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高考数学专题练 专题六解析几何 微专题36 圆锥曲线的方程与性质（含答案）
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这是一份高考数学专题练 专题六解析几何 微专题36 圆锥曲线的方程与性质（含答案），共23页。
典例1 (1)(2023·汕头模拟)已知点P是椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cs∠F1PF2＝eq \f(1,3)，则△PF1F2的面积为( )
A．6 B．12
C.eq \r(2) D．2eq \r(2)
(2)(2023·德阳模拟)设抛物线x2＝12y的焦点为F，经过点P(2,1)的直线l与抛物线相交于A，B两点，又知点P恰为AB的中点，则|AF|＋|BF|＝________.
典例2 (1)(2023·宁波模拟)设椭圆：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F(c,0)，点A(3c,0)在椭圆外，P，Q在椭圆上，且P是线段AQ的中点．若直线PQ，PF的斜率之积为－eq \f(1,2)，则椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2)
C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(1,3)
(2)(2023·新高考全国Ⅰ)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，eq \(F1A,\s\up6(—→))⊥eq \(F1B,\s\up6(—→))，eq \(F2A,\s\up6(—→))＝－eq \f(2,3)eq \(F2B,\s\up6(→))，则C的离心率为________．
典例3 (1)(2023·北京模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的顶点是坐标原点O，焦点为F，A是抛物线C上的一点，点A到x轴的距离为2eq \r(2).过点A向抛物线C的准线作垂线，垂足为B.若四边形ABOF为等腰梯形，则p的值为( )
A．1 B.eq \r(2)
C．2 D．2eq \r(2)
(2)(多选)(2022·新高考全国Ⅱ)已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px(p>0)焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M(p,0)．若|AF|＝|AM|，则( )
A．直线AB的斜率为2eq \r(6)
B．|OB|＝|OF|
C．|AB|>4|OF|
D．∠OAM＋∠OBM<180°
[总结提升]
求圆锥曲线的标准方程，求椭圆与双曲线的方程、离心率以及渐近线时，将已知条件中的椭圆、双曲线的几何性质和几何关系转化为关于a，b，c的关系式进行求解．在解决抛物线方程、性质及应用问题时，关键利用定义构造与焦半径相关的几何图形进行求解(如三角形、直角梯形等)来沟通已知量与p的关系．
1．(2023·北京模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线过双曲线eq \f(x2,3)－y2＝1的一个焦点，则p等于( )
A．1 B．2 C．4 D．8
2．(2023·江苏决胜新高考大联考)中国国家大剧院是亚洲最大的剧院综合体，中国国家表演艺术的最高殿堂，中外文化交流的最大平台．大剧院的平面投影是椭圆C，其长轴长度约为212 m，短轴长度约为144 m．若直线l平行于长轴且C的中心到l的距离是24 m，则l被C截得的线段长度约为( )
A．140 m B．143 m
C．200 m D．209 m
3．(2023·齐齐哈尔模拟)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，M为C上的动点，N为圆A：x2＋y2＋2x＋8y＋16＝0上的动点，设点M到y轴的距离为d，则|MN|＋d的最小值为( )
A．1 B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(3\r(3),2) D．2
4．(2023·张家口模拟)已知F1，F2分别是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线C上的动点，|F1F2|＝10，|PF1|－|PF2|＝6，点P到双曲线C的两条渐近线的距离分别为d1，d2，则eq \r(d1d2)等于( )
A.eq \f(5,3) B.eq \f(12,5) C.eq \f(144,25) D．2
5．(2023·日照模拟)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，点A(－2,2)为椭圆C内一点，点Q(a，b)在双曲线E：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,4)＝1上，若椭圆上存在一点P，使得|PA|＋|PF2|＝8，则a的取值范围是( )
A．(eq \r(5)＋1,5] B．[3,5]
C．(eq \r(5)＋1,2eq \r(5)] D．[eq \r(3)，eq \r(5)]
6．(2023·湖南名校教研联盟联考)2023年6月4日，神舟十五号返回舱顺利着陆，人们清楚全面地看到了神舟十五号返回舱成功着陆的直播盛况．根据搜救和直播的需要，在预设着陆场的某个平面内设置了两个固定拍摄机位A，B和一个移动拍摄机位C.根据当时气候与地理特征，点C在抛物线：y＝eq \f(1,36)x2(直线y＝0与地平线重合，y轴垂直于水平面．单位：十米，下同．C的横坐标xC>6eq \r(2))上，A的坐标为(－36,2)．设D(0，－2)，线段AC，DC分别交抛物线于点M，N，B在线段MN上．则两固定机位A，B的距离为( )
A．360米 B．340米
C．320米 D．270米
7．(多选)(2023·鞍山模拟)已知F1，F2分别是双曲线C：eq \f(x2,4)－y2＝1的左、右焦点，点M是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段F1，F2为直径的圆经过点M，则( )
A．双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(1,4)x
B．以线段F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝3
C．点M的横坐标为2或－2
D．△MF1F2的面积为eq \r(5)
8．(多选)(2023·湖北省十一校联考)已知椭圆C：eq \f(y2,3)＋eq \f(x2,b2)＝1(00)，点P在椭圆C上，点Q是圆E：x2＋(y－4)2＝1上任意一点，|PQ|＋|PF2|的最小值为2，则下列说法正确的是( )
A．椭圆C的焦距为2
B．过F2作圆E的切线，所得切线的斜率为±2eq \r(2)
C．若A，B为椭圆C上关于原点对称且异于顶点和点P的两点，则直线PA与PB的斜率之积为－eq \f(1,5)
D．|PQ|－|PF2|的最小值为4－2eq \r(3)
9．(2023·泉州模拟)在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y2＝6x的焦点为F，过Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，0))的直线l与C交于A，B两点．若△ABF的面积等于△OAD面积的2倍，则eq \f(|AF|,|BF|)＝________.
10．(2023·莆田模拟)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的上、下顶点分别为A，B，右焦点为F，B关于直线AF的对称点为B′.若过A，B′，F三点的圆的半径为a，则C的离心率为________．
11．(2023·安徽A10联盟模拟)已知双曲线C：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在C的左支上，AF2交C的右支于点B，∠AF1B＝eq \f(2π,3)，(eq \(F1A,\s\up6(—→))＋eq \(F1B,\s\up6(—→)))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，则C的焦距为________，△AF1F2 的面积为________．
12．(2023·扬州模拟)已知F1，F2是椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左，右焦点，过点F2的直线与椭圆交于A，B两点，设△ABF1的内切圆圆心为I，则tan∠IAB的最大值为________．
微专题36 圆锥曲线的方程与性质
[考情分析] 圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质是每年高考必考的内容，常以选择题、填空题以及解答题第(1)问的形式出现，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等．
考点一 圆锥曲线的定义与标准方程
典例1 (1)(2023·汕头模拟)已知点P是椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cs∠F1PF2＝eq \f(1,3)，则△PF1F2的面积为( )
A．6 B．12 C.eq \r(2) D．2eq \r(2)
答案 D
解析 对于椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1有a＝3，b＝2，c＝eq \r(5)，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
则根据椭圆的定义得m＋n＝2a＝6，
又cs∠F1PF2＝eq \f(m2＋n2－2\r(5)2,2mn)＝eq \f(m＋n2－2mn－20,2mn)＝eq \f(36－2mn－20,2mn)＝eq \f(1,3)，
解得mn＝6，＝eq \f(1,2)mnsin∠F1PF2＝eq \f(1,2)×6×eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2)＝2eq \r(2).
(2)(2023·德阳模拟)设抛物线x2＝12y的焦点为F，经过点P(2,1)的直线l与抛物线相交于A，B两点，又知点P恰为AB的中点，则|AF|＋|BF|＝________.
答案 8
解析 抛物线x2＝12y的焦点为F(0,3)，准线方程为y＝－3，如图，分别作AM，BN，PQ垂直于准线于点M，N，Q，
根据抛物线的定义，|AF|＝|AM|，|BF|＝|BN|，
∵抛物线的准线方程为y＝－3，∴|PQ|＝4，根据梯形中位线的性质可得|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|＝2|PQ|＝8.
跟踪训练1 (1)(2023·鹰潭模拟)3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为eq \r(10)的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒(数据均以外壁即塔筒外侧表面计算)的上底直径为4 cm，下底直径为6 cm，高为9 cm，则喉部(最细处)的直径为( )
A.eq \f(4\r(2),3) cm B.eq \f(9\r(2),4) cm
C．2eq \r(2) cm D.eq \f(8\r(2),3) cm
答案 D
解析 该塔筒的轴截面如图所示，以C为喉部对应点，以OC所在直线为x轴，过点O且与OC垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，设A与B分别为上、下底面对应点．
由题意可知xA＝2，xB＝3，yA－yB＝9，设A(2，m)，则B(3，m－9)，
设双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
因为双曲线的离心率为eq \r(10)＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)，所以b＝3a.
