2023年江西省九江市汪墩中学四校联考中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2023年江西省九江市汪墩中学四校联考中考数学一模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列各数中，绝对值最小的数为( )
A. 13B. π0C. −2−1D. −1
2. 下列语句正确的是( )
A. 125216的立方根是±56B. −3是27的负的立方根
C. 64的立方根是2D. (−1)2的立方根是−1
3. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
4. 如图是由五个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
5. 下列计算结果正确的是( )
A. 3x4+x2=5x6B. x8÷x4=x2C. (−2x3)3=−6x9D. 3x3⋅2x=6x4
6. 如图，△CMD的位置经过怎样的运动和△AMB重合( )
A. 沿BD翻折
B. 平移
C. 绕点M旋转90°
D. 绕点M旋转180°
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
7. 若m、n互为相反数，p、q互为倒数，则−2023m+3pq−2023n的值是______．
8. 有四张正面分别标有数字1、2、3、4的卡片，它们除数字外完全相同，将四张卡片背面朝上，洗匀后随机抽取两张，取出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率是______ ．
9. 已知(k−1)x|k|+3=0是关于x的一元一次方程，则k值为 ．
10. 如图，小兰想测量南塔的高度，她在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为45°，那么塔高为______m.
11. 如图，△ABC为等腰三角形，D是底边BC上一点，DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，若BC=16，AB=AC=10，点A到BC的距离为6，则DM+DN=______．
12. 如图，等边△OAB，点B在x轴正半轴上，S△OAB=2 3，若反比例函数y=kx(k≠0)图象的一支经过点A，则k的值是 ．
三、解答题（本大题共11小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13. (本小题8.0分)
计算下列各题．
(1)| 5−3|+(12)−2×(π− 2)0− 9+(−1)2021；
(2)分解因式：−3x3−3xy2−6x2y.
14. (本小题8.0分)
随着地球上的水资源日益枯竭，各级政府越来越重视倡导节约用水.西安市某区市民的生活用水按“阶梯水价”方式进行收费，该地生活用水的费用y(元)与人均生活用水的质量x(吨)之间的关系如图所示.请根据图象信息，回答下列问题：
(1)当人均月生活用水不超过5吨时，每吨按 元收取费用；
(2)当用水量超过5吨时，求生活用水的费用y(元)与人均月生活用水的质量x(吨)之间的函数关系式；
(3)在该地居住的赵叔叔上个月缴水费30.4元，他上个月用了多少吨水？
15. (本小题8.0分)
小蕾有某文学名著上册、中册、下册各1册，她随机将它们叠放在一起，求从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率．
16. (本小题8.0分)
如图所示的是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心，支架CD与水平线AE垂直，AB=154cm，∠A=30°，另一根辅助支架DE=78cm，∠E=60°．
(1)求CD的长度．(结果保留根号)
(2)求OD的长度．(结果保留一位小数．参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)
17. (本小题8.0分)
如图正六边形ABCDEF，请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图(保留作图痕迹)．
(1)请在图(1)中对角线BE上作一点M，使得BC=2BM；
(2)请在图(2)中BC边上作一点P，使得BC=3BP．
18. (本小题8.0分)
为了响应市政府号召，某校开展了“六城同创与我同行”活动周，活动周设置了“A：文明礼仪，B：生态环境，C：交通安全，D：卫生保洁”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图．
