高考数学专题练 专题六解析几何 微专题37　离心率的范围问题（含答案）

这是一份高考数学专题练 专题六解析几何 微专题37　离心率的范围问题（含答案），共18页。

典例1 (1)(2023·怀仁模拟)已知F1，F2为椭圆C1：eq \f(x2,a\\al(2,1))＋eq \f(y2,b\\al(2,1))＝1(a1>b1>0)与双曲线C2：eq \f(x2,a\\al(2,2))－eq \f(y2,b\\al(2,2))＝1(a2>0，b2>0)的公共焦点，M是它们的一个公共点，且∠F1MF2＝eq \f(π,3)，e1，e2分别为曲线C1，C2的离心率，则e1e2的最小值为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \r(3) C．1 D.eq \f(1,2)
(2)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l，交抛物线C的准线于点A，与抛物线C的一个交点为B，且eq \(AB,\s\up6(→))＝keq \(BF,\s\up6(→))(k≥eq \r(2))．若l与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线垂直，则该双曲线离心率的取值范围是________________．
典例2 (1)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围是________．
(2)双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两个焦点为F1，F2，若P为双曲线上一点，且eq \f(a,sin∠PF1F2)＝eq \f(c,sin∠PF2F1)，则双曲线离心率的取值范围为________．
典例3 (1)(2023·重庆模拟)已知P为圆C：x2＋y2－6y＝40上一点，椭圆M：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦距为6，点P关于直线x－y＝0的对称点在椭圆M上，则椭圆离心率的取值范围为________．
(2)已知F1，F2是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，以F2为圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于A，B两点，若|AB|>eq \f(|F1F2|,2)，则双曲线的离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(2\r(10),5))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(4\r(34),17)))
C．(1，eq \r(2)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(2\r(6),3)))
[总结提升]
关于圆锥曲线离心率(范围)问题处理的主体思想是：建立一个关于a，b，c的方程(或不等式)．一般建立方程有两种方法：(1)利用圆锥曲线的定义解决；(2)利用题中的几何关系来解决问题．另外，不能忽略了圆锥曲线离心率的自身限制条件．
1．(2023·承德模拟)已知过点P(1,2)可作双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条切线，若两个切点分别在双曲线C的左、右两支上，则该双曲线的离心率的取值范围为( )
A．(eq \r(5)，＋∞) B．(1，eq \r(5))
C．(1，eq \r(3)) D．(eq \r(3)，＋∞)
2.如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A1，A2，B1，B2为椭圆的顶点，F2为右焦点，延长B1F2与A2B2交于点P，若∠B1PB2为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5)－2,2)，1)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5)－2,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5)－1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5)－1,2)，1))
3．设A1，A2是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1上长轴的两个端点，若椭圆上恒存在一点P，使得tan∠A1PA2＝－2eq \r(6)，则椭圆离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),3)))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，1))
4．(2023·温州模拟)设过原点且倾斜角为60°的直线与双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右支分别交于A，B两点，F是C的焦点，若△ABF的面积大于eq \r(6a2a2＋b2)，则C的离心率的取值范围是( )
A．(1，eq \r(7)) B．(eq \r(2)，7)
C．(2,7) D．(2，eq \r(7))
5．(2023·咸宁模拟)已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1，F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|＝24，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则3e1e2的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9)，＋∞)) B．(1，＋∞)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
6．(多选)设F1，F2同时为椭圆C1：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)与双曲线C2：eq \f(x2,a\\al(2,1))－eq \f(y2,b\\al(2,1))＝1(a1>0，b1>0)的左、右焦点，设椭圆C1与双曲线C2在第一象限内交于点M，椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1，e2，O为坐标原点，若( )
A．|F1F2|＝2|MO|，则eq \f(1,e\\al(2,1))＋eq \f(1,e\\al(2,2))＝eq \r(2)
B．|F1F2|＝2|MO|，则eq \f(1,e\\al(2,1))＋eq \f(1,e\\al(2,2))＝2
C．|F1F2|＝4|MF2|，则e1e2的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(3,2)))
D．|F1F2|＝4|MF2|，则e1e2的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，2))
