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高考数学专题练 专题六解析几何 微专题35 直线与圆（含答案）
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这是一份高考数学专题练 专题六解析几何 微专题35 直线与圆（含答案），共21页。
典例1 (1)(2023·黄山模拟)“a＝4”是“直线ax＋y＋a＝0和直线4x＋(a－3)y＋a＋5＝0平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)(多选)(2023·汕头模拟)已知直线l1：2x－y－3＝0，l2：x－2y＋3＝0，圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，若圆C与直线l1，l2都相切，则下列选项一定正确的是( )
A．l1与l2关于直线y＝x对称
B．若圆C的圆心在x轴上，则圆C的半径为3或9
C．圆C的圆心在直线x＋y－6＝0或直线x－y＝0上
D．与两坐标轴都相切的圆C有且只有2个
典例2 (1)(多选)(2023·邵阳模拟)已知圆A：x2＋y2＝1，圆B：x2＋y2－4x－4y＋4＝0，直线l：mx－y＋1－m＝0，则下列说法正确的是( )
A．圆B的圆心坐标为(2,2)
B．圆A与圆B有四条公切线
C．点M在圆A上，点N在圆B上，则线段MN长的最大值为3＋2eq \r(2)
D．直线l与圆B一定相交，且相交弦长的最小值为2eq \r(2)
(2)(多选)(2023·江苏四校联考)已知经过点P(2,4)的圆C的圆心坐标为(0，t)(t为整数)，且与直线l：eq \r(3)x－y＝0相切，直线m：ax＋y＋2a＝0与圆C相交于A，B两点，下列说法正确的是( )
A．圆C的标准方程为x2＋(y－4)2＝2
B．若PA⊥PB，则实数a的值为－2
C．若|AB|＝2eq \r(2)，则直线m的方程为x－y＋2＝0或7x－y＋14＝0
D．弦AB的中点M的轨迹方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5
典例3 (1)被誉为古希腊“数学三巨匠”之一的数学家阿波罗尼斯发现：平面内一动点P到两个不同定点A，B的距离之比为常数k(k>0且k≠1)，则点P的轨迹是一个圆心在直线AB上的圆，简称“阿氏圆”．据此请回答如下问题：
已知△ABC中，A为一动点，B，C为两定点，且|AB|＝2|AC|，|BC|＝a，△ABC面积记为S，若a＝3，则Smax＝________；若S＝1，则a的取值范围为________．
(2)若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足eq \f(|PA|,|PB|)＝eq \r(3)，则|PA|2＋|PB|2的最大值为( )
A．16＋8eq \r(3) B．8＋4eq \r(3)
C．7＋4eq \r(3) D．3＋eq \r(3)
[总结提升]
解决圆的方程或弦长、面积等问题一般有两种方法，一是几何法，通过研究圆的性质，直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．二是代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，联立直线与圆的方程，利用弦长公式求弦长，进一步求面积等问题．
1．若平面内两条平行线l1：x＋(a－1)y＋2＝0，l2：ax＋2y＋1＝0间的距离为eq \f(3\r(2),4)，则实数a等于( )
A．2 B．－2或1 C．－1 D．－1或2
2．(2023·福建名校联盟大联考)设圆C：x2－2x＋y2－3＝0，若直线l在y轴上的截距为1，则l与C的交点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．以上都有可能
3．(2023·湛江模拟)若与y轴相切的圆C与直线l：y＝eq \f(\r(3),3)x也相切，且圆C经过点P(2，eq \r(3))，则圆C的直径为( )
A．2 B．2或eq \f(14,3)
C.eq \f(7,4) D.eq \f(7,4)或eq \f(16,3)
4．(2023·沈阳模拟)已知圆O：x2＋y2＝1与圆C：(x－3)2＋y2＝r2外切，直线l：x－y－5＝0与圆C相交于A，B两点，则|AB|等于( )
A．4 B．2 C．2eq \r(3) D．2eq \r(2)
5．(2023·开封模拟)已知等边△ABC的边长为eq \r(3)，P为△ABC所在平面内的动点，且|eq \(PA,\s\up6(→))|＝1，则eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(9,2))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(11,2)))
C．[1,4] D．[1,7]
6．(2023·济南模拟)在平面直角坐标系中，P为圆x2＋y2＝16上的动点，定点A(－3,2)．现将y轴左侧半圆所在坐标平面沿y轴翻折，与y轴右侧半圆所在平面成eq \f(2π,3)的二面角，使点A翻折至A′，P仍在右侧半圆和折起的左侧半圆上运动，则A′，P两点间距离的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(13)，3\r(5))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4－\r(13)，7))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4－\r(13)，3\r(5))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(13)，7))
7．(多选)(2023·临沂模拟)已知圆C：x2＋y2－6x＋8＝0，点A(0,4)，点P在圆C上，O为坐标原点，则( )
A．线段AP长的最大值为6
B．当直线AP与圆C相切时，|AP|＝2eq \r(6)
C．以线段AP为直径的圆不可能过原点O
D.eq \(AO,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))的最大值为20
8．(多选)(2023·湖南新高考教学教研联盟联考)设k∈R，过定点A的动直线l1：x＋ky＝0和过定点B的动直线l2：kx－y＋3－k＝0交于点P，M是圆C：(x－2)2＋(y－4)2＝4上的任意一点，则下列说法正确的有( )
A．直线l1与圆C相切时k＝eq \f(4,3)
B．M到l1距离的最大值是2＋2eq \r(5)
C．直线l2被圆C所截的最短弦长为2eq \r(2)
D．|PA|＋|PB|的最大值为2eq \r(10)
9．(2023·淄博模拟)在平面直角坐标系中，已知点P(3,1)，直线y＝kx＋b与圆x2＋y2＝10交于M，N两点，若△PMN为正三角形，则实数b＝________.
10．(2022·新高考全国Ⅰ)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程________________．
11．在平面直角坐标系中，已知点A(0,3)，若动点M满足|MA|＝2|MO|，则动点M的轨迹方程是________________；若直线l：x＋my－1＝0与该轨迹交于点P，Q，当|PQ|取最小值时，m＝________.
12．在平面直角坐标系中，已知B，C为圆x2＋y2＝9上两点，点A(1,1)，且AB⊥AC，则线段BC长的取值范围是 __________.
专题六 解析几何
微专题35 直线与圆
[考情分析] 高考中，直线与圆的方程偶尔单独命题，此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题的形式出现．直线与圆的方程综合命题时会有一定的深度，常常与圆锥曲线结合在一起以解答题的形式出现，难度中等偏上．
考点一 直线、圆的方程
典例1 (1)(2023·黄山模拟)“a＝4”是“直线ax＋y＋a＝0和直线4x＋(a－3)y＋a＋5＝0平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 ∵直线ax＋y＋a＝0和直线4x＋(a－3)y＋a＋5＝0平行，
∴a(a－3)－1×4＝0，解得a＝4或a＝－1，
当a＝4时，两直线分别为4x＋y＋4＝0,4x＋y＋9＝0，两直线平行，符合题意；
当a＝－1时，两直线分别为－x＋y－1＝0,4x－4y＋4＝0，即为x－y＋1＝0，x－y＋1＝0，
两直线重合，不符合题意，综上所述，a＝4.
故“a＝4”是“直线ax＋y＋a＝0和直线4x＋(a－3)y＋a＋5＝0平行”的充要条件．
(2)(多选)(2023·汕头模拟)已知直线l1：2x－y－3＝0，l2：x－2y＋3＝0，圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，若圆C与直线l1，l2都相切，则下列选项一定正确的是( )
A．l1与l2关于直线y＝x对称
B．若圆C的圆心在x轴上，则圆C的半径为3或9
C．圆C的圆心在直线x＋y－6＝0或直线x－y＝0上
D．与两坐标轴都相切的圆C有且只有2个
答案 ACD
解析 对于A，设直线l1：2x－y－3＝0上任意一点(x0,2x0－3)关于直线y＝x对称的点为(m，n)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2x0－3－n,x0－m)＝－1，,\f(m＋x0,2)＝\f(n＋2x0－3,2)，))
解得m－2n＋3＝0，
所以点(m，n)在直线l2：x－2y＋3＝0上，
所以l1与l2关于直线y＝x对称，故A正确；
对于B，因为圆C的圆心在x轴上，设圆心为(a,0)，
因为圆C与直线l1，l2都相切，
所以r＝eq \f(|2a－3|,\r(5))＝eq \f(|a＋3|,\r(5))，解得a＝0或a＝6，
当a＝0时，r＝eq \f(3,\r(5))＝eq \f(3\r(5),5)；当a＝6时，r＝eq \f(9,\r(5))＝eq \f(9\r(5),5)，故B错误；
对于C，由圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，得圆心为(a，b)，半径为r，
因为圆C与直线l1，l2都相切，
所以r＝eq \f(|2a－b－3|,\r(5))＝eq \f(|a－2b＋3|,\r(5))，
解得a＋b－6＝0或a＝b，所以圆心(a，b)在直线x＋y－6＝0或直线x－y＝0上，故C正确；
对于D，由圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，得圆心为(a，b)，半径为r，
因为圆C与两坐标轴都相切，得圆心到x轴的距离为|b|，到y轴的距离为|a|，
所以r＝|a|且r＝|b|，即|a|＝|b|，
解得a＝b或a＝－b，当a＝b时，由题意可知eq \f(|2a－b－3|,\r(5))＝|a|，解得a＝b＝－eq \f(3\r(5)＋1,4)或a＝b＝eq \f(3\r(5)－1,4)，
当a＝－b时，此时不满足，所以与两坐标轴都相切的圆C有且只有2个，故D正确．
跟踪训练1 (1)已知直线l1：2x－y＋1＝0，l2：x＋ay－1＝0，且l1⊥l2，则点P(1,2)到直线l2的距离d等于( )
A.eq \f(\r(5),5) B.eq \f(2\r(5),5) C.eq \f(3\r(5),5) D.eq \f(4\r(5),5)
答案 D
解析 ∵直线l1：2x－y＋1＝0，l2：x＋ay－1＝0，且l1⊥l2，
∴2×1－1×a＝0，解得a＝2，
∴点P(1,2)到直线l2的距离d＝eq \f(|1＋2×2－1|,\r(12＋22))＝eq \f(4\r(5),5).