(1)本次随机调查的学生人数是______人；
(2)请你补全条形统计图；
(3)在扇形统计图中，“B”所在扇形的圆心角等于______度；
(4)小明和小华各自随机参加其中的一个主题活动，请用画树状图或列表的方式求他们恰好选中同一个主题活动的概率．
19. (本小题8.0分)
如图CD是⊙O直径，A是⊙O上异于C，D的一点，点B是DC延长线上一点，连AB、AC、AD，且∠BAC=∠ADB．
(1)求证：直线AB是⊙O的切线；
(2)若BC=2OC，作∠CAD的平分线AP交⊙O于P，交CD于E，连接PC、PD，若AB=2 6，求AE⋅AP的值．
20. (本小题8.0分)
如图，已知反比例函数y=m−8x(x>0)的图象经过A，B两点，直线AB与x轴交于点C，且点A(1,6)，AB=2BC．
(1)求m的值；
(2)求点C的坐标；
(3)将直线AB向上平移k个单位(k>0)，与反比例函数y=m−8x(x>0)的图象交于点A′，B′(A′位于B′上方)，与x轴交于点C′，若A′C′=12B′C′，求k的值．
21. (本小题8.0分)
永佳超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
22. (本小题8.0分)
如图1，在正方形ABCD中，O是对角线的交点，P是线段AO上任一点(不与点A，O重合)，过点P作PE⊥PB，PE交边CD于点E．
(1)∠PCE的度数为______．
(2)求证：PB=PE．
(3)如图2，若正方形ABCD的边长为4，过点E作EF⊥AC于点F，在点P运动的过程中，PF的长度是否发生变化？若不发生变化，直接写出这个不变的值；若发生变化，请说明理由．
23. (本小题8.0分)
如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A(1,0)，B(−5,0)两点，与y轴交于点C.P是抛物线上的任意一点(不与点C重合)，点P的横坐标为m，抛物线上点C与点P之间的部分(包含端点)记为图象G．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当m符合什么条件时，图象G的最大值与最小值的差为4？
(3)将线段AB先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段A′B′.若抛物线y=−x2+bx+c平移后与线段A′B′有两个交点，且这两个交点恰好将线段A′B′三等分，求抛物线平移的最短路程；
(4)当m16，
∴赵叔叔上个月用水超过5吨，
∴当y=30.4时，245x−8=30.4，
解得x=8，
答：赵叔叔上个月用了8吨水．
(1)观察图象，不超过5吨，每吨按16÷5=3.2元收取；
(2)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，用待定系数法求函数解析式；
(3)把y=30.4代入(2)中解析式求出x即可．
此题考查一次函数的实际运用，结根据题意得出函数解析式是解题的关键．
15.【答案】解：画树状图为：
共有6种等可能的结果数，顺序恰好为“上册、中册、下册”的结果有1种，
所以从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是16．
【解析】画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出顺序恰好为“上册、中册、下册”的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
16.【答案】解：(1)∵DE=78cm，∠CED=60°，
∴sin60°=CDDE=CD78，
∴CD=39 3cm；
(2)设水箱半径OD的长度为x厘米，则CO=(39 3+x)厘米，AO=(154+x)厘米，
∵∠BAC=30°，
∴CO=12AO，
39 3+x=12(154+x)，
解得：x≈18.9．
∴OD=18.9cm．
【解析】(1)首先弄清题意，了解每条线段的长度与线段之间的关系，在△CDE中利用三角函数sin60°=CDDE，求出CD的长．
(2)首先设出水箱半径OD的长度为x厘米，表示出CO，AO的长度，根据直角三角形的性质得到CO=12AO，再代入数计算即可得到答案．
本题考查解直角三角形、锐角三角函数、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
17.【答案】解：(1)如图，点M即为所求；
(2)如图，点P即为所求．

【解析】(1)连接AC交BE于点M，点M即为所求；
