江苏省苏州市吴江区2023-2024学年七年级下册4月月考数学试题（含解析）

这是一份江苏省苏州市吴江区2023-2024学年七年级下册4月月考数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

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初一数学
考试分值：130分 考试用时：120分钟
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，国家节水标志由水滴，手掌和地球变形而成．以下可以通过平移节水标志得到的图形是（ ）

A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．流感病毒的直径约为0.00000072m，其中0.00000072用科学记数法可表示为( )
A．7.2×107B．7.2×C．7.2×D．0.72×
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图是小明学习“探索直线平行的条件”时用到的学具，经测量，要使木条a与b平行，则的度数应为（ ）
A．45°B．75°C．105°D．135°
6．已知一个三角形的周长为偶数，其中两条边长分别等于和，则第三边的长可能是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，把长方形纸条沿折叠，若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
8．如图，已知：平分，点F是反向延长线上的一点，，，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
9．若，，则与的大小关系是（ ）
A．B．C．D．由的取值而定
10．如图，已知，和分别平分和，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．计算 ．
12．如图，a、b是木工师傅用角尺在工件上画出的与工件边缘垂直的两条垂线．这两条垂线平行的理由是 ．
13．计算： ．
14．已知 （m、n是正整数），则 ．
15．解方程， ．
16．定义a※b＝（a﹣1）b，例如4※3＝（4﹣1）×3＝9．计算x※（x+1）＝ ．
17．图①是一盏护眼台灯，图②是其侧面示意图，已知，，，则 ．
18．如图，已知点D，E，F分别为，，的中点，若的面积为，则四边形的面积为 ．
三、解答题（本答题共10小题，共76分）
19．计算
(1)
(2)
(3)
(4)
20．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示．将平移，使点C平移至点D，点A、B的对应点分别是点E、F．
(1)在图中请画出平移后得到的；
(2)在图中画出的边上的高；
(3)若连接，则这两条线段之间的关系是 ；
(4)的面积为 ．
21．在四边形中，，判断与是否平行，并说明理由．
22．如图，已知，，试证明．完成以下解答过程中的空缺部分；
解：∵（已知）
∴（ ）
∴ （等量代换）
∴（ ）
∴（ ）
∵（已知）
∴（ ）
∴___________（内错角相等，两直线平行）
23．在幂的运算中规定：若（且，、是正整数），则．利用上面结论解答下列问题：
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
24．如图，在四边形中，与互余，的平分线分别交于点E、F．与有怎样的数量关系？为什么？

25．在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的3倍还大，求这个多边形的边数．
26．规定两数a，b之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以．
(1)根据上述规定，填空： ，， ；
(2)有同学在研究这种运算时发现一个现象：，他给出了如下的证明：
设，
，
即，
．
①若，，，请你尝试运用上述这种方法证明；
②猜想（结果化成最简形式）．
27．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E．
（1）若∠B＝30°，∠ACB＝80°，求∠E的度数；
（2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明．

28．【探究】
（1）如图1，，，和的平分线交于点，则______°；
（2）如图2，，，且，和的平分线交于点，则______；（用、表示）
（3）如图3，，，当和的平分线、平行时，、应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论．
【挑战】
（4）如果将（2）中的条件改为，再分别作和的平分线，交于点，那么与、有怎样的数量关系？画出图形并直接写出结论．
参考答案与解析
1．A
【分析】平移是物体运动时，物体上任意两点间，从一点到另一点的方向与距离都不变的运动，据此判断即可．
【解答】解： 可以通过平移能与上面的图形重合．其他选项则需要通过轴对称或旋转才能得到，
故选：A．
【点拨】本题主要考查了平移的定义，平移时移动过程中只改变图形的位置，而不改变图形的形状、大小和方向，掌握平移的定义是解题的关键．
2．A
【分析】根据幂的乘方与积的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法法则，进行计算逐一判断即可解答；
【解答】A、，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：A
【点拨】本题考查了幂的乘方与积的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
3．C
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000 00072=7.2×10-7，
故选：C．
【点拨】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，能正确确定n和a是解题关键．
4．D
【分析】根据合并同类项、积的乘方、同底数幂的除法、幂的乘方法则逐项分析即可．
【解答】解：A.a2与a3不是同类项，不能合并，故不正确，不符合题意；
B.，故不正确，不符合题意；
C.，故不正确，不符合题意；
D.，正确，符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了合并同类项、积的乘方、同底数幂的除法、幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
5．B
【分析】先求出∠2的对顶角的度数，再根据同旁内角互补，两直线平行解答．
【解答】解：如图，
∵∠2=，
∴∠3=∠2=，
∴要使b与a平行，则∠1+∠3=，
∴∠1=-=．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．
6．C
【分析】先确定第三边的取值范围，后根据选项计算选择．
【解答】设第三边的长为x，
∵三角形的两边长分别为和，
∴，即
∴A，D不符合题意；
当时，三角形的周长为，是奇数，不符合题意；
当时，三角形的周长为，是偶数，符合题意．
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形三边关系定理，熟练确定第三边的范围是解题的关键．
7．A
【分析】根据平行线的性质，得；再根据折叠的性质，得，即可求出的角度．
【解答】解：∵四边形是长方形，