(2)(2023·济南模拟)已知圆C1：x2＋y2＝2关于直线l对称的圆为圆C2：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，则直线l的方程为________________．
答案 2x－4y＋5＝0
解析 圆C2：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0化为(x＋1)2＋(y－2)2＝2.
由题意可知圆C1的圆心为C1(0,0)，圆C2的圆心为C2(－1,2)，
圆C1与圆C2关于直线l对称，
则两圆心C1，C2关于直线l对称．
＝eq \f(2－0,－1－0)＝－2，且C1，C2的中点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))，
所以直线l的方程为y－1＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))，即2x－4y＋5＝0.
考点二 直线、圆的位置关系
典例2 (1)(多选)(2023·邵阳模拟)已知圆A：x2＋y2＝1，圆B：x2＋y2－4x－4y＋4＝0，直线l：mx－y＋1－m＝0，则下列说法正确的是( )
A．圆B的圆心坐标为(2,2)
B．圆A与圆B有四条公切线
C．点M在圆A上，点N在圆B上，则线段MN长的最大值为3＋2eq \r(2)
D．直线l与圆B一定相交，且相交弦长的最小值为2eq \r(2)
答案 ACD
解析 对于A，圆B的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4，圆B的圆心坐标为(2,2)，故A正确；
对于B，圆A的圆心为A(0,0)，半径为r1＝1，圆B的半径为r2＝2，
圆心距为|AB|＝eq \r(2－02＋2－02)＝2eq \r(2)∈(1,3)，即|r1－r2|<|AB|所以圆A与圆B相交，故圆A与圆B有两条公切线，故B错误；
对于C，因为两圆圆心距为|AB|＝2eq \r(2)，又因为点M在圆A上，点N在圆B上，则线段MN长的最大值为|AB|＋r1＋r2＝3＋2eq \r(2)，故C正确；
对于D，直线l的方程可化为m(x－1)－(y－1)＝0，
所以直线l过定点C(1,1)，
因为(1－2)2＋(1－2)2<4，故点C在圆B内，所以直线l与圆B相交，
当l⊥BC时，圆心B到直线l的距离取得最大值，且最大值为|BC|＝eq \r(1－22＋1－22)＝eq \r(2)，
此时，直线l截圆B所得弦长最小，且最小值为2eq \r(4－|BC|2)＝2eq \r(2)，故D正确．
(2)(多选)(2023·江苏四校联考)已知经过点P(2,4)的圆C的圆心坐标为(0，t)(t为整数)，且与直线l：eq \r(3)x－y＝0相切，直线m：ax＋y＋2a＝0与圆C相交于A，B两点，下列说法正确的是( )
A．圆C的标准方程为x2＋(y－4)2＝2
B．若PA⊥PB，则实数a的值为－2
C．若|AB|＝2eq \r(2)，则直线m的方程为x－y＋2＝0或7x－y＋14＝0
D．弦AB的中点M的轨迹方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5
答案 BC
解析 对于A，设圆C的半径为r，由题意可得圆C的方程为x2＋(y－t)2＝r2(t为整数)，
根据点P(2,4)是圆C上的点，且圆C与直线l：eq \r(3)x－y＝0相切，则r＝eq \f(|t|,2)，
∴eq \f(|t|,2)＝eq \r(22＋4－t2)，
∵t∈Z，∴t＝4，则r＝2，
则圆C的标准方程为x2＋(y－4)2＝4，故A错误；
对于B，由选项A的分析可知圆C的标准方程为x2＋(y－4)2＝4，圆心C(0,4)，
∵点P(2,4)在圆C上，且PA⊥PB，∴线段AB为圆C的一条直径，
∵直线m：ax＋y＋2a＝0与圆C相交于A，B两点，
∴圆心C(0,4)在直线m上，∴4＋2a＝0，解得a＝－2，故B正确；
对于C，由选项A的分析可知圆C的半径为2，圆心C(0,4)，
则圆心C到直线m的距离d＝eq \f(|2a＋4|,\r(1＋a2))，
∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|AB|,2)))2＋d2＝r2，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(2),2)))2＋d2＝22，解得d＝eq \r(2)，
∴eq \f(|4＋2a|,\r(1＋a2))＝eq \r(2)，整理得a2＋8a＋7＝0，解得a＝－1或a＝－7，
则直线m的方程为x－y＋2＝0或7x－y＋14＝0，故C正确；
对于D，直线m的方程可化为y＝－a(x＋2)，过定点N(－2,0)，
由圆的性质可得CM⊥MN，
∴点M的轨迹是以线段CN为直径的圆，
则此圆圆心为线段CN的中点，其坐标为(－1,2)，半径为eq \f(1,2)|CN|＝eq \r(5)，
则该圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋12＋y－22＝5，,x2＋y－42＝4，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(6,5)，,y＝\f(12,5)，))
故弦AB的中点M的轨迹方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2跟踪训练2 (1)(多选)(2023·宣城模拟)已知点M(0，－2)，N(1，－1)，且点P在圆C：x2－4x＋y2＝0上，C为圆心，则下列结论正确的是( )
A．直线MN与圆C相交所得的弦长为4
B．|PM|－|PN|的最大值为eq \r(2)
C．△PMN的面积的最大值为2
D．当∠PMN最大时，△PMN的面积为1
答案 ABD
解析 圆C：x2－4x＋y2＝0，即(x－2)2＋y2＝4，所以圆C是以C(2,0)为圆心，2为半径的圆．
对于A，直线MN的方程为x－y－2＝0，过圆心，所以直线MN与圆C相交所得的弦长为直径4，故A项正确；
对于B，|PM|－|PN|≤|MN|＝eq \r(2)，当点P为MN的延长线与圆的交点时，等号成立，故B项正确；
对于C，设点P到直线MN的距离为d，则S△PMN＝eq \f(1,2)|MN|·d＝eq \f(\r(2),2)d，
因为直线MN过圆心，所以当d＝r＝2时，S△PMN取最大值为eq \f(\r(2),2)×2＝eq \r(2)，故C项错误；
对于D，当MP与圆C相切时，∠PMN最大，不妨设P(0,0)，
此时S△PMN＝eq \f(1,2)×2×1＝1，故D项正确．
(2)(2023·东北三省三校联考)已知圆C：(x－1)2＋(y－4)2＝4，直线y＝kx＋1交圆C于M，N两点，若△CMN的面积为2，则实数k的值为________．
答案 －7或1
解析 圆C：(x－1)2＋(y－4)2＝4，圆心C(1,4)，半径r＝2，
设圆心C(1,4)到直线y＝kx＋1的距离为d，则d为△CMN的边MN上的高，
由点到直线的距离公式得，d＝eq \f(|k－4＋1|,\r(k2＋1))＝eq \f(|k－3|,\r(k2＋1))，
由勾股定理得|MN|＝2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(4－d2)，
设△CMN的面积为S，则S＝eq \f(1,2)|MN|·d＝2，
所以eq \f(1,2)×2eq \r(4－d2)×d＝2，
两边平方得(4－d2)d2＝4，即d4－4d2＋4＝0，
所以d2＝2，
因为d＝eq \f(|k－3|,\r(k2＋1))，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|k－3|,\r(k2＋1))))2＝2，
化简可得(k－3)2＝2(k2＋1)，
所以k2＋6k－7＝0，解得k＝－7或k＝1.