(2)连接BE，AC交于点T，连接FT，延长TF交BC于点P，点P即为所求．
本题考查作图−复杂作图，正多边形和圆等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型
18.【答案】解：(1)60
(2)60−15−18−9=18(人)，
补全条形统计图如图1所示：
(3)108
(4)画树状图如图2所示：
共有16个等可能的结果，
小明和小华恰好选中同一个主题活动的结果有4个，
∴小明和小华恰好选中同一个主题活动的概率=416=14．
【解析】
【分析】
本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；读懂题意，画出树状图是解题的关键．
(1)用“A”的频数除以所占比例即可得出答案；
(2)求出“C”的频数，补全条形统计图即可；
(3)用360°乘以“B”所占的比例即可；
(4)画出树状图，由概率公式即可得出结果．
【解答】
解：(1)本次随机调查的学生人数=15÷25%=60人；
故答案为：60；
(2)见答案；
(3)在扇形统计图中，“B”所在扇形的圆心角=360°×1860=108°，
故答案为：108；
(4)见答案．
19.【答案】(1)证明：连接OA，

∵CD是⊙O直径，
∴∠CAD=90°，则∠CAO+∠OAD=90°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADB，
又∠BAC=∠ADB，
∴∠CAO+∠BAC=90°，即∠BAO=90°，
∵OA是⊙O半径，
∴直线AB是⊙O的切线；
(2)解：设OC=OA=r，
∵BC=2OC，
∴BC=2r，OB=3r，
在Rt△BAO中，AB2+AO2=OB2，AB=2 6，
∴(2 6)2+r2=9r2，解得r= 3或r=− 3(舍去)，
∵∠B=∠B，∠BAC=∠ADB，
∴△BCA∽△BAD，
∴ACAD=BCBA=2 32 6= 22，则AD= 2AC，
在Rt△CAD中，CD2=AC2+AD2=3AC2=(2 3)2，
∴AC=2，AD=2 2，
∵AP平分∠CAD，
∴∠CAP=∠EAD，
又∠APC=∠ADE，
∴△CAP∽△EAD，
∴ACAE=APAD，
∴AE⋅AP=AC⋅AD=2×2 2=4 2．
【解析】(1)连接OA，先利用圆周角定理得到∠CAD=90°，再根据等腰三角形的性质结合已知可证得∠BAO=90°，然后根据切线的判定可证得结论；
(2)设OC=OA=r，根据勾股定理求出r= 3，再证明△BCA∽△BAD，然后利用相似三角形的性质得到AD= 2AC，再次利用勾股定理求得AC=2，AD=2 2，证明△CAP∽△EAD，得到AE⋅AP=AC⋅AD求解即可．
本题考查圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、角平分线的定义等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，会利用相似三角形的性质求解是解答的关键．
20.【答案】解：(1)∵反比例函数y=m−8x(x>0)的图象经过A(1,6)，
∴6=m−81，
解得m=14，
∴m的值为14；
(2)由(1)知，反比例函数解析式为y=6x，
过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，

∴∠ADC=∠BEC=90°，
又∵∠BCE=∠ACD，
∴△BCE∽△ACD，
∴BCAC=BEAD=CECD，
∵AB=2BC，
∴BCAC=13=BEAD=CECD，
又∵AD=6，
∴BE=2，
∴B点的纵坐标为2，
又∵B点在反比例函数y=6x上，
∴B(3,2)，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
代入A点、B点坐标得，
k+b=63k+b=2，
解得k=−2b=8，
∴直线AB的解析式为y=−2x+8，
当y=0时，x=4，
∴C(4,0)；
(3)过A′作A′D′⊥x轴于点D′，过点B′作B′E′⊥x轴于点E′，

同理(2)可证，△B′C′E′∽△A′C′D′，
∴B′C′A′C′=B′E′A′D′，
∵A′C′=12B′C′，
∴A′D′=12B′E′，
∵将直线AB向上平移k个单位(k>0)得到直线A′B′，
∴直线A′B′的解析式为y=−2x+8+k，
设A′(x1,6x1)，B′(x2,6x2)，
∴6x1=12×6x2，
即12x1=x2，①
由y=6xy=−2x+8+k得，2x2−(8+k)x+6=0，
∴x1x2=62=3，②
联立①②，解得x1=12x2=6或x1=−12x2=−6(舍去)，
∴A′(12,12)，