7．(2023·福建名校联盟大联考)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，记F1为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点，以OF1为直径的圆与C的一条渐近线交于O，A两点，且线段AF1与C交于点B，若eq \(F1B,\s\up6(—→))＝λeq \(F1A,\s\up6(—→))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ>\f(1,2)))，则C的离心率的取值范围为________．
8.如图所示，底面半径为3，高为8的圆柱内放有一个半径为3的球，球与圆柱下底面相切，作不与圆柱底面平行的平面α与球相切于点F，若平面α与圆柱侧面相交所得曲线为封闭曲线C，且C是以F为一个焦点的椭圆，则C的离心率的最大值为________．
微专题37 离心率的范围问题
[考情分析] 圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁．
考点一 利用圆锥曲线的定义求离心率
典例1 (1)(2023·怀仁模拟)已知F1，F2为椭圆C1：eq \f(x2,a\\al(2,1))＋eq \f(y2,b\\al(2,1))＝1(a1>b1>0)与双曲线C2：eq \f(x2,a\\al(2,2))－eq \f(y2,b\\al(2,2))＝1(a2>0，b2>0)的公共焦点，M是它们的一个公共点，且∠F1MF2＝eq \f(π,3)，e1，e2分别为曲线C1，C2的离心率，则e1e2的最小值为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \r(3) C．1 D.eq \f(1,2)
答案 A
解析 假设|MF1|>|MF2|，
所以由椭圆、双曲线定义得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|MF1|＋|MF2|＝2a1，,|MF1|－|MF2|＝2a2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|MF1|＝a1＋a2，,|MF2|＝a1－a2，))
所以在△MF1F2中，|F1F2|＝2c，由余弦定理得
|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1|·|MF2|·cs eq \f(π,3)，
即4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)·(a1－a2)cs eq \f(π,3)，
化简得4c2＝aeq \\al(2,1)＋3aeq \\al(2,2)，
因为4c2＝aeq \\al(2,1)＋3aeq \\al(2,2)≥2eq \r(3)a1a2，
所以eq \f(c2,a1a2)≥eq \f(2\r(3),4)＝eq \f(\r(3),2)，
即e1e2≥eq \f(\r(3),2)，
当且仅当a1＝eq \r(3)a2时，取等号．
故e1e2的最小值为eq \f(\r(3),2).
(2)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l，交抛物线C的准线于点A，与抛物线C的一个交点为B，且eq \(AB,\s\up6(→))＝keq \(BF,\s\up6(→))(k≥eq \r(2))．若l与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线垂直，则该双曲线离心率的取值范围是________________．
答案 (1，eq \r(2)]
解析 依题意可知，直线l的斜率存在且不为0，不妨设直线l的斜率为正数，如图，
过B作BC与抛物线的准线垂直，垂足为C，
根据抛物线的定义可知|BF|＝|BC|，
因为eq \(AB,\s\up6(→))＝keq \(BF,\s\up6(→))(k≥eq \r(2))，
所以|AB|＝k|BF|＝k|BC|，
所以eq \f(1,k)＝eq \f(|BC|,|AB|)＝cs∠ABC，
因为k≥eq \r(2)，所以eq \f(1,k)∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))，
所以cs∠ABC∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))，
所以∠ABC∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，
所以tan∠ABC∈[1，＋∞)，即直线l的斜率的取值范围为[1，＋∞)，
又l与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线y＝－eq \f(b,a)x垂直，
所以eq \f(a,b)≥1，
所以双曲线的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(a2＋b2,a2))＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)≤eq \r(1＋1)＝eq \r(2)，
又e>1，所以1b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，若离心率e＝eq \f(|PF1|,|PF2|)，则椭圆C的离心率的取值范围为( )
A．(0，eq \r(2)－1) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)－1，1))
答案 D
解析 因为e＝eq \f(|PF1|,|PF2|)，所以|PF1|＝e|PF2|，
由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，
解得|PF2|＝eq \f(2a,e＋1)，
因为a－c≤|PF2|≤a＋c，所以a－c≤eq \f(2a,e＋1)≤a＋c，
两边同除以a得1－e≤eq \f(2,e＋1)≤1＋e，解得e≥eq \r(2)－1，
因为04b，则双曲线C的离心率的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(13),3)，\r(5)))
B．(eq \r(5)，eq \r(13))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(13),3)))∪(eq \r(5)，＋∞)
D．(1，eq \r(5))∪(eq \r(13)，＋∞)
答案 C
解析 由已知可得|MF2|－|MF1|＝2a，若|MF2|＋|MN|>4b，
即|MF1|＋|MN|＋2a>4b，左支上的点M均满足|MF2|＋|MN|>4b，
如图所示，当点M位于H点时，|MF1|＋|MN|最小，
故eq \f(3b2,2a)＋2a>4b，即3b2＋4a2>8ab，
∴3b2－8ab＋4a2>0，∴(2a－b)(2a－3b)>0，
∴2a>3b或2a9b2或4a20)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围是________．
答案 [2，＋∞)
解析 过双曲线的右焦点可能与右支的交点个数为1个或2个，取决于这条直线与右渐近线的关系，如果这条直线的斜率为k小于等于右渐近线y＝eq \f(b,a)x的斜率，则与双曲线的右支只有一个交点，故eq \f(b,a)≥eq \r(3)，
所以双曲线的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(a2＋b2,a2))＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)≥eq \r(1＋3)＝2.