考点三 隐圆问题(阿波罗尼斯圆)
典例3 (1)被誉为古希腊“数学三巨匠”之一的数学家阿波罗尼斯发现：平面内一动点P到两个不同定点A，B的距离之比为常数k(k>0且k≠1)，则点P的轨迹是一个圆心在直线AB上的圆，简称“阿氏圆”．据此请回答如下问题：
已知△ABC中，A为一动点，B，C为两定点，且|AB|＝2|AC|，|BC|＝a，△ABC面积记为S，若a＝3，则Smax＝________；若S＝1，则a的取值范围为________．
答案 3 [eq \r(3)，＋∞)
解析 以B为原点，BC所在的直线作为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
若a＝3，即|BC|＝3，则不妨设C在x正半轴上，则C(3,0)，
设△ABC的顶点A(x，y)，而|AB|＝2|AC|，
则eq \r(x2＋y2)＝2eq \r(x－32＋y2)，化简可得(x－4)2＋y2＝4，
根据条件可知A不在直线BC上，则y≠0，
所以点A的轨迹为圆(x－4)2＋y2＝4除去点(6,0)与(2,0)，可得|y|max＝2，
所以△ABC面积S的最大值为eq \f(1,2)|BC||y|max＝eq \f(1,2)×3×2＝3，即Smax＝3，
同样的，当|AB|＝2|AC|，|BC|＝a时，
则△ABC的顶点A(x，y)满足eq \r(x2＋y2)＝2eq \r(x－a2＋y2)，
化简可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(4,3)a))2＋y2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)a))2(y≠0)，可得0<|y|≤eq \f(2a,3)，
又S＝1，则eq \f(1,2)a|y|＝1，即|y|＝eq \f(2,a)，
所以0(2)若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足eq \f(|PA|,|PB|)＝eq \r(3)，则|PA|2＋|PB|2的最大值为( )
A．16＋8eq \r(3) B．8＋4eq \r(3)
C．7＋4eq \r(3) D．3＋eq \r(3)
答案 A
解析 由题意，设A(－1,0)，B(1,0)，P(x，y)，
因为eq \f(|PA|,|PB|)＝eq \r(3)，
所以eq \f(\r(x＋12＋y2),\r(x－12＋y2))＝eq \r(3)，
即(x－2)2＋y2＝3，
所以点P的轨迹是以(2,0)为圆心，eq \r(3)为半径的圆，
因为|PA|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝2(x2＋y2＋1)，
其中x2＋y2可看作圆(x－2)2＋y2＝3上的点(x，y)到原点(0,0)的距离的平方，
所以(x2＋y2)max＝(2＋eq \r(3))2＝7＋4eq \r(3)，
所以[2(x2＋y2＋1)]max＝16＋8eq \r(3)，
即|PA|2＋|PB|2的最大值为16＋8eq \r(3).
跟踪训练3 (1)(2023·株洲模拟)在平面直角坐标系中，已知两点O(0,0)，A(3,4)到直线l的距离分别是1与4，则满足条件的直线l共有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
答案 C
解析 分别以O，A为圆心，以1,4为半径作圆，
因为|OA|＝eq \r(3－02＋4－02)＝5＝1＋4,
所以两圆外切，如图所示，有三条公切线，即满足条件的直线l共有3条．
(2)(2023·北京模拟)在平面直角坐标系内，点O是坐标原点，动点B，C满足|eq \(OB,\s\up6(→))|＝|eq \(OC,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝0，A为线段BC中点，P为圆(x－3)2＋(y－4)2＝4上任意一点，则|eq \(AP,\s\up6(→))|的取值范围是( )
A．[2,8] B．[3,8]
C．[2,7] D．[3,7]
答案 A
解析 由eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝0，得eq \(OB,\s\up6(→))⊥eq \(OC,\s\up6(→))，
又|eq \(OB,\s\up6(→))|＝|eq \(OC,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，且A为线段BC中点，则|eq \(OA,\s\up6(→))|＝1，
所以A为圆O:x2＋y2＝1上任意一点，
设圆(x－3)2＋(y－4)2＝4的圆心为M，则|eq \(OM,\s\up6(→))|＝5，
又|eq \(OM,\s\up6(→))|＝5>1＋2，所以圆O与圆M相离，
所以|eq \(AP,\s\up6(→))|的几何意义为圆O与圆M这两圆上的点之间的距离，
所以|eq \(AP,\s\up6(→))|max＝|eq \(OM,\s\up6(→))|＋|eq \(AO,\s\up6(→))|＋|eq \(MP,\s\up6(→))|＝5＋1＋2＝8，如图1.
|eq \(AP,\s\up6(→))|min＝|eq \(OM,\s\up6(→))|－|eq \(AO,\s\up6(→))|－|eq \(MP,\s\up6(→))|＝5－1－2＝2，如图2.
所以|eq \(AP,\s\up6(→))|的取值范围为[2,8]．
[总结提升]
解决圆的方程或弦长、面积等问题一般有两种方法，一是几何法，通过研究圆的性质，直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．二是代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，联立直线与圆的方程，利用弦长公式求弦长，进一步求面积等问题．
1．若平面内两条平行线l1：x＋(a－1)y＋2＝0，l2：ax＋2y＋1＝0间的距离为eq \f(3\r(2),4)，则实数a等于( )
A．2 B．－2或1 C．－1 D．－1或2
答案 A
解析 因为两直线l1：x＋(a－1)y＋2＝0，l2：ax＋2y＋1＝0平行，
可得1×2＝(a－1)×a且1×1≠2a，解得a＝2或a＝－1，
当a＝2时，l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋1＝0，即l1：2x＋2y＋4＝0，
可得两平行线间的距离d＝eq \f(|4－1|,\r(22＋22))＝eq \f(3\r(2),4)，符合题意；
当a＝－1时，l1：x－2y＋2＝0，l2：－x＋2y＋1＝0，即l2：x－2y－1＝0，
可得两平行线间的距离d＝eq \f(|2－－1|,\r(12＋－22))＝eq \f(3\r(5),5)，不符合题意，舍去．
2．(2023·福建名校联盟大联考)设圆C：x2－2x＋y2－3＝0，若直线l在y轴上的截距为1，则l与C的交点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．以上都有可能
答案 C
解析 ∵直线l在y轴上的截距为1，
∴直线l过定点(0,1)，
∵02－2×0＋12－3＝－2<0，
∴点(0,1)在圆内，
∴直线l与C的交点个数为2.
3．(2023·湛江模拟)若与y轴相切的圆C与直线l：y＝eq \f(\r(3),3)x也相切，且圆C经过点P(2，eq \r(3))，则圆C的直径为( )
A．2 B．2或eq \f(14,3)
C.eq \f(7,4) D.eq \f(7,4)或eq \f(16,3)
答案 B
解析 因为直线l：y＝eq \f(\r(3),3)x的倾斜角为30°，
所以圆C的圆心在两切线所成角的角平分线y＝eq \r(3)x上．
设圆心C(a，eq \r(3)a)，
则圆C的方程为(x－a)2＋(y－eq \r(3)a)2＝a2，
将点P(2，eq \r(3))的坐标代入，
得(2－a)2＋(eq \r(3)－eq \r(3)a)2＝a2，
整理得3a2－10a＋7＝0，
解得a＝1或a＝eq \f(7,3)，
所以圆C的直径为2或eq \f(14,3).
4．(2023·沈阳模拟)已知圆O：x2＋y2＝1与圆C：(x－3)2＋y2＝r2外切，直线l：x－y－5＝0与圆C相交于A，B两点，则|AB|等于( )
A．4 B．2 C．2eq \r(3) D．2eq \r(2)
答案 D
解析 圆O：x2＋y2＝1的圆心O的坐标为(0,0)，半径为1，
圆C：(x－3)2＋y2＝r2的圆心C的坐标为(3,0)，半径为r，
因为圆O与圆C外切，所以|OC|＝1＋r，所以r2＝4.
设圆心C(3,0)到直线l的距离为d，则d＝eq \f(|3－5|,\r(2))＝eq \r(2)，
从而|AB|＝2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(2).
5．(2023·开封模拟)已知等边△ABC的边长为eq \r(3)，P为△ABC所在平面内的动点，且|eq \(PA,\s\up6(→))|＝1，则eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(9,2))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(11,2)))
C．[1,4] D．[1,7]
答案 B
解析 如图，构建平面直角坐标系，且Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，0))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，0))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,2)))，
所以P(x，y)在以A为圆心，1为半径的圆上，
即轨迹方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(\r(3),2)))2＋y2＝1，
而eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)－x，－y))，eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x，\f(3,2)－y))，
故eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝x2－eq \f(\r(3),2)x＋y2－eq \f(3,2)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(\r(3),4)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(3,4)))2－eq \f(3,4)，
综上，只需求出定点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),4)，\f(3,4)))与圆eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(\r(3),2)))2＋y2＝1上点的距离平方的范围即可，
而圆心A与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),4)，\f(3,4)))的距离d＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),4)＋\f(\r(3),2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))2)＝eq \f(3,2)，
故定点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),4)，\f(3,4)))与圆上点的距离的范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(5,2)))，
所以eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(11,2))).
