
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2024年江西省九江十一中中考数学一模试卷(含解析)
展开1.(3分)﹣的倒数是( )
A.﹣B.C.﹣3D.3
2.(3分)下列计算正确的是( )
A.m2•m3=m6B.﹣(m﹣n)=﹣m+n
C.m(m+n)=m2+nD.(m+n)2=m2+n2
3.(3分)下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
A.B.C.D.
4.(3分)已知点A(1﹣2x,x﹣1)在第二象限,则x的取值范围在数轴上表示正确的是( )
A.B.
C.D.
5.(3分)如图,将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放,设∠1=30°,那么∠2=( )
A.55°B.65°C.75°D.85°
6.(3分)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=﹣ax+b与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象是( )
A.B.
C.D.
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
7.(3分)因式分解8x2﹣2y2= .
8.(3分)已知一粒大米的质量为0.000021千克,把0.000021用科学记数法表示为 .
9.(3分)已知菱形的两条对角线分别是一元二次方程x2﹣14x+48=0的两个实数根,则该菱形的面积是 .
10.(3分)《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ABC).“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放,可测量物体的高度如图,点A,B,Q在同一水平线上,∠ABC和∠AQP均为直角,AP与BC相交于点D.测得AB=40cm,BD=20cm,AQ=14m,则树高PQ= m.
11.(3分)如图,D为等边△ABC的AB边的中点,点P是BC上的一个动点,连接DP,将△DBP沿DP翻折,得到△DEP,连接AE,若∠BAE=40°,则∠BDP的度数为 .
12.(3分)如图,在△ABC中,AB=BC=6,AO=BO,P是射线CO上的一个动点,∠AOC=60°,则当△PAB为直角三角形时,AP的长为 .
三、解答题(本大题共5个小题,每小题6分,共30分.)
13.(6分)(1)计算:;
(2)解分式方程:.
14.(6分)如图,点D是△ABC边AC的上一点,且∠ABD=∠C.
(1)求证:△ABD∽△ACB;
(2)如果AD=1,AC=4,求AB的值.
15.(6分)在▱ABCD中,AD=2AB,∠B=60°,E、F分别为边AD、BC的中点.请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图(保留画图痕迹).
(1)在图中画一个以点A、点C为顶点的菱形.
(2)在图中画一个以点B、点C为顶点的矩形.
16.(6分)以下是某同学化简分式(﹣)÷的部分运算过程:
(1)上面的运算过程中第 步出现了错误;
(2)请你写出完整的解答过程.
17.(6分)甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统,是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉,小明在了解了甲骨文后,制作了如图所示的四张卡片(这四张卡片分别用字母A,B,C,D表示,正面文字依次是文、明、自、由,这四张卡片除正面内容不同外,其余均相同),现将四张卡片背面朝上,洗匀放好.
(1)小明从中随机抽取一张卡片,抽取卡片上的文字是“文”的概率为 .
(2)小明从中随机抽取一张卡片不放回,小亮再从中随机抽取一张卡片,请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率.
四、解答题(本大题共3个小题,每小题8分,共24分.)
18.(8分)已知A(2,m)是双曲线上的一点,B点是双曲线上的一点,B点的横坐标为﹣3,AB∥x轴,且P是x轴负半轴上的一点.
(1)求C2的函数关系式;
(2)△PAB的面积是 ;
(3)若△PAB是等腰三角形,直接写出P的坐标.
19.(8分)如图①,某款线上教学设备由底座,支撑臂AB,连杆BC,悬臂CD和安装在D处的摄像头组成.如图②是该款设备放置在水平桌面上的示意图.已知支撑臂AB⊥l,AB=18cm,BC=40cm,CD=44cm,固定∠ABC=148°,可通过调试悬臂CD与连杆BC的夹角提高拍摄效果.
(1)问悬臂端点C到桌面l的距离约为多少?
(2)已知摄像头点D到桌面l的距离为30cm时拍摄效果较好,那么此时悬臂CD与连杆BC的夹角∠BCD的度数约为多少?(参考数据:sin58°≈0.85,cs58°≈0.53,tan58°≈1.60 )
20.(8分)如图,AB是⊙O的直径,射线BC交⊙O于点D,E是劣弧AD上一点,且=,过点E作EF⊥BC于点F,延长FE和BA的延长线交于点G.
(1)证明:GF是⊙O的切线;
(2)若AG=6,GE=6,求⊙O的半径.