所以方程可化简为9x2－y2＝9a2，(*)
将A和B的坐标代入(*)式可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(36－m2＝9a2，,81－m－92＝9a2，))
解得a＝eq \f(4\r(2),3)，
则喉部的直径为2a＝eq \f(8\r(2),3)(cm)．
(2)(多选)(2020·新高考全国Ⅰ)已知曲线C：mx2＋ny2＝1.( )
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为eq \r(n)
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±eq \r(－\f(m,n))x
D．若m＝0，n>0，则C是两条直线
答案 ACD
解析 对于A，当m>n>0时，有eq \f(1,n)>eq \f(1,m)>0，方程化为eq \f(x2,\f(1,m))＋eq \f(y2,\f(1,n))＝1，表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；
对于B，当m＝n>0时，方程化为x2＋y2＝eq \f(1,n)，表示半径为eq \r(\f(1,n))的圆，故B错误；
对于C，当m>0，n<0时，方程化为eq \f(x2,\f(1,m))－eq \f(y2,－\f(1,n))＝1，表示焦点在x轴上的双曲线，其中a＝eq \r(\f(1,m))，b＝eq \r(－\f(1,n))，渐近线方程为y＝±eq \r(－\f(m,n))x；当m<0，n>0时，方程化为eq \f(y2,\f(1,n))－eq \f(x2,－\f(1,m))＝1，表示焦点在y轴上的双曲线，其中a＝eq \r(\f(1,n))，b＝eq \r(－\f(1,m))，渐近线方程为y＝±eq \r(－\f(m,n))x，故C正确；
对于D，当m＝0，n>0时，方程化为y＝±eq \r(\f(1,n))，表示两条平行于x轴的直线，故D正确．
考点二 椭圆、双曲线的几何性质
典例2 (1)(2023·宁波模拟)设椭圆：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F(c,0)，点A(3c,0)在椭圆外，P，Q在椭圆上，且P是线段AQ的中点．若直线PQ，PF的斜率之积为－eq \f(1,2)，则椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(1,3)
答案 B
解析 如图，取PQ的中点为M，连接OM，PF，
则由题意可得，|PA|＝2|PM|，|AF|＝2|FO|，
所以△APF∽△AMO，所以PF∥MO，
因为直线PQ，PF的斜率之积为－eq \f(1,2)，所以kPQ·kOM＝－eq \f(1,2)，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),a2)＋\f(y\\al(2,1),b2)＝1，,\f(x\\al(2,2),a2)＋\f(y\\al(2,2),b2)＝1，))
两式相减可得eq \f(x1＋x2x1－x2,a2)＋eq \f(y1＋y2y1－y2,b2)＝0，
即eq \f(y1＋y2y1－y2,x1＋x2x1－x2)＝－eq \f(b2,a2)，
即kPQ·kOM＝－eq \f(b2,a2)＝－eq \f(1,2)，
即eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,2)，所以椭圆的离心率为e＝eq \r(\f(c2,a2))＝eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \f(\r(2),2).
(2)(2023·新高考全国Ⅰ)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，eq \(F1A,\s\up6(—→))⊥eq \(F1B,\s\up6(—→))，eq \(F2A,\s\up6(—→))＝－eq \f(2,3)eq \(F2B,\s\up6(—→))，则C的离心率为________．
答案 eq \f(3\r(5),5)
解析 方法一 依题意，设|AF2|＝2m，
则|BF2|＝3m＝|BF1|，|AF1|＝2a＋2m，
在Rt△ABF1中，9m2＋(2a＋2m)2＝25m2，
则(a＋3m)(a－m)＝0，
故a＝m或a＝－3m(舍去)，
所以|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，|BF2|＝|BF1|＝3a，
则|AB|＝5a，
故cs∠F1AF2＝eq \f(|AF1|,|AB|)＝eq \f(4a,5a)＝eq \f(4,5)，
所以在△AF1F2中，cs∠F1AF2＝eq \f(16a2＋4a2－4c2,2×4a×2a)＝eq \f(4,5)，
整理得5c2＝9a2，
故e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3\r(5),5).
方法二 依题意，得F1(－c,0)，F2(c,0)，
令A(x0，y0)，B(0，t)，
因为eq \(F2A,\s\up6(—→))＝－eq \f(2,3)eq \(F2B,\s\up6(—→))，
所以(x0－c，y0)＝－eq \f(2,3)(－c，t)，
则x0＝eq \f(5,3)c，y0＝－eq \f(2,3)t，
又eq \(F1A,\s\up6(—→))⊥eq \(F1B,\s\up6(—→))，
所以eq \(F1A,\s\up6(—→))·eq \(F1B,\s\up6(—→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,3)c，－\f(2,3)t))·(c，t)＝eq \f(8,3)c2－eq \f(2,3)t2＝0，
则t2＝4c2，
又点A在C上，
则eq \f(\f(25,9)c2,a2)－eq \f(\f(4,9)t2,b2)＝1，
整理得eq \f(25c2,9a2)－eq \f(4t2,9b2)＝1，
则eq \f(25c2,9a2)－eq \f(16c2,9b2)＝1，
所以25c2b2－16c2a2＝9a2b2，
即25c2(c2－a2)－16a2c2＝9a2(c2－a2)，
整理得25c4－50a2c2＋9a4＝0，
则(5c2－9a2)(5c2－a2)＝0，
解得5c2＝9a2或5c2＝a2，
又e>1，
所以e＝eq \f(3\r(5),5)或e＝eq \f(\r(5),5)(舍去)，
故e＝eq \f(3\r(5),5).
跟踪训练2 (1)(多选)(2023·邯郸模拟)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作圆x2＋y2＝a2的切线l，切点为M，且直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，则下列结论正确的是( )
A．若a＝3，b＝4，则|BF1|＋|BF2|＝26
B．若BF2⊥BF1，则双曲线C的渐近线方程为y＝±2x
C．若|MB|＝2|MF1|，则双曲线C的离心率是eq \r(13)
D．若M是BF1的中点，则双曲线C的离心率是eq \r(5)
答案 ABD
解析 如图所示，对于A，由a＝3，b＝4，得c＝5，所以|OF1|＝5，|OM|＝3，|MF1|＝4.
设|BF2|＝m，则|BF1|＝m＋6.
在△BF1F2中，由余弦定理可得cs∠BF1F2＝eq \f(m＋62＋102－m2,2×10m＋6)＝eq \f(4,5)，解得m＝10，
则|BF2|＝10，|BF1|＝16，从而|BF1|＋|BF2|＝26，故A正确；
对于B，由BF2⊥BF1，得OM∥BF2，因为O为F1F2的中点，所以M为BF1的中点．
由题意可知|OM|＝a，|MF1|＝b，则|BF2|＝2a，|BF1|＝2b.
由双曲线的定义可得|BF1|－|BF2|＝2b－2a＝2a，即b＝2a，
则双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，故B正确；
对于C，由|MB|＝2|MF1|，得|BF1|＝3b，则|BF2|＝3b－2a.
在△BF1F2中，由余弦定理可得cs∠BF1F2＝eq \f(3b2＋2c2－3b－2a2,2×3b×2c)＝eq \f(b,c)，
整理得eq \f(b,a)＝eq \f(3,2)，则e＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2＋1)＝eq \f(\r(13),2)，故C错误；
对于D，因为M，O分别是BF1，F1F2的中点，
所以OM∥BF2，所以|BF2|＝2a，|BF1|＝2b.
由双曲线的定义可得|BF1|－|BF2|＝2b－2a＝2a，
即b＝2a，则e＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2＋1)＝eq \r(5)，
故D正确．
(2)F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是椭圆C上异于顶点的一点，I是△PF1F2的内切圆圆心，若△PF1F2的面积等于△IF1F2的面积的3倍，则椭圆C的离心率为________．
答案 eq \f(1,2)
解析 由于椭圆关于原点对称，不妨设点P在x轴上方．设点P的纵坐标为yP，点I的纵坐标为yI，内切圆半径为r，椭圆长轴长为2a，焦距为2c，
则＝eq \f(1,2)yP·|F1F2|＝＝3×eq \f(1,2)yI·|F1F2|，
得yP＝3yI，
又，
即eq \f(1,2)yP·|F1F2|＝eq \f(1,2)r·|F1F2|＋eq \f(1,2)r·|PF1|＋eq \f(1,2)r·|PF2|，
又yI＝r，化简得yP·|F1F2|＝yI·(|F1F2|＋|PF1|＋|PF2|)，即3×2c＝2c＋2a，
解得a＝2c，可得离心率为eq \f(c,a)＝eq \f(1,2).
考点三 抛物线的几何性质
典例3 (1)(2023·北京模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的顶点是坐标原点O，焦点为F，A是抛物线C上的一点，点A到x轴的距离为2eq \r(2).过点A向抛物线C的准线作垂线，垂足为B.若四边形ABOF为等腰梯形，则p的值为( )
A．1 B.eq \r(2) C．2 D．2eq \r(2)
答案 C
解析 如图所示，过点A(不妨设为第一象限点)向x轴作垂线，垂足为E.设准线交x轴于点D.
因为四边形ABOF为等腰梯形，所以|OB|＝|AF|，∠FOB＝∠OFA.
所以∠DOB＝∠EFA.
又∠BDO＝∠AEF＝90°，
所以△BDO≌△AEF，所以|OD|＝|FE|＝eq \f(p,2)，
所以|DE|＝|DO|＋|OF|＋|FE|＝eq \f(3p,2).
所以|AB|＝|DE|＝eq \f(3p,2).
由抛物线的定义可得|AF|＝|AB|＝eq \f(3p,2).
在直角三角形AEF中，|AF|＝eq \f(3p,2)，|EF|＝eq \f(p,2)，|AE|＝yA＝2eq \r(2).
由勾股定理可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)))2＋(2eq \r(2))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3p,2)))2，解得p＝2.