6．(2023·济南模拟)在平面直角坐标系中，P为圆x2＋y2＝16上的动点，定点A(－3,2)．现将y轴左侧半圆所在坐标平面沿y轴翻折，与y轴右侧半圆所在平面成eq \f(2π,3)的二面角，使点A翻折至A′，P仍在右侧半圆和折起的左侧半圆上运动，则A′，P两点间距离的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(13)，3\r(5))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4－\r(13)，7))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4－\r(13)，3\r(5))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(13)，7))
答案 B
解析 设A所在平面为α，圆的另一半所在平面为β，
若P∈α，则P，A，O三点共线时，|PA|有最小值|P1A′|＝R－|OA′|＝4－eq \r(13)；
当P在圆的下端点时，取到最大值|P2A′|＝eq \r(－3－02＋2＋42)＝eq \r(32＋62)＝3eq \r(5)，
即|PA′|∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4－\r(13)，3\r(5)))；
若P∈β，设P(4cs θ，4sin θ)，A′在β上的投影为A1，
则A′到β的距离为|A′A1|＝|－3|sin eq \f(π,3)＝eq \f(3\r(3),2)，
又A′到y轴的距离为3，
∴A1到y轴的距离为eq \r(9－\f(27,4))＝eq \f(3,2)，
而A1到x轴的距离为2，
则|PA′|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)＋4cs θ))2＋2－4sin θ2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(3),2)))2)
＝eq \r(29＋20\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)cs θ－\f(4,5)sin θ)))
＝eq \r(29＋20sinφ－θ)，
其中θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，sin φ＝eq \f(3,5)，cs φ＝eq \f(4,5)，
故|PA′|min＝eq \r(13)，当且仅当θ＝eq \f(π,2)时，等号成立，
|PA′|max＝7，当且仅当θ＝φ－eq \f(π,2)时，等号成立，即|PA′|∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(13)，7))，
综上可得，|PA′|∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4－\r(13)，7)).
7．(多选)(2023·临沂模拟)已知圆C：x2＋y2－6x＋8＝0，点A(0,4)，点P在圆C上，O为坐标原点，则( )
A．线段AP长的最大值为6
B．当直线AP与圆C相切时，|AP|＝2eq \r(6)
C．以线段AP为直径的圆不可能过原点O
D.eq \(AO,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))的最大值为20
答案 ABD
解析 根据题意可知圆C：(x－3)2＋y2＝1的圆心C(3,0)，半径r＝1，如图所示，
易知|AP|≤|AC|＋|CP|＝eq \r(32＋42)＋1＝6，当且仅当A，C，P三点共线且C点在A，P之间时，等号成立，所以A正确；
当直线AP与圆C相切时，由勾股定理可得|AP|＝eq \r(|AC|2－|CP|2)＝eq \r(25－1)＝2eq \r(6)，所以B正确；
若以线段AP为直径的圆过原点O，由直径所对圆周角为直角可得∠AOP＝90°，
易知当P在x轴上时，满足题意；
所以以线段AP为直径的圆可能过原点O，所以C错误；
设点P(x0，y0)，易知x0∈[2,4]，y0∈[－1,1]，
则eq \(AO,\s\up6(→))＝(0，－4)，eq \(AP,\s\up6(→))＝(x0，y0－4)，
所以eq \(AO,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))＝16－4y0≤16－4×(－1)＝20，
即eq \(AO,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))的最大值为20，所以D正确．
8．(多选)(2023·湖南新高考教学教研联盟联考)设k∈R，过定点A的动直线l1：x＋ky＝0和过定点B的动直线l2：kx－y＋3－k＝0交于点P，M是圆C：(x－2)2＋(y－4)2＝4上的任意一点，则下列说法正确的有( )
A．直线l1与圆C相切时k＝eq \f(4,3)
B．M到l1距离的最大值是2＋2eq \r(5)
C．直线l2被圆C所截的最短弦长为2eq \r(2)
D．|PA|＋|PB|的最大值为2eq \r(10)
答案 BC
解析 由圆的标准方程可得圆心为C(2,4)，半径r＝2，直线l2过的定点为B(1,3)．
显然当k＝0时直线l1也与圆C相切，故A错误；
直线l1过的定点为A(0,0)，当l1⊥CA时，C到l1的距离最大，最大值为|CA|＝2eq \r(5)，
此时M到l1距离的最大值为2＋2eq \r(5)，故B正确；
当l2⊥CB时所得弦长最短，则＝－1，
又，，所以k＝－1，得l2：x＋y－4＝0，
则圆心到直线l2的距离为d＝eq \f(|2|,\r(2))＝eq \r(2)，
所以弦长为2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(2)，故C正确；
由l1：x＋ky＝0⇒A(0,0)，当k＝0时，l1：x＝0，l2：y＝3，有l1⊥l2，
当k≠0时，，，则，
所以l1⊥l2，又点P是两直线的交点，
所以PA⊥PB，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，
因为(|PA|＋|PB|)2＝|PA|2＋|PB|2＋2|PA||PB|≤2(|PA|2＋|PB|2)＝20，
所以|PA|＋|PB|≤2eq \r(5)，当且仅当|PA|＝|PB|＝eq \r(5)时等号成立，故D错误．
9．(2023·淄博模拟)在平面直角坐标系中，已知点P(3,1)，直线y＝kx＋b与圆x2＋y2＝10交于M，N两点，若△PMN为正三角形，则实数b＝________.
答案 －5
解析 由题意可知P(3,1)在圆上，如图．
设MN中点为H，连接PH，因为△PMN为正三角形，则PH过点原点O，且PH⊥MN，
则直线MN的斜率为k＝－eq \f(1,kOP)＝－3，
故y＝kx＋b即为y＝－3x＋b，
因为△PMN为正三角形，则O点为△PMN的中心，由中心及重心性质知，
|OH|＝eq \f(|OP|,2)＝eq \f(\r(10),2)，故eq \f(|b|,\r(1＋9))＝eq \f(\r(10),2)，解得b＝±5，
结合P(3,1)在圆上，△PMN是圆的内接正三角形，可知b<0，即b＝－5.
10．(2022·新高考全国Ⅰ)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程________．
答案 x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0(答案不唯一，只需写出上述三个方程中的一个即可)
解析 如图，因为圆x2＋y2＝1的圆心为O(0,0)，半径r1＝1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心为A(3,4)，半径r2＝4，
所以|OA|＝5，r1＋r2＝5，所以|OA|＝r1＋r2，所以两圆外切，公切线有三种情况：
①易知公切线l1的方程为x＝－1.
②另一条公切线l2与公切线l1关于过两圆圆心的直线l对称．
易知过两圆圆心的直线l的方程为y＝eq \f(4,3)x，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝\f(4,3)x))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－\f(4,3)，))
由对称性可知公切线l2过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(4,3))).
设公切线l2的方程为y＋eq \f(4,3)＝k(x＋1)，
则点O(0,0)到l2的距离为1，
所以1＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(k－\f(4,3))),\r(k2＋1))，解得k＝eq \f(7,24)，
所以公切线l2的方程为y＋eq \f(4,3)＝eq \f(7,24)(x＋1)，
即7x－24y－25＝0.
③还有一条公切线l3与直线l：y＝eq \f(4,3)x垂直，设公切线l3的方程为y＝－eq \f(3,4)x＋t，
易知t>0，则点O(0,0)到l3的距离为1，
所以1＝eq \f(|t|,\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))2＋－12))，
解得t＝eq \f(5,4)或t＝－eq \f(5,4)(舍去)，
所以公切线l3的方程为y＝－eq \f(3,4)x＋eq \f(5,4)，
即3x＋4y－5＝0.
综上，所求直线方程为x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0.
11．在平面直角坐标系中，已知点A(0,3)，若动点M满足|MA|＝2|MO|，则动点M的轨迹方程是________________；若直线l：x＋my－1＝0与该轨迹交于点P，Q，当|PQ|取最小值时，m＝________.
答案 x2＋(y＋1)2＝4 1
解析 设动点M(x，y)，因为|MA|＝2|MO|，
于是得eq \r(x2＋y－32)＝2eq \r(x2＋y2)，
化简整理得x2＋(y＋1)2＝4，
所以动点M的轨迹的方程是x2＋(y＋1)2＝4，
该轨迹是以点C(0，－1)为圆心，2为半径的圆，直线l：x＋my－1＝0恒过定点B(1,0)，
点B(1,0)在圆x2＋(y＋1)2＝4内，由圆的性质知，当弦PQ长最短时，直线l垂直于直线BC，
直线BC斜率kBC＝eq \f(0－－1,1－0)＝1，因此，－eq \f(1,m)×1＝－1，解得m＝1，
所以当|PQ|取最小值时，m＝1.
12．在平面直角坐标系中，已知B，C为圆x2＋y2＝9上两点，点A(1,1)，且AB⊥AC，则线段BC长的取值范围是__________.
