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    2024年江西省九江十一中中考数学一模试卷(含解析)
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    2024年江西省九江十一中中考数学一模试卷(含解析)

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    这是一份2024年江西省九江十一中中考数学一模试卷(含解析),共32页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1.(3分)﹣的倒数是( )
    A.﹣B.C.﹣3D.3
    2.(3分)下列计算正确的是( )
    A.m2•m3=m6B.﹣(m﹣n)=﹣m+n
    C.m(m+n)=m2+nD.(m+n)2=m2+n2
    3.(3分)下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
    A.B.C.D.
    4.(3分)已知点A(1﹣2x,x﹣1)在第二象限,则x的取值范围在数轴上表示正确的是( )
    A.B.
    C.D.
    5.(3分)如图,将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放,设∠1=30°,那么∠2=( )
    A.55°B.65°C.75°D.85°
    6.(3分)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=﹣ax+b与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象是( )
    A.B.
    C.D.
    二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
    7.(3分)因式分解8x2﹣2y2= .
    8.(3分)已知一粒大米的质量为0.000021千克,把0.000021用科学记数法表示为 .
    9.(3分)已知菱形的两条对角线分别是一元二次方程x2﹣14x+48=0的两个实数根,则该菱形的面积是 .
    10.(3分)《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ABC).“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放,可测量物体的高度如图,点A,B,Q在同一水平线上,∠ABC和∠AQP均为直角,AP与BC相交于点D.测得AB=40cm,BD=20cm,AQ=14m,则树高PQ= m.
    11.(3分)如图,D为等边△ABC的AB边的中点,点P是BC上的一个动点,连接DP,将△DBP沿DP翻折,得到△DEP,连接AE,若∠BAE=40°,则∠BDP的度数为 .
    12.(3分)如图,在△ABC中,AB=BC=6,AO=BO,P是射线CO上的一个动点,∠AOC=60°,则当△PAB为直角三角形时,AP的长为 .
    三、解答题(本大题共5个小题,每小题6分,共30分.)
    13.(6分)(1)计算:;
    (2)解分式方程:.
    14.(6分)如图,点D是△ABC边AC的上一点,且∠ABD=∠C.
    (1)求证:△ABD∽△ACB;
    (2)如果AD=1,AC=4,求AB的值.
    15.(6分)在▱ABCD中,AD=2AB,∠B=60°,E、F分别为边AD、BC的中点.请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图(保留画图痕迹).
    (1)在图中画一个以点A、点C为顶点的菱形.
    (2)在图中画一个以点B、点C为顶点的矩形.
    16.(6分)以下是某同学化简分式(﹣)÷的部分运算过程:
    (1)上面的运算过程中第 步出现了错误;
    (2)请你写出完整的解答过程.
    17.(6分)甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统,是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉,小明在了解了甲骨文后,制作了如图所示的四张卡片(这四张卡片分别用字母A,B,C,D表示,正面文字依次是文、明、自、由,这四张卡片除正面内容不同外,其余均相同),现将四张卡片背面朝上,洗匀放好.
    (1)小明从中随机抽取一张卡片,抽取卡片上的文字是“文”的概率为 .
    (2)小明从中随机抽取一张卡片不放回,小亮再从中随机抽取一张卡片,请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率.
    四、解答题(本大题共3个小题,每小题8分,共24分.)
    18.(8分)已知A(2,m)是双曲线上的一点,B点是双曲线上的一点,B点的横坐标为﹣3,AB∥x轴,且P是x轴负半轴上的一点.
    (1)求C2的函数关系式;
    (2)△PAB的面积是 ;
    (3)若△PAB是等腰三角形,直接写出P的坐标.
    19.(8分)如图①,某款线上教学设备由底座,支撑臂AB,连杆BC,悬臂CD和安装在D处的摄像头组成.如图②是该款设备放置在水平桌面上的示意图.已知支撑臂AB⊥l,AB=18cm,BC=40cm,CD=44cm,固定∠ABC=148°,可通过调试悬臂CD与连杆BC的夹角提高拍摄效果.
    (1)问悬臂端点C到桌面l的距离约为多少?