五、解答题(本大题共2个小题,每小题9分,共18分)
21.(9分)为了进一步了解某校八年级学生的身体素质情况,体育老师抽测了该校八年级(1)班50名学生一分钟的跳绳次数,以测试数据为样本,绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图,图表如下所示:请结合图表完成下列问题:
(1)本次调查为 (填全面调查或抽样调查),样本容量为 ;
(2)a= ;并把频数分布直方图补充完整;
(3)若在一分钟内跳绳次数少于120次的为测试不合格,则该校八年级共1000人中,一分钟跳绳不合格的人数大约有多少?
22.(9分)定义:若两条抛物线的顶点关于原点对称,二次函数的二次项系数互为负倒数,这样的两条抛物线称之为“共生抛物线”,如抛物线y=0.5x2与y=﹣2x2是共生抛物线,已知抛物线的顶点是点P,它的共生抛物线C2的顶点是Q.
(1)点P的坐标是 ,点Q的坐标是 ,抛物线C2的函数关系式是 .
(2)直线y=m与抛物线C1、C2均有两个交点,这些交点从左到右分别是A、B、C、D.
①求m的取值范围 ;
②若AB=CD,求m的值.
六、解答题(本大题共12分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
23.(12分)【问题背景】
人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下:如图,正方形ABCD的对角线相交于点O,点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点,而且这两个正方形的边长相等,无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动,两个正方形重叠部分的面积,总等于一个正方形面积的.想一想,这是为什么?(此问题不需要作答)
九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下:正方形ABCD的对角线相交于点O,点P落在线段OC上,=k(k为常数).
【特例证明】
(1)如图1,将Rt△PEF的直角顶点P与点O重合,两直角边分别与边AB,BC相交于点M,N.
①填空:k= ;
②求证:PM=PN.(提示:借鉴解决【问题背景】的思路和方法,可直接证明△PAM≌△PBN;也可过点P分别作AB,BC的垂线构造全等三角形证明.请选择其中一种方法解答问题②.)
【类比探究】
(2)如图2,将图1中的△PEF沿OC方向平移,判断PM与PN的数量关系(用含k的式子表示),并说明理由.
【拓展运用】
(3)如图3,点N在边BC上,∠BPN=45°,延长NP交边CD于点E,若EN=kPN,求k的值.
2024年江西省九江十一中中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
1.(3分)﹣的倒数是( )
A.﹣B.C.﹣3D.3
【分析】乘积是1的两数互为倒数.
【解答】解:﹣的倒数是﹣3.
故选:C.
2.(3分)下列计算正确的是( )
A.m2•m3=m6B.﹣(m﹣n)=﹣m+n
C.m(m+n)=m2+nD.(m+n)2=m2+n2
【分析】根据同底数幂的乘法判断A选项;根据去括号法则判断B选项;根据单项式乘多项式判断C选项;根据完全平方公式判断D选项.
【解答】解:A选项,原式=m5,故该选项不符合题意;
B选项,原式=﹣m+n,故该选项符合题意;
C选项,原式=m2+mn,故该选项不符合题意;
D选项,原式=m2+2mn+n2,故该选项不符合题意;
故选:B.
3.(3分)下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
A.B.C.D.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可.
【解答】解:A.该图形是中心对称图形,不是轴对称图形,故本选项不符合题意;
B.该图形是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不符合题意;
C.该图形既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故本选项不符合题意;
D.该图形既是轴对称图形,也是中心对称图形,故本选项符合题意.
故选:D.
4.(3分)已知点A(1﹣2x,x﹣1)在第二象限,则x的取值范围在数轴上表示正确的是( )
A.B.
C.D.
【分析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.
【解答】解:根据题意,得:,
解不等式①,得:x>,
解不等式②,得:x>1,
不等式组的解集为x>1,
故选:B.
5.(3分)如图,将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放,设∠1=30°,那么∠2=( )
A.55°B.65°C.75°D.85°
【分析】根据等腰直角三角形的性质求出∠FHE=45°,求出∠NHB=∠FHE=45°,根据三角形内角和定理求出∠HNB=105°,根据平行四边形的性质得出CD∥AB,根据平行线的性质得出∠2+∠HNB=180°,再求出答案即可.
【解答】解:延长EH交AB于N,
∵△EFH是等腰直角三角形,
∴∠FHE=45°,
∴∠NHB=∠FHE=45°,
∵∠1=30°,
∴∠HNB=180°﹣∠1﹣∠NHB=105°,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD∥AB,
∴∠2+∠HNB=180°,
∴∠2=75°,
故选:C.