答案 [4－eq \r(2)，4＋eq \r(2)]
解析 如图，设BC的中点为M(x，y)，因为|OB|2＝|OM|2＋|BM|2＝|OM|2＋|AM|2，
所以9＝x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2，化简得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(1,2)))2＝4，
即点M的轨迹是以Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)))为圆心，2为半径的圆，
所以|AN|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))2)＝eq \f(\r(2),2)，
所以|AM|的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2－\f(\r(2),2)，2＋\f(\r(2),2)))，
从而|BC|的取值范围是[4－eq \r(2)，4＋eq \r(2)]．
典例1 (1)(2023·黄山模拟)“a＝4”是“直线ax＋y＋a＝0和直线4x＋(a－3)y＋a＋5＝0平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)(多选)(2023·汕头模拟)已知直线l1：2x－y－3＝0，l2：x－2y＋3＝0，圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，若圆C与直线l1，l2都相切，则下列选项一定正确的是( )
A．l1与l2关于直线y＝x对称
B．若圆C的圆心在x轴上，则圆C的半径为3或9
C．圆C的圆心在直线x＋y－6＝0或直线x－y＝0上
D．与两坐标轴都相切的圆C有且只有2个
典例2 (1)(多选)(2023·邵阳模拟)已知圆A：x2＋y2＝1，圆B：x2＋y2－4x－4y＋4＝0，直线l：mx－y＋1－m＝0，则下列说法正确的是( )
A．圆B的圆心坐标为(2,2)
B．圆A与圆B有四条公切线
C．点M在圆A上，点N在圆B上，则线段MN长的最大值为3＋2eq \r(2)
D．直线l与圆B一定相交，且相交弦长的最小值为2eq \r(2)
(2)(多选)(2023·江苏四校联考)已知经过点P(2,4)的圆C的圆心坐标为(0，t)(t为整数)，且与直线l：eq \r(3)x－y＝0相切，直线m：ax＋y＋2a＝0与圆C相交于A，B两点，下列说法正确的是( )
A．圆C的标准方程为x2＋(y－4)2＝2
B．若PA⊥PB，则实数a的值为－2
C．若|AB|＝2eq \r(2)，则直线m的方程为x－y＋2＝0或7x－y＋14＝0
D．弦AB的中点M的轨迹方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5
典例3 (1)被誉为古希腊“数学三巨匠”之一的数学家阿波罗尼斯发现：平面内一动点P到两个不同定点A，B的距离之比为常数k(k>0且k≠1)，则点P的轨迹是一个圆心在直线AB上的圆，简称“阿氏圆”．据此请回答如下问题：
已知△ABC中，A为一动点，B，C为两定点，且|AB|＝2|AC|，|BC|＝a，△ABC面积记为S，若a＝3，则Smax＝________；若S＝1，则a的取值范围为________．
(2)若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足eq \f(|PA|,|PB|)＝eq \r(3)，则|PA|2＋|PB|2的最大值为( )
A．16＋8eq \r(3) B．8＋4eq \r(3)
C．7＋4eq \r(3) D．3＋eq \r(3)
[总结提升]
解决圆的方程或弦长、面积等问题一般有两种方法，一是几何法，通过研究圆的性质，直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．二是代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，联立直线与圆的方程，利用弦长公式求弦长，进一步求面积等问题．
1．若平面内两条平行线l1：x＋(a－1)y＋2＝0，l2：ax＋2y＋1＝0间的距离为eq \f(3\r(2),4)，则实数a等于( )
A．2 B．－2或1 C．－1 D．－1或2
2．(2023·福建名校联盟大联考)设圆C：x2－2x＋y2－3＝0，若直线l在y轴上的截距为1，则l与C的交点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．以上都有可能
3．(2023·湛江模拟)若与y轴相切的圆C与直线l：y＝eq \f(\r(3),3)x也相切，且圆C经过点P(2，eq \r(3))，则圆C的直径为( )
A．2 B．2或eq \f(14,3)
C.eq \f(7,4) D.eq \f(7,4)或eq \f(16,3)
4．(2023·沈阳模拟)已知圆O：x2＋y2＝1与圆C：(x－3)2＋y2＝r2外切，直线l：x－y－5＝0与圆C相交于A，B两点，则|AB|等于( )
A．4 B．2 C．2eq \r(3) D．2eq \r(2)
5．(2023·开封模拟)已知等边△ABC的边长为eq \r(3)，P为△ABC所在平面内的动点，且|eq \(PA,\s\up6(→))|＝1，则eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(9,2))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(11,2)))
C．[1,4] D．[1,7]
6．(2023·济南模拟)在平面直角坐标系中，P为圆x2＋y2＝16上的动点，定点A(－3,2)．现将y轴左侧半圆所在坐标平面沿y轴翻折，与y轴右侧半圆所在平面成eq \f(2π,3)的二面角，使点A翻折至A′，P仍在右侧半圆和折起的左侧半圆上运动，则A′，P两点间距离的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(13)，3\r(5))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4－\r(13)，7))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4－\r(13)，3\r(5))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(13)，7))
7．(多选)(2023·临沂模拟)已知圆C：x2＋y2－6x＋8＝0，点A(0,4)，点P在圆C上，O为坐标原点，则( )
A．线段AP长的最大值为6
B．当直线AP与圆C相切时，|AP|＝2eq \r(6)
C．以线段AP为直径的圆不可能过原点O
D.eq \(AO,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))的最大值为20
8．(多选)(2023·湖南新高考教学教研联盟联考)设k∈R，过定点A的动直线l1：x＋ky＝0和过定点B的动直线l2：kx－y＋3－k＝0交于点P，M是圆C：(x－2)2＋(y－4)2＝4上的任意一点，则下列说法正确的有( )
A．直线l1与圆C相切时k＝eq \f(4,3)
B．M到l1距离的最大值是2＋2eq \r(5)
C．直线l2被圆C所截的最短弦长为2eq \r(2)
D．|PA|＋|PB|的最大值为2eq \r(10)
9．(2023·淄博模拟)在平面直角坐标系中，已知点P(3,1)，直线y＝kx＋b与圆x2＋y2＝10交于M，N两点，若△PMN为正三角形，则实数b＝________.
10．(2022·新高考全国Ⅰ)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程________________．
11．在平面直角坐标系中，已知点A(0,3)，若动点M满足|MA|＝2|MO|，则动点M的轨迹方程是________________；若直线l：x＋my－1＝0与该轨迹交于点P，Q，当|PQ|取最小值时，m＝________.
12．在平面直角坐标系中，已知B，C为圆x2＋y2＝9上两点，点A(1,1)，且AB⊥AC，则线段BC长的取值范围是 __________.
专题六 解析几何
微专题35 直线与圆
[考情分析] 高考中，直线与圆的方程偶尔单独命题，此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题的形式出现．直线与圆的方程综合命题时会有一定的深度，常常与圆锥曲线结合在一起以解答题的形式出现，难度中等偏上．
考点一 直线、圆的方程
典例1 (1)(2023·黄山模拟)“a＝4”是“直线ax＋y＋a＝0和直线4x＋(a－3)y＋a＋5＝0平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 ∵直线ax＋y＋a＝0和直线4x＋(a－3)y＋a＋5＝0平行，
∴a(a－3)－1×4＝0，解得a＝4或a＝－1，
当a＝4时，两直线分别为4x＋y＋4＝0,4x＋y＋9＝0，两直线平行，符合题意；
当a＝－1时，两直线分别为－x＋y－1＝0,4x－4y＋4＝0，即为x－y＋1＝0，x－y＋1＝0，
两直线重合，不符合题意，综上所述，a＝4.
故“a＝4”是“直线ax＋y＋a＝0和直线4x＋(a－3)y＋a＋5＝0平行”的充要条件．
(2)(多选)(2023·汕头模拟)已知直线l1：2x－y－3＝0，l2：x－2y＋3＝0，圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，若圆C与直线l1，l2都相切，则下列选项一定正确的是( )
A．l1与l2关于直线y＝x对称
B．若圆C的圆心在x轴上，则圆C的半径为3或9
C．圆C的圆心在直线x＋y－6＝0或直线x－y＝0上
D．与两坐标轴都相切的圆C有且只有2个
答案 ACD
解析 对于A，设直线l1：2x－y－3＝0上任意一点(x0,2x0－3)关于直线y＝x对称的点为(m，n)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2x0－3－n,x0－m)＝－1，,\f(m＋x0,2)＝\f(n＋2x0－3,2)，))
解得m－2n＋3＝0，
所以点(m，n)在直线l2：x－2y＋3＝0上，
所以l1与l2关于直线y＝x对称，故A正确；
对于B，因为圆C的圆心在x轴上，设圆心为(a,0)，
因为圆C与直线l1，l2都相切，
所以r＝eq \f(|2a－3|,\r(5))＝eq \f(|a＋3|,\r(5))，解得a＝0或a＝6，
当a＝0时，r＝eq \f(3,\r(5))＝eq \f(3\r(5),5)；当a＝6时，r＝eq \f(9,\r(5))＝eq \f(9\r(5),5)，故B错误；
对于C，由圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，得圆心为(a，b)，半径为r，
因为圆C与直线l1，l2都相切，
所以r＝eq \f(|2a－b－3|,\r(5))＝eq \f(|a－2b＋3|,\r(5))，
解得a＋b－6＝0或a＝b，所以圆心(a，b)在直线x＋y－6＝0或直线x－y＝0上，故C正确；
对于D，由圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，得圆心为(a，b)，半径为r，
因为圆C与两坐标轴都相切，得圆心到x轴的距离为|b|，到y轴的距离为|a|，
所以r＝|a|且r＝|b|，即|a|＝|b|，
解得a＝b或a＝－b，当a＝b时，由题意可知eq \f(|2a－b－3|,\r(5))＝|a|，解得a＝b＝－eq \f(3\r(5)＋1,4)或a＝b＝eq \f(3\r(5)－1,4)，
当a＝－b时，此时不满足，所以与两坐标轴都相切的圆C有且只有2个，故D正确．
跟踪训练1 (1)已知直线l1：2x－y＋1＝0，l2：x＋ay－1＝0，且l1⊥l2，则点P(1,2)到直线l2的距离d等于( )
A.eq \f(\r(5),5) B.eq \f(2\r(5),5) C.eq \f(3\r(5),5) D.eq \f(4\r(5),5)
答案 D
解析 ∵直线l1：2x－y＋1＝0，l2：x＋ay－1＝0，且l1⊥l2，
∴2×1－1×a＝0，解得a＝2，
∴点P(1,2)到直线l2的距离d＝eq \f(|1＋2×2－1|,\r(12＋22))＝eq \f(4\r(5),5).