(2)(多选)(2022·新高考全国Ⅱ)已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px(p>0)焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M(p,0)．若|AF|＝|AM|，则( )
A．直线AB的斜率为2eq \r(6)
B．|OB|＝|OF|
C．|AB|>4|OF|
D．∠OAM＋∠OBM<180°
答案 ACD
解析 对于A，由题意，得Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0)).因为|AF|＝|AM|，且M(p,0)，所以xA＝eq \f(xF＋xM,2)＝eq \f(3,4)p，将其代入抛物线方程y2＝2px，得yA＝eq \f(\r(6),2)p，所以Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)p，\f(\r(6),2)p))，所以直线AB的斜率kAB＝kAF＝eq \f(\f(\r(6),2)p－0,\f(3,4)p－\f(p,2))＝2eq \r(6)，故A正确；
对于B，由选项A的分析，知直线AB的方程为y＝2eq \r(6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，代入y2＝2px，得12x2－13px＋3p2＝0，解得x＝eq \f(3,4)p或x＝eq \f(1,3)p，所以xB＝eq \f(1,3)p，所以yB＝－eq \f(\r(6),3)p，所以|OB|＝eq \r(x\\al(2,B)＋y\\al(2,B))＝eq \f(\r(7),3)p≠|OF|，故B不正确；
对于C，由抛物线的定义及选项A，B的分析，得|AB|＝xA＋xB＋p＝eq \f(13,12)p＋p＝eq \f(25,12)p>2p，即|AB|>4|OF|，故C正确；
对于D，易知|OA|＝eq \f(\r(33),4)p，|AM|＝eq \f(5,4)p，|OB|＝eq \f(\r(7),3)p，|BM|＝eq \f(\r(10),3)p，
则cs∠OAM＝eq \f(|OA|2＋|AM|2－|OM|2,2|OA|·|AM|)＝eq \f(\f(33,16)p2＋\f(25,16)p2－p2,2×\f(\r(33),4)p·\f(5,4)p)＝eq \f(21,5\r(33))>0，
cs∠OBM＝eq \f(|OB|2＋|BM|2－|OM|2,2|OB|·|BM|)＝eq \f(\f(7,9)p2＋\f(10,9)p2－p2,2×\f(\r(7),3)p·\f(\r(10),3)p)＝eq \f(4,\r(70))>0，
所以∠OAM<90°，∠OBM<90°，所以∠OAM＋∠OBM<180°，故D正确．
综上所述，选ACD.
跟踪训练3 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________．
答案 x＝－eq \f(3,2)
解析 方法一 (解直角三角形法)由题易得|OF|＝eq \f(p,2)，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan∠OPF＝tan∠PQF，所以eq \f(|OF|,|PF|)＝eq \f(|PF|,|FQ|)，即eq \f(\f(p,2),p)＝eq \f(p,6)，解得p＝3，所以C的准线方程为x＝－eq \f(3,2).
方法二 (应用射影定理法)由题易得|OF|＝eq \f(p,2)，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，即p2＝eq \f(p,2)×6，解得p＝3或p＝0(舍去)，所以C的准线方程为x＝－eq \f(3,2).
(2)(多选)(2023·东莞模拟)已知抛物线C：y2＝4x，O为坐标原点，点P为直线x＝－2上一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，则( )
A．抛物线的准线方程为x＝－1
B．直线AB一定过抛物线的焦点
C．线段AB长的最小值为4eq \r(2)
D．OP⊥AB
答案 ACD
解析 由抛物线C：y2＝4x可知，焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1，故A正确；
设P(－2，m)，显然直线PA斜率存在且不为零，设为k1，方程为y－m＝k1(x＋2)，
与抛物线方程联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,y－m＝k1x＋2，))
得k1y2－4y＋8k1＋4m＝0，
因为PA是该抛物线的切线，
所以Δ＝(－4)2－4k1(8k1＋4m)＝0，即2keq \\al(2,1)＋mk1－1＝0，
且点A的纵坐标为－eq \f(－4,2k1)＝eq \f(2,k1)，
代入抛物线方程中可得点A的横坐标为eq \f(1,k\\al(2,1))，
设直线PB斜率存在且不为零，设为k2，
同理可得2keq \\al(2,2)＋mk2－1＝0，且点B的纵坐标为－eq \f(－4,2k2)＝eq \f(2,k2)，横坐标为eq \f(1,k\\al(2,2))，
显然k1，k2是方程2k2＋mk－1＝0的两个不相等的实根，
所以k1＋k2＝－eq \f(m,2)，k1k2＝－eq \f(1,2)，
因为kAB·kOP＝eq \f(\f(2,k2)－\f(2,k1),\f(1,k\\al(2,2))－\f(1,k\\al(2,1)))·eq \f(m,－2)＝eq \f(2k1k2,k1＋k2)·eq \f(m,－2)＝eq \f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))),－\f(m,2))·eq \f(m,－2)＝－1，
所以OP⊥AB，故D正确；
由上可知AB的斜率为eq \f(2,m)，
直线AB的方程为y－eq \f(2,k1)＝eq \f(2,m)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,k\\al(2,1))))，
即mkeq \\al(2,1)y－2mk1＝2keq \\al(2,1)x－2，
又2keq \\al(2,1)＋mk1－1＝0，所以mk1＝1－2keq \\al(2,1)，
所以(k1－2keq \\al(3,1))y－2(1－2keq \\al(2,1))＝2keq \\al(2,1)x－2，即(1－2keq \\al(2,1))y＝2k1(x－2)，
所以直线AB一定过点(2,0)，显然该点不是抛物线的焦点，故B不正确；
由题意知，直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝my＋2，,y2＝4x，))得y2－4my－8＝0，
所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－8，
所以|AB|＝eq \r(1＋m2\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(y1＋y22－4y1y2)))＝eq \r(1＋m216m2＋32)
＝4eq \r(m4＋3m2＋2)＝4eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m2＋\f(3,2)))2－\f(1,4))≥4eq \r(2)，当且仅当m＝0时，等号成立，故C正确．
[总结提升]
求圆锥曲线的标准方程，求椭圆与双曲线的方程、离心率以及渐近线时，将已知条件中的椭圆、双曲线的几何性质和几何关系转化为关于a，b，c的关系式进行求解．在解决抛物线方程、性质及应用问题时，关键利用定义构造与焦半径相关的几何图形进行求解(如三角形、直角梯形等)来沟通已知量与p的关系．
1．(2023·北京模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线过双曲线eq \f(x2,3)－y2＝1的一个焦点，则p等于( )
A．1 B．2 C．4 D．8
答案 C
解析 抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－eq \f(p,2)，双曲线eq \f(x2,3)－y2＝1的左焦点的坐标为(－2,0)，右焦点的坐标为(2,0)，因为抛物线y2＝2px的准线过双曲线eq \f(x2,3)－y2＝1的一个焦点，所以eq \f(p,2)＝2，解得p＝4.
2．(2023·江苏决胜新高考大联考)中国国家大剧院是亚洲最大的剧院综合体，中国国家表演艺术的最高殿堂，中外文化交流的最大平台．大剧院的平面投影是椭圆C，其长轴长度约为212 m，短轴长度约为144 m．若直线l平行于长轴且C的中心到l的距离是24 m，则l被C截得的线段长度约为( )
A．140 m B．143 m
C．200 m D．209 m
答案 C
解析 设该椭圆焦点在x轴上，以中心为原点，建立直角坐标系，如图所示，
设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，a>b>0，由题意可得2a＝212,2b＝144，
即a＝106，b＝72，代入方程，得eq \f(x2,1062)＋eq \f(y2,722)＝1，
因为直线l平行于长轴且C的中心到l的距离是24 m，
令y＝24，得|2x|＝eq \f(424\r(2),3)≈200(m)．
3．(2023·齐齐哈尔模拟)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，M为C上的动点，N为圆A：x2＋y2＋2x＋8y＋16＝0上的动点，设点M到y轴的距离为d，则|MN|＋d的最小值为( )
A．1 B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(3\r(3),2) D．2
答案 D
解析 根据已知得到F(2,0)，圆A：(x＋1)2＋(y＋4)2＝1，所以A(－1，－4)，圆A的半径为1，
抛物线C的准线为l：x＝－2，过点M作ME⊥l，垂足为点E，则|ME|＝d＋2，
由抛物线的定义可得d＋2＝|ME|＝|MF|，
所以|MN|＋d＝|MN|＋|MF|－2≥|AM|＋|MF|－1－2≥|AF|－1－2＝eq \r(2＋12＋42)－1－2＝2.
当且仅当N，M分别为线段AF与圆A、抛物线C的交点时，两个等号成立，因此，|MN|＋d的最小值为2.
4．(2023·张家口模拟)已知F1，F2分别是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线C上的动点，|F1F2|＝10，|PF1|－|PF2|＝6，点P到双曲线C的两条渐近线的距离分别为d1，d2，则eq \r(d1d2)等于( )
A.eq \f(5,3) B.eq \f(12,5) C.eq \f(144,25) D．2
答案 B
解析 由|F1F2|＝2c＝10，得c＝5.
因为|PF1|－|PF2|＝2a＝6，所以a＝3.
又因为c2＝a2＋b2，所以b＝4，
故双曲线C的方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1，
所以两条渐近线的方程为y＝±eq \f(4,3)x.
设P(x0，y0)，则eq \f(x\\al(2,0),9)－eq \f(y\\al(2,0),16)＝1，
故eq \f(16x\\al(2,0),9)－yeq \\al(2,0)＝16.
不妨设d1＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)x0－y0)),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))2＋1))，
则d2＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)x0－y0)),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))2＋1))，
所以d1d2＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)x0－y0)),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))2＋1))×eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)x0＋y0)),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))2＋1))＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(16x\\al(2,0),9)－y\\al(2,0))),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))2＋1)＝eq \f(144,25)，
所以eq \r(d1d2)＝eq \f(12,5).
5．(2023·日照模拟)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，点A(－2,2)为椭圆C内一点，点Q(a，b)在双曲线E：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,4)＝1上，若椭圆上存在一点P，使得|PA|＋|PF2|＝8，则a的取值范围是( )
A．(eq \r(5)＋1,5] B．[3,5]
C．(eq \r(5)＋1,2eq \r(5)] D．[eq \r(3)，eq \r(5)]
答案 A
解析 点Q(a，b)在双曲线E：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,4)＝1上，所以a2－b2＝4.
所以椭圆左焦点F1的坐标为(－2,0)．
因为|PA|＋|PF2|＝8，所以|PA|＋2a－|PF1|＝8，
所以||PA|－|PF1||＝|8－2a|≤|AF1|＝2，
所以3≤a≤5.
因为a2－b2＝4，所以b2＝a2－4.