∵A′点在直线A′B′上，
∴12=−2×12+8+k，
解得k=5，
∴k的值为5．
【解析】(1)用待定系数法求m值即可；
(2)过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，证△BCE∽△ACD，根据线段比例关系得出B点的坐标，用待定系数法求出直线AB的解析式，即可确定C点的坐标；
(3)过A′作A′D′⊥x轴于点D′，过点B′作B′E′⊥x轴于点E′，写出将直线AB平移k个单位后的解析式，设出A′、B′点的坐标，同(2)证△B′C′E′∽△A′C′D′，根据比例关系求出x1和x2的关系，联立直线A′B′和反比例关系式根据韦达定理得出x1⋅x2的值，进而确定A′点的坐标，代入直线A′B′的解析式求出k的值即可．
本题主要考查反比例函数的性质和一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质和反比例函数的性质是解题的关键．
21.【答案】解：设每件商品应降价x元，则每件商品的销售利润为(40−x)元，平均每天的销售量为(20+2x)件，
依题意得：(40−x)(20+2x)=1200，
整理得：x2−30x+200=0，
解得：x1=10，x2=20．
∵要求每件盈利不少于25元，
∴x2=20应舍去，
故x=10为所求．
答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
【解析】设每件商品应降价x元，则每件商品的销售利润为(40−x)元，平均每天的销售量为(20+2x)件，根据每天的销售利润=每件的销售利润×平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合每件商品盈利不少于25元，即可确定x的值．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22.【答案】45°
【解析】(1)解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD=45°，
∵P是线段AO上任一点，点E在CD边上，
∴∠PCE=45°，
故答案为：45°；
(2)证明：如图1，过点P作MN//AD，交AB于点M，交CD于点N，

∵PB⊥PE，
∴∠BPE=90°，
∴∠MPB+∠EPN=90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠D=90°，
∵AD//MN，
∴∠BMP=∠BAD=∠PNE=∠D=90°，
∵∠MPB+∠MBP=90°，
∴∠EPN=∠MBP，
在Rt△PNC中，∠PCN=45°，
∴△PNC是等腰直角三角形，
∴PN=CN，
∵∠BMP=∠PNE=∠ABC=90°，
∴四边形BMNC是矩形，
∴BM=CN=PN，
∴△BMP≌△PNE(ASA)，
∴PB=PE；
(3)解：在P点运动的过程中，PF的长度不发生变化，PF=2 2，
理由：如图2，连接OB，

∵点O是正方形ABCD对角线AC的中点，
∴OB⊥AC，
∴∠AOB=90°，
∴∠AOB=∠EFP=90°，
∴∠OBP+∠BPO=90°，
∵PE⊥PB，
∴∠BPE=90°，
∴∠BPO+∠OPE=90°，
∴∠OBP=∠OPE，
由(1)得PB=PE，
∴△OBP≌△FPE(AAS)，
∴PF=OB，
∵AB=4，△ABO是等腰直角三角形，
∴OB=4 2=2 2，
∴PF的长为定值2 2．
(1)根据正方形的性质求解即可；
(2)作辅助线，构建全等三角形，利用正方形的性质，根据ASA证明△BMP≌△PNE可得结论；
(3)如图2，连接OB，通过证明△OBP≌△FPE，得PF=OB，则PF为定值是2 2．
本题是四边形综合题，考查了正方形性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的条件和性质进行有条理的思考和表达能力．利用条件构造三角形全等是解题的关键．本题涉及知识点较多，综合性很强，难度适中．
23.【答案】解：(1)将A(1,0)，B(−5,0)代入y=−x2+bx+c，
∴−1+b+c=0−25−5b+c=0，
解得b=−4c=5，
∴抛物线的解析式为y=−x2−4x+5；
(2)在y=−x2−4x+5中，令x=0，则y=5，
∴C(0,5)，
∵y=−x2−4x+5=−(x+2)2+9，
∴抛物线的顶点为(−2,9)，
当y=5时，−x2−4x+5=5，
∴x=0或x=−4，
当m≤−4时，图象G的最大值为9，最小值为−m2−4m+5，
∴9−(−m2−4m+5)=4，
解得m=0或m=−4，
∴m=−4时，图象G的最大值与最小值的差为4；
当−4