2024年江西省九江十一中中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年江西省九江十一中中考数学一模试卷（含解析），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）﹣的倒数是（ ）
A．﹣B．C．﹣3D．3
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．m2•m3＝m6B．﹣（m﹣n）＝﹣m+n
C．m（m+n）＝m2+nD．（m+n）2＝m2+n2
3．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）已知点A（1﹣2x，x﹣1）在第二象限，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设∠1＝30°，那么∠2＝（ ）
A．55°B．65°C．75°D．85°
6．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝﹣ax+b与反比例函数y＝在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）因式分解8x2﹣2y2＝ ．
8．（3分）已知一粒大米的质量为0.000021千克，把0.000021用科学记数法表示为 ．
9．（3分）已知菱形的两条对角线分别是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个实数根，则该菱形的面积是 ．
10．（3分）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝14m，则树高PQ＝ m．
11．（3分）如图，D为等边△ABC的AB边的中点，点P是BC上的一个动点，连接DP，将△DBP沿DP翻折，得到△DEP，连接AE，若∠BAE＝40°，则∠BDP的度数为 ．
12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝BC＝6，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为 ．
三、解答题（本大题共5个小题，每小题6分，共30分．）
13．（6分）（1）计算：；
（2）解分式方程：．
14．（6分）如图，点D是△ABC边AC的上一点，且∠ABD＝∠C．
（1）求证：△ABD∽△ACB；
（2）如果AD＝1，AC＝4，求AB的值．
15．（6分）在▱ABCD中，AD＝2AB，∠B＝60°，E、F分别为边AD、BC的中点．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．
（1）在图中画一个以点A、点C为顶点的菱形．
（2）在图中画一个以点B、点C为顶点的矩形．
16．（6分）以下是某同学化简分式（﹣）÷的部分运算过程：
（1）上面的运算过程中第 步出现了错误；
（2）请你写出完整的解答过程．
17．（6分）甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，小明在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为 ．
（2）小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率．
四、解答题（本大题共3个小题，每小题8分，共24分．）
18．（8分）已知A（2，m）是双曲线上的一点，B点是双曲线上的一点，B点的横坐标为﹣3，AB∥x轴，且P是x轴负半轴上的一点．
（1）求C2的函数关系式；
（2）△PAB的面积是 ；
（3）若△PAB是等腰三角形，直接写出P的坐标．
19．（8分）如图①，某款线上教学设备由底座，支撑臂AB，连杆BC，悬臂CD和安装在D处的摄像头组成．如图②是该款设备放置在水平桌面上的示意图．已知支撑臂AB⊥l，AB＝18cm，BC＝40cm，CD＝44cm，固定∠ABC＝148°，可通过调试悬臂CD与连杆BC的夹角提高拍摄效果．
（1）问悬臂端点C到桌面l的距离约为多少？
（2）已知摄像头点D到桌面l的距离为30cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂CD与连杆BC的夹角∠BCD的度数约为多少？（参考数据：sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60 ）