    (2)已知摄像头点D到桌面l的距离为30cm时拍摄效果较好,那么此时悬臂CD与连杆BC的夹角∠BCD的度数约为多少?(参考数据:sin58°≈0.85,cs58°≈0.53,tan58°≈1.60 )
    20.(8分)如图,AB是⊙O的直径,射线BC交⊙O于点D,E是劣弧AD上一点,且=,过点E作EF⊥BC于点F,延长FE和BA的延长线交于点G.
    (1)证明:GF是⊙O的切线;
    (2)若AG=6,GE=6,求⊙O的半径.
    五、解答题(本大题共2个小题,每小题9分,共18分)
    21.(9分)为了进一步了解某校八年级学生的身体素质情况,体育老师抽测了该校八年级(1)班50名学生一分钟的跳绳次数,以测试数据为样本,绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图,图表如下所示:请结合图表完成下列问题:
    (1)本次调查为 (填全面调查或抽样调查),样本容量为 ;
    (2)a= ;并把频数分布直方图补充完整;
    (3)若在一分钟内跳绳次数少于120次的为测试不合格,则该校八年级共1000人中,一分钟跳绳不合格的人数大约有多少?
    22.(9分)定义:若两条抛物线的顶点关于原点对称,二次函数的二次项系数互为负倒数,这样的两条抛物线称之为“共生抛物线”,如抛物线y=0.5x2与y=﹣2x2是共生抛物线,已知抛物线的顶点是点P,它的共生抛物线C2的顶点是Q.
    (1)点P的坐标是 ,点Q的坐标是 ,抛物线C2的函数关系式是 .
    (2)直线y=m与抛物线C1、C2均有两个交点,这些交点从左到右分别是A、B、C、D.
    ①求m的取值范围 ;
    ②若AB=CD,求m的值.
    六、解答题(本大题共12分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
    23.(12分)【问题背景】
    人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下:如图,正方形ABCD的对角线相交于点O,点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点,而且这两个正方形的边长相等,无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动,两个正方形重叠部分的面积,总等于一个正方形面积的.想一想,这是为什么?(此问题不需要作答)
    九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下:正方形ABCD的对角线相交于点O,点P落在线段OC上,=k(k为常数).
    【特例证明】
    (1)如图1,将Rt△PEF的直角顶点P与点O重合,两直角边分别与边AB,BC相交于点M,N.
    ①填空:k= ;
    ②求证:PM=PN.(提示:借鉴解决【问题背景】的思路和方法,可直接证明△PAM≌△PBN;也可过点P分别作AB,BC的垂线构造全等三角形证明.请选择其中一种方法解答问题②.)
    【类比探究】
    (2)如图2,将图1中的△PEF沿OC方向平移,判断PM与PN的数量关系(用含k的式子表示),并说明理由.
    【拓展运用】
    (3)如图3,点N在边BC上,∠BPN=45°,延长NP交边CD于点E,若EN=kPN,求k的值.
    2024年江西省九江十一中中考数学一模试卷
    参考答案与试题解析
    一、选择题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
    1.(3分)﹣的倒数是( )
    A.﹣B.C.﹣3D.3
    【分析】乘积是1的两数互为倒数.
    【解答】解:﹣的倒数是﹣3.
    故选:C.
    2.(3分)下列计算正确的是( )
    A.m2•m3=m6B.﹣(m﹣n)=﹣m+n
    C.m(m+n)=m2+nD.(m+n)2=m2+n2
    【分析】根据同底数幂的乘法判断A选项;根据去括号法则判断B选项;根据单项式乘多项式判断C选项;根据完全平方公式判断D选项.
    【解答】解:A选项,原式=m5,故该选项不符合题意;
    B选项,原式=﹣m+n,故该选项符合题意;
    C选项,原式=m2+mn,故该选项不符合题意;
    D选项,原式=m2+2mn+n2,故该选项不符合题意;
    故选:B.
    3.(3分)下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
    A.B.C.D.
    【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可.
    【解答】解:A.该图形是中心对称图形,不是轴对称图形,故本选项不符合题意;
    B.该图形是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不符合题意;
    C.该图形既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故本选项不符合题意;
    D.该图形既是轴对称图形,也是中心对称图形,故本选项符合题意.