∴，
∴，，
由折叠的性质，得，
∵，
∴，
故选：A．
【点拨】本题考查平行线的性质，折叠的性质，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等．
8．D
【分析】根据角平分线的定义以及三角形的内角和定理求解即可．
【解答】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
【点拨】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9．A
【分析】求出与的差，即可比较，的大小．
【解答】∵，，
∴
．
∵，
∴，
∴．
故选：A．
【点拨】本题考查的是整式的运算，作差比较大小是解本题的关键．
10．C
【分析】过点作，过点作，易证与、，与、间关系．再由角平分线的性质及角的和差关系计算得结论．
【解答】解：过点作，过点作，
，，，
，
，，，．
，
．
又和分别平分和，
，
①，
②．
①②，得，
③．
①③，得．
．
故选：C．
【点拨】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质及角的和差关系．根据平行线的性质得到，是解决本题的关键．
11．
【分析】本题考查了零指数幂的定义：，熟知定义是解决本题的关键；
【解答】解：
故答案为：
12．同位角相等，两直线平行
【分析】根据同位角相等，两直线平行求解即可．
【解答】由题意可得，这两条垂线平行的理由是同位角相等，两直线平行．
故答案为：同位角相等，两直线平行．
【点拨】此题考查了同位角相等，两直线平行，解题的关键是熟练掌握同位角相等，两直线平行．
13．
【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方的逆运算进行计算即可求出答案.
【解答】解：
故答案为：.
【点拨】本题考查的是同底数幂的乘法法则和积的乘方的逆运算.解题过程中需要注意的是一个负数数的奇次幂依然等于这个负数是易错点.
14．3
【分析】根据同底数幂的除法法则计算即可．
【解答】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：3．
【点拨】本题考查了同底数幂的除法，掌握“同底数幂相除，底数不变，指数相减”是解题的关键．
15．1
【分析】根据根据同底数幂的乘法的逆用、提公因式法可进行求解方程．
【解答】解：
，
∴，
∴；
故答案为1．
【点拨】本题主要考查同底数幂乘法的逆用及提公因式法，熟练掌握同底数幂乘法的逆用及提公因式法是解题的关键．
16．##
【分析】根据新定义运算法则直接计算即可．
【解答】解：∵a※b=（a-1）b，
∴x※（x+1）=（x-1）（x+1）=x2-1，
故答案为：x2-1．
【点拨】本题考查新定义运算，解题的关键是读懂题意，掌握平方差公式进行运算．
17．
【分析】根据题意可延长交于点，根据两直线平行，同位角相等可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，即可求出的度数．
【解答】解：延长交于点，
是的一个外角
．
故答案为：．
【点拨】本题考查了平行线的性质与三角形外角性质，牢记平行线的性质以及“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”是解题的关键．
18．
【分析】根据三角形一边上的中线，把三角形分成面积相等的两部分，即可求解．
【解答】解：点D，E，F分别为，，的中点，的面积为，
，
，
四边形的面积为：，
故答案为：．
【点拨】本题考查了利用三角形的中线求面积问题，熟练掌握和运用利用三角形的中线求面积的方法是解决本题的关键．
19．(1)11
(2)0
(3)
(4)
【分析】（1）根据有理数混合运算法则进行计算即可；
（2）根据零指数幂运算法则和有理数混合运算法则进行计算即可；
（3）根据整式乘法运算法则进行计算即可；
（4）根据整式混合运算法则进行计算即可．
【解答】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【点拨】本题主要考查了有理数混合运算，整式混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则和整式混合运算法则，准确计算．
20．(1)见解析
(2)见解析
(3)平行且相等
(4)
【分析】（1）根据平移的性质求解即可；
（2）根据三角形高的概念和网格的特点求解即可；
（3）根据网格的特点，平移的性质和平行的概念求解即可；
（4）用长方形的面积减去3个三角形的面积即可求解．
【解答】（1）如图所示，即为所求；
（2）如图所示，即为所求；

