高考数学专题六解析几何　微专题36　圆锥曲线的方程与性质课件PPT

这是一份高考数学专题六解析几何　微专题36　圆锥曲线的方程与性质课件PPT，共60页。PPT课件主要包含了解得m＝10，得yP＝3yI等内容，欢迎下载使用。

圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质是每年高考必考的内容，常以选择题、填空题以及解答题第(1)问的形式出现，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等.
典例1　(1)(2023·汕头模拟)已知点P是椭圆 上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cs∠F1PF2＝ ，则△PF1F2的面积为
考点一　圆锥曲线的定义与标准方程
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则根据椭圆的定义得m＋n＝2a＝6，
(2)(2023·德阳模拟)设抛物线x2＝12y的焦点为F，经过点P(2,1)的直线l与抛物线相交于A，B两点，又知点P恰为AB的中点，则|AF|＋|BF|＝_____.
抛物线x2＝12y的焦点为F(0,3)，准线方程为y＝－3，如图，分别作AM，BN，PQ垂直于准线于点M，N，Q，根据抛物线的定义，|AF|＝|AM|，|BF|＝|BN|，∵抛物线的准线方程为y＝－3，∴|PQ|＝4，根据梯形中位线的性质可得|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|＝2|PQ|＝8.
跟踪训练1　(1)(2023·鹰潭模拟)3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为 的双曲线的一部分
围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒(数据均以外壁即塔筒外侧表面计算)的上底直径为4 cm，下底直径为6 cm，高为9 cm，则喉部(最细处)的直径为
该塔筒的轴截面如图所示，以C为喉部对应点，以OC所在直线为x轴，过点O且与OC垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，设A与B分别为上、下底面对应点.由题意可知xA＝2，xB＝3，yA－yB＝9，设A(2，m)，则B(3，m－9)，
所以方程可化简为9x2－y2＝9a2，(*)
(2)(多选)(2020·新高考全国Ⅰ)已知曲线C：mx2＋ny2＝1.A.若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
典例2　(1)(2023·宁波模拟)设椭圆： (a>b>0)的右焦点为F(c,0)，点A(3c,0)在椭圆外，P，Q在椭圆上，且P是线段AQ的中点.若直线PQ，PF的斜率之积为 ，则椭圆的离心率为
考点二　椭圆、双曲线的几何性质
如图，取PQ的中点为M，连接OM，PF，则由题意可得，|PA|＝2|PM|，|AF|＝2|FO|，所以△APF∽△AMO，所以PF∥MO，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
方法一　依题意，设|AF2|＝2m，则|BF2|＝3m＝|BF1|，|AF1|＝2a＋2m，在Rt△ABF1中，9m2＋(2a＋2m)2＝25m2，则(a＋3m)(a－m)＝0，故a＝m或a＝－3m(舍去)，所以|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，|BF2|＝|BF1|＝3a，则|AB|＝5a，
整理得5c2＝9a2，
方法二　依题意，得F1(－c,0)，F2(c,0)，令A(x0，y0)，B(0，t)，
则t2＝4c2，又点A在C上，
所以25c2b2－16c2a2＝9a2b2，即25c2(c2－a2)－16a2c2＝9a2(c2－a2)，整理得25c4－50a2c2＋9a4＝0，则(5c2－9a2)(5c2－a2)＝0，解得5c2＝9a2或5c2＝a2，又e>1，
跟踪训练2　(1)(多选)(2023·邯郸模拟)已知双曲线C： (a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作圆x2＋y2＝a2的切线l，切点为M，且直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，则下列结论正确的是A.若a＝3，b＝4，则|BF1|＋|BF2|＝26B.若BF2⊥BF1，则双曲线C的渐近线方程为y＝±2x
如图所示，对于A，由a＝3，b＝4，得c＝5，所以|OF1|＝5，|OM|＝3，|MF1|＝4.设|BF2|＝m，则|BF1|＝m＋6.