    故选:D.
    4.(3分)已知点A(1﹣2x,x﹣1)在第二象限,则x的取值范围在数轴上表示正确的是( )
    A.B.
    C.D.
    【分析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.
    【解答】解:根据题意,得:,
    解不等式①,得:x>,
    解不等式②,得:x>1,
    不等式组的解集为x>1,
    故选:B.
    5.(3分)如图,将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放,设∠1=30°,那么∠2=( )
    A.55°B.65°C.75°D.85°
    【分析】根据等腰直角三角形的性质求出∠FHE=45°,求出∠NHB=∠FHE=45°,根据三角形内角和定理求出∠HNB=105°,根据平行四边形的性质得出CD∥AB,根据平行线的性质得出∠2+∠HNB=180°,再求出答案即可.
    【解答】解:延长EH交AB于N,
    ∵△EFH是等腰直角三角形,
    ∴∠FHE=45°,
    ∴∠NHB=∠FHE=45°,
    ∵∠1=30°,
    ∴∠HNB=180°﹣∠1﹣∠NHB=105°,
    ∵四边形ABCD是平行四边形,
    ∴CD∥AB,
    ∴∠2+∠HNB=180°,
    ∴∠2=75°,
    故选:C.
    6.(3分)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=﹣ax+b与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象是( )
    A.B.
    C.D.
    【分析】由抛物线开口方向,对称轴位置及抛物线与y轴交点位置判断a,b,c的符号,从而可得直线与反比例函数图象的大致图象.
    【解答】解:∵抛物线开口向上,
    ∴a>0,
    ∵抛物线对称轴在y轴左侧,
    ∴b>0,
    ∵抛物线与y轴交点在x轴下方,
    ∴c<0,
    ∴直线y=﹣ax+b经过第一,二,四象限,反比例函数y=图象分布在第二、四象限,
    故选:A.
    二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
    7.(3分)因式分解8x2﹣2y2= 2(2x+y)(2x﹣y) .
    【分析】此多项式有公因式,应先提取公因式,再对余下的多项式进行观察,有2项,可采用平方差公式继续分解.
    【解答】解:8x2﹣2y2
    =2(4x2﹣y2)
    =2(2x+y)(2x﹣y).
    故答案为:2(2x+y)(2x﹣y).
    8.(3分)已知一粒大米的质量为0.000021千克,把0.000021用科学记数法表示为 2.1×10﹣5 .
    【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10﹣n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
    【解答】解:0.000021用科学记数法可表示为2.1×10﹣5.
    故本题答案为:2.1×10﹣5.
    9.(3分)已知菱形的两条对角线分别是一元二次方程x2﹣14x+48=0的两个实数根,则该菱形的面积是 24 .
    【分析】根据一元二次方程的解法即可求出对角线的长,然后利菱形的面积即可求出答案.
    【解答】解:∵x2﹣14x+48=0,
    ∴x=6或x=8,
    ∴该菱形的对角线长分别为6或8,
    ∴菱形的面积=,
    故答案为:24.
    10.(3分)《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ABC).“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放,可测量物体的高度如图,点A,B,Q在同一水平线上,∠ABC和∠AQP均为直角,AP与BC相交于点D.测得AB=40cm,BD=20cm,AQ=14m,则树高PQ= 7 m.
    【分析】根据题意可得△ABD∽△AQP,然后由相似三角形的性质,即可求解.
    【解答】解:∵∠ABC和∠AQP均为直角,
    ∴BD∥PQ,
    ∴△ABD∽△AQP,
    ∴,
    ∵AB=40cm=0.4m,BD=20cm=0.2m,AQ=14m,
    ∴.
    故答案为:7.
    11.(3分)如图,D为等边△ABC的AB边的中点,点P是BC上的一个动点,连接DP,将△DBP沿DP翻折,得到△DEP,连接AE,若∠BAE=40°,则∠BDP的度数为 40° .
    【分析】根据等边三角形的性质及翻折的性质即可求解.
