．
（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；
（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

【分析】（1）由PO⊥平面ABCD，得∠PBO是PB与平面ABCD所成的角，∠PBO＝60°．由此我们可以计算出PO即棱锥的高，及底面菱形的面积，代入即可得到棱锥的体积．
（2）求异面直线DE与PA所成角的大小有两种不同的思路：法一是以O为坐标原点，射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系．表示出空间中各个点的坐标，进而给出相关向量的坐标，然后利用异面直线的夹角的余弦等于其方向向量夹角余弦值的绝对值，求出夹角．
法二是取AB的中点F，连接EF、DF．由E是PB的中点，得EF∥PA，则∠FED是异面直线DE与PA所成角（或它的补角），然后解三角形FED求出夹角．
【解答】解：（1）在四棱锥P﹣ABCD中，由PO⊥平面ABCD，得
∠PBO是PB与平面ABCD所成的角，∠PBO＝60°．
在Rt△AOB中BO＝ABsin30°＝1，由PO⊥BO，
于是，PO＝BOtan60°＝，而底面菱形的面积为2．
∴四棱锥P﹣ABCD的体积V＝×2×＝2．
（2）解法一：以O为坐标原点，射线OB、OC、
OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系．

在Rt△AOB中OA＝，于是，点A、B、
D、P的坐标分别是A（0，﹣，0），
B（1，0，0），D（﹣1，0，0），P（0，0，）．
E是PB的中点，则E（，0，）于是＝（，0，），＝（0，，）．
设与的夹角为θ，有cosθ＝，θ＝arccos，
∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos；
解法二：取AB的中点F，连接EF、DF．
由E是PB的中点，得EF∥PA，
∴∠FED是异面直线DE与PA所成
角（或它的补角），
在Rt△AOB中AO＝ABcos30°＝＝OP，
于是，在等腰Rt△POA中，
PA＝，则EF＝．
在正△ABD和正△PBD中，DE＝DF＝，
cos∠FED＝＝
∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos．

【点评】空间两条直线夹角的余弦值等于他们方向向量夹角余弦值的绝对值；
空间直线与平面夹角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值；
空间锐二面角的余弦值等于他的两个半平面方向向量夹角余弦值的绝对值．
18．（14分）设函数f（x）＝sin（mx）．
（1）若m∈（0，1），且函数f（x）与y＝lgx的图像有横纵坐标均为正整数的交点，求m的值；
（2）设m＝1，g（x）＝2f2（x）+f（2x），在锐角△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若g（A）＝2，，求△ABC的面积．
【分析】（1）先根据正弦函数的有界性确定整点坐标，再代入sin（mx）＝1求解；
（2）先将原函数式化简，然后结合给的等量关系求出A的值，进而结合数量积已知，求出bc的值，则面积可求．
【解答】解：（1）因为sin（mx）∈[﹣1，1]，故符合题意的交点只能为（10，1），
所以sin（10m）＝1，故，k∈Z，
又因为m∈（0，1），所以取k＝0，1，
所以或．
（2），
因为g（A）＝2，得，因为A，所以，
即或（舍），，
，解得bc＝4．
所以．
【点评】本题考查三角函数的恒等变换以及解三角形的知识和方法，属于中档题．
19．（14分）某便民超市经销一种小袋装地方特色桃酥食品，每袋桃酥的成本为6元，预计当一袋桃酥的售价为x元（9≤x≤11）时，一年的销售量为万袋，并且全年该桃酥食品共需支付3x万元的管理费．一年的利润＝一年的销售量×售价−（一年销售桃酥的成本+一年的管理费）．（单位：万元）
（1）求该超市一年的利润L（万元）与每袋桃酥食品的售价x的函数关系式；
（2）当每袋桃酥的售价为多少元时，该超市一年的利润L最大，并求出L的最大值．
【分析】（1）根据题意列关系式即可；
（2）结合基本不等式求解即可．
【解答】解：（1）该超市一年的利润L（万元）与每袋桃酥食品的售价x的函数关系式：，（9≤x≤11）；
（2），
因为9≤x≤11，所以，
当且仅当即x＝9时，等号成立，
此时L最大，最大值为9万元．
故当每袋桃酥的售价为9元时，该超市一年的利润最大，最大利润9万元．
【点评】本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，比较基础．
20．（16分）如图，点P（xP，yP）是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B，且PA，PB的中点均在抛物线C上．
（1）若P（﹣1，2），点A在第一象限，求此时点A的坐标；
（2）设AB中点为M，求证：直线PM⊥y轴；
（3）若P是曲线上的动点，求△PAB面积的最大值．