6.(3分)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=﹣ax+b与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象是( )
A.B.
C.D.
【分析】由抛物线开口方向,对称轴位置及抛物线与y轴交点位置判断a,b,c的符号,从而可得直线与反比例函数图象的大致图象.
【解答】解:∵抛物线开口向上,
∴a>0,
∵抛物线对称轴在y轴左侧,
∴b>0,
∵抛物线与y轴交点在x轴下方,
∴c<0,
∴直线y=﹣ax+b经过第一,二,四象限,反比例函数y=图象分布在第二、四象限,
故选:A.
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
7.(3分)因式分解8x2﹣2y2= 2(2x+y)(2x﹣y) .
【分析】此多项式有公因式,应先提取公因式,再对余下的多项式进行观察,有2项,可采用平方差公式继续分解.
【解答】解:8x2﹣2y2
=2(4x2﹣y2)
=2(2x+y)(2x﹣y).
故答案为:2(2x+y)(2x﹣y).
8.(3分)已知一粒大米的质量为0.000021千克,把0.000021用科学记数法表示为 2.1×10﹣5 .
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10﹣n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
【解答】解:0.000021用科学记数法可表示为2.1×10﹣5.
故本题答案为:2.1×10﹣5.
9.(3分)已知菱形的两条对角线分别是一元二次方程x2﹣14x+48=0的两个实数根,则该菱形的面积是 24 .
【分析】根据一元二次方程的解法即可求出对角线的长,然后利菱形的面积即可求出答案.
【解答】解:∵x2﹣14x+48=0,
∴x=6或x=8,
∴该菱形的对角线长分别为6或8,
∴菱形的面积=,
故答案为:24.
10.(3分)《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ABC).“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放,可测量物体的高度如图,点A,B,Q在同一水平线上,∠ABC和∠AQP均为直角,AP与BC相交于点D.测得AB=40cm,BD=20cm,AQ=14m,则树高PQ= 7 m.
【分析】根据题意可得△ABD∽△AQP,然后由相似三角形的性质,即可求解.
【解答】解:∵∠ABC和∠AQP均为直角,
∴BD∥PQ,
∴△ABD∽△AQP,
∴,
∵AB=40cm=0.4m,BD=20cm=0.2m,AQ=14m,
∴.
故答案为:7.
11.(3分)如图,D为等边△ABC的AB边的中点,点P是BC上的一个动点,连接DP,将△DBP沿DP翻折,得到△DEP,连接AE,若∠BAE=40°,则∠BDP的度数为 40° .
【分析】根据等边三角形的性质及翻折的性质即可求解.
【解答】解:∵D为等边△ABC的AB边的中点,
∴AD=BD,∠B=60°,
将△DBP沿DP翻折,得到△DEP,
∴BD=DE=AD,∠BDP=∠PDE,
∴∠BAE=∠AED=40°,
∴∠BDE=80°,
∴.
故答案为:40°.
12.(3分)如图,在△ABC中,AB=BC=6,AO=BO,P是射线CO上的一个动点,∠AOC=60°,则当△PAB为直角三角形时,AP的长为 3或3或3 .
【分析】利用分类讨论,当∠ABP=90°时,如图2,由对顶角的性质可得∠AOC=∠BOP=60°,易得∠BPO=30°,易得BP的长,利用勾股定理可得AP的长;当∠APB=90°时,分两种情况讨论,情况一:如图1,利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出PO=BO,易得△BOP为等边三角形,利用锐角三角函数可得AP的长;易得BP,利用勾股定理可得AP的长;情况二:如图3,利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得结论.
【解答】解:当∠APB=90°时(如图1),
∵AO=BO,
∴PO=BO,
∵∠AOC=60°,
∴∠BOP=60°,
∴△BOP为等边三角形,
∵AB=BC=6,
∴AP=AB•sin60°=6×=3;
当∠ABP=90°时(如图2),
∵∠AOC=∠BOP=60°,
∴∠BPO=30°,
∴BP===3,
在直角三角形ABP中,
AP==3;
如图3,∵AO=BO,∠APB=90°,
∴PO=AO,
∵∠AOC=60°,
∴△AOP为等边三角形,
∴AP=AO=3,
故答案为3或3或3.
三、解答题(本大题共5个小题,每小题6分,共30分.)