(2)(2023·济南模拟)已知圆C1：x2＋y2＝2关于直线l对称的圆为圆C2：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，则直线l的方程为________________．
答案 2x－4y＋5＝0
解析 圆C2：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0化为(x＋1)2＋(y－2)2＝2.
由题意可知圆C1的圆心为C1(0,0)，圆C2的圆心为C2(－1,2)，
圆C1与圆C2关于直线l对称，
则两圆心C1，C2关于直线l对称．
＝eq \f(2－0,－1－0)＝－2，且C1，C2的中点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))，
所以直线l的方程为y－1＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))，即2x－4y＋5＝0.
考点二 直线、圆的位置关系
典例2 (1)(多选)(2023·邵阳模拟)已知圆A：x2＋y2＝1，圆B：x2＋y2－4x－4y＋4＝0，直线l：mx－y＋1－m＝0，则下列说法正确的是( )
A．圆B的圆心坐标为(2,2)
B．圆A与圆B有四条公切线
C．点M在圆A上，点N在圆B上，则线段MN长的最大值为3＋2eq \r(2)
D．直线l与圆B一定相交，且相交弦长的最小值为2eq \r(2)
答案 ACD
解析 对于A，圆B的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4，圆B的圆心坐标为(2,2)，故A正确；
对于B，圆A的圆心为A(0,0)，半径为r1＝1，圆B的半径为r2＝2，
圆心距为|AB|＝eq \r(2－02＋2－02)＝2eq \r(2)∈(1,3)，即|r1－r2|<|AB|
对于C，因为两圆圆心距为|AB|＝2eq \r(2)，又因为点M在圆A上，点N在圆B上，则线段MN长的最大值为|AB|＋r1＋r2＝3＋2eq \r(2)，故C正确；
对于D，直线l的方程可化为m(x－1)－(y－1)＝0，
所以直线l过定点C(1,1)，
因为(1－2)2＋(1－2)2<4，故点C在圆B内，所以直线l与圆B相交，
当l⊥BC时，圆心B到直线l的距离取得最大值，且最大值为|BC|＝eq \r(1－22＋1－22)＝eq \r(2)，
此时，直线l截圆B所得弦长最小，且最小值为2eq \r(4－|BC|2)＝2eq \r(2)，故D正确．
(2)(多选)(2023·江苏四校联考)已知经过点P(2,4)的圆C的圆心坐标为(0，t)(t为整数)，且与直线l：eq \r(3)x－y＝0相切，直线m：ax＋y＋2a＝0与圆C相交于A，B两点，下列说法正确的是( )
A．圆C的标准方程为x2＋(y－4)2＝2
B．若PA⊥PB，则实数a的值为－2
C．若|AB|＝2eq \r(2)，则直线m的方程为x－y＋2＝0或7x－y＋14＝0
D．弦AB的中点M的轨迹方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5
答案 BC
解析 对于A，设圆C的半径为r，由题意可得圆C的方程为x2＋(y－t)2＝r2(t为整数)，
根据点P(2,4)是圆C上的点，且圆C与直线l：eq \r(3)x－y＝0相切，则r＝eq \f(|t|,2)，
∴eq \f(|t|,2)＝eq \r(22＋4－t2)，
∵t∈Z，∴t＝4，则r＝2，
则圆C的标准方程为x2＋(y－4)2＝4，故A错误；
对于B，由选项A的分析可知圆C的标准方程为x2＋(y－4)2＝4，圆心C(0,4)，
∵点P(2,4)在圆C上，且PA⊥PB，∴线段AB为圆C的一条直径，
∵直线m：ax＋y＋2a＝0与圆C相交于A，B两点，
∴圆心C(0,4)在直线m上，∴4＋2a＝0，解得a＝－2，故B正确；
对于C，由选项A的分析可知圆C的半径为2，圆心C(0,4)，
则圆心C到直线m的距离d＝eq \f(|2a＋4|,\r(1＋a2))，
∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|AB|,2)))2＋d2＝r2，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(2),2)))2＋d2＝22，解得d＝eq \r(2)，
∴eq \f(|4＋2a|,\r(1＋a2))＝eq \r(2)，整理得a2＋8a＋7＝0，解得a＝－1或a＝－7，
则直线m的方程为x－y＋2＝0或7x－y＋14＝0，故C正确；
对于D，直线m的方程可化为y＝－a(x＋2)，过定点N(－2,0)，
由圆的性质可得CM⊥MN，
∴点M的轨迹是以线段CN为直径的圆，
则此圆圆心为线段CN的中点，其坐标为(－1,2)，半径为eq \f(1,2)|CN|＝eq \r(5)，
则该圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋12＋y－22＝5，,x2＋y－42＝4，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(6,5)，,y＝\f(12,5)，))
故弦AB的中点M的轨迹方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2
A．直线MN与圆C相交所得的弦长为4
B．|PM|－|PN|的最大值为eq \r(2)
C．△PMN的面积的最大值为2
D．当∠PMN最大时，△PMN的面积为1
答案 ABD
解析 圆C：x2－4x＋y2＝0，即(x－2)2＋y2＝4，所以圆C是以C(2,0)为圆心，2为半径的圆．
对于A，直线MN的方程为x－y－2＝0，过圆心，所以直线MN与圆C相交所得的弦长为直径4，故A项正确；
对于B，|PM|－|PN|≤|MN|＝eq \r(2)，当点P为MN的延长线与圆的交点时，等号成立，故B项正确；
对于C，设点P到直线MN的距离为d，则S△PMN＝eq \f(1,2)|MN|·d＝eq \f(\r(2),2)d，
因为直线MN过圆心，所以当d＝r＝2时，S△PMN取最大值为eq \f(\r(2),2)×2＝eq \r(2)，故C项错误；
对于D，当MP与圆C相切时，∠PMN最大，不妨设P(0,0)，
此时S△PMN＝eq \f(1,2)×2×1＝1，故D项正确．
(2)(2023·东北三省三校联考)已知圆C：(x－1)2＋(y－4)2＝4，直线y＝kx＋1交圆C于M，N两点，若△CMN的面积为2，则实数k的值为________．
答案 －7或1
解析 圆C：(x－1)2＋(y－4)2＝4，圆心C(1,4)，半径r＝2，
设圆心C(1,4)到直线y＝kx＋1的距离为d，则d为△CMN的边MN上的高，
由点到直线的距离公式得，d＝eq \f(|k－4＋1|,\r(k2＋1))＝eq \f(|k－3|,\r(k2＋1))，
由勾股定理得|MN|＝2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(4－d2)，
设△CMN的面积为S，则S＝eq \f(1,2)|MN|·d＝2，
所以eq \f(1,2)×2eq \r(4－d2)×d＝2，
两边平方得(4－d2)d2＝4，即d4－4d2＋4＝0，
所以d2＝2，
因为d＝eq \f(|k－3|,\r(k2＋1))，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|k－3|,\r(k2＋1))))2＝2，
化简可得(k－3)2＝2(k2＋1)，
所以k2＋6k－7＝0，解得k＝－7或k＝1.