【分析】（1）求得AP的中点，代入抛物线方程，即可求得求得A点坐标；
（2）设A，B点坐标，求得AP的中点，代入抛物线方程，因此可得yA，yB是方程，利用韦达定理及中点坐标公式可得yP＝yM，即直线PM⊥y轴；
（3）分类讨论，当直线AB的斜率存在时，求得直线AB的方程，求得|AB|，根据点到直线的距离公式，求得△PAB面积的表达式，即可求得△PAB面积的最大值．
【解答】解：（1）设点A（xA，yA），，由P（﹣1，2），则AP中点坐标为，
代入y2＝4x，得，
所以yA＝6，即A（9，6）；
（2）设，P（xP，yP），则AP中点，
代入y2＝4x，得．同理可得，
所以，yA，yB是方程（*）的两根．
所以yA+yB＝2yP，又因为AB中点M（xM，yM），则2yM＝yA+yB，所以yP＝yM，
所以直线PM⊥y轴；
（3）当直线AB垂直于x轴时，P（﹣1，0），所以（*）化为y2﹣8＝0，即，，
所以，
当直线AB的斜率存在时，设直线AB方程为：，
则，所以，
所以，
因此＝，
点P到直线AB的距离，
所以，
又因为，则﹣1＜xP＜0，﹣2＜yP＜2，且yP≠0，
令，所以当时，t取得最大值，
当xP＝﹣1时，t取得最小值为2，则，
所以在上单调递增，所以，
综上可知，，
所以△ABC的面积的最大值为．
【点评】本题考查椭圆及抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查中点坐标公式及韦达定理的应用，考查转化思想，计算能力，属于难题．
21．（18分）若数列{an}同时满足下列两个条件，则称数列{an}具有“性质A”．
①（n∈N*）；②存在实数A，使得对任意n∈N*，有an≥A成立．
（1）设，试判断{an}，{bn}是否具有“性质A”；
（2）设递增的等比数列{cn}的前n项和为Sn，若，证明：数列{Sn}具有“性质A”，并求出A的取值范围；
（3）设数列{dn}的通项公式，若数列{dn}具有“性质A”，其满足条件的A的最大值A0＝10，求t的值．
【分析】（1）结合二次函数的性质求出an≥1，结合an+an+2﹣2an+1＞0即可得数列{an，具有“性质A”；由b1+b3﹣2b2＜0可得数列{bn}不具有“性质A”；
（2）先由条件解出首项和公比，写出等比数列的通项公式，求出Sn≥﹣4，结合Sn+Sn+2﹣2Sn+1＞0，即可证明并求出A的取值范围；
（3）先由dn+dn+2﹣2dn+1＞0求得n∈（﹣∞，﹣t）∪（4﹣t，+∞）对n∈N*成立，进而求得t＞3，又dn＞2t且当n→+∞时，，可得A0＝2t＝10，即可求解．
【解答】解：（1）由题意若数列{an}同时满足下列两个条件，则称数列{an}具有“性质A”．
①（n∈N*）；②存在实数A，使得对任意n∈N*，有an≥A成立，
则，所以当A≤1时，有an≥A成立；
又，所以，
所以数列{an}具有“性质A”.，
所以，所以数列{bn}不具有“性质A”．
证明：（2）设递增的等比数列{cn}的前n项和为Sn，若，
可得，数列{cn}的通项公式，
所以（＞4）恒成立．
又，
所以对n∈N*成立，所以数列{Sn}具有“性质A”，且A≤﹣4．
解：（3），由于数列{dn}具有“性质A”，则dn+dn+2﹣2dn+1＞0
即，整理得n2+2nt﹣4n+t2﹣4t＞0，
得：（n+t）2﹣4（n+t）＝（n+t）（n+t﹣4）＞0，
得n∈（﹣∞，﹣t）∪（4﹣t，+∞）对n∈N*成立，所以4﹣t＜1，得t＞3．
又当t＞3时，，且，
所以满足条件的A的最大值A0＝2t＝10，所以t＝5．
【点评】本题考查数列的应用，考查学生的运算能力，属于难题．
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