13.(6分)(1)计算:;
(2)解分式方程:.
【分析】(1)依次化简每一项,再进行加减运算;
(2)先去分母,再解一元整式方程,最后要检验.
【解答】解:(1)原式=1﹣2+4+1
=4;
(2),
3x=x+3(x+1),
3x=x+3x+3,
解得:x=﹣3,
经检验:x=﹣3是方程的解
∴原方程的解为:x=﹣3.
14.(6分)如图,点D是△ABC边AC的上一点,且∠ABD=∠C.
(1)求证:△ABD∽△ACB;
(2)如果AD=1,AC=4,求AB的值.
【分析】(1)由∠A=∠A,∠ABD=∠C即可证明相似;
(2)由相似三角形的对应边成比例,代入数据即可求解.
【解答】(1)证明:∵∠A=∠A,∠ABD=∠C,
∴△ABD∽△ACB;
(2)解:∵△ABD∽△ACB,
∴,
∵AD=1,AC=4,
∴,
解得:AB=2(负值舍去).
15.(6分)在▱ABCD中,AD=2AB,∠B=60°,E、F分别为边AD、BC的中点.请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图(保留画图痕迹).
(1)在图中画一个以点A、点C为顶点的菱形.
(2)在图中画一个以点B、点C为顶点的矩形.
【分析】(1)根据四边相等的四边形是菱形,连接AF,EC即可解决问题.
(2)根据菱形的中点四边形是矩形,画出图形即可.
【解答】解:(1)如图中,菱形AFCE即为所求.
(2)如图中,矩形BECG即为所求.
解法二:延长AF交DC的延长线于T,连接BT,四边形ABTC即为所求作.
16.(6分)以下是某同学化简分式(﹣)÷的部分运算过程:
(1)上面的运算过程中第 ③ 步出现了错误;
(2)请你写出完整的解答过程.
【分析】根据分式的运算法则:先乘方,再加减,最后乘除,有括号先算括号里面的计算即可.
【解答】解:(1)第③步出现错误,原因是分子相减时未变号,
故答案为:③;
(2)原式=[﹣]×,
=[﹣]×,
=×,
=×,
=.
故答案为:.
17.(6分)甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统,是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉,小明在了解了甲骨文后,制作了如图所示的四张卡片(这四张卡片分别用字母A,B,C,D表示,正面文字依次是文、明、自、由,这四张卡片除正面内容不同外,其余均相同),现将四张卡片背面朝上,洗匀放好.
(1)小明从中随机抽取一张卡片,抽取卡片上的文字是“文”的概率为 .
(2)小明从中随机抽取一张卡片不放回,小亮再从中随机抽取一张卡片,请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率.
【分析】(1)直接利用概率公式计算即可;
(2)通过画树状图,可得共有12种等可能结果,其中,两名同学抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果有2种,再根据概率公式求解即可.
【解答】解:(1)通过卡片上的字,可以看到是轴对称图形的为“文”,
∴卡片上的字是轴对称图形的概率为,
故答案为:;
(2)画树状图如解图,
由树状图知,共有12种等可能的结果,两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果有2种,
则两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率为=.
四、解答题(本大题共3个小题,每小题8分,共24分.)
18.(8分)已知A(2,m)是双曲线上的一点,B点是双曲线上的一点,B点的横坐标为﹣3,AB∥x轴,且P是x轴负半轴上的一点.
(1)求C2的函数关系式;
(2)△PAB的面积是 ;
(3)若△PAB是等腰三角形,直接写出P的坐标.
【分析】(1)先求点A坐标,再由AB∥x轴,求出点B坐标,进而即可求解;
(2)直接使用三角形面积公式计算即可;
(3)设点P坐标,表示出三条边,分类讨论,建立方程,解方程即可.
【解答】解:(1)A(2,m)是双曲线上的一点,
∴将A代入得:,
∴A(2,3),
∵AB∥x轴,
∴yB=yA=3,
∴B(﹣3,3),
将其代入得:k=﹣9,
∴C2的解析式为:;
(2)S△PAB==×5×3=,
故答案为:.
(3)设点P(m,0),则AB=5,,,
当△ABP是等腰三角形时:
①AB=BP,则(m+3)2+32=25,
解得m=1或m=﹣7,
∴P(1,0)或P(﹣7,0);
②AB=AP,则(m﹣2)2+32=25,
解得m=6或m=﹣4,
∴P(6,0)或P(﹣4,0);
③PA=PB时,则(m+3)2+32=(m﹣2)2+32,
解得,
∴.
