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高考数学专题练 专题六解析几何 微专题38 圆锥曲线中二级结论的应用（含答案）
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这是一份高考数学专题练 专题六解析几何 微专题38 圆锥曲线中二级结论的应用（含答案），共19页。
一、椭圆、双曲线的二级结论
1．点P是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上异于长轴端点的任一点，F1，F2为其左、右焦点，记∠F1PF2＝θ，则：
(1)|PF1||PF2|＝eq \f(2b2,1＋cs θ).
(2)＝b2tan eq \f(θ,2).
(3)e＝eq \f(sin∠F1PF2,sin∠PF1F2＋sin∠PF2F1).
(4)焦半径公式：设点P的坐标为(x0，y0)，椭圆焦点在x轴上，则|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0.
(5)过椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点F且倾斜角为α(α≠90°)的直线交椭圆于A，B两点，且|eq \(AF,\s\up6(→))|＝λ|eq \(FB,\s\up6(→))|，则椭圆的离心率等于eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(λ－1,λ＋1cs α))).
2．设点P是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上异于实轴端点的任一点，F1，F2为其左、右焦点，记∠F1PF2＝θ，则
(1)|PF1||PF2|＝eq \f(2b2,1－cs θ).
(2)S△PF1F2＝eq \f(b2,tan \f(θ,2)).
(3)e＝eq \f(sin∠F1PF2,|sin∠PF1F2－sin∠PF2F1|).
(4)焦半径公式：设点P的坐标为(x0，y0)，双曲线焦点在x轴上，则|PF1|＝|a＋ex0|，|PF2|＝|a－ex0|.
(5)过双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点F且倾斜角为α(α≠90°)的直线交双曲线右支于A，B两点，且|eq \(AF,\s\up6(→))|＝λ|eq \(FB,\s\up6(→))|，则双曲线的离心率等于eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(λ－1,λ＋1cs α))).
典例1 (1)已知双曲线C：eq \f(x2,k)－eq \f(y2,5)＝1(k>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上，且∠F1PF2＝eq \f(π,3)，则△F1PF2的面积为________．
(2)已知P为椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1上的一个动点，F1，F2是椭圆C的左、右焦点，O为坐标原点，O到椭圆C在P点处切线的距离为d，若|PF1|·|PF2|＝eq \f(24,7)，则d＝________.
二、周角定理
已知点P为椭圆(或双曲线)上异于顶点的任一点，A，B为长轴(或实轴)端点，则在椭圆中，kPA·kPB＝－eq \f(b2,a2)，在双曲线中，kPA·kPB＝eq \f(b2,a2).
典例2 (1)已知A，B分别为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，P是C上一点，且直线AP，BP的斜率之积为2，则C的离心率为( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3) C.eq \r(5) D.eq \r(6)
(2)阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率π与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的面积为6π，两个焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C的上顶点，直线y＝kx与椭圆C交于A，B两点，若PA，PB的斜率之积为－eq \f(4,9)，则椭圆C的短轴长为( )
A．2 B．4 C．3 D．6
三、抛物线的二级结论
1．焦点弦AB的长度表示(见图1)
(1)用A(x1，y1)，B(x2，y2)的坐标表示：
对于抛物线y2＝2px(p>0)而言： |AB|＝x1＋x2＋p＝2x0＋p(其中x0为线段AB中点的横坐标)．
对于抛物线x2＝2py(p>0)而言： |AB|＝y1＋y2＋p＝2y0＋p(其中y0为线段AB中点的纵坐标)．
(2)用直线AB的倾斜角θ表示(见图2)
对于抛物线y2＝2px(p>0)而言：
|AF|＝|AC|＝|GF|＋|FH|＝p＋|AF|cs θ，
|AF|＝eq \f(p,1－cs θ)，同理 |BF|＝eq \f(p,1＋cs θ)，
则|AB|＝|AF|＋|BF|＝eq \f(2p,sin2θ)，
eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p).
对于抛物线x2＝2py(p>0)而言： 同理可得
|AF|＝eq \f(p,1－sin θ)，|BF|＝eq \f(p,1＋sin θ)，
则|AB|＝|AF|＋|BF|＝eq \f(2p,cs2θ).
2．AB是抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的弦，AC⊥l，BD⊥l，M是CD的中点. A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：(见图3)
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq \f(p2,4).
(2)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p).
(3)MF⊥AB.
(4)MA⊥MB.
(5)A，O，D三点共线．
(6)以AB为直径的圆与l相切．
3.M为抛物线y2＝2px(p>0)的准线l上一点，MA，MB均与抛物线相切，A，B为切点，则有：(见图4)
(1)AB过焦点F.
(2)2yM＝yA＋yB.
(3)MA⊥MB.
(4)MF⊥AB.
典例3 (1)已知抛物线y2＝8x的焦点为F，直线y＝k(x－2)与此抛物线相交于P，Q两点，则eq \f(1,|FP|)＋eq \f(1,|FQ|)等于( )
A.eq \f(1,2) B．1 C．2 D．4
(2)已知F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1交抛物线于A，B两点，直线l2交抛物线于C，D两点，且|AB|·|CD|的最小值是64，则抛物线的方程为________________．
[总结提升]
圆锥曲线有许多形式结构相当漂亮的结论，记住圆锥曲线中一些二级结论，能快速解决圆锥曲线压轴小题，常用结论包括椭圆与双曲线中的焦点三角形面积公式、焦半径、切线方程、离心率等，周角定理以及抛物线焦点弦二级结论的综合应用．
1．已知椭圆eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆上一点P，若∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是( )
A.eq \f(\r(3),3) B．2eq \r(3) C.eq \r(3) D.eq \f(2\r(3),3)
2．已知双曲线E的中心为原点，F(1,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点且AB的中点为N(－4，－5)，则双曲线E的渐近线的方程为( )
A.eq \r(5)x±2y＝0 B．2x±eq \r(5)y＝0
C．4x±5y＝0 D．5x±4y＝0
3．已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点(点A在第一象限)，若eq \(BA,\s\up6(→))＝4eq \(BF,\s\up6(→))，则△AOB的面积为( )
A.eq \f(8\r(3),3) B.eq \f(4\r(3),3) C.eq \f(8\r(2),3) D.eq \f(4\r(2),3)
4．已知椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在椭圆C上，且直线PA2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1的斜率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,4))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,8)，\f(3,4))) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，1))
5.如图，已知F1，F2是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的两个焦点，椭圆上一点P使∠F1PF2＝90°，则椭圆离心率e的取值范围是( )
A．(0,1) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))
6．过椭圆C：eq \f(x2,2)＋y2＝1的焦点F作两条相互垂直的直线l1，l2，l1交椭圆于A，B两点，l2交椭圆于 C，D两点，则|AB|＋|CD|的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(8\r(3),3)，3\r(3))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(8\r(2),3)，3\r(3)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(8\r(2),3)，3\r(2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(8\r(3),3)，3\r(2)))
7．(多选)已知椭圆C：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1，F1，F2分别为它的左、右焦点，A，B分别为它的左、右顶点，P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的是( )
A．离心率e＝eq \f(4,5)
B．△F1PF2的周长为18
C．直线PA与直线PB斜率乘积为定值－eq \f(9,25)
D．若∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积为8
8．(多选)已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A，B两点，C，D分别为A，B在l上的射影，则下列结论正确的是( )
A．若直线AB的倾斜角为45°，则|AB|＝8
B．若eq \(AF,\s\up6(→))＝2eq \(FB,\s\up6(→))，则直线AB的斜率为±2eq \r(3)
C．若O为坐标原点，则B，O，C三点共线
D．CF⊥DF
9．已知椭圆Ax2＋By2＝1，△PF1F2为焦点三角形，椭圆离心率e＝eq \f(1,2)，∠PF2O＝60°，则tan∠PF1O的值为________．
10．设F为抛物线C：y2＝16x的焦点，过点F且倾斜角为eq \f(π,6)的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB的面积为________．
11．过双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上一点P作双曲线C的切线l，若直线OP与直线l的斜率之积为eq \f(2,5)，则双曲线C的离心率为________．
12．已知抛物线C：y2＝16x的焦点为F，直线x－my－4＝0(m∈R)与抛物线C交于A，B两点，则|AF|＋4|BF|的最小值是________．
微专题38 圆锥曲线中二级结论的应用
[考情分析] 圆锥曲线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式．法则固然很重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解．
考点一 椭圆、双曲线的二级结论
1．点P是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上异于长轴端点的任一点，F1，F2为其左、右焦点，记∠F1PF2＝θ，则：
(1)|PF1||PF2|＝eq \f(2b2,1＋cs θ).