点A(－2,2)为椭圆C内一点，所以eq \f(4,a2)＋eq \f(4,b2)<1，
所以eq \f(4,a2)＋eq \f(4,a2－4)<1，
所以a4－12a2＋16>0，
所以a>eq \r(5)＋1或a综上，eq \r(5)＋16．(2023·湖南名校教研联盟联考)2023年6月4日，神舟十五号返回舱顺利着陆，人们清楚全面地看到了神舟十五号返回舱成功着陆的直播盛况．根据搜救和直播的需要，在预设着陆场的某个平面内设置了两个固定拍摄机位A，B和一个移动拍摄机位C.根据当时气候与地理特征，点C在抛物线：y＝eq \f(1,36)x2(直线y＝0与地平线重合，y轴垂直于水平面．单位：十米，下同．C的横坐标xC>6eq \r(2))上，A的坐标为(－36,2)．设D(0，－2)，线段AC，DC分别交抛物线于点M，N，B在线段MN上．则两固定机位A，B的距离为( )
A．360米 B．340米
C．320米 D．270米
答案 B
解析 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，C(xC，yC)，A(－36,2)，D(0，－2)，
根据条件有eq \(AC,\s\up6(→))∥eq \(AM,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))∥eq \(DN,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))＝(xC＋36，yC－2)，eq \(AM,\s\up6(→))＝(x1＋36，y1－2)，
eq \(DC,\s\up6(→))＝(xC，yC＋2)，eq \(DN,\s\up6(→))＝(x2，y2＋2)．
∴(xC＋36)(y1－2)－(x1＋36)(yC－2)＝0，xC(y2＋2)－x2(yC＋2)＝0.
由题意知xC，x1，x2互不相等，把yC＝eq \f(x\\al(2,C),36)，y1＝eq \f(x\\al(2,1),36)，y2＝eq \f(x\\al(2,2),36)分别代入上两式化简得xCx1＋36(xC＋x1)＋72＝0，xC＝eq \f(72,x2)，消去xC得x1＝eq \f(－2x2－72,x2＋2).
MN的方程是y－y2＝eq \f(y1－y2,x1－x2)(x－x2)，
即y－eq \f(x\\al(2,2),36)＝eq \f(x1＋x2,36)(x－x2)，
∴MN的方程为y－eq \f(x\\al(2,2),36)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2＋\f(x\\al(2,2),36)))·eq \f(x－x2,2＋x2)，
则eq \f(y－\f(x\\al(2,2),36),2－\f(x\\al(2,2),36))＝eq \f(－x＋x2,2＋x2)，
∴MN经过定点(－2,2)．
∴点B的坐标为(－2,2)．|AB|＝34，即两固定机位A，B的距离为340米．
7．(多选)(2023·鞍山模拟)已知F1，F2分别是双曲线C：eq \f(x2,4)－y2＝1的左、右焦点，点M是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段F1，F2为直径的圆经过点M，则( )
A．双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(1,4)x
B．以线段F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝3
C．点M的横坐标为2或－2
D．△MF1F2的面积为eq \r(5)
答案 CD
解析 由双曲线方程知，a＝2，b＝1，∴C的渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x，A错误；
∵c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(5)，∴以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝5，B错误；
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝±\f(1,2)x，,x2＋y2＝5，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝±1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝±1，))
∴点M的横坐标为2或－2，C正确；
∵|yM|＝1，∴＝eq \f(1,2)·|F1F2|·|yM|＝eq \r(5)，D正确．
8．(多选)(2023·湖北省十一校联考)已知椭圆C：eq \f(y2,3)＋eq \f(x2,b2)＝1(00)，点P在椭圆C上，点Q是圆E：x2＋(y－4)2＝1上任意一点，|PQ|＋|PF2|的最小值为2，则下列说法正确的是( )
A．椭圆C的焦距为2
B．过F2作圆E的切线，所得切线的斜率为±2eq \r(2)
C．若A，B为椭圆C上关于原点对称且异于顶点和点P的两点，则直线PA与PB的斜率之积为－eq \f(1,5)
D．|PQ|－|PF2|的最小值为4－2eq \r(3)
答案 ABD
解析 圆E：x2＋(y－4)2＝1的圆心E(0,4)，半径r＝1，显然圆E与椭圆C相离，而点P在椭圆C上，点Q在圆E上，
于是|PQ|＋|PF2|≥|PE|－r＋|PF2|≥|EF2|－1＝4－c－1＝3－c，当且仅当P，Q分别是线段EF2与椭圆C、圆E的交点时取等号，
因此3－c＝2，解得c＝1，则椭圆C的焦距为2，且椭圆C的方程为eq \f(y2,3)＋eq \f(x2,2)＝1，A正确；
显然过F2(0,1)与圆E相切的直线斜率存在，设此切线方程为y＝kx＋1，于是eq \f(3,\r(1＋k2))＝1，解得k＝±2eq \r(2)，B正确；
设P(x0，y0)，A(x1，y1)，有B(－x1，－y1)，
且eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x\\al(2,0)＋2y\\al(2,0)＝6，,3x\\al(2,1)＋2y\\al(2,1)＝6，))
即yeq \\al(2,0)－yeq \\al(2,1)＝－eq \f(3,2)(xeq \\al(2,0)－xeq \\al(2,1))，
直线PA，PB的斜率分别为kPA，kPB，
因此kPAkPB＝eq \f(y0－y1,x0－x1)·eq \f(y0＋y1,x0＋x1)＝eq \f(y\\al(2,0)－y\\al(2,1),x\\al(2,0)－x\\al(2,1))＝－eq \f(3,2)，C错误；
|PQ|－|PF2|≥|PE|－r－(2eq \r(3)－|PF1|)＝|PE|＋|PF1|－1－2eq \r(3)≥|EF1|－1－2eq \r(3)
＝4－(－c)－1－2eq \r(3)＝4－2eq \r(3)，
当且仅当P，Q分别是线段EF1与椭圆C、圆E的交点时取等号，D正确．
9．(2023·泉州模拟)在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y2＝6x的焦点为F，过Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，0))的直线l与C交于A，B两点．若△ABF的面积等于△OAD面积的2倍，则eq \f(|AF|,|BF|)＝________.
答案 eq \f(1,2)
解析 如图所示，过A作AA1垂直准线于点A1，过B作BB1垂直准线于点B1，
由抛物线的定义可知，|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，
因为抛物线C：y2＝6x，则Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，0))，
设△OAD的面积为S，则△AOF的面积也为S，△ABF的面积为2S，
所以S△ADF＝S△ABF，即AD＝AB，即A为BD的中点，
所以eq \f(|AF|,|BF|)＝eq \f(|AA1|,|BB1|)＝eq \f(|AD|,|BD|)＝eq \f(1,2).
10．(2023·莆田模拟)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的上、下顶点分别为A，B，右焦点为F，B关于直线AF的对称点为B′.若过A，B′，F三点的圆的半径为a，则C的离心率为________．
答案 eq \f(1,2)
解析 由题意得，过A，B，F三点的圆的半径为a，
其中A(0，b)，F(c,0)，线段AF的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)，\f(b,2)))，
故直线AF的斜率为－eq \f(b,c)，故线段AF的垂直平分线的斜率为eq \f(c,b)，
故线段AF的垂直平分线的方程为y－eq \f(b,2)＝eq \f(c,b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(c,2)))，
又线段AB的垂直平分线为y＝0，
联立y－eq \f(b,2)＝eq \f(c,b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(c,2)))与y＝0，得x＝eq \f(c,2)－eq \f(b2,2c)，
故圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)－\f(b2,2c)，0))，
故半径为c－eq \f(c,2)＋eq \f(b2,2c)＝eq \f(c,2)＋eq \f(b2,2c)，
故a＝eq \f(c,2)＋eq \f(b2,2c)，其中b2＝a2－c2，
解得eq \f(c,a)＝eq \f(1,2).
11．(2023·安徽A10联盟模拟)已知双曲线C：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在C的左支上，AF2交C的右支于点B，∠AF1B＝eq \f(2π,3)，(eq \(F1A,\s\up6(—→))＋eq \(F1B,\s\up6(—→)))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，则C的焦距为________，△AF1F2的面积为________．
答案 2eq \r(15) 12＋6eq \r(3)
解析 取AB的中点M，则eq \(F1A,\s\up6(—→))＋eq \(F1B,\s\up6(—→))＝2eq \(F1M,\s\up6(—→))，
∵(eq \(F1A,\s\up6(—→))＋eq \(F1B,\s\up6(—→)))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，
∴2eq \(F1M,\s\up6(—→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，
∴eq \(F1M,\s\up6(—→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，△ABF1是等腰三角形，|AF1|＝|F1B|，
设|BF2|＝x，由双曲线的定义得|AF1|＝|F1B|＝x＋2a＝x＋6，
|AF2|＝|AF1|＋2a＝x＋12，∴|AB|＝12，
在△ABF1中，∠AF1B＝eq \f(2π,3)，|AF1|＝|F1B|，|AB|＝12，
∴|F1M|＝2eq \r(3)，|F1B|＝4eq \r(3)，∴x＝4eq \r(3)－6.
在Rt△F1F2M中，(2eq \r(3))2＋(4eq \r(3))2＝4c2，
解得c＝eq \r(15)，则双曲线C的焦距为2eq \r(15).
∵|AF2|＝x＋12＝4eq \r(3)＋6，∴△AF1F2的面积为eq \f(1,2)|AF2|·|F1M|＝eq \f(1,2)×(4eq \r(3)＋6)×2eq \r(3)＝12＋6eq \r(3).