20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，射线BC交⊙O于点D，E是劣弧AD上一点，且＝，过点E作EF⊥BC于点F，延长FE和BA的延长线交于点G．
（1）证明：GF是⊙O的切线；
（2）若AG＝6，GE＝6，求⊙O的半径．
五、解答题（本大题共2个小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）为了进一步了解某校八年级学生的身体素质情况，体育老师抽测了该校八年级（1）班50名学生一分钟的跳绳次数，以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图，图表如下所示：请结合图表完成下列问题：
（1）本次调查为 （填全面调查或抽样调查），样本容量为 ；
（2）a＝ ；并把频数分布直方图补充完整；
（3）若在一分钟内跳绳次数少于120次的为测试不合格，则该校八年级共1000人中，一分钟跳绳不合格的人数大约有多少？
22．（9分）定义：若两条抛物线的顶点关于原点对称，二次函数的二次项系数互为负倒数，这样的两条抛物线称之为“共生抛物线”，如抛物线y＝0.5x2与y＝﹣2x2是共生抛物线，已知抛物线的顶点是点P，它的共生抛物线C2的顶点是Q．
（1）点P的坐标是 ，点Q的坐标是 ，抛物线C2的函数关系式是 ．
（2）直线y＝m与抛物线C1、C2均有两个交点，这些交点从左到右分别是A、B、C、D．
①求m的取值范围 ；
②若AB＝CD，求m的值．
六、解答题（本大题共12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
23．（12分）【问题背景】
人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的．想一想，这是为什么？（此问题不需要作答）
九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形ABCD的对角线相交于点O，点P落在线段OC上，＝k（k为常数）．
【特例证明】
（1）如图1，将Rt△PEF的直角顶点P与点O重合，两直角边分别与边AB，BC相交于点M，N．
①填空：k＝ ；
②求证：PM＝PN．（提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明△PAM≌△PBN；也可过点P分别作AB，BC的垂线构造全等三角形证明．请选择其中一种方法解答问题②．）
【类比探究】
（2）如图2，将图1中的△PEF沿OC方向平移，判断PM与PN的数量关系（用含k的式子表示），并说明理由．
【拓展运用】
（3）如图3，点N在边BC上，∠BPN＝45°，延长NP交边CD于点E，若EN＝kPN，求k的值．
2024年江西省九江十一中中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）﹣的倒数是（ ）
A．﹣B．C．﹣3D．3
【分析】乘积是1的两数互为倒数．
【解答】解：﹣的倒数是﹣3．
故选：C．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．m2•m3＝m6B．﹣（m﹣n）＝﹣m+n
C．m（m+n）＝m2+nD．（m+n）2＝m2+n2
【分析】根据同底数幂的乘法判断A选项；根据去括号法则判断B选项；根据单项式乘多项式判断C选项；根据完全平方公式判断D选项．
【解答】解：A选项，原式＝m5，故该选项不符合题意；
B选项，原式＝﹣m+n，故该选项符合题意；
C选项，原式＝m2+mn，故该选项不符合题意；
D选项，原式＝m2+2mn+n2，故该选项不符合题意；
故选：B．
3．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可．
【解答】解：A．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
4．（3分）已知点A（1﹣2x，x﹣1）在第二象限，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：根据题意，得：，
解不等式①，得：x＞，
解不等式②，得：x＞1，
不等式组的解集为x＞1，
故选：B．