(2)＝b2tan eq \f(θ,2).
(3)e＝eq \f(sin∠F1PF2,sin∠PF1F2＋sin∠PF2F1).
(4)焦半径公式：设点P的坐标为(x0，y0)，椭圆焦点在x轴上，则|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0.
(5)过椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点F且倾斜角为α(α≠90°)的直线交椭圆于A，B两点，且|eq \(AF,\s\up6(→))|＝λ|eq \(FB,\s\up6(→))|，则椭圆的离心率等于eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(λ－1,λ＋1cs α))).
2．设点P是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上异于实轴端点的任一点，F1，F2为其左、右焦点，记∠F1PF2＝θ，则
(1)|PF1||PF2|＝eq \f(2b2,1－cs θ).(2)＝eq \f(b2,tan \f(θ,2)).(3)e＝eq \f(sin∠F1PF2,|sin∠PF1F2－sin∠PF2F1|).
(4)焦半径公式：设点P的坐标为(x0，y0)，双曲线焦点在x轴上，则|PF1|＝|a＋ex0|，|PF2|＝|a－ex0|.
(5)过双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点F且倾斜角为α(α≠90°)的直线交双曲线右支于A，B两点，且|eq \(AF,\s\up6(→))|＝λ|eq \(FB,\s\up6(→))|，则双曲线的离心率等于eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(λ－1,λ＋1cs α))).
典例1 (1)已知双曲线C：eq \f(x2,k)－eq \f(y2,5)＝1(k>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上，且∠F1PF2＝eq \f(π,3)，则△F1PF2的面积为________．
答案 5eq \r(3)
解析 由eq \f(x2,k)－eq \f(y2,5)＝1(k>0)知，b＝eq \r(5)，∠F1PF2＝eq \f(π,3)，由二级结论可知＝eq \f(b2,tan \f(∠F1PF2,2))＝5eq \r(3).
(2)已知P为椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1上的一个动点，F1，F2是椭圆C的左、右焦点，O为坐标原点，O到椭圆C在P点处切线的距离为d，若|PF1|·|PF2|＝eq \f(24,7)，则d＝________.
答案 eq \f(\r(14),2)
解析 设P(x0，y0)，由椭圆的焦半径公式得|PF1||PF2|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(1,2)x0))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(1,2)x0))))＝4－eq \f(1,4)xeq \\al(2,0)＝eq \f(24,7)，xeq \\al(2,0)＝eq \f(16,7)，
∴yeq \\al(2,0)＝eq \f(9,7)，
不妨取Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,\r(7))，\f(3,\r(7))))，切线方程为eq \f(\f(4,\r(7))x,4)＋eq \f(\f(3,\r(7))y,3)＝1,x＋y＝eq \r(7)，∴d＝eq \f(\r(14),2).
跟踪训练1 (1)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则点P到x轴的距离为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(6),2) C.eq \r(3) D.eq \r(6)
答案 B
解析 设P到x轴的距离为yP，
故eq \f(1,2)×2eq \r(2)×yP＝12×eq \f(1,tan 30°)，
解得yP＝eq \f(\r(6),2)，
故点P到x轴的距离为eq \f(\r(6),2).
(2)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为e＝eq \f(\r(3),2)，经过右焦点F且斜率为k(k＞0)的直线交椭圆于A，B两点，已知eq \(AF,\s\up6(→))＝3eq \(FB,\s\up6(→))，则k等于( )
A．1 B.eq \r(2) C.eq \r(3) D．2
答案 B
解析 ∵λ＝3，e＝eq \f(\r(3),2)，
由规律得eq \f(\r(3),2)cs α＝eq \f(3－1,3＋1)，cs α＝eq \f(\r(3),3)，k＝tan α＝eq \r(2).
考点二 周角定理
已知点P为椭圆(或双曲线)上异于顶点的任一点，A，B为长轴(或实轴)端点，则在椭圆中，kPA·kPB＝－eq \f(b2,a2)，在双曲线中，kPA·kPB＝eq \f(b2,a2).
典例2 (1)已知A，B分别为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，P是C上一点，且直线AP，BP的斜率之积为2，则C的离心率为( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3) C.eq \r(5) D.eq \r(6)
答案 B
解析 由结论可得kAP·kPB＝eq \f(b2,a2)＝e2－1＝2，解得e＝eq \r(3).
(2)阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率π与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的面积为6π，两个焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C的上顶点，直线y＝kx与椭圆C交于A，B两点，若PA，PB的斜率之积为－eq \f(4,9)，则椭圆C的短轴长为( )
A．2 B．4 C．3 D．6
答案 B
解析 椭圆的面积S＝πab＝6π，即ab＝6，①
因为点P为椭圆C的上顶点，所以P(0，b)，
因为PA，PB的斜率之积为－eq \f(4,9)，由周角定理得eq \f(b2,a2)＝eq \f(4,9)，②
①②联立解得a＝3，b＝2.
所以椭圆C的短轴长为2b＝4.
跟踪训练2 (1)椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于原点对称．若直线AP，AQ的斜率之积为－eq \f(1,2)，则C的离心率为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,3)
答案 B
解析 设P(x0，y0)，Q(－x0，－y0)且x0≠±a，
则k1k2＝eq \f(y0,x0＋a)·eq \f(y0,x0－a)＝eq \f(y\\al(2,0),x\\al(2,0)－a2)＝－eq \f(1,2).
又eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1，
故yeq \\al(2,0)＝eq \f(b2a2－x\\al(2,0),a2)，
故－eq \f(b2,a2)＝－eq \f(1,2)，
所以e＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝eq \f(\r(2),2).