则|BF2|＝10，|BF1|＝16，从而|BF1|＋|BF2|＝26，故A正确；
对于B，由BF2⊥BF1，得OM∥BF2，因为O为F1F2的中点，所以M为BF1的中点.由题意可知|OM|＝a，|MF1|＝b，则|BF2|＝2a，|BF1|＝2b.由双曲线的定义可得|BF1|－|BF2|＝2b－2a＝2a，即b＝2a，则双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，故B正确；
对于C，由|MB|＝2|MF1|，得|BF1|＝3b，则|BF2|＝3b－2a.在△BF1F2中，由余弦定理可得
对于D，因为M，O分别是BF1，F1F2的中点，所以OM∥BF2，所以|BF2|＝2a，|BF1|＝2b.由双曲线的定义可得|BF1|－|BF2|＝2b－2a＝2a，
(2)F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是椭圆C上异于顶点的一点，I是△PF1F2的内切圆圆心，若△PF1F2的面积等于△IF1F2的面积的3倍，则椭圆C的离心率为______.
由于椭圆关于原点对称，不妨设点P在x轴上方.设点P的纵坐标为yP，点I的纵坐标为yI，内切圆半径为r，椭圆长轴长为2a，焦距为2c，
又 ，
又yI＝r，化简得yP·|F1F2|＝yI·(|F1F2|＋|PF1|＋|PF2|)，即3×2c＝2c＋2a，
考点三　抛物线的几何性质典例3　(1)(2023·北京模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的顶点是坐标原点O，焦点为F，A是抛物线C上的一点，点A到x轴的距离为 .过点A向抛物线C的准线作垂线，垂足为B.若四边形ABOF为等腰梯形，则p的值为
如图所示，过点A(不妨设为第一象限点)向x轴作垂线，垂足为E.设准线交x轴于点D.因为四边形ABOF为等腰梯形，所以|OB|＝|AF|，∠FOB＝∠OFA.所以∠DOB＝∠EFA.又∠BDO＝∠AEF＝90°，
(2)(多选)(2022·新高考全国Ⅱ)已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px(p>0)焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M(p,0).若|AF|＝|AM|，则A.直线AB的斜率为 B.|OB|＝|OF|C.|AB|>4|OF|D.∠OAM＋∠OBM<180°
所以∠OAM<90°，∠OBM<90°，所以∠OAM＋∠OBM<180°，故D正确.综上所述，选ACD.
跟踪训练3　(1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________.
(2)(多选)(2023·东莞模拟)已知抛物线C：y2＝4x，O为坐标原点，点P为直线x＝－2上一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，则A.抛物线的准线方程为x＝－1B.直线AB一定过抛物线的焦点C.线段AB长的最小值为 D.OP⊥AB
由抛物线C：y2＝4x可知，焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1，故A正确；设P(－2，m)，显然直线PA斜率存在且不为零，设为k1，方程为y－m＝k1(x＋2)，
得k1y2－4y＋8k1＋4m＝0，因为PA是该抛物线的切线，
设直线PB斜率存在且不为零，设为k2，
显然k1，k2是方程2k2＋mk－1＝0的两个不相等的实根，
所以OP⊥AB，故D正确；
所以直线AB一定过点(2,0)，显然该点不是抛物线的焦点，故B不正确；由题意知，直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－8，
当且仅当m＝0时，等号成立，故C正确.