5．（3分）如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设∠1＝30°，那么∠2＝（ ）
A．55°B．65°C．75°D．85°
【分析】根据等腰直角三角形的性质求出∠FHE＝45°，求出∠NHB＝∠FHE＝45°，根据三角形内角和定理求出∠HNB＝105°，根据平行四边形的性质得出CD∥AB，根据平行线的性质得出∠2+∠HNB＝180°，再求出答案即可．
【解答】解：延长EH交AB于N，
∵△EFH是等腰直角三角形，
∴∠FHE＝45°，
∴∠NHB＝∠FHE＝45°，
∵∠1＝30°，
∴∠HNB＝180°﹣∠1﹣∠NHB＝105°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠2+∠HNB＝180°，
∴∠2＝75°，
故选：C．
6．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝﹣ax+b与反比例函数y＝在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置判断a，b，c的符号，从而可得直线与反比例函数图象的大致图象．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴直线y＝﹣ax+b经过第一，二，四象限，反比例函数y＝图象分布在第二、四象限，
故选：A．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）因式分解8x2﹣2y2＝ 2（2x+y）（2x﹣y） ．
【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有2项，可采用平方差公式继续分解．
【解答】解：8x2﹣2y2
＝2（4x2﹣y2）
＝2（2x+y）（2x﹣y）．
故答案为：2（2x+y）（2x﹣y）．
8．（3分）已知一粒大米的质量为0.000021千克，把0.000021用科学记数法表示为 2.1×10﹣5 ．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000021用科学记数法可表示为2.1×10﹣5．
故本题答案为：2.1×10﹣5．
9．（3分）已知菱形的两条对角线分别是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个实数根，则该菱形的面积是 24 ．
【分析】根据一元二次方程的解法即可求出对角线的长，然后利菱形的面积即可求出答案．
【解答】解：∵x2﹣14x+48＝0，
∴x＝6或x＝8，
∴该菱形的对角线长分别为6或8，
∴菱形的面积＝，
故答案为：24．
10．（3分）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝14m，则树高PQ＝ 7 m．
【分析】根据题意可得△ABD∽△AQP，然后由相似三角形的性质，即可求解．
【解答】解：∵∠ABC和∠AQP均为直角，
∴BD∥PQ，
∴△ABD∽△AQP，
∴，
∵AB＝40cm＝0.4m，BD＝20cm＝0.2m，AQ＝14m，
∴．
故答案为：7．
11．（3分）如图，D为等边△ABC的AB边的中点，点P是BC上的一个动点，连接DP，将△DBP沿DP翻折，得到△DEP，连接AE，若∠BAE＝40°，则∠BDP的度数为 40° ．
【分析】根据等边三角形的性质及翻折的性质即可求解．
【解答】解：∵D为等边△ABC的AB边的中点，
∴AD＝BD，∠B＝60°，
将△DBP沿DP翻折，得到△DEP，
∴BD＝DE＝AD，∠BDP＝∠PDE，
∴∠BAE＝∠AED＝40°，
∴∠BDE＝80°，
∴．
故答案为：40°．
12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝BC＝6，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为 3或3或3 ．
【分析】利用分类讨论，当∠ABP＝90°时，如图2，由对顶角的性质可得∠AOC＝∠BOP＝60°，易得∠BPO＝30°，易得BP的长，利用勾股定理可得AP的长；当∠APB＝90°时，分两种情况讨论，情况一：如图1，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出PO＝BO，易得△BOP为等边三角形，利用锐角三角函数可得AP的长；易得BP，利用勾股定理可得AP的长；情况二：如图3，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得结论．