(2)如图，在平面直角坐标系Oxy中，F1，F2分别为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，B，C分别为椭圆的上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一交点为D，e＝eq \f(3,5)，若cs∠F1BF2＝eq \f(7,25)，则直线CD的斜率为________．
答案 eq \f(12,25)
解析 设∠DBO＝θ，则cs∠F1BF2＝cs 2θ＝2cs2θ－1＝eq \f(7,25)，cs2θ＝eq \f(16,25)，cs θ＝eq \f(4,5)，
利用Rt△F2OB易知kBD＝－eq \f(4,3)，e＝eq \f(3,5)，
由kBD·kCD＝e2－1，得kCD＝eq \f(12,25).
考点三 抛物线的二级结论
1．焦点弦AB的长度表示(见图1)
(1)用A(x1，y1)，B(x2，y2)的坐标表示：
对于抛物线y2＝2px(p>0)而言：|AB|＝x1＋x2＋p＝2x0＋p(其中x0为线段AB中点的横坐标)．
对于抛物线x2＝2py(p>0)而言：|AB|＝y1＋y2＋p＝2y0＋p(其中y0为线段AB中点的纵坐标)．
(2)用直线AB的倾斜角θ表示(见图2)
对于抛物线y2＝2px(p>0)而言：
|AF|＝|AC|＝|GF|＋|FH|＝p＋|AF|cs θ，
|AF|＝eq \f(p,1－cs θ)，同理|BF|＝eq \f(p,1＋cs θ)，
则|AB|＝|AF|＋|BF|＝eq \f(2p,sin2θ)，
eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p).
对于抛物线x2＝2py(p>0)而言：同理可得
|AF|＝eq \f(p,1－sin θ)，|BF|＝eq \f(p,1＋sin θ)，
则|AB|＝|AF|＋|BF|＝eq \f(2p,cs2θ).
2．AB是抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的弦，AC⊥l，BD⊥l，M是CD的中点.A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：(见图3)
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq \f(p2,4).
(2)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p).
(3)MF⊥AB.
(4)MA⊥MB.
(5)A，O，D三点共线．
(6)以AB为直径的圆与l相切．
3．M为抛物线y2＝2px(p>0)的准线l上一点，MA，MB均与抛物线相切，A，B为切点，则有：(见图4)
(1)AB过焦点F.
(2)2yM＝yA＋yB.
(3)MA⊥MB.
(4)MF⊥AB.
典例3 (1)已知抛物线y2＝8x的焦点为F，直线y＝k(x－2)与此抛物线相交于P，Q两点，则eq \f(1,|FP|)＋eq \f(1,|FQ|)等于( )
A.eq \f(1,2) B．1 C．2 D．4
答案 A
解析 直线y＝k(x－2)过抛物线的焦点F(2,0)，则eq \f(1,|FP|)＋eq \f(1,|FQ|)＝eq \f(2,p)＝eq \f(1,2).
(2)已知F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1交抛物线于A，B两点，直线l2交抛物线于C，D两点，且|AB|·|CD|的最小值是64，则抛物线的方程为________________．
答案 y2＝4x
解析 设直线l1的倾斜角为θ，则直线l2的倾斜角为θ＋eq \f(π,2)，
根据焦点弦长公式可得|AB|＝eq \f(2p,sin2θ)，|CD|＝eq \f(2p,sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,2))))＝eq \f(2p,cs2θ)，
所以|AB|·|CD|＝eq \f(2p,sin2θ)·eq \f(2p,cs2θ)＝eq \f(4p2,sin2θcs2θ)＝eq \f(16p2,sin22θ)，
因为0所以16p2＝64，所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x.
跟踪训练3 (1)抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过焦点F且倾斜角为eq \f(π,6)的直线与抛物线相交于A，B两点，若|AB|＝8，则抛物线的方程为( )
A．y2＝4x B．y2＝8x
C．y2＝2x D．y2＝6x
答案 C
解析 ∵|AB|＝eq \f(2p,sin2θ)，∴2p＝|AB|sin2θ＝8×sin2eq \f(π,6)＝2，∴y2＝2x.
(2)设坐标原点为O，抛物线y2＝4x与过焦点的直线交于A，B两点，则eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(3,4) B．－eq \f(3,4) C．3 D．－3
答案 D
解析 方法一 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，
设直线AB的方程为x＝ty＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ty＋1，,y2＝4x，))得y2－4ty－4＝0，
Δ＝16t2＋16>0恒成立，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y1＋y2＝4t，,y1y2＝－4，))
所以eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝eq \f(y\\al(2,1),4)·eq \f(y\\al(2,2),4)＋y1y2＝eq \f(16,16)＋(－4)＝－3.
方法二 因为AB过抛物线的焦点，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1x2＝eq \f(p2,4)＝1，y1y2＝－p2＝－4，
所以eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝－3.
[总结提升]
圆锥曲线有许多形式结构相当漂亮的结论，记住圆锥曲线中一些二级结论，能快速解决圆锥曲线压轴小题，常用结论包括椭圆与双曲线中的焦点三角形面积公式、焦半径、切线方程、离心率等，周角定理以及抛物线焦点弦二级结论的综合应用．
1．已知椭圆eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆上一点P，若∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是( )
A.eq \f(\r(3),3) B．2eq \r(3) C.eq \r(3) D.eq \f(2\r(3),3)
答案 D
解析 方法一 由椭圆方程知a＝eq \r(3)，c＝1，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由椭圆定义知m＋n＝2a，
在△F1PF2中，由余弦定理得4c2＝m2＋n2－2mncs∠F1PF2＝(m＋n)2－3mn＝4a2－3mn，
∴mn＝eq \f(8,3)，∴＝eq \f(1,2)mnsin∠F1PF2＝eq \f(1,2)×eq \f(8,3)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(2\r(3),3).
方法二 由椭圆焦点三角形面积公式可知，＝b2tan eq \f(∠F1PF2,2)＝2tan 30°＝eq \f(2\r(3),3).
2．已知双曲线E的中心为原点，F(1,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点且AB的中点为N(－4，－5)，则双曲线E的渐近线的方程为( )
A.eq \r(5)x±2y＝0
B．2x±eq \r(5)y＝0
C．4x±5y＝0
D．5x±4y＝0
答案 A
解析 ∵kAB＝eq \f(－5－0,－4－1)＝1，kON＝eq \f(5,4)，且kAB·kON＝eq \f(b2,a2)，∴eq \f(b2,a2)＝eq \f(5,4)，
∴4b2＝5a2，可得双曲线的渐近线方程为eq \r(5)x±2y＝0.
3．已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点(点A在第一象限)，若eq \(BA,\s\up6(→))＝4eq \(BF,\s\up6(→))，则△AOB的面积为( )
A.eq \f(8\r(3),3) B.eq \f(4\r(3),3)
C.eq \f(8\r(2),3) D.eq \f(4\r(2),3)
答案 B
解析 由题意知eq \f(|AF|,|BF|)＝3，|AF|＝eq \f(p,1－cs θ)，|BF|＝eq \f(p,1＋cs θ)，
∴eq \f(1＋cs θ,1－cs θ)＝3，cs θ＝eq \f(1,2)，sin θ＝eq \f(\r(3),2)，S＝eq \f(p2,2sin θ)＝eq \f(4,\r(3))＝eq \f(4\r(3),3).
