江苏省无锡市积余实验学校2023-2024学年九年级下学期3月练习数学试题

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．其中第17第一空为1分，第二空为2分）
11．2(m＋2)(m－2)． 12．1.92×108． 13．540． 14．答案不唯一，如y＝－x＋1．
15．120． 16．EQ \B\lc\{(\a\al( x＝3, y＝5))． 17．5， EQ \F(9,5)． 18．﹣10．
三、解答题（本大题共10小题，共54分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．解：（1）原式＝ EQ \F(1,2)＋1－1 ………（3分） （2）原式＝ EQ \F(2x－3－x＋1,x－2) ………（2分）
＝ EQ \F(1,2) ………（4分） ＝1 ………（4分）
20．解：（1） (x＋1)(x－3)＝0 ………（3分） （2）化简得： EQ \B\lc\{(\a\al( x＜2, x≥－ EQ \F(10,3))) ………（2分）
x1＝－1，x2＝3． ………（4分） ∴ － EQ \F(10,3)≤x＜2 ………（4分）
21．（1）∵AB∥CD，∴∠B=∠D ……（2分）
在△ABE和△CDF中
∴△ABE≌△CDF（ASA） ……（4分）
∴AE=FC ……（5分）
（2）∵△ABE≌△CDF，∴∠AEB=∠CFD ……（7分）
∴∠AEF=∠CFE ……（8分）
又∵AE=FC …… （9分）
∴四边形AECF是平行四边形 ……（10分）
22．（1）500，180； ……（4分）
（2）57.6°； ……（6分）
（3）根据题意得：
……（8分）
3000× EQ \F(140＋80,500)＝1320（人），
答：估计该校学生的作业时间不少于2小时的学生人数有1320人；
……（10分）
（4）∵样本中还有80名学生作业时间超过2小时，∴不满足．（言之有理即可）
23．解：（1） EQ \F(1,3)； ……（3分）
（2）列出树状图如图所示：
……（6分）
结果：（物，化，生）、（物，化，政）、（物，化，地）、（物，生，化）、（物，生，政）、（物，生，地）、（物，政，化）、（物，政，生）、（物，政，地）、（物，地，化）、（物，地，生）、（物，地，政） ……（7分）
由图可知，共有12种等可能的结果，其中选化学、生物的有2种，分别为：（物，化，生）、（物，生，化）
……（9分）
∴（选化学、生物） ……（10分）
24．（1）角平分线（2分），垂直平分线（2分），标点、写清所求（2分） ……（6分）
（2） ……（10分）
25．（1）证明：连接AD，如图，
∵E是的中点，∴∠DAB＝2∠EAB， ……（1分）
∵∠ACB＝2∠EAB，∴∠ACB＝∠DAB， ……（2分）
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°， ……（3分）
∴∠DAB＋∠ABC＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∴∠BAC＝90°，即AB⊥AC ……（4分）
又∵AB是直径
∴AC是⊙O的切线； ……（5分）
（2）∵∠EAC＋∠EAB=90°，∠DAE＋∠AFD=90°，又∵∠EAD=∠EAB，∴∠EAC=∠AFD，
∴CF=AC=6， ……（7分）
∵，∴CD= AC∙=4，∴DF=2，
∵AD2=AC2−CD2=62−42=20， ……（9分）
∴AF＝=． ……（10分）
……（1分）
26．（1）设购进A商品x件，则购进B商品(100－x)件．
……（3分）
∴15x＋35(100－x)＝3000，
……（4分）
解之得x＝25，100－x＝75，
答：商场购进A商品25件，购进B商品75件．
……（5分）
（2）设该单位购买A商品m件，购买B商品n件．
①当一次性购物总额不超过500时，付款总金额为432÷0.9＝480（元），
则20m＋45n＝480，m＝24－ EQ \F(9,4)n＞0，∴0＜n＜ EQ \F(32,3)，且m、n均是正整数， n是4的倍数，
……（7分）
故满足条件的m，n有： eq \b\lc\{(\a\vs3\al( m＝6, n＝8))或 eq \b\lc\{(\a\vs3\al( m＝15, n＝4))．
当m＝6，n＝8，则利润是：432－8×35－6×15＝62（元）；
当m＝15，n＝4，则利润是：432－(15×15＋35×4)＝67（元）；
②当一次性购物总额超过500时，付款总金额为432÷0.8＝540（元），
则20m＋45n＝540，m＝27－ EQ \F(9,4)n≥0，∴0＜n≤12，且m、n均是正整数，n是4的倍数，
……（9分）
故满足条件的m，n有： eq \b\lc\{(\a\vs3\al( m＝9, n＝8))或 eq \b\lc\{(\a\vs3\al( m＝18, n＝4))．
当m＝9，n＝8， 则利润为：432－(9×15＋8×35)＝17（元）；
当m＝18，n＝4，则利润为：432－(18×15＋4×35)＝22（元）；
……（10分）
综上所述，该商场获得的最小利润是17元，最大利润是67元．
27．（1） ……（4分）
（2）设，，，则，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵点、E分别为边、的中点，
∴，
旋转的性质可知：，，，，
∴，
∴
∴，即，
∴ ……（5分）
又∵绕点A旋转得到，
∴，，，
∴．
∵，，
∴
∴，即
由得：
由得：，
∴，
∴即
∴，
∴整理得：，即
∴或
∴或 ……（8分）
当时，如下图所示，
则，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵
∴，
∴(不合题意，舍去)
∴，即 ……（10分）
28．（1）y＝－x2＋3x＋4 ……（2分）
（2）如图1，设E（m，0）（m＞0），则F（m，EQ \F(1,2)m），G（m，－m2＋3m＋4），GF＝－m2＋EQ \F(5,2)m＋4，
∴EF＝EQ \F(1,2)m，OF＝EQ \F(EQ \R(,5),2)m， ∵GF＝EQ \R(,5)OF， ……（4分）
∴－m2＋EQ \F(5,2)m＋4＝EQ \F(5,2)m，解得m＝2，
∴点G坐标为（2，6）； ……（6分）
（3）如图2，连接PQ交OD于点M，作QH⊥x轴，连接OQ，点P（n，0），
在△OMP中，PM＝EQ \F(EQ \R(,5),5)n，OD＝EQ \F(2EQ \R(,5),5)n，
∴EQ \F(1,2)×EQ \F(2EQ \R(,5),5)n×EQ \F(2EQ \R(,5),5)n＝EQ \F(1,2)×n×QH，得QH＝EQ \F(4,5)n，
∴OH＝EQ \F(3,5)n，得Q（EQ \F(3,5)n，EQ \F(4,5)n）， ……（8分）
∴－(EQ \F(3,5)n)2＋3×(EQ \F(3,5)n)＋4＝EQ \F(4,5)n，解得n1＝5，n2＝－EQ \F(20,9)． ……（10分）
（图1） （图2）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
C
D
A
B
C
C
C
D