12．(2023·扬州模拟)已知F1，F2是椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左，右焦点，过点F2的直线与椭圆交于A，B两点，设△ABF1的内切圆圆心为I，则tan∠IAB的最大值为________．
答案 eq \f(\r(3),3)
解析 因为I为△ABF1的内切圆圆心，则∠F1AF2＝2∠IAB，
显然∠IAB是锐角，当且仅当∠IAB最大时，tan∠IAB最大，且∠F1AF2最大，
又∠F1AF2∈(0，π)，即有cs∠F1AF2最小，
在椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1中，|F1A|＋|F2A|＝4，|F1F2|＝2，
在△F1AF2中，cs∠F1AF2＝eq \f(|F1A|2＋|F2A|2－|F1F2|2,2|F1A||F2A|)＝eq \f(|F1A|＋|F2A|2－|F1F2|2,2|F1A||F2A|)－1
＝eq \f(42－22,2|F1A||F2A|)－1≥eq \f(6,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|F1A|＋|F2A|,2)))2)－1＝eq \f(1,2)，当且仅当|F1A|＝|F2A|＝2时取等号，
因此当|F1A|＝|F2A|＝2，即△F1AF2为正三角形时，∠F1AF2取得最大值eq \f(π,3)，∠IAB取最大值eq \f(π,6)，
所以tan∠IAB的最大值为tan eq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),3)
典例1 (1)(2023·汕头模拟)已知点P是椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cs∠F1PF2＝eq \f(1,3)，则△PF1F2的面积为( )
A．6 B．12
C.eq \r(2) D．2eq \r(2)
(2)(2023·德阳模拟)设抛物线x2＝12y的焦点为F，经过点P(2,1)的直线l与抛物线相交于A，B两点，又知点P恰为AB的中点，则|AF|＋|BF|＝________.
典例2 (1)(2023·宁波模拟)设椭圆：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F(c,0)，点A(3c,0)在椭圆外，P，Q在椭圆上，且P是线段AQ的中点．若直线PQ，PF的斜率之积为－eq \f(1,2)，则椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2)
C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(1,3)
(2)(2023·新高考全国Ⅰ)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，eq \(F1A,\s\up6(—→))⊥eq \(F1B,\s\up6(—→))，eq \(F2A,\s\up6(—→))＝－eq \f(2,3)eq \(F2B,\s\up6(→))，则C的离心率为________．
典例3 (1)(2023·北京模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的顶点是坐标原点O，焦点为F，A是抛物线C上的一点，点A到x轴的距离为2eq \r(2).过点A向抛物线C的准线作垂线，垂足为B.若四边形ABOF为等腰梯形，则p的值为( )
A．1 B.eq \r(2)
C．2 D．2eq \r(2)
(2)(多选)(2022·新高考全国Ⅱ)已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px(p>0)焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M(p,0)．若|AF|＝|AM|，则( )
A．直线AB的斜率为2eq \r(6)
B．|OB|＝|OF|
C．|AB|>4|OF|
D．∠OAM＋∠OBM<180°
[总结提升]
求圆锥曲线的标准方程，求椭圆与双曲线的方程、离心率以及渐近线时，将已知条件中的椭圆、双曲线的几何性质和几何关系转化为关于a，b，c的关系式进行求解．在解决抛物线方程、性质及应用问题时，关键利用定义构造与焦半径相关的几何图形进行求解(如三角形、直角梯形等)来沟通已知量与p的关系．
1．(2023·北京模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线过双曲线eq \f(x2,3)－y2＝1的一个焦点，则p等于( )
A．1 B．2 C．4 D．8
2．(2023·江苏决胜新高考大联考)中国国家大剧院是亚洲最大的剧院综合体，中国国家表演艺术的最高殿堂，中外文化交流的最大平台．大剧院的平面投影是椭圆C，其长轴长度约为212 m，短轴长度约为144 m．若直线l平行于长轴且C的中心到l的距离是24 m，则l被C截得的线段长度约为( )
A．140 m B．143 m
C．200 m D．209 m
3．(2023·齐齐哈尔模拟)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，M为C上的动点，N为圆A：x2＋y2＋2x＋8y＋16＝0上的动点，设点M到y轴的距离为d，则|MN|＋d的最小值为( )
A．1 B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(3\r(3),2) D．2
4．(2023·张家口模拟)已知F1，F2分别是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线C上的动点，|F1F2|＝10，|PF1|－|PF2|＝6，点P到双曲线C的两条渐近线的距离分别为d1，d2，则eq \r(d1d2)等于( )
A.eq \f(5,3) B.eq \f(12,5) C.eq \f(144,25) D．2
5．(2023·日照模拟)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，点A(－2,2)为椭圆C内一点，点Q(a，b)在双曲线E：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,4)＝1上，若椭圆上存在一点P，使得|PA|＋|PF2|＝8，则a的取值范围是( )
A．(eq \r(5)＋1,5] B．[3,5]
C．(eq \r(5)＋1,2eq \r(5)] D．[eq \r(3)，eq \r(5)]
6．(2023·湖南名校教研联盟联考)2023年6月4日，神舟十五号返回舱顺利着陆，人们清楚全面地看到了神舟十五号返回舱成功着陆的直播盛况．根据搜救和直播的需要，在预设着陆场的某个平面内设置了两个固定拍摄机位A，B和一个移动拍摄机位C.根据当时气候与地理特征，点C在抛物线：y＝eq \f(1,36)x2(直线y＝0与地平线重合，y轴垂直于水平面．单位：十米，下同．C的横坐标xC>6eq \r(2))上，A的坐标为(－36,2)．设D(0，－2)，线段AC，DC分别交抛物线于点M，N，B在线段MN上．则两固定机位A，B的距离为( )
A．360米 B．340米
C．320米 D．270米
7．(多选)(2023·鞍山模拟)已知F1，F2分别是双曲线C：eq \f(x2,4)－y2＝1的左、右焦点，点M是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段F1，F2为直径的圆经过点M，则( )
A．双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(1,4)x
B．以线段F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝3
C．点M的横坐标为2或－2
D．△MF1F2的面积为eq \r(5)
8．(多选)(2023·湖北省十一校联考)已知椭圆C：eq \f(y2,3)＋eq \f(x2,b2)＝1(0
A．椭圆C的焦距为2
B．过F2作圆E的切线，所得切线的斜率为±2eq \r(2)
C．若A，B为椭圆C上关于原点对称且异于顶点和点P的两点，则直线PA与PB的斜率之积为－eq \f(1,5)
D．|PQ|－|PF2|的最小值为4－2eq \r(3)
9．(2023·泉州模拟)在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y2＝6x的焦点为F，过Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，0))的直线l与C交于A，B两点．若△ABF的面积等于△OAD面积的2倍，则eq \f(|AF|,|BF|)＝________.
10．(2023·莆田模拟)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的上、下顶点分别为A，B，右焦点为F，B关于直线AF的对称点为B′.若过A，B′，F三点的圆的半径为a，则C的离心率为________．
11．(2023·安徽A10联盟模拟)已知双曲线C：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在C的左支上，AF2交C的右支于点B，∠AF1B＝eq \f(2π,3)，(eq \(F1A,\s\up6(—→))＋eq \(F1B,\s\up6(—→)))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，则C的焦距为________，△AF1F2 的面积为________．
12．(2023·扬州模拟)已知F1，F2是椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左，右焦点，过点F2的直线与椭圆交于A，B两点，设△ABF1的内切圆圆心为I，则tan∠IAB的最大值为________．
微专题36 圆锥曲线的方程与性质
[考情分析] 圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质是每年高考必考的内容，常以选择题、填空题以及解答题第(1)问的形式出现，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等．
考点一 圆锥曲线的定义与标准方程
典例1 (1)(2023·汕头模拟)已知点P是椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cs∠F1PF2＝eq \f(1,3)，则△PF1F2的面积为( )
A．6 B．12 C.eq \r(2) D．2eq \r(2)
答案 D
解析 对于椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1有a＝3，b＝2，c＝eq \r(5)，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
则根据椭圆的定义得m＋n＝2a＝6，
又cs∠F1PF2＝eq \f(m2＋n2－2\r(5)2,2mn)＝eq \f(m＋n2－2mn－20,2mn)＝eq \f(36－2mn－20,2mn)＝eq \f(1,3)，
解得mn＝6，＝eq \f(1,2)mnsin∠F1PF2＝eq \f(1,2)×6×eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2)＝2eq \r(2).
(2)(2023·德阳模拟)设抛物线x2＝12y的焦点为F，经过点P(2,1)的直线l与抛物线相交于A，B两点，又知点P恰为AB的中点，则|AF|＋|BF|＝________.
答案 8
解析 抛物线x2＝12y的焦点为F(0,3)，准线方程为y＝－3，如图，分别作AM，BN，PQ垂直于准线于点M，N，Q，
根据抛物线的定义，|AF|＝|AM|，|BF|＝|BN|，
∵抛物线的准线方程为y＝－3，∴|PQ|＝4，根据梯形中位线的性质可得|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|＝2|PQ|＝8.
跟踪训练1 (1)(2023·鹰潭模拟)3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为eq \r(10)的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒(数据均以外壁即塔筒外侧表面计算)的上底直径为4 cm，下底直径为6 cm，高为9 cm，则喉部(最细处)的直径为( )
A.eq \f(4\r(2),3) cm B.eq \f(9\r(2),4) cm
C．2eq \r(2) cm D.eq \f(8\r(2),3) cm
答案 D
解析 该塔筒的轴截面如图所示，以C为喉部对应点，以OC所在直线为x轴，过点O且与OC垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，设A与B分别为上、下底面对应点．
由题意可知xA＝2，xB＝3，yA－yB＝9，设A(2，m)，则B(3，m－9)，
设双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
因为双曲线的离心率为eq \r(10)＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)，所以b＝3a.