【解答】解：当∠APB＝90°时（如图1），
∵AO＝BO，
∴PO＝BO，
∵∠AOC＝60°，
∴∠BOP＝60°，
∴△BOP为等边三角形，
∵AB＝BC＝6，
∴AP＝AB•sin60°＝6×＝3；
当∠ABP＝90°时（如图2），
∵∠AOC＝∠BOP＝60°，
∴∠BPO＝30°，
∴BP＝＝＝3，
在直角三角形ABP中，
AP＝＝3；
如图3，∵AO＝BO，∠APB＝90°，
∴PO＝AO，
∵∠AOC＝60°，
∴△AOP为等边三角形，
∴AP＝AO＝3，
故答案为3或3或3．
三、解答题（本大题共5个小题，每小题6分，共30分．）
13．（6分）（1）计算：；
（2）解分式方程：．
【分析】（1）依次化简每一项，再进行加减运算；
（2）先去分母，再解一元整式方程，最后要检验．
【解答】解：（1）原式＝1﹣2+4+1
＝4；
（2），
3x＝x+3（x+1），
3x＝x+3x+3，
解得：x＝﹣3，
经检验：x＝﹣3是方程的解
∴原方程的解为：x＝﹣3．
14．（6分）如图，点D是△ABC边AC的上一点，且∠ABD＝∠C．
（1）求证：△ABD∽△ACB；
（2）如果AD＝1，AC＝4，求AB的值．
【分析】（1）由∠A＝∠A，∠ABD＝∠C即可证明相似；
（2）由相似三角形的对应边成比例，代入数据即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠A＝∠A，∠ABD＝∠C，
∴△ABD∽△ACB；
（2）解：∵△ABD∽△ACB，
∴，
∵AD＝1，AC＝4，
∴，
解得：AB＝2（负值舍去）．
15．（6分）在▱ABCD中，AD＝2AB，∠B＝60°，E、F分别为边AD、BC的中点．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．
（1）在图中画一个以点A、点C为顶点的菱形．
（2）在图中画一个以点B、点C为顶点的矩形．
【分析】（1）根据四边相等的四边形是菱形，连接AF，EC即可解决问题．
（2）根据菱形的中点四边形是矩形，画出图形即可．
【解答】解：（1）如图中，菱形AFCE即为所求．
（2）如图中，矩形BECG即为所求．
解法二：延长AF交DC的延长线于T，连接BT，四边形ABTC即为所求作．
16．（6分）以下是某同学化简分式（﹣）÷的部分运算过程：
（1）上面的运算过程中第 ③ 步出现了错误；
（2）请你写出完整的解答过程．
【分析】根据分式的运算法则：先乘方，再加减，最后乘除，有括号先算括号里面的计算即可．
【解答】解：（1）第③步出现错误，原因是分子相减时未变号，
故答案为：③；
（2）原式＝[﹣]×，
＝[﹣]×，
＝×，
＝×，
＝．
故答案为：．
17．（6分）甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，小明在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为 ．
（2）小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式计算即可；
（2）通过画树状图，可得共有12种等可能结果，其中，两名同学抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果有2种，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）通过卡片上的字，可以看到是轴对称图形的为“文”，
∴卡片上的字是轴对称图形的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如解图，

由树状图知，共有12种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果有2种，
则两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率为＝．
四、解答题（本大题共3个小题，每小题8分，共24分．）
18．（8分）已知A（2，m）是双曲线上的一点，B点是双曲线上的一点，B点的横坐标为﹣3，AB∥x轴，且P是x轴负半轴上的一点．
（1）求C2的函数关系式；
（2）△PAB的面积是 ；