(2)双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两个焦点为F1，F2，若P为双曲线上一点，且eq \f(a,sin∠PF1F2)＝eq \f(c,sin∠PF2F1)，则双曲线离心率的取值范围为________．
答案 (1,1＋eq \r(2))
解析 依题意，不妨设P点为双曲线的右支上的一点，F1为左焦点，F2为右焦点，
在△PF1F2中，由正弦定理得eq \f(sin∠PF2F1,sin∠PF1F2)＝eq \f(|PF1|,|PF2|)，
又eq \f(a,sin∠PF1F2)＝eq \f(c,sin∠PF2F1)，
∴eq \f(sin∠PF2F1,sin∠PF1F2)＝eq \f(c,a)，
∴eq \f(|PF1|,|PF2|)＝eq \f(c,a)，由假设可知|PF1|>|PF2|，
∴eq \f(|PF1|－|PF2|,|PF2|)＝eq \f(c－a,a)，
由双曲线的定义知eq \f(2a,|PF2|)＝eq \f(c－a,a)，
∴|PF2|＝eq \f(2a2,c－a)，由题意知|PF2|>c－a，
∴eq \f(2a2,c－a)>c－a，
整理得c2－2ac－a2b>0)的左、右焦点，以F2为圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于A，B两点，若|AB|>eq \f(|F1F2|,2)，则双曲线的离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(2\r(10),5))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(4\r(34),17)))
C．(1，eq \r(2)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(2\r(6),3)))
答案 A
解析 设以F2(c,0)圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐近线bx－ay＝0交于A，B两点，
则F2到渐近线bx－ay＝0的距离d＝eq \f(|bc|,\r(a2＋b2))＝b，
所以|AB|＝2eq \r(a2－b2)，
因为|AB|>eq \f(|F1F2|,2)，
所以2eq \r(a2－b2)>eq \f(2c,2)，
可得4a2－4b2>c2＝a2＋b2，
即3a2>5b2＝5c2－5a2，可得5c20)的左焦点为F，经过原点的直线与C交于A，B两点，若∠AFB≥150°，则C的离心率的取值范围为________________．
答案 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(6)－\r(2),4)))
解析 如图，设椭圆的右焦点为F′，连接AF′，BF′，
∵AB，FF′互相平分，∴四边形AF′BF为平行四边形，
∴∠AFB＋∠FBF′＝180°，
∵∠AFB≥150°，∴∠FBF′≤30°，
由条件知，当B在短轴端点(不妨取上端点B1)时，∠FBF′最大，
此时在Rt△B1OF′中，∠OB1F′＝15°，
∴e＝sin∠OB1F′＝sin 15°＝eq \f(\r(6)－\r(2),4)，
∴00，b>0)，F1(－c,0)，
设直线PF1的方程为y＝k(x＋c)，即kx－y＋kc＝0，
联立圆x2＋y2＝c2与双曲线方程eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，
设交点P在第二象限，则Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,c)\r(b2＋c2)，\f(b2,c))).
可得此时k＝eq \f(\f(b2,c),－\f(a\r(b2＋c2),c)＋c)>0，
由题意可得k4a2，
可得c2>5a2，即有e＝eq \f(c,a)>eq \r(5).
[总结提升]
关于圆锥曲线离心率(范围)问题处理的主体思想是：建立一个关于a，b，c的方程(或不等式)．一般建立方程有两种方法：(1)利用圆锥曲线的定义解决；(2)利用题中的几何关系来解决问题．另外，不能忽略了圆锥曲线离心率的自身限制条件．
1．(2023·承德模拟)已知过点P(1,2)可作双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条切线，若两个切点分别在双曲线C的左、右两支上，则该双曲线的离心率的取值范围为( )
A．(eq \r(5)，＋∞) B．(1，eq \r(5))
C．(1，eq \r(3)) D．(eq \r(3)，＋∞)
答案 B
解析 要满足题意，点P(1,2)必须在渐近线y＝eq \f(b,a)x与y轴围成的区域，且不能在渐近线及y轴上．所以必须满足eq \f(b,a)