    【解答】解:∵D为等边△ABC的AB边的中点,
    ∴AD=BD,∠B=60°,
    将△DBP沿DP翻折,得到△DEP,
    ∴BD=DE=AD,∠BDP=∠PDE,
    ∴∠BAE=∠AED=40°,
    ∴∠BDE=80°,
    ∴.
    故答案为:40°.
    12.(3分)如图,在△ABC中,AB=BC=6,AO=BO,P是射线CO上的一个动点,∠AOC=60°,则当△PAB为直角三角形时,AP的长为 3或3或3 .
    【分析】利用分类讨论,当∠ABP=90°时,如图2,由对顶角的性质可得∠AOC=∠BOP=60°,易得∠BPO=30°,易得BP的长,利用勾股定理可得AP的长;当∠APB=90°时,分两种情况讨论,情况一:如图1,利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出PO=BO,易得△BOP为等边三角形,利用锐角三角函数可得AP的长;易得BP,利用勾股定理可得AP的长;情况二:如图3,利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得结论.
    【解答】解:当∠APB=90°时(如图1),
    ∵AO=BO,
    ∴PO=BO,
    ∵∠AOC=60°,
    ∴∠BOP=60°,
    ∴△BOP为等边三角形,
    ∵AB=BC=6,
    ∴AP=AB•sin60°=6×=3;
    当∠ABP=90°时(如图2),
    ∵∠AOC=∠BOP=60°,
    ∴∠BPO=30°,
    ∴BP===3,
    在直角三角形ABP中,
    AP==3;
    如图3,∵AO=BO,∠APB=90°,
    ∴PO=AO,
    ∵∠AOC=60°,
    ∴△AOP为等边三角形,
    ∴AP=AO=3,
    故答案为3或3或3.
    三、解答题(本大题共5个小题,每小题6分,共30分.)
    13.(6分)(1)计算:;
    (2)解分式方程:.
    【分析】(1)依次化简每一项,再进行加减运算;
    (2)先去分母,再解一元整式方程,最后要检验.
    【解答】解:(1)原式=1﹣2+4+1
    =4;
    (2),
    3x=x+3(x+1),
    3x=x+3x+3,
    解得:x=﹣3,
    经检验:x=﹣3是方程的解
    ∴原方程的解为:x=﹣3.
    14.(6分)如图,点D是△ABC边AC的上一点,且∠ABD=∠C.
    (1)求证:△ABD∽△ACB;
    (2)如果AD=1,AC=4,求AB的值.
    【分析】(1)由∠A=∠A,∠ABD=∠C即可证明相似;
    (2)由相似三角形的对应边成比例,代入数据即可求解.
    【解答】(1)证明:∵∠A=∠A,∠ABD=∠C,
    ∴△ABD∽△ACB;
    (2)解:∵△ABD∽△ACB,
    ∴,
    ∵AD=1,AC=4,
    ∴,
    解得:AB=2(负值舍去).
    15.(6分)在▱ABCD中,AD=2AB,∠B=60°,E、F分别为边AD、BC的中点.请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图(保留画图痕迹).
    (1)在图中画一个以点A、点C为顶点的菱形.
    (2)在图中画一个以点B、点C为顶点的矩形.
    【分析】(1)根据四边相等的四边形是菱形,连接AF,EC即可解决问题.
    (2)根据菱形的中点四边形是矩形,画出图形即可.
    【解答】解:(1)如图中,菱形AFCE即为所求.
    (2)如图中,矩形BECG即为所求.
    解法二:延长AF交DC的延长线于T,连接BT,四边形ABTC即为所求作.
    16.(6分)以下是某同学化简分式(﹣)÷的部分运算过程:
    (1)上面的运算过程中第 ③ 步出现了错误;
    (2)请你写出完整的解答过程.
    【分析】根据分式的运算法则:先乘方,再加减,最后乘除,有括号先算括号里面的计算即可.
    【解答】解:(1)第③步出现错误,原因是分子相减时未变号,
    故答案为:③;
    (2)原式=[﹣]×,
    =[﹣]×,
    =×,
    =×,
    =.
    故答案为:.