2.(2023·江苏决胜新高考大联考)中国国家大剧院是亚洲最大的剧院综合体，中国国家表演艺术的最高殿堂，中外文化交流的最大平台.大剧院的平面投影是椭圆C，其长轴长度约为212 m，短轴长度约为144 m.若直线l平行于长轴且C的中心到l的距离是24 m，则l被C截得的线段长度约为A.140 m B.143 mC.200 m D.209 m
设该椭圆焦点在x轴上，以中心为原点，建立直角坐标系，如图所示，
因为直线l平行于长轴且C的中心到l的距离是24 m，
3.(2023·齐齐哈尔模拟)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，M为C上的动点，N为圆A：x2＋y2＋2x＋8y＋16＝0上的动点，设点M到y轴的距离为d，则|MN|＋d的最小值为
根据已知得到F(2,0)，圆A：(x＋1)2＋(y＋4)2＝1，所以A(－1，－4)，圆A的半径为1，抛物线C的准线为l：x＝－2，过点M作ME⊥l，垂足为点E，则|ME|＝d＋2，由抛物线的定义可得d＋2＝|ME|＝|MF|，
当且仅当N，M分别为线段AF与圆A、抛物线C的交点时，两个等号成立，因此，|MN|＋d的最小值为2.
由|F1F2|＝2c＝10，得c＝5.因为|PF1|－|PF2|＝2a＝6，所以a＝3.又因为c2＝a2＋b2，所以b＝4，
所以椭圆左焦点F1的坐标为(－2,0).因为|PA|＋|PF2|＝8，所以|PA|＋2a－|PF1|＝8，所以||PA|－|PF1||＝|8－2a|≤|AF1|＝2，所以3≤a≤5.因为a2－b2＝4，所以b2＝a2－4.
所以a4－12a2＋16>0，
6.(2023·湖南名校教研联盟联考)2023年6月4日，神舟十五号返回舱顺利着陆，人们清楚全面地看到了神舟十五号返回舱成功着陆的直播盛况.根据搜救和直播的需要，在预设着陆场的某个平面内设置了两个固定拍摄机位A，B和一个移动拍摄机位C.根据当时气候与地理特征，点C在抛物线： (直线y＝0与地平线重合，y轴垂直于水平面.单位：十米，下同.C的横坐标 )上，A的坐标为(－36,2).设D(0，－2)，线段AC，DC分别交抛物线于点M，N，B在线段MN上.则两固定机位A，B的距离为A.360米 B.340米C.320米 D.270米
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，C(xC，yC)，A(－36,2)，D(0，－2)，
∴(xC＋36)(y1－2)－(x1＋36)(yC－2)＝0，xC(y2＋2)－x2(yC＋2)＝0.
∴MN经过定点(－2,2).∴点B的坐标为(－2,2).|AB|＝34，即两固定机位A，B的距离为340米.
∴点M的横坐标为2或－2，C正确；
圆E：x2＋(y－4)2＝1的圆心E(0,4)，半径r＝1，显然圆E与椭圆C相离，而点P在椭圆C上，点Q在圆E上，于是|PQ|＋|PF2|≥|PE|－r＋|PF2|≥|EF2|－1＝4－c－1＝3－c，当且仅当P，Q分别是线段EF2与椭圆C、圆E的交点时取等号，
设P(x0，y0)，A(x1，y1)，有B(－x1，－y1)，
直线PA，PB的斜率分别为kPA，kPB，
当且仅当P，Q分别是线段EF1与椭圆C、圆E的交点时取等号，D正确.
如图所示，过A作AA1垂直准线于点A1，过B作BB1垂直准线于点B1，由抛物线的定义可知，|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，
设△OAD的面积为S，则△AOF的面积也为S，△ABF的面积为2S，所以S△ADF＝S△ABF，即AD＝AB，即A为BD的中点，
由题意得，过A，B，F三点的圆的半径为a，
又线段AB的垂直平分线为y＝0，
设|BF2|＝x，由双曲线的定义得|AF1|＝|F1B|＝x＋2a＝x＋6，|AF2|＝|AF1|＋2a＝x＋12，∴|AB|＝12，
因为I为△ABF1的内切圆圆心，则∠F1AF2＝2∠IAB，显然∠IAB是锐角，当且仅当∠IAB最大时，tan∠IAB最大，且∠F1AF2最大，又∠F1AF2∈(0，π)，即有cs∠F1AF2最小，