（3）如图所示，
∵平移后得到的
∴若连接，，
∴这两条线段之间的关系是平行且相等；
（4）如图所示，
的面积．
【点拨】本题考查作图平移变换，三角形的高，四边形的面积等知识，解题关键是掌握平移变换的性质，学会用割补法求四边形面积．
21．，理由见解析
【分析】由平行线的性质得到，再等量代换得到，由此即可证明．
【解答】解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知两直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．
22．对顶角相等；；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；
【分析】根据已知条件的，等量代换得出，进而证明，进而得出，结合已知条件得出，即可求解．
【解答】解：∵（已知）
∴（对顶角相等）
∴（等量代换）
∴（同旁内角互补，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）
∵（已知）
∴（等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）
【点拨】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
23．(1)3
(2)1
【分析】（1）根据，得即得，计算即可．
（2）根据，得，故，，计算即可．本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法的逆应用，熟练掌握公式计算即可．
【解答】（1）∵，
∴，
∴，
∴，
解得．
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
解得．
24．，理由见解析
【分析】根据余角的定义得到，再由角平分线的定义推出，则由四边形内角和定理可得．
【解答】解：，理由如下：
∵与互余，
∴，
∵的平分线分别交于点E、F，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题主要考查了四边形内角和定理，角平分线的定义，余角的定义，正确求出是解题的关键．
25．9
【分析】设多边形的一个外角为，则与其相邻的内角为，从而可列出关于的方程，解出的值，即得出该多边形的每个外角大小，再根据多边形的外角和为求解即可．
【解答】设多边形的一个外角为，则与其相邻的内角为，
由题意，得，
解得，即多边形的每个外角为．
∵多边形的外角和为，
∴多边形的边数为．
答：这个多边形的边数为9；
【点拨】本题考查多边形外角的性质，多边形的外角和．掌握多边形的内角与其相邻的外角的和为，多边形的外角和为是解题关键．
26．(1)2，4，3；
(2)①见解析；②，
【分析】（1）根据已知规定，结合乘方的运算法则进行计算，即可得到答案；
（2）①根据已知规定，结合同底数幂乘法运算法则进行计算，即可证明结论；
②根据规定，结合同底数幂乘法已知的运算法则以及多项式乘以多项式的运算法则进行计算，即可得到答案．
【解答】（1）解：，
；
，
；
，
，
故答案为：2，4，3；
（2）解：①，，，
，，，
，
，
；
②设，，
，
由上述结论可知，，，
，
，
，
，
故答案为：，．
【点拨】本题以阅读理解形式考查乘方、同底数幂的乘法、整式的乘法等运算，理解题意，掌握相关运算法则是解题的关键．
27．（1）∠E＝25°；（2）∠E＝（∠ACB﹣∠B）．
【分析】（1）首先根据三角形的内角和定理求得∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求得∠DAC的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出∠ADC的度数，进一步求得∠E的度数；
（2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系．
【解答】解：（1）∵∠B＝30°，∠ACB＝80°，
∴∠BAC＝70°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝35°，
∴∠ADC＝65°，
∴∠E＝25°；
（2）∠E＝（∠ACB﹣∠B）．

设∠B=n°，∠ACB=m°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2=∠BAC，
∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°，
∵∠B=n°，∠ACB=m°，
∴∠CAB=（180-n-m）°，
∴∠BAD=（180-n-m）°，
∴∠3=∠B+∠1=n°+（180-n-m）°=90°+n°-m°，
∵PE⊥AD，
∴∠DPE=90°，
∴∠E=90°-（90°+n°-m°）=（m-n）°=（∠ACB-∠B）．
【点拨】本题考查三角形的内角和定理以及角平分线的定义．掌握三角形的内角和为180°，以及角平分线的性质是解题关键．
28．（1）；（2）；（3），证明见解析；（4），证明见解析
【分析】（1）利用三角形外角的性质，列出．再通过角平分线的定义以及四边形内角和的性质进行计算求出的度数；
（2）利用三角形外角的性质，列出．再通过角平分线的定义以及四边形内角和的性质，将转化为含有α与β的关系式，进而求出；
（3）利用三角形外角的性质，列出．再通过角平分线的定义以及平行线的性质，得出α与β的关系式；
（4）画出图形，利用三角形外角的性质，列出．再通过角平分线的定义以及四边形内角和的性质，将转化为含有α与β的关系式，进而求出．
【解答】解：（1）平分，平分，
，．
，
．
又，
．
（2）由（1）得：，．
．
（3）若，则．
证明：若，则．
平分，平分，
，．
．
．
．
（4）如图4，平分，平分，
，．
，
．
．
．
与是对顶角，
．
又，
．
，
即．
【点拨】本题主要考查三角形外角的性质、四边形内角和的性质、平行线的性质、角平分线的定义．借助转化的数学思想，将未知条件转化为已知条件解题．