（3）若△PAB是等腰三角形，直接写出P的坐标．
【分析】（1）先求点A坐标，再由AB∥x轴，求出点B坐标，进而即可求解；
（2）直接使用三角形面积公式计算即可；
（3）设点P坐标，表示出三条边，分类讨论，建立方程，解方程即可．
【解答】解：（1）A（2，m）是双曲线上的一点，
∴将A代入得：，
∴A（2，3），
∵AB∥x轴，
∴yB＝yA＝3，
∴B（﹣3，3），
将其代入得：k＝﹣9，
∴C2的解析式为：；
（2）S△PAB＝＝×5×3＝，
故答案为：．
（3）设点P（m，0），则AB＝5，，，
当△ABP是等腰三角形时：
①AB＝BP，则（m+3）2+32＝25，
解得m＝1或m＝﹣7，
∴P（1，0）或P（﹣7，0）；
②AB＝AP，则（m﹣2）2+32＝25，
解得m＝6或m＝﹣4，
∴P（6，0）或P（﹣4，0）；
③PA＝PB时，则（m+3）2+32＝（m﹣2）2+32，
解得，
∴．
综上所述：P（1，0）或P（﹣7，0）P（6，0）或P（﹣4，0）或．
19．（8分）如图①，某款线上教学设备由底座，支撑臂AB，连杆BC，悬臂CD和安装在D处的摄像头组成．如图②是该款设备放置在水平桌面上的示意图．已知支撑臂AB⊥l，AB＝18cm，BC＝40cm，CD＝44cm，固定∠ABC＝148°，可通过调试悬臂CD与连杆BC的夹角提高拍摄效果．
（1）问悬臂端点C到桌面l的距离约为多少？
（2）已知摄像头点D到桌面l的距离为30cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂CD与连杆BC的夹角∠BCD的度数约为多少？（参考数据：sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60 ）
【分析】（1）过点C作CF⊥l，垂足为F，过点B作BN⊥CF，垂足为N，过点D作DM⊥CF，垂足为M，设DM与BC交于点G，根据题意可得FN＝AB＝18cm，BN＝AF，DM＝EF，DE＝MF，∠ABN＝90°，DM∥BN，从而求出∠CBN＝58°，进而求出∠CDM＝∠CGM﹣∠DCB＝30°，然后先在Rt△CBN中，利用锐角三角函数的定义求出BN，CN的长，进行计算即可解答．
（2）过点D作DM⊥CF，垂足为M，设DM与BC交于点G，则FN＝AB＝18cm，BN＝AF，DM＝EF，DE＝MF，∠ABN＝90°，DM∥l，求得CM，再算出∠CDM＝30°，∠DCM＝60°，得出∠BCD＝∠DCM﹣∠BCN＝60°﹣32°＝28°．
【解答】解：（1）过点C作CF⊥l，垂足为F，过点B作BN⊥CF，垂足为N，过点D作DM⊥CF，垂足为M，设DM与BC交于点G，
则FN＝AB＝18cm，BN＝AF，DM＝EF，DE＝MF，∠ABN＝90°，DM∥l，
∵∠ABC＝148°，
∴∠CBN＝∠ABC﹣∠ABN＝148°﹣90°＝58°，
在Rt△CBN中，BC＝40cm，
∴CN＝30•sin58°≈40×0.85＝34（cm），
∴CF＝CN+NF＝34+18＝52，
∴悬臂端点C到桌面l的距离约为52cm．
（2）过点D作DM⊥CF，垂足为M，设DM与BC交于点G，
则FN＝AB＝18cm，BN＝AF，DM＝EF，DE＝MF，∠ABN＝90°，DM∥l，
∵摄像头点D到桌面l的距离为30cm，
∴MF＝30cm，
∴CM＝CF﹣MF＝52﹣30＝22cm，
在Rt△CDM中，CD＝44cm，CM＝22cm，
∴sin∠CDM＝，
∴∠CDM＝30°，∠DCM＝60°，
在Rt△CBN中，∠CBN＝58°，
∴∠BCN＝32°，
∴∠BCD＝∠DCM﹣∠BCN＝60°﹣32°＝28°．
20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，射线BC交⊙O于点D，E是劣弧AD上一点，且＝，过点E作EF⊥BC于点F，延长FE和BA的延长线交于点G．
（1）证明：GF是⊙O的切线；
（2）若AG＝6，GE＝6，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OE，由＝知∠1＝∠2，由∠2＝∠3可证OE∥BF，根据BF⊥GF得OE⊥GF，得证；
（2）设OA＝OE＝r，在Rt△GOE中由勾股定理求得r＝3．
【解答】解：（1）如图，连接OE，
∵＝，
∴∠1＝∠2，
∵∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴OE∥BF，
∵BF⊥GF，
∴OE⊥GF，
∴GF是⊙O的切线；
（2）设OA＝OE＝r，
在Rt△GOE中，∵AG＝6，GE＝6，
∴由OG2＝GE2+OE2可得（6+r）2＝（6）2+r2，
解得：r＝3，
故⊙O的半径为3．
五、解答题（本大题共2个小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）为了进一步了解某校八年级学生的身体素质情况，体育老师抽测了该校八年级（1）班50名学生一分钟的跳绳次数，以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图，图表如下所示：请结合图表完成下列问题：
（1）本次调查为 抽样调查 （填全面调查或抽样调查），样本容量为 50 ；
（2）a＝ 12 ；并把频数分布直方图补充完整；
（3）若在一分钟内跳绳次数少于120次的为测试不合格，则该校八年级共1000人中，一分钟跳绳不合格的人数大约有多少？
【分析】（1）根据题意得本次调查为抽样调查，样本为该校八年级（1）班50名学生一分钟的跳绳次数，样本容量为50，即可求出答案；
（2）根据a的值，即可将直方图补充完整；
（3）从表格中可以知道在一分钟内跳绳次数少于120次的有两个小组，共6+8＝14人，然后除以总人数即可求出该校八年级（1）班学生进行一分钟跳绳不合格率，然后即可得出人数；
【解答】解：（1）本次调查为抽样调查，样本为该校八年级（1）班50名学生一分钟的跳绳次数，样本容量为50，
故答案为：抽样调查，50；
（2）a＝50﹣（6+8+18+6）＝12；
频数分布直方图如图所示：
故答案为：12；
（3）1000×＝280（人），
答：一分钟跳绳不合格的人数大约为280人．
22．（9分）定义：若两条抛物线的顶点关于原点对称，二次函数的二次项系数互为负倒数，这样的两条抛物线称之为“共生抛物线”，如抛物线y＝0.5x2与y＝﹣2x2是共生抛物线，已知抛物线的顶点是点P，它的共生抛物线C2的顶点是Q．
（1）点P的坐标是 （﹣2，1） ，点Q的坐标是 （2，﹣1） ，抛物线C2的函数关系式是 ．
（2）直线y＝m与抛物线C1、C2均有两个交点，这些交点从左到右分别是A、B、C、D．
①求m的取值范围 m＞﹣1 ；
②若AB＝CD，求m的值．
【分析】（1）根据共生抛物线的定义，可以得到C2顶点坐标和解析式；
（2）找出临界状态，即与两条抛物线相切时，利用Δ＝0，求出此时m的值，即可求出4个交点m的取值范围；
（3）采取“化斜为直”的思想，将斜线段转化为直线段的处理，利用一元二次方程根与系数的关系即可求解．
【解答】解：（1）抛物线的顶点是点P，
∴P（﹣2，1），
∵C1、C2是共生抛物线，
∴Q（2，﹣1），
由于共生抛物线二次项系数互为负倒数，
∴C2中的，
∴，
故答案为：（﹣2，1），（2，﹣1），．
（2）①如图，当直线y＝m与抛物线C1、C2均相切时，
有，
整理的：2x2+8x+5﹣3m＝0，
由Δ＝0得：64﹣8（5﹣3m）＝0，
解得m＝﹣1；
，
整理得：3x2﹣12x+10﹣2m＝0，
由Δ＝0得：144﹣12（10﹣2m）＝0，
解得m＝﹣1；
当直线y＝m绕点O顺时针旋转即有4个交点，此时m＞﹣1．
②设点A、B横坐标分别为x1，x2，C、D横坐标分别为x3，x4，
由AB＝CD得：|x1﹣x2|＝|x3﹣x4|，
∴，
联立，
整理得：2x2+8x+5﹣3m＝0，
∴，
，
整理得：3x2﹣12x+10﹣2m＝0，
∴，
∴，
解得：m＝﹣1．
六、解答题（本大题共12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
23．（12分）【问题背景】
人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的．想一想，这是为什么？（此问题不需要作答）
九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形ABCD的对角线相交于点O，点P落在线段OC上，＝k（k为常数）．
【特例证明】
（1）如图1，将Rt△PEF的直角顶点P与点O重合，两直角边分别与边AB，BC相交于点M，N．
①填空：k＝ 1 ；
②求证：PM＝PN．（提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明△PAM≌△PBN；也可过点P分别作AB，BC的垂线构造全等三角形证明．请选择其中一种方法解答问题②．）