综上所述:P(1,0)或P(﹣7,0)P(6,0)或P(﹣4,0)或.
19.(8分)如图①,某款线上教学设备由底座,支撑臂AB,连杆BC,悬臂CD和安装在D处的摄像头组成.如图②是该款设备放置在水平桌面上的示意图.已知支撑臂AB⊥l,AB=18cm,BC=40cm,CD=44cm,固定∠ABC=148°,可通过调试悬臂CD与连杆BC的夹角提高拍摄效果.
(1)问悬臂端点C到桌面l的距离约为多少?
(2)已知摄像头点D到桌面l的距离为30cm时拍摄效果较好,那么此时悬臂CD与连杆BC的夹角∠BCD的度数约为多少?(参考数据:sin58°≈0.85,cs58°≈0.53,tan58°≈1.60 )
【分析】(1)过点C作CF⊥l,垂足为F,过点B作BN⊥CF,垂足为N,过点D作DM⊥CF,垂足为M,设DM与BC交于点G,根据题意可得FN=AB=18cm,BN=AF,DM=EF,DE=MF,∠ABN=90°,DM∥BN,从而求出∠CBN=58°,进而求出∠CDM=∠CGM﹣∠DCB=30°,然后先在Rt△CBN中,利用锐角三角函数的定义求出BN,CN的长,进行计算即可解答.
(2)过点D作DM⊥CF,垂足为M,设DM与BC交于点G,则FN=AB=18cm,BN=AF,DM=EF,DE=MF,∠ABN=90°,DM∥l,求得CM,再算出∠CDM=30°,∠DCM=60°,得出∠BCD=∠DCM﹣∠BCN=60°﹣32°=28°.
【解答】解:(1)过点C作CF⊥l,垂足为F,过点B作BN⊥CF,垂足为N,过点D作DM⊥CF,垂足为M,设DM与BC交于点G,
则FN=AB=18cm,BN=AF,DM=EF,DE=MF,∠ABN=90°,DM∥l,
∵∠ABC=148°,
∴∠CBN=∠ABC﹣∠ABN=148°﹣90°=58°,
在Rt△CBN中,BC=40cm,
∴CN=30•sin58°≈40×0.85=34(cm),
∴CF=CN+NF=34+18=52,
∴悬臂端点C到桌面l的距离约为52cm.
(2)过点D作DM⊥CF,垂足为M,设DM与BC交于点G,
则FN=AB=18cm,BN=AF,DM=EF,DE=MF,∠ABN=90°,DM∥l,
∵摄像头点D到桌面l的距离为30cm,
∴MF=30cm,
∴CM=CF﹣MF=52﹣30=22cm,
在Rt△CDM中,CD=44cm,CM=22cm,
∴sin∠CDM=,
∴∠CDM=30°,∠DCM=60°,
在Rt△CBN中,∠CBN=58°,
∴∠BCN=32°,
∴∠BCD=∠DCM﹣∠BCN=60°﹣32°=28°.
20.(8分)如图,AB是⊙O的直径,射线BC交⊙O于点D,E是劣弧AD上一点,且=,过点E作EF⊥BC于点F,延长FE和BA的延长线交于点G.
(1)证明:GF是⊙O的切线;
(2)若AG=6,GE=6,求⊙O的半径.
【分析】(1)连接OE,由=知∠1=∠2,由∠2=∠3可证OE∥BF,根据BF⊥GF得OE⊥GF,得证;
(2)设OA=OE=r,在Rt△GOE中由勾股定理求得r=3.
【解答】解:(1)如图,连接OE,
∵=,
∴∠1=∠2,
∵∠2=∠3,
∴∠1=∠3,
∴OE∥BF,
∵BF⊥GF,
∴OE⊥GF,
∴GF是⊙O的切线;
(2)设OA=OE=r,
在Rt△GOE中,∵AG=6,GE=6,
∴由OG2=GE2+OE2可得(6+r)2=(6)2+r2,
解得:r=3,
故⊙O的半径为3.