所以方程可化简为9x2－y2＝9a2，(*)
将A和B的坐标代入(*)式可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(36－m2＝9a2，,81－m－92＝9a2，))
解得a＝eq \f(4\r(2),3)，
则喉部的直径为2a＝eq \f(8\r(2),3)(cm)．
(2)(多选)(2020·新高考全国Ⅰ)已知曲线C：mx2＋ny2＝1.( )
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为eq \r(n)
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±eq \r(－\f(m,n))x
D．若m＝0，n>0，则C是两条直线
答案 ACD
解析 对于A，当m>n>0时，有eq \f(1,n)>eq \f(1,m)>0，方程化为eq \f(x2,\f(1,m))＋eq \f(y2,\f(1,n))＝1，表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；
对于B，当m＝n>0时，方程化为x2＋y2＝eq \f(1,n)，表示半径为eq \r(\f(1,n))的圆，故B错误；
对于C，当m>0，n<0时，方程化为eq \f(x2,\f(1,m))－eq \f(y2,－\f(1,n))＝1，表示焦点在x轴上的双曲线，其中a＝eq \r(\f(1,m))，b＝eq \r(－\f(1,n))，渐近线方程为y＝±eq \r(－\f(m,n))x；当m<0，n>0时，方程化为eq \f(y2,\f(1,n))－eq \f(x2,－\f(1,m))＝1，表示焦点在y轴上的双曲线，其中a＝eq \r(\f(1,n))，b＝eq \r(－\f(1,m))，渐近线方程为y＝±eq \r(－\f(m,n))x，故C正确；
对于D，当m＝0，n>0时，方程化为y＝±eq \r(\f(1,n))，表示两条平行于x轴的直线，故D正确．
考点二 椭圆、双曲线的几何性质
典例2 (1)(2023·宁波模拟)设椭圆：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F(c,0)，点A(3c,0)在椭圆外，P，Q在椭圆上，且P是线段AQ的中点．若直线PQ，PF的斜率之积为－eq \f(1,2)，则椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(1,3)
答案 B
解析 如图，取PQ的中点为M，连接OM，PF，
则由题意可得，|PA|＝2|PM|，|AF|＝2|FO|，
所以△APF∽△AMO，所以PF∥MO，
因为直线PQ，PF的斜率之积为－eq \f(1,2)，所以kPQ·kOM＝－eq \f(1,2)，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),a2)＋\f(y\\al(2,1),b2)＝1，,\f(x\\al(2,2),a2)＋\f(y\\al(2,2),b2)＝1，))
两式相减可得eq \f(x1＋x2x1－x2,a2)＋eq \f(y1＋y2y1－y2,b2)＝0，
即eq \f(y1＋y2y1－y2,x1＋x2x1－x2)＝－eq \f(b2,a2)，
即kPQ·kOM＝－eq \f(b2,a2)＝－eq \f(1,2)，
即eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,2)，所以椭圆的离心率为e＝eq \r(\f(c2,a2))＝eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \f(\r(2),2).
(2)(2023·新高考全国Ⅰ)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，eq \(F1A,\s\up6(—→))⊥eq \(F1B,\s\up6(—→))，eq \(F2A,\s\up6(—→))＝－eq \f(2,3)eq \(F2B,\s\up6(—→))，则C的离心率为________．
答案 eq \f(3\r(5),5)
解析 方法一 依题意，设|AF2|＝2m，
则|BF2|＝3m＝|BF1|，|AF1|＝2a＋2m，
在Rt△ABF1中，9m2＋(2a＋2m)2＝25m2，
则(a＋3m)(a－m)＝0，
故a＝m或a＝－3m(舍去)，
所以|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，|BF2|＝|BF1|＝3a，
则|AB|＝5a，
故cs∠F1AF2＝eq \f(|AF1|,|AB|)＝eq \f(4a,5a)＝eq \f(4,5)，
所以在△AF1F2中，cs∠F1AF2＝eq \f(16a2＋4a2－4c2,2×4a×2a)＝eq \f(4,5)，
整理得5c2＝9a2，
故e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3\r(5),5).
方法二 依题意，得F1(－c,0)，F2(c,0)，
令A(x0，y0)，B(0，t)，
因为eq \(F2A,\s\up6(—→))＝－eq \f(2,3)eq \(F2B,\s\up6(—→))，
所以(x0－c，y0)＝－eq \f(2,3)(－c，t)，
则x0＝eq \f(5,3)c，y0＝－eq \f(2,3)t，
又eq \(F1A,\s\up6(—→))⊥eq \(F1B,\s\up6(—→))，
所以eq \(F1A,\s\up6(—→))·eq \(F1B,\s\up6(—→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,3)c，－\f(2,3)t))·(c，t)＝eq \f(8,3)c2－eq \f(2,3)t2＝0，
则t2＝4c2，
又点A在C上，
则eq \f(\f(25,9)c2,a2)－eq \f(\f(4,9)t2,b2)＝1，
整理得eq \f(25c2,9a2)－eq \f(4t2,9b2)＝1，
则eq \f(25c2,9a2)－eq \f(16c2,9b2)＝1，
所以25c2b2－16c2a2＝9a2b2，
即25c2(c2－a2)－16a2c2＝9a2(c2－a2)，
整理得25c4－50a2c2＋9a4＝0，
则(5c2－9a2)(5c2－a2)＝0，
解得5c2＝9a2或5c2＝a2，
又e>1，
所以e＝eq \f(3\r(5),5)或e＝eq \f(\r(5),5)(舍去)，
故e＝eq \f(3\r(5),5).
跟踪训练2 (1)(多选)(2023·邯郸模拟)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作圆x2＋y2＝a2的切线l，切点为M，且直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，则下列结论正确的是( )
A．若a＝3，b＝4，则|BF1|＋|BF2|＝26
B．若BF2⊥BF1，则双曲线C的渐近线方程为y＝±2x
C．若|MB|＝2|MF1|，则双曲线C的离心率是eq \r(13)
D．若M是BF1的中点，则双曲线C的离心率是eq \r(5)
答案 ABD
解析 如图所示，对于A，由a＝3，b＝4，得c＝5，所以|OF1|＝5，|OM|＝3，|MF1|＝4.
设|BF2|＝m，则|BF1|＝m＋6.
在△BF1F2中，由余弦定理可得cs∠BF1F2＝eq \f(m＋62＋102－m2,2×10m＋6)＝eq \f(4,5)，解得m＝10，
则|BF2|＝10，|BF1|＝16，从而|BF1|＋|BF2|＝26，故A正确；
对于B，由BF2⊥BF1，得OM∥BF2，因为O为F1F2的中点，所以M为BF1的中点．
由题意可知|OM|＝a，|MF1|＝b，则|BF2|＝2a，|BF1|＝2b.
由双曲线的定义可得|BF1|－|BF2|＝2b－2a＝2a，即b＝2a，
则双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，故B正确；
对于C，由|MB|＝2|MF1|，得|BF1|＝3b，则|BF2|＝3b－2a.
在△BF1F2中，由余弦定理可得cs∠BF1F2＝eq \f(3b2＋2c2－3b－2a2,2×3b×2c)＝eq \f(b,c)，
整理得eq \f(b,a)＝eq \f(3,2)，则e＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2＋1)＝eq \f(\r(13),2)，故C错误；
对于D，因为M，O分别是BF1，F1F2的中点，
所以OM∥BF2，所以|BF2|＝2a，|BF1|＝2b.
由双曲线的定义可得|BF1|－|BF2|＝2b－2a＝2a，
即b＝2a，则e＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2＋1)＝eq \r(5)，
故D正确．
(2)F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是椭圆C上异于顶点的一点，I是△PF1F2的内切圆圆心，若△PF1F2的面积等于△IF1F2的面积的3倍，则椭圆C的离心率为________．
答案 eq \f(1,2)
解析 由于椭圆关于原点对称，不妨设点P在x轴上方．设点P的纵坐标为yP，点I的纵坐标为yI，内切圆半径为r，椭圆长轴长为2a，焦距为2c，
则＝eq \f(1,2)yP·|F1F2|＝＝3×eq \f(1,2)yI·|F1F2|，
得yP＝3yI，
又，
即eq \f(1,2)yP·|F1F2|＝eq \f(1,2)r·|F1F2|＋eq \f(1,2)r·|PF1|＋eq \f(1,2)r·|PF2|，
又yI＝r，化简得yP·|F1F2|＝yI·(|F1F2|＋|PF1|＋|PF2|)，即3×2c＝2c＋2a，
解得a＝2c，可得离心率为eq \f(c,a)＝eq \f(1,2).
考点三 抛物线的几何性质
典例3 (1)(2023·北京模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的顶点是坐标原点O，焦点为F，A是抛物线C上的一点，点A到x轴的距离为2eq \r(2).过点A向抛物线C的准线作垂线，垂足为B.若四边形ABOF为等腰梯形，则p的值为( )
A．1 B.eq \r(2) C．2 D．2eq \r(2)
答案 C
解析 如图所示，过点A(不妨设为第一象限点)向x轴作垂线，垂足为E.设准线交x轴于点D.
因为四边形ABOF为等腰梯形，所以|OB|＝|AF|，∠FOB＝∠OFA.
所以∠DOB＝∠EFA.
又∠BDO＝∠AEF＝90°，
所以△BDO≌△AEF，所以|OD|＝|FE|＝eq \f(p,2)，
所以|DE|＝|DO|＋|OF|＋|FE|＝eq \f(3p,2).
所以|AB|＝|DE|＝eq \f(3p,2).
由抛物线的定义可得|AF|＝|AB|＝eq \f(3p,2).
在直角三角形AEF中，|AF|＝eq \f(3p,2)，|EF|＝eq \f(p,2)，|AE|＝yA＝2eq \r(2).
由勾股定理可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)))2＋(2eq \r(2))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3p,2)))2，解得p＝2.