    17.(6分)甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统,是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉,小明在了解了甲骨文后,制作了如图所示的四张卡片(这四张卡片分别用字母A,B,C,D表示,正面文字依次是文、明、自、由,这四张卡片除正面内容不同外,其余均相同),现将四张卡片背面朝上,洗匀放好.
    (1)小明从中随机抽取一张卡片,抽取卡片上的文字是“文”的概率为 .
    (2)小明从中随机抽取一张卡片不放回,小亮再从中随机抽取一张卡片,请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率.
    【分析】(1)直接利用概率公式计算即可;
    (2)通过画树状图,可得共有12种等可能结果,其中,两名同学抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果有2种,再根据概率公式求解即可.
    【解答】解:(1)通过卡片上的字,可以看到是轴对称图形的为“文”,
    ∴卡片上的字是轴对称图形的概率为,
    故答案为:;
    (2)画树状图如解图,

    由树状图知,共有12种等可能的结果,两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果有2种,
    则两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率为=.
    四、解答题(本大题共3个小题,每小题8分,共24分.)
    18.(8分)已知A(2,m)是双曲线上的一点,B点是双曲线上的一点,B点的横坐标为﹣3,AB∥x轴,且P是x轴负半轴上的一点.
    (1)求C2的函数关系式;
    (2)△PAB的面积是 ;
    (3)若△PAB是等腰三角形,直接写出P的坐标.
    【分析】(1)先求点A坐标,再由AB∥x轴,求出点B坐标,进而即可求解;
    (2)直接使用三角形面积公式计算即可;
    (3)设点P坐标,表示出三条边,分类讨论,建立方程,解方程即可.
    【解答】解:(1)A(2,m)是双曲线上的一点,
    ∴将A代入得:,
    ∴A(2,3),
    ∵AB∥x轴,
    ∴yB=yA=3,
    ∴B(﹣3,3),
    将其代入得:k=﹣9,
    ∴C2的解析式为:;
    (2)S△PAB==×5×3=,
    故答案为:.
    (3)设点P(m,0),则AB=5,,,
    当△ABP是等腰三角形时:
    ①AB=BP,则(m+3)2+32=25,
    解得m=1或m=﹣7,
    ∴P(1,0)或P(﹣7,0);
    ②AB=AP,则(m﹣2)2+32=25,
    解得m=6或m=﹣4,
    ∴P(6,0)或P(﹣4,0);
    ③PA=PB时,则(m+3)2+32=(m﹣2)2+32,
    解得,
    ∴.
    综上所述:P(1,0)或P(﹣7,0)P(6,0)或P(﹣4,0)或.
    19.(8分)如图①,某款线上教学设备由底座,支撑臂AB,连杆BC,悬臂CD和安装在D处的摄像头组成.如图②是该款设备放置在水平桌面上的示意图.已知支撑臂AB⊥l,AB=18cm,BC=40cm,CD=44cm,固定∠ABC=148°,可通过调试悬臂CD与连杆BC的夹角提高拍摄效果.
    (1)问悬臂端点C到桌面l的距离约为多少?
    (2)已知摄像头点D到桌面l的距离为30cm时拍摄效果较好,那么此时悬臂CD与连杆BC的夹角∠BCD的度数约为多少?(参考数据:sin58°≈0.85,cs58°≈0.53,tan58°≈1.60 )
    【分析】(1)过点C作CF⊥l,垂足为F,过点B作BN⊥CF,垂足为N,过点D作DM⊥CF,垂足为M,设DM与BC交于点G,根据题意可得FN=AB=18cm,BN=AF,DM=EF,DE=MF,∠ABN=90°,DM∥BN,从而求出∠CBN=58°,进而求出∠CDM=∠CGM﹣∠DCB=30°,然后先在Rt△CBN中,利用锐角三角函数的定义求出BN,CN的长,进行计算即可解答.
    (2)过点D作DM⊥CF,垂足为M,设DM与BC交于点G,则FN=AB=18cm,BN=AF,DM=EF,DE=MF,∠ABN=90°,DM∥l,求得CM,再算出∠CDM=30°,∠DCM=60°,得出∠BCD=∠DCM﹣∠BCN=60°﹣32°=28°.