4．已知椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在椭圆C上，且直线PA2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1的斜率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,4))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,8)，\f(3,4)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，1))
答案 B
解析 由对称弦结论知＝e2－1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2－1＝－eq \f(3,4)，
又∈[－2，－1]，∴∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,8)，\f(3,4))).
5.如图，已知F1，F2是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的两个焦点，椭圆上一点P使∠F1PF2＝90°，则椭圆离心率e的取值范围是( )
A．(0,1) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))
答案 D
解析 设B为短轴端点，则＝b2tan 45°＝b2≤＝bc，
∵a＞b＞0，∴b≤c，即b2≤c2，
∴e2＝eq \f(c2,a2)≥eq \f(1,2)，
又∵e＜1，∴eq \f(\r(2),2)≤e＜1.
6．过椭圆C：eq \f(x2,2)＋y2＝1的焦点F作两条相互垂直的直线l1，l2，l1交椭圆于A，B两点，l2交椭圆于C，D两点，则|AB|＋|CD|的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(8\r(3),3)，3\r(3))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(8\r(2),3)，3\r(3)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(8\r(2),3)，3\r(2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(8\r(3),3)，3\r(2)))
答案 C
解析 不妨设直线l1的倾斜角小于直线l2的倾斜角，
则直线l1的倾斜角为θ，直线l2的倾斜角为eq \f(π,2)＋θ，
则|AB|＝eq \f(2ab2,a2－c2cs2θ)＝eq \f(2\r(2),2－cs2θ)，
|CD|＝eq \f(2ab2,a2－c2cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ)))＝eq \f(2\r(2),2－sin2θ)，
所以|AB|＋|CD|＝eq \f(24\r(2),8＋sin22θ).
因为0≤θ≤eq \f(π,2)，
所以0≤2θ≤π，
所以0≤sin 2θ≤1，所以8≤8＋sin22θ≤9，
所以|AB|＋|CD|∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(8\r(2),3)，3\r(2))).
7．(多选)已知椭圆C：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1，F1，F2分别为它的左、右焦点，A，B分别为它的左、右顶点，P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的是( )
A．离心率e＝eq \f(4,5)
B．△F1PF2的周长为18
C．直线PA与直线PB斜率乘积为定值－eq \f(9,25)
D．若∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积为8
答案 ABC
解析 由eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1，可得a＝5，b＝3，c＝eq \r(a2－b2)＝4，
对于A，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(4,5)，故A正确；
对于B，△F1PF2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝18，故B正确；
对于C，kPA·kPB＝－eq \f(b2,a2)＝－eq \f(9,25)，故C正确；
对于D，∵∠F1PF2＝90°，＝b2tan eq \f(∠F1PF2,2)＝9，故D错误．
8．(多选)已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A，B两点，C，D分别为A，B在l上的射影，则下列结论正确的是( )
A．若直线AB的倾斜角为45°，则|AB|＝8
B．若eq \(AF,\s\up6(→))＝2eq \(FB,\s\up6(→))，则直线AB的斜率为±2eq \r(3)
C．若O为坐标原点，则B，O，C三点共线
D．CF⊥DF
答案 ACD
解析 若直线AB的倾斜角为45°，
则|AB|＝eq \f(2p,sin245°)＝8，故A正确；
设直线AB的倾斜角为θ，
若eq \(AF,\s\up6(→))＝2eq \(FB,\s\up6(→))，
则|cs θ|＝eq \f(2－1,2＋1)＝eq \f(1,3)，
故k＝tan θ＝±2eq \r(2)，故B错误；
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C(－1，y1)，
所以kOB－kOC＝eq \f(y2,\f(y\\al(2,2),4))＋y1＝eq \f(4＋y1y2,y2)＝0，
故B，O，C三点共线，故C正确；
设C(－1，y1)，D(－1，y2)，F(1,0)，
则eq \(CF,\s\up6(→))·eq \(DF,\s\up6(→))＝(2，－y1)·(2，－y2)＝4＋y1y2＝4－p2＝0，
故CF⊥DF，故D正确．
9．已知椭圆Ax2＋By2＝1，△PF1F2为焦点三角形，椭圆离心率e＝eq \f(1,2)，∠PF2O＝60°，则tan∠PF1O的值为________．
答案 eq \r(3)
解析 设∠PF1O＝θ，由题意可得eq \f(1,2)＝eq \f(sinθ＋60°,sin θ＋sin 60°)，
解得cs θ＝eq \f(1,2)，∴θ＝60°，
故tan∠PF1O＝tan θ＝eq \r(3).
10．设F为抛物线C：y2＝16x的焦点，过点F且倾斜角为eq \f(π,6)的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB的面积为________．
答案 64
解析 由y2＝16x，得p＝8，θ＝eq \f(π,6)，
所以S△AOB＝eq \f(p2,2sin θ)＝64.
11．过双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上一点P作双曲线C的切线l，若直线OP与直线l的斜率之积为eq \f(2,5)，则双曲线C的离心率为________．
答案 eq \f(\r(35),5)
解析 设P(x0，y0)，由于双曲线C在点P(x0，y0)处的切线方程为eq \f(xx0,a2)－eq \f(yy0,b2)＝1，
故切线l的斜率k＝eq \f(b2x0,a2y0)；
因为k·kOP＝eq \f(2,5)，
则eq \f(b2x0,a2y0)·eq \f(y0,x0)＝eq \f(2,5)，
则eq \f(b2,a2)＝eq \f(2,5)，
即双曲线C的离心率e＝eq \r(1＋\f(2,5))＝eq \f(\r(35),5).
12．已知抛物线C：y2＝16x的焦点为F，直线x－my－4＝0(m∈R)与抛物线C交于A，B两点，则|AF|＋4|BF|的最小值是________．
答案 36
解析 方法一 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义，知
|AF|＝x1＋4，|BF|＝x2＋4，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－my－4＝0，,y2＝16x，))
化简得x2－(16m2＋8)x＋16＝0，
由根与系数的关系得x1x2＝16，
|AF|＋4|BF|＝x1＋4＋4(x2＋4)＝x1＋4x2＋20≥2eq \r(x1·4x2)＋20＝36，
当且仅当x1＝4x2，即x1＝8，x2＝2时等号成立，
∴|AF|＋4|BF|的最小值为36.
方法二 抛物线的焦点F(4,0)在直线x－my－4＝0上，
∴eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)＝eq \f(1,4)，
∴eq \f(4,|AF|)＋eq \f(4,|BF|)＝1，∴|AF|＋4|BF|＝(|AF|＋4|BF|)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,|AF|)＋\f(4,|BF|)))
＝4＋eq \f(4|AF|,|BF|)＋eq \f(16|BF|,|AF|)＋16≥20＋2eq \r(64)＝36，
当且仅当eq \f(4|AF|,|BF|)＝eq \f(16|BF|,|AF|)，
即|AF|＝12，|BF|＝6时等号成立，
∴(|AF|＋4|BF|)min＝36
一、椭圆、双曲线的二级结论
1．点P是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上异于长轴端点的任一点，F1，F2为其左、右焦点，记∠F1PF2＝θ，则：
(1)|PF1||PF2|＝eq \f(2b2,1＋cs θ).