【类比探究】
（2）如图2，将图1中的△PEF沿OC方向平移，判断PM与PN的数量关系（用含k的式子表示），并说明理由．
【拓展运用】
（3）如图3，点N在边BC上，∠BPN＝45°，延长NP交边CD于点E，若EN＝kPN，求k的值．
【分析】（1）①利用正方形性质即可得出答案；
②方法一：利用ASA证明△PAM≌△PBN即可；方法二：过点P分别作PG⊥AB于G，PH⊥BC于H，利用ASA证明△PMG≌△PNH即可；
（2）方法一：过点P作PG∥BD交BC于G，证明△PAM∽△PGN，利用相似三角形性质即可得出答案；方法二：过点P分别作PG⊥AB于G，PH⊥BC于H，证明△APG∽△CPH，可得＝，再证得△PMG∽△PNH，即证得结论；
（3）过点P作PM⊥PN交AB于M，作PH⊥BC于H，作PG⊥AB于G，利用AAS证得△PGM≌△ECN，可得：GM＝CN，PG＝EC，再证得△BPN∽△BCP，可得PB2＝BC•BN，同理可得：PB2＝BA•BM，推出EC＝2CN，进而可得tan∠ENC＝＝＝2，令HN＝a，则PH＝2a，CN＝3a，EC＝6a，利用勾股定理即可求得答案．
【解答】（1）①解：∵将Rt△PEF的直角顶点P与点O重合，
∴k＝＝＝1，
故答案为：1；
②证明：
方法一：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠APB＝∠MPN＝90°，∠PAB＝∠PBC＝45°，PA＝PB，
∴∠APB﹣∠BPM＝∠MPN﹣∠BPM，
即∠APM＝∠BPN，
∴△PAM≌△PBN（ASA），
∴PM＝PN．
方法二：过点P分别作PG⊥AB于G，PH⊥BC于H，如图1，
则∠PGM＝∠PHN＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，
∴PG＝PH，∠HPG＝90°，
∴∠MPN﹣∠GPN＝∠GPH﹣∠GPN，
即∠MPG＝∠NPH，
∴△PMG≌△PNH（ASA），
∴PM＝PN．
（2）解：＝k．理由如下：
方法一：过点P作PG∥BD交BC于G，如图2（i），
∴∠AOB＝∠APG，∠PGC＝∠OBC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PAM＝∠OCB＝∠OBC＝45°，∠AOB＝90°，
∴∠APG＝∠MPN＝∠AOB＝90°，∠PGC＝∠PCG＝∠PAM，
∴PG＝PC，
∠APG﹣∠MPG＝∠MPN﹣∠MPG，
即∠APM＝∠GPN，
∴△PAM∽△PGN，
∴＝＝k．
方法二：过点P分别作PG⊥AB于G，PH⊥BC于H，如图2（ii），
则∠PGM＝∠PGB＝∠PHN＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，∠ABC＝90°，
∵∠PGA＝∠CHP＝90°，
∴△APG∽△CPH，
∴＝，
∵∠GPH＝∠MPN＝90°，
∴∠MPN﹣∠GPN＝∠GPH﹣∠GPN，
即∠MPG＝∠NPH，
∴△PMG∽△PNH，
∴＝＝＝k．
（3）过点P作PM⊥PN交AB于M，作PH⊥BC于H，作PG⊥AB于G，如图3，
则∠MPN＝∠GPH＝∠PGM＝∠ECN＝90°，
∴∠MPN﹣∠GPN＝∠GPH﹣∠GPN，
即∠MPG＝∠NPH，
∴∠PMG＝∠PNH，
由（2）和已知条件可得：PM＝kPN，EN＝kPN，
∴PM＝EN，
∴△PGM≌△ECN（AAS），
∴GM＝CN，PG＝EC，
∵∠BPN＝∠PCB＝45°，∠PBN＝∠CBP，
∴△BPN∽△BCP，
∴＝，
∴PB2＝BC•BN，
同理可得：PB2＝BA•BM，
∵BC＝BA，
∴BM＝BN，
∴AM＝CN，
∴AG＝2CN，
∵∠PAB＝45°，
∴PG＝AG，
∴EC＝2CN，
∴tan∠ENC＝＝＝2，
令HN＝a，则PH＝2a，CN＝3a，EC＝6a，
∴EN＝＝3a，
PN＝＝a，
∴k＝＝＝3．
解：原式＝[﹣]×①
＝[﹣]×②
＝×③
…
解：
组别
次数x
频数（人数）
第1组
80≤x＜100
6
第2组
100≤x＜120
8
第3组
120≤x＜140
a
第4组
140≤x＜160
18
第5组
160≤x＜180
6
解：原式＝[﹣]×①
＝[﹣]×②
＝×③
…
解：
组别
次数x
频数（人数）
第1组
80≤x＜100
6
第2组
100≤x＜120
8
第3组
120≤x＜140
a
第4组
140≤x＜160
18
第5组
160≤x＜180
6