    【解答】解:(1)过点C作CF⊥l,垂足为F,过点B作BN⊥CF,垂足为N,过点D作DM⊥CF,垂足为M,设DM与BC交于点G,
    则FN=AB=18cm,BN=AF,DM=EF,DE=MF,∠ABN=90°,DM∥l,
    ∵∠ABC=148°,
    ∴∠CBN=∠ABC﹣∠ABN=148°﹣90°=58°,
    在Rt△CBN中,BC=40cm,
    ∴CN=30•sin58°≈40×0.85=34(cm),
    ∴CF=CN+NF=34+18=52,
    ∴悬臂端点C到桌面l的距离约为52cm.
    (2)过点D作DM⊥CF,垂足为M,设DM与BC交于点G,
    则FN=AB=18cm,BN=AF,DM=EF,DE=MF,∠ABN=90°,DM∥l,
    ∵摄像头点D到桌面l的距离为30cm,
    ∴MF=30cm,
    ∴CM=CF﹣MF=52﹣30=22cm,
    在Rt△CDM中,CD=44cm,CM=22cm,
    ∴sin∠CDM=,
    ∴∠CDM=30°,∠DCM=60°,
    在Rt△CBN中,∠CBN=58°,
    ∴∠BCN=32°,
    ∴∠BCD=∠DCM﹣∠BCN=60°﹣32°=28°.
    20.(8分)如图,AB是⊙O的直径,射线BC交⊙O于点D,E是劣弧AD上一点,且=,过点E作EF⊥BC于点F,延长FE和BA的延长线交于点G.
    (1)证明:GF是⊙O的切线;
    (2)若AG=6,GE=6,求⊙O的半径.
    【分析】(1)连接OE,由=知∠1=∠2,由∠2=∠3可证OE∥BF,根据BF⊥GF得OE⊥GF,得证;
    (2)设OA=OE=r,在Rt△GOE中由勾股定理求得r=3.
    【解答】解:(1)如图,连接OE,
    ∵=,
    ∴∠1=∠2,
    ∵∠2=∠3,
    ∴∠1=∠3,
    ∴OE∥BF,
    ∵BF⊥GF,
    ∴OE⊥GF,
    ∴GF是⊙O的切线;
    (2)设OA=OE=r,
    在Rt△GOE中,∵AG=6,GE=6,
    ∴由OG2=GE2+OE2可得(6+r)2=(6)2+r2,
    解得:r=3,
    故⊙O的半径为3.
    五、解答题(本大题共2个小题,每小题9分,共18分)
    21.(9分)为了进一步了解某校八年级学生的身体素质情况,体育老师抽测了该校八年级(1)班50名学生一分钟的跳绳次数,以测试数据为样本,绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图,图表如下所示:请结合图表完成下列问题:
    (1)本次调查为 抽样调查 (填全面调查或抽样调查),样本容量为 50 ;
    (2)a= 12 ;并把频数分布直方图补充完整;
    (3)若在一分钟内跳绳次数少于120次的为测试不合格,则该校八年级共1000人中,一分钟跳绳不合格的人数大约有多少?
    【分析】(1)根据题意得本次调查为抽样调查,样本为该校八年级(1)班50名学生一分钟的跳绳次数,样本容量为50,即可求出答案;
    (2)根据a的值,即可将直方图补充完整;
    (3)从表格中可以知道在一分钟内跳绳次数少于120次的有两个小组,共6+8=14人,然后除以总人数即可求出该校八年级(1)班学生进行一分钟跳绳不合格率,然后即可得出人数;
    【解答】解:(1)本次调查为抽样调查,样本为该校八年级(1)班50名学生一分钟的跳绳次数,样本容量为50,
    故答案为:抽样调查,50;
    (2)a=50﹣(6+8+18+6)=12;
    频数分布直方图如图所示:
    故答案为:12;
    (3)1000×=280(人),
    答:一分钟跳绳不合格的人数大约为280人.
    22.(9分)定义:若两条抛物线的顶点关于原点对称,二次函数的二次项系数互为负倒数,这样的两条抛物线称之为“共生抛物线”,如抛物线y=0.5x2与y=﹣2x2是共生抛物线,已知抛物线的顶点是点P,它的共生抛物线C2的顶点是Q.