(2)＝b2tan eq \f(θ,2).
(3)e＝eq \f(sin∠F1PF2,sin∠PF1F2＋sin∠PF2F1).
(4)焦半径公式：设点P的坐标为(x0，y0)，椭圆焦点在x轴上，则|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0.
(5)过椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点F且倾斜角为α(α≠90°)的直线交椭圆于A，B两点，且|eq \(AF,\s\up6(→))|＝λ|eq \(FB,\s\up6(→))|，则椭圆的离心率等于eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(λ－1,λ＋1cs α))).
2．设点P是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上异于实轴端点的任一点，F1，F2为其左、右焦点，记∠F1PF2＝θ，则
(1)|PF1||PF2|＝eq \f(2b2,1－cs θ).
(2)S△PF1F2＝eq \f(b2,tan \f(θ,2)).
(3)e＝eq \f(sin∠F1PF2,|sin∠PF1F2－sin∠PF2F1|).
(4)焦半径公式：设点P的坐标为(x0，y0)，双曲线焦点在x轴上，则|PF1|＝|a＋ex0|，|PF2|＝|a－ex0|.
(5)过双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点F且倾斜角为α(α≠90°)的直线交双曲线右支于A，B两点，且|eq \(AF,\s\up6(→))|＝λ|eq \(FB,\s\up6(→))|，则双曲线的离心率等于eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(λ－1,λ＋1cs α))).
典例1 (1)已知双曲线C：eq \f(x2,k)－eq \f(y2,5)＝1(k>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上，且∠F1PF2＝eq \f(π,3)，则△F1PF2的面积为________．
(2)已知P为椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1上的一个动点，F1，F2是椭圆C的左、右焦点，O为坐标原点，O到椭圆C在P点处切线的距离为d，若|PF1|·|PF2|＝eq \f(24,7)，则d＝________.
二、周角定理
已知点P为椭圆(或双曲线)上异于顶点的任一点，A，B为长轴(或实轴)端点，则在椭圆中，kPA·kPB＝－eq \f(b2,a2)，在双曲线中，kPA·kPB＝eq \f(b2,a2).
典例2 (1)已知A，B分别为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，P是C上一点，且直线AP，BP的斜率之积为2，则C的离心率为( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3) C.eq \r(5) D.eq \r(6)
(2)阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率π与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的面积为6π，两个焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C的上顶点，直线y＝kx与椭圆C交于A，B两点，若PA，PB的斜率之积为－eq \f(4,9)，则椭圆C的短轴长为( )
A．2 B．4 C．3 D．6
三、抛物线的二级结论
1．焦点弦AB的长度表示(见图1)
(1)用A(x1，y1)，B(x2，y2)的坐标表示：
对于抛物线y2＝2px(p>0)而言： |AB|＝x1＋x2＋p＝2x0＋p(其中x0为线段AB中点的横坐标)．
对于抛物线x2＝2py(p>0)而言： |AB|＝y1＋y2＋p＝2y0＋p(其中y0为线段AB中点的纵坐标)．
(2)用直线AB的倾斜角θ表示(见图2)
对于抛物线y2＝2px(p>0)而言：
|AF|＝|AC|＝|GF|＋|FH|＝p＋|AF|cs θ，
|AF|＝eq \f(p,1－cs θ)，同理 |BF|＝eq \f(p,1＋cs θ)，
则|AB|＝|AF|＋|BF|＝eq \f(2p,sin2θ)，
eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p).
对于抛物线x2＝2py(p>0)而言： 同理可得
|AF|＝eq \f(p,1－sin θ)，|BF|＝eq \f(p,1＋sin θ)，
则|AB|＝|AF|＋|BF|＝eq \f(2p,cs2θ).
2．AB是抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的弦，AC⊥l，BD⊥l，M是CD的中点. A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：(见图3)
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq \f(p2,4).
(2)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p).
(3)MF⊥AB.
(4)MA⊥MB.
(5)A，O，D三点共线．
(6)以AB为直径的圆与l相切．
3.M为抛物线y2＝2px(p>0)的准线l上一点，MA，MB均与抛物线相切，A，B为切点，则有：(见图4)
(1)AB过焦点F.
(2)2yM＝yA＋yB.
(3)MA⊥MB.
(4)MF⊥AB.
典例3 (1)已知抛物线y2＝8x的焦点为F，直线y＝k(x－2)与此抛物线相交于P，Q两点，则eq \f(1,|FP|)＋eq \f(1,|FQ|)等于( )
A.eq \f(1,2) B．1 C．2 D．4
(2)已知F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1交抛物线于A，B两点，直线l2交抛物线于C，D两点，且|AB|·|CD|的最小值是64，则抛物线的方程为________________．
[总结提升]
圆锥曲线有许多形式结构相当漂亮的结论，记住圆锥曲线中一些二级结论，能快速解决圆锥曲线压轴小题，常用结论包括椭圆与双曲线中的焦点三角形面积公式、焦半径、切线方程、离心率等，周角定理以及抛物线焦点弦二级结论的综合应用．
1．已知椭圆eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆上一点P，若∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是( )
A.eq \f(\r(3),3) B．2eq \r(3) C.eq \r(3) D.eq \f(2\r(3),3)
2．已知双曲线E的中心为原点，F(1,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点且AB的中点为N(－4，－5)，则双曲线E的渐近线的方程为( )
A.eq \r(5)x±2y＝0 B．2x±eq \r(5)y＝0
C．4x±5y＝0 D．5x±4y＝0
3．已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点(点A在第一象限)，若eq \(BA,\s\up6(→))＝4eq \(BF,\s\up6(→))，则△AOB的面积为( )
A.eq \f(8\r(3),3) B.eq \f(4\r(3),3) C.eq \f(8\r(2),3) D.eq \f(4\r(2),3)
4．已知椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在椭圆C上，且直线PA2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1的斜率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,4))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,8)，\f(3,4))) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，1))
5.如图，已知F1，F2是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的两个焦点，椭圆上一点P使∠F1PF2＝90°，则椭圆离心率e的取值范围是( )
A．(0,1) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))
6．过椭圆C：eq \f(x2,2)＋y2＝1的焦点F作两条相互垂直的直线l1，l2，l1交椭圆于A，B两点，l2交椭圆于 C，D两点，则|AB|＋|CD|的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(8\r(3),3)，3\r(3))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(8\r(2),3)，3\r(3)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(8\r(2),3)，3\r(2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(8\r(3),3)，3\r(2)))
7．(多选)已知椭圆C：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1，F1，F2分别为它的左、右焦点，A，B分别为它的左、右顶点，P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的是( )
A．离心率e＝eq \f(4,5)
B．△F1PF2的周长为18
C．直线PA与直线PB斜率乘积为定值－eq \f(9,25)
D．若∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积为8
8．(多选)已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A，B两点，C，D分别为A，B在l上的射影，则下列结论正确的是( )
A．若直线AB的倾斜角为45°，则|AB|＝8
B．若eq \(AF,\s\up6(→))＝2eq \(FB,\s\up6(→))，则直线AB的斜率为±2eq \r(3)
C．若O为坐标原点，则B，O，C三点共线
D．CF⊥DF
9．已知椭圆Ax2＋By2＝1，△PF1F2为焦点三角形，椭圆离心率e＝eq \f(1,2)，∠PF2O＝60°，则tan∠PF1O的值为________．
10．设F为抛物线C：y2＝16x的焦点，过点F且倾斜角为eq \f(π,6)的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB的面积为________．
11．过双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上一点P作双曲线C的切线l，若直线OP与直线l的斜率之积为eq \f(2,5)，则双曲线C的离心率为________．
12．已知抛物线C：y2＝16x的焦点为F，直线x－my－4＝0(m∈R)与抛物线C交于A，B两点，则|AF|＋4|BF|的最小值是________．
微专题38 圆锥曲线中二级结论的应用
[考情分析] 圆锥曲线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式．法则固然很重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解．
考点一 椭圆、双曲线的二级结论
1．点P是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上异于长轴端点的任一点，F1，F2为其左、右焦点，记∠F1PF2＝θ，则：
(1)|PF1||PF2|＝eq \f(2b2,1＋cs θ).