(2)(多选)(2022·新高考全国Ⅱ)已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px(p>0)焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M(p,0)．若|AF|＝|AM|，则( )
A．直线AB的斜率为2eq \r(6)
B．|OB|＝|OF|
C．|AB|>4|OF|
D．∠OAM＋∠OBM<180°
答案 ACD
解析 对于A，由题意，得Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0)).因为|AF|＝|AM|，且M(p,0)，所以xA＝eq \f(xF＋xM,2)＝eq \f(3,4)p，将其代入抛物线方程y2＝2px，得yA＝eq \f(\r(6),2)p，所以Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)p，\f(\r(6),2)p))，所以直线AB的斜率kAB＝kAF＝eq \f(\f(\r(6),2)p－0,\f(3,4)p－\f(p,2))＝2eq \r(6)，故A正确；
对于B，由选项A的分析，知直线AB的方程为y＝2eq \r(6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，代入y2＝2px，得12x2－13px＋3p2＝0，解得x＝eq \f(3,4)p或x＝eq \f(1,3)p，所以xB＝eq \f(1,3)p，所以yB＝－eq \f(\r(6),3)p，所以|OB|＝eq \r(x\\al(2,B)＋y\\al(2,B))＝eq \f(\r(7),3)p≠|OF|，故B不正确；
对于C，由抛物线的定义及选项A，B的分析，得|AB|＝xA＋xB＋p＝eq \f(13,12)p＋p＝eq \f(25,12)p>2p，即|AB|>4|OF|，故C正确；
对于D，易知|OA|＝eq \f(\r(33),4)p，|AM|＝eq \f(5,4)p，|OB|＝eq \f(\r(7),3)p，|BM|＝eq \f(\r(10),3)p，
则cs∠OAM＝eq \f(|OA|2＋|AM|2－|OM|2,2|OA|·|AM|)＝eq \f(\f(33,16)p2＋\f(25,16)p2－p2,2×\f(\r(33),4)p·\f(5,4)p)＝eq \f(21,5\r(33))>0，
cs∠OBM＝eq \f(|OB|2＋|BM|2－|OM|2,2|OB|·|BM|)＝eq \f(\f(7,9)p2＋\f(10,9)p2－p2,2×\f(\r(7),3)p·\f(\r(10),3)p)＝eq \f(4,\r(70))>0，
所以∠OAM<90°，∠OBM<90°，所以∠OAM＋∠OBM<180°，故D正确．
综上所述，选ACD.
跟踪训练3 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________．
答案 x＝－eq \f(3,2)
解析 方法一 (解直角三角形法)由题易得|OF|＝eq \f(p,2)，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan∠OPF＝tan∠PQF，所以eq \f(|OF|,|PF|)＝eq \f(|PF|,|FQ|)，即eq \f(\f(p,2),p)＝eq \f(p,6)，解得p＝3，所以C的准线方程为x＝－eq \f(3,2).
方法二 (应用射影定理法)由题易得|OF|＝eq \f(p,2)，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，即p2＝eq \f(p,2)×6，解得p＝3或p＝0(舍去)，所以C的准线方程为x＝－eq \f(3,2).
(2)(多选)(2023·东莞模拟)已知抛物线C：y2＝4x，O为坐标原点，点P为直线x＝－2上一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，则( )
A．抛物线的准线方程为x＝－1
B．直线AB一定过抛物线的焦点
C．线段AB长的最小值为4eq \r(2)
D．OP⊥AB
答案 ACD
解析 由抛物线C：y2＝4x可知，焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1，故A正确；
设P(－2，m)，显然直线PA斜率存在且不为零，设为k1，方程为y－m＝k1(x＋2)，
与抛物线方程联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,y－m＝k1x＋2，))
得k1y2－4y＋8k1＋4m＝0，
因为PA是该抛物线的切线，
所以Δ＝(－4)2－4k1(8k1＋4m)＝0，即2keq \\al(2,1)＋mk1－1＝0，
且点A的纵坐标为－eq \f(－4,2k1)＝eq \f(2,k1)，
代入抛物线方程中可得点A的横坐标为eq \f(1,k\\al(2,1))，
设直线PB斜率存在且不为零，设为k2，
同理可得2keq \\al(2,2)＋mk2－1＝0，且点B的纵坐标为－eq \f(－4,2k2)＝eq \f(2,k2)，横坐标为eq \f(1,k\\al(2,2))，
显然k1，k2是方程2k2＋mk－1＝0的两个不相等的实根，
所以k1＋k2＝－eq \f(m,2)，k1k2＝－eq \f(1,2)，
因为kAB·kOP＝eq \f(\f(2,k2)－\f(2,k1),\f(1,k\\al(2,2))－\f(1,k\\al(2,1)))·eq \f(m,－2)＝eq \f(2k1k2,k1＋k2)·eq \f(m,－2)＝eq \f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))),－\f(m,2))·eq \f(m,－2)＝－1，
所以OP⊥AB，故D正确；
由上可知AB的斜率为eq \f(2,m)，
直线AB的方程为y－eq \f(2,k1)＝eq \f(2,m)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,k\\al(2,1))))，
即mkeq \\al(2,1)y－2mk1＝2keq \\al(2,1)x－2，
又2keq \\al(2,1)＋mk1－1＝0，所以mk1＝1－2keq \\al(2,1)，
所以(k1－2keq \\al(3,1))y－2(1－2keq \\al(2,1))＝2keq \\al(2,1)x－2，即(1－2keq \\al(2,1))y＝2k1(x－2)，
所以直线AB一定过点(2,0)，显然该点不是抛物线的焦点，故B不正确；
由题意知，直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝my＋2，,y2＝4x，))得y2－4my－8＝0，
所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－8，
所以|AB|＝eq \r(1＋m2\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(y1＋y22－4y1y2)))＝eq \r(1＋m216m2＋32)
＝4eq \r(m4＋3m2＋2)＝4eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m2＋\f(3,2)))2－\f(1,4))≥4eq \r(2)，当且仅当m＝0时，等号成立，故C正确．
[总结提升]
求圆锥曲线的标准方程，求椭圆与双曲线的方程、离心率以及渐近线时，将已知条件中的椭圆、双曲线的几何性质和几何关系转化为关于a，b，c的关系式进行求解．在解决抛物线方程、性质及应用问题时，关键利用定义构造与焦半径相关的几何图形进行求解(如三角形、直角梯形等)来沟通已知量与p的关系．
1．(2023·北京模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线过双曲线eq \f(x2,3)－y2＝1的一个焦点，则p等于( )
A．1 B．2 C．4 D．8
答案 C
解析 抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－eq \f(p,2)，双曲线eq \f(x2,3)－y2＝1的左焦点的坐标为(－2,0)，右焦点的坐标为(2,0)，因为抛物线y2＝2px的准线过双曲线eq \f(x2,3)－y2＝1的一个焦点，所以eq \f(p,2)＝2，解得p＝4.
2．(2023·江苏决胜新高考大联考)中国国家大剧院是亚洲最大的剧院综合体，中国国家表演艺术的最高殿堂，中外文化交流的最大平台．大剧院的平面投影是椭圆C，其长轴长度约为212 m，短轴长度约为144 m．若直线l平行于长轴且C的中心到l的距离是24 m，则l被C截得的线段长度约为( )
A．140 m B．143 m
C．200 m D．209 m
答案 C
解析 设该椭圆焦点在x轴上，以中心为原点，建立直角坐标系，如图所示，
设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，a>b>0，由题意可得2a＝212,2b＝144，
即a＝106，b＝72，代入方程，得eq \f(x2,1062)＋eq \f(y2,722)＝1，
因为直线l平行于长轴且C的中心到l的距离是24 m，
令y＝24，得|2x|＝eq \f(424\r(2),3)≈200(m)．
3．(2023·齐齐哈尔模拟)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，M为C上的动点，N为圆A：x2＋y2＋2x＋8y＋16＝0上的动点，设点M到y轴的距离为d，则|MN|＋d的最小值为( )
A．1 B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(3\r(3),2) D．2
答案 D
解析 根据已知得到F(2,0)，圆A：(x＋1)2＋(y＋4)2＝1，所以A(－1，－4)，圆A的半径为1，
抛物线C的准线为l：x＝－2，过点M作ME⊥l，垂足为点E，则|ME|＝d＋2，
由抛物线的定义可得d＋2＝|ME|＝|MF|，
所以|MN|＋d＝|MN|＋|MF|－2≥|AM|＋|MF|－1－2≥|AF|－1－2＝eq \r(2＋12＋42)－1－2＝2.
当且仅当N，M分别为线段AF与圆A、抛物线C的交点时，两个等号成立，因此，|MN|＋d的最小值为2.
4．(2023·张家口模拟)已知F1，F2分别是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线C上的动点，|F1F2|＝10，|PF1|－|PF2|＝6，点P到双曲线C的两条渐近线的距离分别为d1，d2，则eq \r(d1d2)等于( )
A.eq \f(5,3) B.eq \f(12,5) C.eq \f(144,25) D．2
答案 B
解析 由|F1F2|＝2c＝10，得c＝5.
因为|PF1|－|PF2|＝2a＝6，所以a＝3.
又因为c2＝a2＋b2，所以b＝4，
故双曲线C的方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1，
所以两条渐近线的方程为y＝±eq \f(4,3)x.
设P(x0，y0)，则eq \f(x\\al(2,0),9)－eq \f(y\\al(2,0),16)＝1，
故eq \f(16x\\al(2,0),9)－yeq \\al(2,0)＝16.
不妨设d1＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)x0－y0)),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))2＋1))，
则d2＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)x0－y0)),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))2＋1))，
所以d1d2＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)x0－y0)),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))2＋1))×eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)x0＋y0)),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))2＋1))＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(16x\\al(2,0),9)－y\\al(2,0))),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))2＋1)＝eq \f(144,25)，
所以eq \r(d1d2)＝eq \f(12,5).
5．(2023·日照模拟)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，点A(－2,2)为椭圆C内一点，点Q(a，b)在双曲线E：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,4)＝1上，若椭圆上存在一点P，使得|PA|＋|PF2|＝8，则a的取值范围是( )
A．(eq \r(5)＋1,5] B．[3,5]
C．(eq \r(5)＋1,2eq \r(5)] D．[eq \r(3)，eq \r(5)]
答案 A
解析 点Q(a，b)在双曲线E：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,4)＝1上，所以a2－b2＝4.
所以椭圆左焦点F1的坐标为(－2,0)．
因为|PA|＋|PF2|＝8，所以|PA|＋2a－|PF1|＝8，
所以||PA|－|PF1||＝|8－2a|≤|AF1|＝2，
所以3≤a≤5.
因为a2－b2＝4，所以b2＝a2－4.