五、解答题(本大题共2个小题,每小题9分,共18分)
21.(9分)为了进一步了解某校八年级学生的身体素质情况,体育老师抽测了该校八年级(1)班50名学生一分钟的跳绳次数,以测试数据为样本,绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图,图表如下所示:请结合图表完成下列问题:
(1)本次调查为 抽样调查 (填全面调查或抽样调查),样本容量为 50 ;
(2)a= 12 ;并把频数分布直方图补充完整;
(3)若在一分钟内跳绳次数少于120次的为测试不合格,则该校八年级共1000人中,一分钟跳绳不合格的人数大约有多少?
【分析】(1)根据题意得本次调查为抽样调查,样本为该校八年级(1)班50名学生一分钟的跳绳次数,样本容量为50,即可求出答案;
(2)根据a的值,即可将直方图补充完整;
(3)从表格中可以知道在一分钟内跳绳次数少于120次的有两个小组,共6+8=14人,然后除以总人数即可求出该校八年级(1)班学生进行一分钟跳绳不合格率,然后即可得出人数;
【解答】解:(1)本次调查为抽样调查,样本为该校八年级(1)班50名学生一分钟的跳绳次数,样本容量为50,
故答案为:抽样调查,50;
(2)a=50﹣(6+8+18+6)=12;
频数分布直方图如图所示:
故答案为:12;
(3)1000×=280(人),
答:一分钟跳绳不合格的人数大约为280人.
22.(9分)定义:若两条抛物线的顶点关于原点对称,二次函数的二次项系数互为负倒数,这样的两条抛物线称之为“共生抛物线”,如抛物线y=0.5x2与y=﹣2x2是共生抛物线,已知抛物线的顶点是点P,它的共生抛物线C2的顶点是Q.
(1)点P的坐标是 (﹣2,1) ,点Q的坐标是 (2,﹣1) ,抛物线C2的函数关系式是 .
(2)直线y=m与抛物线C1、C2均有两个交点,这些交点从左到右分别是A、B、C、D.
①求m的取值范围 m>﹣1 ;
②若AB=CD,求m的值.
【分析】(1)根据共生抛物线的定义,可以得到C2顶点坐标和解析式;
(2)找出临界状态,即与两条抛物线相切时,利用Δ=0,求出此时m的值,即可求出4个交点m的取值范围;
(3)采取“化斜为直”的思想,将斜线段转化为直线段的处理,利用一元二次方程根与系数的关系即可求解.
【解答】解:(1)抛物线的顶点是点P,
∴P(﹣2,1),
∵C1、C2是共生抛物线,
∴Q(2,﹣1),
由于共生抛物线二次项系数互为负倒数,
∴C2中的,
∴,
故答案为:(﹣2,1),(2,﹣1),.
(2)①如图,当直线y=m与抛物线C1、C2均相切时,
有,
整理的:2x2+8x+5﹣3m=0,
由Δ=0得:64﹣8(5﹣3m)=0,
解得m=﹣1;
,
整理得:3x2﹣12x+10﹣2m=0,
由Δ=0得:144﹣12(10﹣2m)=0,
解得m=﹣1;
当直线y=m绕点O顺时针旋转即有4个交点,此时m>﹣1.
②设点A、B横坐标分别为x1,x2,C、D横坐标分别为x3,x4,
由AB=CD得:|x1﹣x2|=|x3﹣x4|,
∴,
联立,
整理得:2x2+8x+5﹣3m=0,
∴,
,
整理得:3x2﹣12x+10﹣2m=0,
∴,
∴,
解得:m=﹣1.
六、解答题(本大题共12分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
23.(12分)【问题背景】
人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下:如图,正方形ABCD的对角线相交于点O,点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点,而且这两个正方形的边长相等,无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动,两个正方形重叠部分的面积,总等于一个正方形面积的.想一想,这是为什么?(此问题不需要作答)
九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下:正方形ABCD的对角线相交于点O,点P落在线段OC上,=k(k为常数).
【特例证明】
(1)如图1,将Rt△PEF的直角顶点P与点O重合,两直角边分别与边AB,BC相交于点M,N.
①填空:k= 1 ;
②求证:PM=PN.(提示:借鉴解决【问题背景】的思路和方法,可直接证明△PAM≌△PBN;也可过点P分别作AB,BC的垂线构造全等三角形证明.请选择其中一种方法解答问题②.)
【类比探究】
(2)如图2,将图1中的△PEF沿OC方向平移,判断PM与PN的数量关系(用含k的式子表示),并说明理由.
【拓展运用】
(3)如图3,点N在边BC上,∠BPN=45°,延长NP交边CD于点E,若EN=kPN,求k的值.