(2)＝b2tan eq \f(θ,2).
(3)e＝eq \f(sin∠F1PF2,sin∠PF1F2＋sin∠PF2F1).
(4)焦半径公式：设点P的坐标为(x0，y0)，椭圆焦点在x轴上，则|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0.
(5)过椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点F且倾斜角为α(α≠90°)的直线交椭圆于A，B两点，且|eq \(AF,\s\up6(→))|＝λ|eq \(FB,\s\up6(→))|，则椭圆的离心率等于eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(λ－1,λ＋1cs α))).
2．设点P是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上异于实轴端点的任一点，F1，F2为其左、右焦点，记∠F1PF2＝θ，则
(1)|PF1||PF2|＝eq \f(2b2,1－cs θ).(2)＝eq \f(b2,tan \f(θ,2)).(3)e＝eq \f(sin∠F1PF2,|sin∠PF1F2－sin∠PF2F1|).
(4)焦半径公式：设点P的坐标为(x0，y0)，双曲线焦点在x轴上，则|PF1|＝|a＋ex0|，|PF2|＝|a－ex0|.
(5)过双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点F且倾斜角为α(α≠90°)的直线交双曲线右支于A，B两点，且|eq \(AF,\s\up6(→))|＝λ|eq \(FB,\s\up6(→))|，则双曲线的离心率等于eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(λ－1,λ＋1cs α))).
典例1 (1)已知双曲线C：eq \f(x2,k)－eq \f(y2,5)＝1(k>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上，且∠F1PF2＝eq \f(π,3)，则△F1PF2的面积为________．
答案 5eq \r(3)
解析 由eq \f(x2,k)－eq \f(y2,5)＝1(k>0)知，b＝eq \r(5)，∠F1PF2＝eq \f(π,3)，由二级结论可知＝eq \f(b2,tan \f(∠F1PF2,2))＝5eq \r(3).
(2)已知P为椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1上的一个动点，F1，F2是椭圆C的左、右焦点，O为坐标原点，O到椭圆C在P点处切线的距离为d，若|PF1|·|PF2|＝eq \f(24,7)，则d＝________.
答案 eq \f(\r(14),2)
解析 设P(x0，y0)，由椭圆的焦半径公式得|PF1||PF2|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(1,2)x0))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(1,2)x0))))＝4－eq \f(1,4)xeq \\al(2,0)＝eq \f(24,7)，xeq \\al(2,0)＝eq \f(16,7)，
∴yeq \\al(2,0)＝eq \f(9,7)，
不妨取Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,\r(7))，\f(3,\r(7))))，切线方程为eq \f(\f(4,\r(7))x,4)＋eq \f(\f(3,\r(7))y,3)＝1,x＋y＝eq \r(7)，∴d＝eq \f(\r(14),2).
跟踪训练1 (1)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则点P到x轴的距离为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(6),2) C.eq \r(3) D.eq \r(6)
答案 B
解析 设P到x轴的距离为yP，
故eq \f(1,2)×2eq \r(2)×yP＝12×eq \f(1,tan 30°)，
解得yP＝eq \f(\r(6),2)，
故点P到x轴的距离为eq \f(\r(6),2).
(2)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为e＝eq \f(\r(3),2)，经过右焦点F且斜率为k(k＞0)的直线交椭圆于A，B两点，已知eq \(AF,\s\up6(→))＝3eq \(FB,\s\up6(→))，则k等于( )
A．1 B.eq \r(2) C.eq \r(3) D．2
答案 B
解析 ∵λ＝3，e＝eq \f(\r(3),2)，
由规律得eq \f(\r(3),2)cs α＝eq \f(3－1,3＋1)，cs α＝eq \f(\r(3),3)，k＝tan α＝eq \r(2).
考点二 周角定理
已知点P为椭圆(或双曲线)上异于顶点的任一点，A，B为长轴(或实轴)端点，则在椭圆中，kPA·kPB＝－eq \f(b2,a2)，在双曲线中，kPA·kPB＝eq \f(b2,a2).
典例2 (1)已知A，B分别为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，P是C上一点，且直线AP，BP的斜率之积为2，则C的离心率为( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3) C.eq \r(5) D.eq \r(6)
答案 B
解析 由结论可得kAP·kPB＝eq \f(b2,a2)＝e2－1＝2，解得e＝eq \r(3).
(2)阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率π与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的面积为6π，两个焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C的上顶点，直线y＝kx与椭圆C交于A，B两点，若PA，PB的斜率之积为－eq \f(4,9)，则椭圆C的短轴长为( )
A．2 B．4 C．3 D．6
答案 B
解析 椭圆的面积S＝πab＝6π，即ab＝6，①
因为点P为椭圆C的上顶点，所以P(0，b)，
因为PA，PB的斜率之积为－eq \f(4,9)，由周角定理得eq \f(b2,a2)＝eq \f(4,9)，②
①②联立解得a＝3，b＝2.
所以椭圆C的短轴长为2b＝4.
跟踪训练2 (1)椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于原点对称．若直线AP，AQ的斜率之积为－eq \f(1,2)，则C的离心率为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,3)
答案 B
解析 设P(x0，y0)，Q(－x0，－y0)且x0≠±a，
则k1k2＝eq \f(y0,x0＋a)·eq \f(y0,x0－a)＝eq \f(y\\al(2,0),x\\al(2,0)－a2)＝－eq \f(1,2).
又eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1，
故yeq \\al(2,0)＝eq \f(b2a2－x\\al(2,0),a2)，
故－eq \f(b2,a2)＝－eq \f(1,2)，
所以e＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝eq \f(\r(2),2).