考点三 隐圆问题(阿波罗尼斯圆)
典例3 (1)被誉为古希腊“数学三巨匠”之一的数学家阿波罗尼斯发现：平面内一动点P到两个不同定点A，B的距离之比为常数k(k>0且k≠1)，则点P的轨迹是一个圆心在直线AB上的圆，简称“阿氏圆”．据此请回答如下问题：
已知△ABC中，A为一动点，B，C为两定点，且|AB|＝2|AC|，|BC|＝a，△ABC面积记为S，若a＝3，则Smax＝________；若S＝1，则a的取值范围为________．
答案 3 [eq \r(3)，＋∞)
解析 以B为原点，BC所在的直线作为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
若a＝3，即|BC|＝3，则不妨设C在x正半轴上，则C(3,0)，
设△ABC的顶点A(x，y)，而|AB|＝2|AC|，
则eq \r(x2＋y2)＝2eq \r(x－32＋y2)，化简可得(x－4)2＋y2＝4，
根据条件可知A不在直线BC上，则y≠0，
所以点A的轨迹为圆(x－4)2＋y2＝4除去点(6,0)与(2,0)，可得|y|max＝2，
所以△ABC面积S的最大值为eq \f(1,2)|BC||y|max＝eq \f(1,2)×3×2＝3，即Smax＝3，
同样的，当|AB|＝2|AC|，|BC|＝a时，
则△ABC的顶点A(x，y)满足eq \r(x2＋y2)＝2eq \r(x－a2＋y2)，
化简可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(4,3)a))2＋y2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)a))2(y≠0)，可得0<|y|≤eq \f(2a,3)，
又S＝1，则eq \f(1,2)a|y|＝1，即|y|＝eq \f(2,a)，
所以0
A．16＋8eq \r(3) B．8＋4eq \r(3)
C．7＋4eq \r(3) D．3＋eq \r(3)
答案 A
解析 由题意，设A(－1,0)，B(1,0)，P(x，y)，
因为eq \f(|PA|,|PB|)＝eq \r(3)，
所以eq \f(\r(x＋12＋y2),\r(x－12＋y2))＝eq \r(3)，
即(x－2)2＋y2＝3，
所以点P的轨迹是以(2,0)为圆心，eq \r(3)为半径的圆，
因为|PA|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝2(x2＋y2＋1)，
其中x2＋y2可看作圆(x－2)2＋y2＝3上的点(x，y)到原点(0,0)的距离的平方，
所以(x2＋y2)max＝(2＋eq \r(3))2＝7＋4eq \r(3)，
所以[2(x2＋y2＋1)]max＝16＋8eq \r(3)，
即|PA|2＋|PB|2的最大值为16＋8eq \r(3).
跟踪训练3 (1)(2023·株洲模拟)在平面直角坐标系中，已知两点O(0,0)，A(3,4)到直线l的距离分别是1与4，则满足条件的直线l共有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
答案 C
解析 分别以O，A为圆心，以1,4为半径作圆，
因为|OA|＝eq \r(3－02＋4－02)＝5＝1＋4,
所以两圆外切，如图所示，有三条公切线，即满足条件的直线l共有3条．
(2)(2023·北京模拟)在平面直角坐标系内，点O是坐标原点，动点B，C满足|eq \(OB,\s\up6(→))|＝|eq \(OC,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝0，A为线段BC中点，P为圆(x－3)2＋(y－4)2＝4上任意一点，则|eq \(AP,\s\up6(→))|的取值范围是( )
A．[2,8] B．[3,8]
C．[2,7] D．[3,7]
答案 A
解析 由eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝0，得eq \(OB,\s\up6(→))⊥eq \(OC,\s\up6(→))，
又|eq \(OB,\s\up6(→))|＝|eq \(OC,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，且A为线段BC中点，则|eq \(OA,\s\up6(→))|＝1，
所以A为圆O:x2＋y2＝1上任意一点，
设圆(x－3)2＋(y－4)2＝4的圆心为M，则|eq \(OM,\s\up6(→))|＝5，
又|eq \(OM,\s\up6(→))|＝5>1＋2，所以圆O与圆M相离，
所以|eq \(AP,\s\up6(→))|的几何意义为圆O与圆M这两圆上的点之间的距离，
所以|eq \(AP,\s\up6(→))|max＝|eq \(OM,\s\up6(→))|＋|eq \(AO,\s\up6(→))|＋|eq \(MP,\s\up6(→))|＝5＋1＋2＝8，如图1.
|eq \(AP,\s\up6(→))|min＝|eq \(OM,\s\up6(→))|－|eq \(AO,\s\up6(→))|－|eq \(MP,\s\up6(→))|＝5－1－2＝2，如图2.
所以|eq \(AP,\s\up6(→))|的取值范围为[2,8]．
[总结提升]
解决圆的方程或弦长、面积等问题一般有两种方法，一是几何法，通过研究圆的性质，直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．二是代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，联立直线与圆的方程，利用弦长公式求弦长，进一步求面积等问题．
1．若平面内两条平行线l1：x＋(a－1)y＋2＝0，l2：ax＋2y＋1＝0间的距离为eq \f(3\r(2),4)，则实数a等于( )
A．2 B．－2或1 C．－1 D．－1或2
答案 A
解析 因为两直线l1：x＋(a－1)y＋2＝0，l2：ax＋2y＋1＝0平行，
可得1×2＝(a－1)×a且1×1≠2a，解得a＝2或a＝－1，
当a＝2时，l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋1＝0，即l1：2x＋2y＋4＝0，
可得两平行线间的距离d＝eq \f(|4－1|,\r(22＋22))＝eq \f(3\r(2),4)，符合题意；
当a＝－1时，l1：x－2y＋2＝0，l2：－x＋2y＋1＝0，即l2：x－2y－1＝0，
可得两平行线间的距离d＝eq \f(|2－－1|,\r(12＋－22))＝eq \f(3\r(5),5)，不符合题意，舍去．
2．(2023·福建名校联盟大联考)设圆C：x2－2x＋y2－3＝0，若直线l在y轴上的截距为1，则l与C的交点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．以上都有可能
答案 C
解析 ∵直线l在y轴上的截距为1，
∴直线l过定点(0,1)，
∵02－2×0＋12－3＝－2<0，
∴点(0,1)在圆内，
∴直线l与C的交点个数为2.
3．(2023·湛江模拟)若与y轴相切的圆C与直线l：y＝eq \f(\r(3),3)x也相切，且圆C经过点P(2，eq \r(3))，则圆C的直径为( )
A．2 B．2或eq \f(14,3)
C.eq \f(7,4) D.eq \f(7,4)或eq \f(16,3)
答案 B
解析 因为直线l：y＝eq \f(\r(3),3)x的倾斜角为30°，
所以圆C的圆心在两切线所成角的角平分线y＝eq \r(3)x上．
设圆心C(a，eq \r(3)a)，
则圆C的方程为(x－a)2＋(y－eq \r(3)a)2＝a2，
将点P(2，eq \r(3))的坐标代入，
得(2－a)2＋(eq \r(3)－eq \r(3)a)2＝a2，
整理得3a2－10a＋7＝0，
解得a＝1或a＝eq \f(7,3)，
所以圆C的直径为2或eq \f(14,3).
4．(2023·沈阳模拟)已知圆O：x2＋y2＝1与圆C：(x－3)2＋y2＝r2外切，直线l：x－y－5＝0与圆C相交于A，B两点，则|AB|等于( )
A．4 B．2 C．2eq \r(3) D．2eq \r(2)
答案 D
解析 圆O：x2＋y2＝1的圆心O的坐标为(0,0)，半径为1，
圆C：(x－3)2＋y2＝r2的圆心C的坐标为(3,0)，半径为r，
因为圆O与圆C外切，所以|OC|＝1＋r，所以r2＝4.
设圆心C(3,0)到直线l的距离为d，则d＝eq \f(|3－5|,\r(2))＝eq \r(2)，
从而|AB|＝2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(2).
5．(2023·开封模拟)已知等边△ABC的边长为eq \r(3)，P为△ABC所在平面内的动点，且|eq \(PA,\s\up6(→))|＝1，则eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(9,2))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(11,2)))
C．[1,4] D．[1,7]
答案 B
解析 如图，构建平面直角坐标系，且Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，0))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，0))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,2)))，
所以P(x，y)在以A为圆心，1为半径的圆上，
即轨迹方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(\r(3),2)))2＋y2＝1，
而eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)－x，－y))，eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x，\f(3,2)－y))，
故eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝x2－eq \f(\r(3),2)x＋y2－eq \f(3,2)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(\r(3),4)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(3,4)))2－eq \f(3,4)，
综上，只需求出定点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),4)，\f(3,4)))与圆eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(\r(3),2)))2＋y2＝1上点的距离平方的范围即可，
而圆心A与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),4)，\f(3,4)))的距离d＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),4)＋\f(\r(3),2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))2)＝eq \f(3,2)，
故定点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),4)，\f(3,4)))与圆上点的距离的范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(5,2)))，
所以eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(11,2))).