【分析】(1)①利用正方形性质即可得出答案;
②方法一:利用ASA证明△PAM≌△PBN即可;方法二:过点P分别作PG⊥AB于G,PH⊥BC于H,利用ASA证明△PMG≌△PNH即可;
(2)方法一:过点P作PG∥BD交BC于G,证明△PAM∽△PGN,利用相似三角形性质即可得出答案;方法二:过点P分别作PG⊥AB于G,PH⊥BC于H,证明△APG∽△CPH,可得=,再证得△PMG∽△PNH,即证得结论;
(3)过点P作PM⊥PN交AB于M,作PH⊥BC于H,作PG⊥AB于G,利用AAS证得△PGM≌△ECN,可得:GM=CN,PG=EC,再证得△BPN∽△BCP,可得PB2=BC•BN,同理可得:PB2=BA•BM,推出EC=2CN,进而可得tan∠ENC===2,令HN=a,则PH=2a,CN=3a,EC=6a,利用勾股定理即可求得答案.
【解答】(1)①解:∵将Rt△PEF的直角顶点P与点O重合,
∴k===1,
故答案为:1;
②证明:
方法一:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠APB=∠MPN=90°,∠PAB=∠PBC=45°,PA=PB,
∴∠APB﹣∠BPM=∠MPN﹣∠BPM,
即∠APM=∠BPN,
∴△PAM≌△PBN(ASA),
∴PM=PN.
方法二:过点P分别作PG⊥AB于G,PH⊥BC于H,如图1,
则∠PGM=∠PHN=90°,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABC=90°,BD平分∠ABC,
∴PG=PH,∠HPG=90°,
∴∠MPN﹣∠GPN=∠GPH﹣∠GPN,
即∠MPG=∠NPH,
∴△PMG≌△PNH(ASA),
∴PM=PN.
(2)解:=k.理由如下:
方法一:过点P作PG∥BD交BC于G,如图2(i),
∴∠AOB=∠APG,∠PGC=∠OBC,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠PAM=∠OCB=∠OBC=45°,∠AOB=90°,
∴∠APG=∠MPN=∠AOB=90°,∠PGC=∠PCG=∠PAM,
∴PG=PC,
∠APG﹣∠MPG=∠MPN﹣∠MPG,
即∠APM=∠GPN,
∴△PAM∽△PGN,
∴==k.
方法二:过点P分别作PG⊥AB于G,PH⊥BC于H,如图2(ii),
则∠PGM=∠PGB=∠PHN=90°,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAC=∠BCA=45°,∠ABC=90°,
∵∠PGA=∠CHP=90°,
∴△APG∽△CPH,
∴=,
∵∠GPH=∠MPN=90°,
∴∠MPN﹣∠GPN=∠GPH﹣∠GPN,
即∠MPG=∠NPH,
∴△PMG∽△PNH,
∴===k.
(3)过点P作PM⊥PN交AB于M,作PH⊥BC于H,作PG⊥AB于G,如图3,
则∠MPN=∠GPH=∠PGM=∠ECN=90°,
∴∠MPN﹣∠GPN=∠GPH﹣∠GPN,
即∠MPG=∠NPH,
∴∠PMG=∠PNH,
由(2)和已知条件可得:PM=kPN,EN=kPN,
∴PM=EN,
∴△PGM≌△ECN(AAS),
∴GM=CN,PG=EC,
∵∠BPN=∠PCB=45°,∠PBN=∠CBP,
∴△BPN∽△BCP,
∴=,
∴PB2=BC•BN,
同理可得:PB2=BA•BM,
∵BC=BA,
∴BM=BN,
∴AM=CN,
∴AG=2CN,
∵∠PAB=45°,
∴PG=AG,
∴EC=2CN,
∴tan∠ENC===2,
令HN=a,则PH=2a,CN=3a,EC=6a,
∴EN==3a,
PN==a,
∴k===3.
解:原式=[﹣]×①
=[﹣]×②
=×③
…
解:
组别
次数x
频数(人数)
第1组
80≤x<100
6
第2组
100≤x<120
8
第3组
120≤x<140
a
第4组
140≤x<160
18
第5组
160≤x<180
6
解:原式=[﹣]×①
=[﹣]×②
=×③
…
解:
组别
次数x
频数(人数)
第1组
80≤x<100
6
第2组
100≤x<120
8
第3组
120≤x<140
a
第4组
140≤x<160
18
第5组
160≤x<180
6
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