(2)如图，在平面直角坐标系Oxy中，F1，F2分别为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，B，C分别为椭圆的上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一交点为D，e＝eq \f(3,5)，若cs∠F1BF2＝eq \f(7,25)，则直线CD的斜率为________．
答案 eq \f(12,25)
解析 设∠DBO＝θ，则cs∠F1BF2＝cs 2θ＝2cs2θ－1＝eq \f(7,25)，cs2θ＝eq \f(16,25)，cs θ＝eq \f(4,5)，
利用Rt△F2OB易知kBD＝－eq \f(4,3)，e＝eq \f(3,5)，
由kBD·kCD＝e2－1，得kCD＝eq \f(12,25).
考点三 抛物线的二级结论
1．焦点弦AB的长度表示(见图1)
(1)用A(x1，y1)，B(x2，y2)的坐标表示：
对于抛物线y2＝2px(p>0)而言：|AB|＝x1＋x2＋p＝2x0＋p(其中x0为线段AB中点的横坐标)．
对于抛物线x2＝2py(p>0)而言：|AB|＝y1＋y2＋p＝2y0＋p(其中y0为线段AB中点的纵坐标)．
(2)用直线AB的倾斜角θ表示(见图2)
对于抛物线y2＝2px(p>0)而言：
|AF|＝|AC|＝|GF|＋|FH|＝p＋|AF|cs θ，
|AF|＝eq \f(p,1－cs θ)，同理|BF|＝eq \f(p,1＋cs θ)，
则|AB|＝|AF|＋|BF|＝eq \f(2p,sin2θ)，
eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p).
对于抛物线x2＝2py(p>0)而言：同理可得
|AF|＝eq \f(p,1－sin θ)，|BF|＝eq \f(p,1＋sin θ)，
则|AB|＝|AF|＋|BF|＝eq \f(2p,cs2θ).
2．AB是抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的弦，AC⊥l，BD⊥l，M是CD的中点.A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：(见图3)
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq \f(p2,4).
(2)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p).
(3)MF⊥AB.
(4)MA⊥MB.
(5)A，O，D三点共线．
(6)以AB为直径的圆与l相切．
3．M为抛物线y2＝2px(p>0)的准线l上一点，MA，MB均与抛物线相切，A，B为切点，则有：(见图4)
(1)AB过焦点F.
(2)2yM＝yA＋yB.
(3)MA⊥MB.
(4)MF⊥AB.
典例3 (1)已知抛物线y2＝8x的焦点为F，直线y＝k(x－2)与此抛物线相交于P，Q两点，则eq \f(1,|FP|)＋eq \f(1,|FQ|)等于( )
A.eq \f(1,2) B．1 C．2 D．4
答案 A
解析 直线y＝k(x－2)过抛物线的焦点F(2,0)，则eq \f(1,|FP|)＋eq \f(1,|FQ|)＝eq \f(2,p)＝eq \f(1,2).
(2)已知F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1交抛物线于A，B两点，直线l2交抛物线于C，D两点，且|AB|·|CD|的最小值是64，则抛物线的方程为________________．
答案 y2＝4x
解析 设直线l1的倾斜角为θ，则直线l2的倾斜角为θ＋eq \f(π,2)，
根据焦点弦长公式可得|AB|＝eq \f(2p,sin2θ)，|CD|＝eq \f(2p,sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,2))))＝eq \f(2p,cs2θ)，
所以|AB|·|CD|＝eq \f(2p,sin2θ)·eq \f(2p,cs2θ)＝eq \f(4p2,sin2θcs2θ)＝eq \f(16p2,sin22θ)，
因为0
跟踪训练3 (1)抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过焦点F且倾斜角为eq \f(π,6)的直线与抛物线相交于A，B两点，若|AB|＝8，则抛物线的方程为( )
A．y2＝4x B．y2＝8x
C．y2＝2x D．y2＝6x
答案 C
解析 ∵|AB|＝eq \f(2p,sin2θ)，∴2p＝|AB|sin2θ＝8×sin2eq \f(π,6)＝2，∴y2＝2x.
(2)设坐标原点为O，抛物线y2＝4x与过焦点的直线交于A，B两点，则eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(3,4) B．－eq \f(3,4) C．3 D．－3
答案 D
解析 方法一 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，
设直线AB的方程为x＝ty＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ty＋1，,y2＝4x，))得y2－4ty－4＝0，
Δ＝16t2＋16>0恒成立，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y1＋y2＝4t，,y1y2＝－4，))
所以eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝eq \f(y\\al(2,1),4)·eq \f(y\\al(2,2),4)＋y1y2＝eq \f(16,16)＋(－4)＝－3.
方法二 因为AB过抛物线的焦点，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1x2＝eq \f(p2,4)＝1，y1y2＝－p2＝－4，
所以eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝－3.
[总结提升]
圆锥曲线有许多形式结构相当漂亮的结论，记住圆锥曲线中一些二级结论，能快速解决圆锥曲线压轴小题，常用结论包括椭圆与双曲线中的焦点三角形面积公式、焦半径、切线方程、离心率等，周角定理以及抛物线焦点弦二级结论的综合应用．
1．已知椭圆eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆上一点P，若∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是( )
A.eq \f(\r(3),3) B．2eq \r(3) C.eq \r(3) D.eq \f(2\r(3),3)
答案 D
解析 方法一 由椭圆方程知a＝eq \r(3)，c＝1，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由椭圆定义知m＋n＝2a，
在△F1PF2中，由余弦定理得4c2＝m2＋n2－2mncs∠F1PF2＝(m＋n)2－3mn＝4a2－3mn，
∴mn＝eq \f(8,3)，∴＝eq \f(1,2)mnsin∠F1PF2＝eq \f(1,2)×eq \f(8,3)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(2\r(3),3).
方法二 由椭圆焦点三角形面积公式可知，＝b2tan eq \f(∠F1PF2,2)＝2tan 30°＝eq \f(2\r(3),3).
2．已知双曲线E的中心为原点，F(1,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点且AB的中点为N(－4，－5)，则双曲线E的渐近线的方程为( )
A.eq \r(5)x±2y＝0
B．2x±eq \r(5)y＝0
C．4x±5y＝0
D．5x±4y＝0
答案 A
解析 ∵kAB＝eq \f(－5－0,－4－1)＝1，kON＝eq \f(5,4)，且kAB·kON＝eq \f(b2,a2)，∴eq \f(b2,a2)＝eq \f(5,4)，
∴4b2＝5a2，可得双曲线的渐近线方程为eq \r(5)x±2y＝0.
3．已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点(点A在第一象限)，若eq \(BA,\s\up6(→))＝4eq \(BF,\s\up6(→))，则△AOB的面积为( )
A.eq \f(8\r(3),3) B.eq \f(4\r(3),3)
C.eq \f(8\r(2),3) D.eq \f(4\r(2),3)
答案 B
解析 由题意知eq \f(|AF|,|BF|)＝3，|AF|＝eq \f(p,1－cs θ)，|BF|＝eq \f(p,1＋cs θ)，
∴eq \f(1＋cs θ,1－cs θ)＝3，cs θ＝eq \f(1,2)，sin θ＝eq \f(\r(3),2)，S＝eq \f(p2,2sin θ)＝eq \f(4,\r(3))＝eq \f(4\r(3),3).