点A(－2,2)为椭圆C内一点，所以eq \f(4,a2)＋eq \f(4,b2)<1，
所以eq \f(4,a2)＋eq \f(4,a2－4)<1，
所以a4－12a2＋16>0，
所以a>eq \r(5)＋1或a
A．360米 B．340米
C．320米 D．270米
答案 B
解析 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，C(xC，yC)，A(－36,2)，D(0，－2)，
根据条件有eq \(AC,\s\up6(→))∥eq \(AM,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))∥eq \(DN,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))＝(xC＋36，yC－2)，eq \(AM,\s\up6(→))＝(x1＋36，y1－2)，
eq \(DC,\s\up6(→))＝(xC，yC＋2)，eq \(DN,\s\up6(→))＝(x2，y2＋2)．
∴(xC＋36)(y1－2)－(x1＋36)(yC－2)＝0，xC(y2＋2)－x2(yC＋2)＝0.
由题意知xC，x1，x2互不相等，把yC＝eq \f(x\\al(2,C),36)，y1＝eq \f(x\\al(2,1),36)，y2＝eq \f(x\\al(2,2),36)分别代入上两式化简得xCx1＋36(xC＋x1)＋72＝0，xC＝eq \f(72,x2)，消去xC得x1＝eq \f(－2x2－72,x2＋2).
MN的方程是y－y2＝eq \f(y1－y2,x1－x2)(x－x2)，
即y－eq \f(x\\al(2,2),36)＝eq \f(x1＋x2,36)(x－x2)，
∴MN的方程为y－eq \f(x\\al(2,2),36)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2＋\f(x\\al(2,2),36)))·eq \f(x－x2,2＋x2)，
则eq \f(y－\f(x\\al(2,2),36),2－\f(x\\al(2,2),36))＝eq \f(－x＋x2,2＋x2)，
∴MN经过定点(－2,2)．
∴点B的坐标为(－2,2)．|AB|＝34，即两固定机位A，B的距离为340米．
7．(多选)(2023·鞍山模拟)已知F1，F2分别是双曲线C：eq \f(x2,4)－y2＝1的左、右焦点，点M是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段F1，F2为直径的圆经过点M，则( )
A．双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(1,4)x
B．以线段F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝3
C．点M的横坐标为2或－2
D．△MF1F2的面积为eq \r(5)
答案 CD
解析 由双曲线方程知，a＝2，b＝1，∴C的渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x，A错误；
∵c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(5)，∴以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝5，B错误；
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝±\f(1,2)x，,x2＋y2＝5，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝±1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝±1，))
∴点M的横坐标为2或－2，C正确；
∵|yM|＝1，∴＝eq \f(1,2)·|F1F2|·|yM|＝eq \r(5)，D正确．
8．(多选)(2023·湖北省十一校联考)已知椭圆C：eq \f(y2,3)＋eq \f(x2,b2)＝1(0
A．椭圆C的焦距为2
B．过F2作圆E的切线，所得切线的斜率为±2eq \r(2)
C．若A，B为椭圆C上关于原点对称且异于顶点和点P的两点，则直线PA与PB的斜率之积为－eq \f(1,5)
D．|PQ|－|PF2|的最小值为4－2eq \r(3)
答案 ABD
解析 圆E：x2＋(y－4)2＝1的圆心E(0,4)，半径r＝1，显然圆E与椭圆C相离，而点P在椭圆C上，点Q在圆E上，
于是|PQ|＋|PF2|≥|PE|－r＋|PF2|≥|EF2|－1＝4－c－1＝3－c，当且仅当P，Q分别是线段EF2与椭圆C、圆E的交点时取等号，
因此3－c＝2，解得c＝1，则椭圆C的焦距为2，且椭圆C的方程为eq \f(y2,3)＋eq \f(x2,2)＝1，A正确；
显然过F2(0,1)与圆E相切的直线斜率存在，设此切线方程为y＝kx＋1，于是eq \f(3,\r(1＋k2))＝1，解得k＝±2eq \r(2)，B正确；
设P(x0，y0)，A(x1，y1)，有B(－x1，－y1)，
且eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x\\al(2,0)＋2y\\al(2,0)＝6，,3x\\al(2,1)＋2y\\al(2,1)＝6，))
即yeq \\al(2,0)－yeq \\al(2,1)＝－eq \f(3,2)(xeq \\al(2,0)－xeq \\al(2,1))，
直线PA，PB的斜率分别为kPA，kPB，
因此kPAkPB＝eq \f(y0－y1,x0－x1)·eq \f(y0＋y1,x0＋x1)＝eq \f(y\\al(2,0)－y\\al(2,1),x\\al(2,0)－x\\al(2,1))＝－eq \f(3,2)，C错误；
|PQ|－|PF2|≥|PE|－r－(2eq \r(3)－|PF1|)＝|PE|＋|PF1|－1－2eq \r(3)≥|EF1|－1－2eq \r(3)
＝4－(－c)－1－2eq \r(3)＝4－2eq \r(3)，
当且仅当P，Q分别是线段EF1与椭圆C、圆E的交点时取等号，D正确．
9．(2023·泉州模拟)在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y2＝6x的焦点为F，过Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，0))的直线l与C交于A，B两点．若△ABF的面积等于△OAD面积的2倍，则eq \f(|AF|,|BF|)＝________.
答案 eq \f(1,2)
解析 如图所示，过A作AA1垂直准线于点A1，过B作BB1垂直准线于点B1，
由抛物线的定义可知，|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，
因为抛物线C：y2＝6x，则Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，0))，
设△OAD的面积为S，则△AOF的面积也为S，△ABF的面积为2S，
所以S△ADF＝S△ABF，即AD＝AB，即A为BD的中点，
所以eq \f(|AF|,|BF|)＝eq \f(|AA1|,|BB1|)＝eq \f(|AD|,|BD|)＝eq \f(1,2).
10．(2023·莆田模拟)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的上、下顶点分别为A，B，右焦点为F，B关于直线AF的对称点为B′.若过A，B′，F三点的圆的半径为a，则C的离心率为________．
答案 eq \f(1,2)
解析 由题意得，过A，B，F三点的圆的半径为a，
其中A(0，b)，F(c,0)，线段AF的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)，\f(b,2)))，
故直线AF的斜率为－eq \f(b,c)，故线段AF的垂直平分线的斜率为eq \f(c,b)，
故线段AF的垂直平分线的方程为y－eq \f(b,2)＝eq \f(c,b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(c,2)))，
又线段AB的垂直平分线为y＝0，
联立y－eq \f(b,2)＝eq \f(c,b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(c,2)))与y＝0，得x＝eq \f(c,2)－eq \f(b2,2c)，
故圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)－\f(b2,2c)，0))，
故半径为c－eq \f(c,2)＋eq \f(b2,2c)＝eq \f(c,2)＋eq \f(b2,2c)，
故a＝eq \f(c,2)＋eq \f(b2,2c)，其中b2＝a2－c2，
解得eq \f(c,a)＝eq \f(1,2).
11．(2023·安徽A10联盟模拟)已知双曲线C：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在C的左支上，AF2交C的右支于点B，∠AF1B＝eq \f(2π,3)，(eq \(F1A,\s\up6(—→))＋eq \(F1B,\s\up6(—→)))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，则C的焦距为________，△AF1F2的面积为________．
答案 2eq \r(15) 12＋6eq \r(3)
解析 取AB的中点M，则eq \(F1A,\s\up6(—→))＋eq \(F1B,\s\up6(—→))＝2eq \(F1M,\s\up6(—→))，
∵(eq \(F1A,\s\up6(—→))＋eq \(F1B,\s\up6(—→)))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，
∴2eq \(F1M,\s\up6(—→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，
∴eq \(F1M,\s\up6(—→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，△ABF1是等腰三角形，|AF1|＝|F1B|，
设|BF2|＝x，由双曲线的定义得|AF1|＝|F1B|＝x＋2a＝x＋6，
|AF2|＝|AF1|＋2a＝x＋12，∴|AB|＝12，
在△ABF1中，∠AF1B＝eq \f(2π,3)，|AF1|＝|F1B|，|AB|＝12，
∴|F1M|＝2eq \r(3)，|F1B|＝4eq \r(3)，∴x＝4eq \r(3)－6.
在Rt△F1F2M中，(2eq \r(3))2＋(4eq \r(3))2＝4c2，
解得c＝eq \r(15)，则双曲线C的焦距为2eq \r(15).
∵|AF2|＝x＋12＝4eq \r(3)＋6，∴△AF1F2的面积为eq \f(1,2)|AF2|·|F1M|＝eq \f(1,2)×(4eq \r(3)＋6)×2eq \r(3)＝12＋6eq \r(3).
12．(2023·扬州模拟)已知F1，F2是椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左，右焦点，过点F2的直线与椭圆交于A，B两点，设△ABF1的内切圆圆心为I，则tan∠IAB的最大值为________．
答案 eq \f(\r(3),3)
解析 因为I为△ABF1的内切圆圆心，则∠F1AF2＝2∠IAB，
显然∠IAB是锐角，当且仅当∠IAB最大时，tan∠IAB最大，且∠F1AF2最大，
又∠F1AF2∈(0，π)，即有cs∠F1AF2最小，
在椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1中，|F1A|＋|F2A|＝4，|F1F2|＝2，
在△F1AF2中，cs∠F1AF2＝eq \f(|F1A|2＋|F2A|2－|F1F2|2,2|F1A||F2A|)＝eq \f(|F1A|＋|F2A|2－|F1F2|2,2|F1A||F2A|)－1
＝eq \f(42－22,2|F1A||F2A|)－1≥eq \f(6,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|F1A|＋|F2A|,2)))2)－1＝eq \f(1,2)，当且仅当|F1A|＝|F2A|＝2时取等号，
因此当|F1A|＝|F2A|＝2，即△F1AF2为正三角形时，∠F1AF2取得最大值eq \f(π,3)，∠IAB取最大值eq \f(π,6)，
所以tan∠IAB的最大值为tan eq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),3)
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