6．(2023·济南模拟)在平面直角坐标系中，P为圆x2＋y2＝16上的动点，定点A(－3,2)．现将y轴左侧半圆所在坐标平面沿y轴翻折，与y轴右侧半圆所在平面成eq \f(2π,3)的二面角，使点A翻折至A′，P仍在右侧半圆和折起的左侧半圆上运动，则A′，P两点间距离的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(13)，3\r(5))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4－\r(13)，7))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4－\r(13)，3\r(5))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(13)，7))
答案 B
解析 设A所在平面为α，圆的另一半所在平面为β，
若P∈α，则P，A，O三点共线时，|PA|有最小值|P1A′|＝R－|OA′|＝4－eq \r(13)；
当P在圆的下端点时，取到最大值|P2A′|＝eq \r(－3－02＋2＋42)＝eq \r(32＋62)＝3eq \r(5)，
即|PA′|∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4－\r(13)，3\r(5)))；
若P∈β，设P(4cs θ，4sin θ)，A′在β上的投影为A1，
则A′到β的距离为|A′A1|＝|－3|sin eq \f(π,3)＝eq \f(3\r(3),2)，
又A′到y轴的距离为3，
∴A1到y轴的距离为eq \r(9－\f(27,4))＝eq \f(3,2)，
而A1到x轴的距离为2，
则|PA′|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)＋4cs θ))2＋2－4sin θ2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(3),2)))2)
＝eq \r(29＋20\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)cs θ－\f(4,5)sin θ)))
＝eq \r(29＋20sinφ－θ)，
其中θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，sin φ＝eq \f(3,5)，cs φ＝eq \f(4,5)，
故|PA′|min＝eq \r(13)，当且仅当θ＝eq \f(π,2)时，等号成立，
|PA′|max＝7，当且仅当θ＝φ－eq \f(π,2)时，等号成立，即|PA′|∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(13)，7))，
综上可得，|PA′|∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4－\r(13)，7)).
7．(多选)(2023·临沂模拟)已知圆C：x2＋y2－6x＋8＝0，点A(0,4)，点P在圆C上，O为坐标原点，则( )
A．线段AP长的最大值为6
B．当直线AP与圆C相切时，|AP|＝2eq \r(6)
C．以线段AP为直径的圆不可能过原点O
D.eq \(AO,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))的最大值为20
答案 ABD
解析 根据题意可知圆C：(x－3)2＋y2＝1的圆心C(3,0)，半径r＝1，如图所示，
易知|AP|≤|AC|＋|CP|＝eq \r(32＋42)＋1＝6，当且仅当A，C，P三点共线且C点在A，P之间时，等号成立，所以A正确；
当直线AP与圆C相切时，由勾股定理可得|AP|＝eq \r(|AC|2－|CP|2)＝eq \r(25－1)＝2eq \r(6)，所以B正确；
若以线段AP为直径的圆过原点O，由直径所对圆周角为直角可得∠AOP＝90°，
易知当P在x轴上时，满足题意；
所以以线段AP为直径的圆可能过原点O，所以C错误；
设点P(x0，y0)，易知x0∈[2,4]，y0∈[－1,1]，
则eq \(AO,\s\up6(→))＝(0，－4)，eq \(AP,\s\up6(→))＝(x0，y0－4)，
所以eq \(AO,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))＝16－4y0≤16－4×(－1)＝20，
即eq \(AO,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))的最大值为20，所以D正确．
8．(多选)(2023·湖南新高考教学教研联盟联考)设k∈R，过定点A的动直线l1：x＋ky＝0和过定点B的动直线l2：kx－y＋3－k＝0交于点P，M是圆C：(x－2)2＋(y－4)2＝4上的任意一点，则下列说法正确的有( )
A．直线l1与圆C相切时k＝eq \f(4,3)
B．M到l1距离的最大值是2＋2eq \r(5)
C．直线l2被圆C所截的最短弦长为2eq \r(2)
D．|PA|＋|PB|的最大值为2eq \r(10)
答案 BC
解析 由圆的标准方程可得圆心为C(2,4)，半径r＝2，直线l2过的定点为B(1,3)．
显然当k＝0时直线l1也与圆C相切，故A错误；
直线l1过的定点为A(0,0)，当l1⊥CA时，C到l1的距离最大，最大值为|CA|＝2eq \r(5)，
此时M到l1距离的最大值为2＋2eq \r(5)，故B正确；
当l2⊥CB时所得弦长最短，则＝－1，
又，，所以k＝－1，得l2：x＋y－4＝0，
则圆心到直线l2的距离为d＝eq \f(|2|,\r(2))＝eq \r(2)，
所以弦长为2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(2)，故C正确；
由l1：x＋ky＝0⇒A(0,0)，当k＝0时，l1：x＝0，l2：y＝3，有l1⊥l2，
当k≠0时，，，则，
所以l1⊥l2，又点P是两直线的交点，
所以PA⊥PB，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，
因为(|PA|＋|PB|)2＝|PA|2＋|PB|2＋2|PA||PB|≤2(|PA|2＋|PB|2)＝20，
所以|PA|＋|PB|≤2eq \r(5)，当且仅当|PA|＝|PB|＝eq \r(5)时等号成立，故D错误．
9．(2023·淄博模拟)在平面直角坐标系中，已知点P(3,1)，直线y＝kx＋b与圆x2＋y2＝10交于M，N两点，若△PMN为正三角形，则实数b＝________.
答案 －5
解析 由题意可知P(3,1)在圆上，如图．
设MN中点为H，连接PH，因为△PMN为正三角形，则PH过点原点O，且PH⊥MN，
则直线MN的斜率为k＝－eq \f(1,kOP)＝－3，
故y＝kx＋b即为y＝－3x＋b，
因为△PMN为正三角形，则O点为△PMN的中心，由中心及重心性质知，
|OH|＝eq \f(|OP|,2)＝eq \f(\r(10),2)，故eq \f(|b|,\r(1＋9))＝eq \f(\r(10),2)，解得b＝±5，
结合P(3,1)在圆上，△PMN是圆的内接正三角形，可知b<0，即b＝－5.
10．(2022·新高考全国Ⅰ)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程________．
答案 x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0(答案不唯一，只需写出上述三个方程中的一个即可)
解析 如图，因为圆x2＋y2＝1的圆心为O(0,0)，半径r1＝1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心为A(3,4)，半径r2＝4，
所以|OA|＝5，r1＋r2＝5，所以|OA|＝r1＋r2，所以两圆外切，公切线有三种情况：
①易知公切线l1的方程为x＝－1.
②另一条公切线l2与公切线l1关于过两圆圆心的直线l对称．
易知过两圆圆心的直线l的方程为y＝eq \f(4,3)x，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝\f(4,3)x))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－\f(4,3)，))
由对称性可知公切线l2过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(4,3))).
设公切线l2的方程为y＋eq \f(4,3)＝k(x＋1)，
则点O(0,0)到l2的距离为1，
所以1＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(k－\f(4,3))),\r(k2＋1))，解得k＝eq \f(7,24)，
所以公切线l2的方程为y＋eq \f(4,3)＝eq \f(7,24)(x＋1)，
即7x－24y－25＝0.
③还有一条公切线l3与直线l：y＝eq \f(4,3)x垂直，设公切线l3的方程为y＝－eq \f(3,4)x＋t，
易知t>0，则点O(0,0)到l3的距离为1，
所以1＝eq \f(|t|,\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))2＋－12))，
解得t＝eq \f(5,4)或t＝－eq \f(5,4)(舍去)，
所以公切线l3的方程为y＝－eq \f(3,4)x＋eq \f(5,4)，
即3x＋4y－5＝0.
综上，所求直线方程为x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0.
11．在平面直角坐标系中，已知点A(0,3)，若动点M满足|MA|＝2|MO|，则动点M的轨迹方程是________________；若直线l：x＋my－1＝0与该轨迹交于点P，Q，当|PQ|取最小值时，m＝________.
答案 x2＋(y＋1)2＝4 1
解析 设动点M(x，y)，因为|MA|＝2|MO|，
于是得eq \r(x2＋y－32)＝2eq \r(x2＋y2)，
化简整理得x2＋(y＋1)2＝4，
所以动点M的轨迹的方程是x2＋(y＋1)2＝4，
该轨迹是以点C(0，－1)为圆心，2为半径的圆，直线l：x＋my－1＝0恒过定点B(1,0)，
点B(1,0)在圆x2＋(y＋1)2＝4内，由圆的性质知，当弦PQ长最短时，直线l垂直于直线BC，
直线BC斜率kBC＝eq \f(0－－1,1－0)＝1，因此，－eq \f(1,m)×1＝－1，解得m＝1，
所以当|PQ|取最小值时，m＝1.
12．在平面直角坐标系中，已知B，C为圆x2＋y2＝9上两点，点A(1,1)，且AB⊥AC，则线段BC长的取值范围是__________.
答案 [4－eq \r(2)，4＋eq \r(2)]
解析 如图，设BC的中点为M(x，y)，因为|OB|2＝|OM|2＋|BM|2＝|OM|2＋|AM|2，
所以9＝x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2，化简得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(1,2)))2＝4，
即点M的轨迹是以Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)))为圆心，2为半径的圆，
所以|AN|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))2)＝eq \f(\r(2),2)，
所以|AM|的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2－\f(\r(2),2)，2＋\f(\r(2),2)))，
从而|BC|的取值范围是[4－eq \r(2)，4＋eq \r(2)]．
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