4．已知椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在椭圆C上，且直线PA2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1的斜率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,4))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,8)，\f(3,4)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，1))
答案 B
解析 由对称弦结论知＝e2－1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2－1＝－eq \f(3,4)，
又∈[－2，－1]，∴∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,8)，\f(3,4))).
5.如图，已知F1，F2是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的两个焦点，椭圆上一点P使∠F1PF2＝90°，则椭圆离心率e的取值范围是( )
A．(0,1) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))
答案 D
解析 设B为短轴端点，则＝b2tan 45°＝b2≤＝bc，
∵a＞b＞0，∴b≤c，即b2≤c2，
∴e2＝eq \f(c2,a2)≥eq \f(1,2)，
又∵e＜1，∴eq \f(\r(2),2)≤e＜1.
6．过椭圆C：eq \f(x2,2)＋y2＝1的焦点F作两条相互垂直的直线l1，l2，l1交椭圆于A，B两点，l2交椭圆于C，D两点，则|AB|＋|CD|的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(8\r(3),3)，3\r(3))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(8\r(2),3)，3\r(3)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(8\r(2),3)，3\r(2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(8\r(3),3)，3\r(2)))
答案 C
解析 不妨设直线l1的倾斜角小于直线l2的倾斜角，
则直线l1的倾斜角为θ，直线l2的倾斜角为eq \f(π,2)＋θ，
则|AB|＝eq \f(2ab2,a2－c2cs2θ)＝eq \f(2\r(2),2－cs2θ)，
|CD|＝eq \f(2ab2,a2－c2cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ)))＝eq \f(2\r(2),2－sin2θ)，
所以|AB|＋|CD|＝eq \f(24\r(2),8＋sin22θ).
因为0≤θ≤eq \f(π,2)，
所以0≤2θ≤π，
所以0≤sin 2θ≤1，所以8≤8＋sin22θ≤9，
所以|AB|＋|CD|∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(8\r(2),3)，3\r(2))).
7．(多选)已知椭圆C：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1，F1，F2分别为它的左、右焦点，A，B分别为它的左、右顶点，P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的是( )
A．离心率e＝eq \f(4,5)
B．△F1PF2的周长为18
C．直线PA与直线PB斜率乘积为定值－eq \f(9,25)
D．若∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积为8
答案 ABC
解析 由eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1，可得a＝5，b＝3，c＝eq \r(a2－b2)＝4，
对于A，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(4,5)，故A正确；
对于B，△F1PF2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝18，故B正确；
对于C，kPA·kPB＝－eq \f(b2,a2)＝－eq \f(9,25)，故C正确；
对于D，∵∠F1PF2＝90°，＝b2tan eq \f(∠F1PF2,2)＝9，故D错误．
8．(多选)已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A，B两点，C，D分别为A，B在l上的射影，则下列结论正确的是( )
A．若直线AB的倾斜角为45°，则|AB|＝8
B．若eq \(AF,\s\up6(→))＝2eq \(FB,\s\up6(→))，则直线AB的斜率为±2eq \r(3)
C．若O为坐标原点，则B，O，C三点共线
D．CF⊥DF
答案 ACD
解析 若直线AB的倾斜角为45°，
则|AB|＝eq \f(2p,sin245°)＝8，故A正确；
设直线AB的倾斜角为θ，
若eq \(AF,\s\up6(→))＝2eq \(FB,\s\up6(→))，
则|cs θ|＝eq \f(2－1,2＋1)＝eq \f(1,3)，
故k＝tan θ＝±2eq \r(2)，故B错误；
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C(－1，y1)，
所以kOB－kOC＝eq \f(y2,\f(y\\al(2,2),4))＋y1＝eq \f(4＋y1y2,y2)＝0，
故B，O，C三点共线，故C正确；
设C(－1，y1)，D(－1，y2)，F(1,0)，
则eq \(CF,\s\up6(→))·eq \(DF,\s\up6(→))＝(2，－y1)·(2，－y2)＝4＋y1y2＝4－p2＝0，
故CF⊥DF，故D正确．
9．已知椭圆Ax2＋By2＝1，△PF1F2为焦点三角形，椭圆离心率e＝eq \f(1,2)，∠PF2O＝60°，则tan∠PF1O的值为________．
答案 eq \r(3)
解析 设∠PF1O＝θ，由题意可得eq \f(1,2)＝eq \f(sinθ＋60°,sin θ＋sin 60°)，
解得cs θ＝eq \f(1,2)，∴θ＝60°，
故tan∠PF1O＝tan θ＝eq \r(3).
10．设F为抛物线C：y2＝16x的焦点，过点F且倾斜角为eq \f(π,6)的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB的面积为________．
答案 64
解析 由y2＝16x，得p＝8，θ＝eq \f(π,6)，
所以S△AOB＝eq \f(p2,2sin θ)＝64.
11．过双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上一点P作双曲线C的切线l，若直线OP与直线l的斜率之积为eq \f(2,5)，则双曲线C的离心率为________．
答案 eq \f(\r(35),5)
解析 设P(x0，y0)，由于双曲线C在点P(x0，y0)处的切线方程为eq \f(xx0,a2)－eq \f(yy0,b2)＝1，
故切线l的斜率k＝eq \f(b2x0,a2y0)；
因为k·kOP＝eq \f(2,5)，
则eq \f(b2x0,a2y0)·eq \f(y0,x0)＝eq \f(2,5)，
则eq \f(b2,a2)＝eq \f(2,5)，
即双曲线C的离心率e＝eq \r(1＋\f(2,5))＝eq \f(\r(35),5).
12．已知抛物线C：y2＝16x的焦点为F，直线x－my－4＝0(m∈R)与抛物线C交于A，B两点，则|AF|＋4|BF|的最小值是________．
答案 36
解析 方法一 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义，知
|AF|＝x1＋4，|BF|＝x2＋4，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－my－4＝0，,y2＝16x，))
化简得x2－(16m2＋8)x＋16＝0，
由根与系数的关系得x1x2＝16，
|AF|＋4|BF|＝x1＋4＋4(x2＋4)＝x1＋4x2＋20≥2eq \r(x1·4x2)＋20＝36，
当且仅当x1＝4x2，即x1＝8，x2＝2时等号成立，
∴|AF|＋4|BF|的最小值为36.
方法二 抛物线的焦点F(4,0)在直线x－my－4＝0上，
∴eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)＝eq \f(1,4)，
∴eq \f(4,|AF|)＋eq \f(4,|BF|)＝1，∴|AF|＋4|BF|＝(|AF|＋4|BF|)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,|AF|)＋\f(4,|BF|)))
＝4＋eq \f(4|AF|,|BF|)＋eq \f(16|BF|,|AF|)＋16≥20＋2eq \r(64)＝36，
当且仅当eq \f(4|AF|,|BF|)＝eq \f(16|BF|,|AF|)，
即|AF|＝12，|BF|＝6时等号成立，
∴(|AF|＋4|BF|)min＝36
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