    (1)点P的坐标是 (﹣2,1) ,点Q的坐标是 (2,﹣1) ,抛物线C2的函数关系式是 .
    (2)直线y=m与抛物线C1、C2均有两个交点,这些交点从左到右分别是A、B、C、D.
    ①求m的取值范围 m>﹣1 ;
    ②若AB=CD,求m的值.
    【分析】(1)根据共生抛物线的定义,可以得到C2顶点坐标和解析式;
    (2)找出临界状态,即与两条抛物线相切时,利用Δ=0,求出此时m的值,即可求出4个交点m的取值范围;
    (3)采取“化斜为直”的思想,将斜线段转化为直线段的处理,利用一元二次方程根与系数的关系即可求解.
    【解答】解:(1)抛物线的顶点是点P,
    ∴P(﹣2,1),
    ∵C1、C2是共生抛物线,
    ∴Q(2,﹣1),
    由于共生抛物线二次项系数互为负倒数,
    ∴C2中的,
    ∴,
    故答案为:(﹣2,1),(2,﹣1),.
    (2)①如图,当直线y=m与抛物线C1、C2均相切时,
    有,
    整理的:2x2+8x+5﹣3m=0,
    由Δ=0得:64﹣8(5﹣3m)=0,
    解得m=﹣1;

    整理得:3x2﹣12x+10﹣2m=0,
    由Δ=0得:144﹣12(10﹣2m)=0,
    解得m=﹣1;
    当直线y=m绕点O顺时针旋转即有4个交点,此时m>﹣1.
    ②设点A、B横坐标分别为x1,x2,C、D横坐标分别为x3,x4,
    由AB=CD得:|x1﹣x2|=|x3﹣x4|,
    ∴,
    联立,
    整理得:2x2+8x+5﹣3m=0,
    ∴,

    整理得:3x2﹣12x+10﹣2m=0,
    ∴,
    ∴,
    解得:m=﹣1.
    六、解答题(本大题共12分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
    23.(12分)【问题背景】
    人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下:如图,正方形ABCD的对角线相交于点O,点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点,而且这两个正方形的边长相等,无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动,两个正方形重叠部分的面积,总等于一个正方形面积的.想一想,这是为什么?(此问题不需要作答)
    九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下:正方形ABCD的对角线相交于点O,点P落在线段OC上,=k(k为常数).
    【特例证明】
    (1)如图1,将Rt△PEF的直角顶点P与点O重合,两直角边分别与边AB,BC相交于点M,N.
    ①填空:k= 1 ;
    ②求证:PM=PN.(提示:借鉴解决【问题背景】的思路和方法,可直接证明△PAM≌△PBN;也可过点P分别作AB,BC的垂线构造全等三角形证明.请选择其中一种方法解答问题②.)
    【类比探究】
    (2)如图2,将图1中的△PEF沿OC方向平移,判断PM与PN的数量关系(用含k的式子表示),并说明理由.
    【拓展运用】
    (3)如图3,点N在边BC上,∠BPN=45°,延长NP交边CD于点E,若EN=kPN,求k的值.
    【分析】(1)①利用正方形性质即可得出答案;
    ②方法一:利用ASA证明△PAM≌△PBN即可;方法二:过点P分别作PG⊥AB于G,PH⊥BC于H,利用ASA证明△PMG≌△PNH即可;
    (2)方法一:过点P作PG∥BD交BC于G,证明△PAM∽△PGN,利用相似三角形性质即可得出答案;方法二:过点P分别作PG⊥AB于G,PH⊥BC于H,证明△APG∽△CPH,可得=,再证得△PMG∽△PNH,即证得结论;
    (3)过点P作PM⊥PN交AB于M,作PH⊥BC于H,作PG⊥AB于G,利用AAS证得△PGM≌△ECN,可得:GM=CN,PG=EC,再证得△BPN∽△BCP,可得PB2=BC•BN,同理可得:PB2=BA•BM,推出EC=2CN,进而可得tan∠ENC===2,令HN=a,则PH=2a,CN=3a,EC=6a,利用勾股定理即可求得答案.
    【解答】(1)①解:∵将Rt△PEF的直角顶点P与点O重合,
    ∴k===1,
    故答案为:1;
    ②证明:
    方法一:∵四边形ABCD是正方形,
    ∴∠APB=∠MPN=90°,∠PAB=∠PBC=45°,PA=PB,
    ∴∠APB﹣∠BPM=∠MPN﹣∠BPM,
    即∠APM=∠BPN,
    ∴△PAM≌△PBN(ASA),
    ∴PM=PN.
    方法二:过点P分别作PG⊥AB于G,PH⊥BC于H,如图1,
    则∠PGM=∠PHN=90°,
    ∵四边形ABCD是正方形,
    ∴∠ABC=90°,BD平分∠ABC,
    ∴PG=PH,∠HPG=90°,
    ∴∠MPN﹣∠GPN=∠GPH﹣∠GPN,
    即∠MPG=∠NPH,
    ∴△PMG≌△PNH(ASA),
    ∴PM=PN.
    (2)解:=k.理由如下:
    方法一:过点P作PG∥BD交BC于G,如图2(i),
    ∴∠AOB=∠APG,∠PGC=∠OBC,
    ∵四边形ABCD是正方形,
    ∴∠PAM=∠OCB=∠OBC=45°,∠AOB=90°,
    ∴∠APG=∠MPN=∠AOB=90°,∠PGC=∠PCG=∠PAM,
    ∴PG=PC,
    ∠APG﹣∠MPG=∠MPN﹣∠MPG,
    即∠APM=∠GPN,
    ∴△PAM∽△PGN,
    ∴==k.
    方法二:过点P分别作PG⊥AB于G,PH⊥BC于H,如图2(ii),
    则∠PGM=∠PGB=∠PHN=90°,
    ∵四边形ABCD是正方形,
    ∴∠BAC=∠BCA=45°,∠ABC=90°,
    ∵∠PGA=∠CHP=90°,
    ∴△APG∽△CPH,
    ∴=,
    ∵∠GPH=∠MPN=90°,
    ∴∠MPN﹣∠GPN=∠GPH﹣∠GPN,
    即∠MPG=∠NPH,
    ∴△PMG∽△PNH,
    ∴===k.
    (3)过点P作PM⊥PN交AB于M,作PH⊥BC于H,作PG⊥AB于G,如图3,
    则∠MPN=∠GPH=∠PGM=∠ECN=90°,
    ∴∠MPN﹣∠GPN=∠GPH﹣∠GPN,
    即∠MPG=∠NPH,
    ∴∠PMG=∠PNH,
    由(2)和已知条件可得:PM=kPN,EN=kPN,
    ∴PM=EN,
    ∴△PGM≌△ECN(AAS),
    ∴GM=CN,PG=EC,
    ∵∠BPN=∠PCB=45°,∠PBN=∠CBP,
    ∴△BPN∽△BCP,
    ∴=,
    ∴PB2=BC•BN,
    同理可得:PB2=BA•BM,
    ∵BC=BA,
    ∴BM=BN,
    ∴AM=CN,
    ∴AG=2CN,
    ∵∠PAB=45°,
    ∴PG=AG,
    ∴EC=2CN,
    ∴tan∠ENC===2,
    令HN=a,则PH=2a,CN=3a,EC=6a,
    ∴EN==3a,
    PN==a,
    ∴k===3.
    解:原式=[﹣]×①
    =[﹣]×②
    =×③

    解:
    组别
    次数x
    频数(人数)
    第1组
    80≤x<100
    6
    第2组
    100≤x<120
    8
    第3组
    120≤x<140
    a
    第4组
    140≤x<160
    18
    第5组
    160≤x<180
    6
    解:原式=[﹣]×①
    =[﹣]×②
    =×③

    解:
    组别
    次数x
    频数(人数)
    第1组
    80≤x<100
    6
    第2组
    100≤x<120
    8
    第3组
    120≤x<140
    a
    第4组
    140≤x<160
    18
    第5组
    160≤x<180
    6
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