山东省淄博市博山区实验中学2023-2024学年七年级数学下册期中试题（含解析）

这是一份山东省淄博市博山区实验中学2023-2024学年七年级数学下册期中试题（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列事件是必然事件的是（ ）
A．明天天气是晴天B．一辆汽车随机到达个路口，遇到红灯
C．打开电视机，正在播放泰安新闻D．367人中至少有2人生日相同
2．如图，下列条件能够推理得到AB∥CD的是（ ）
A．∠1+∠3=180°B．∠1=∠2C．∠3+∠4=180°D．∠3=∠4
3．下列语句中，是命题的为（ ）
A．在线段AB上任取一点CB．对顶角相等
C．过点O作直线a∥bD．锐角都相等吗？
4．已知，则等于（ ）
A．2023B．C．1D．
5．如图，AB//EF，AC⊥AB，AB⊥BD，∠E=∠F=120°，则∠DBF+∠CAE等于（ ）

A．240°B．210°C．180°D．无法确定
6．下列说法中，正确的是（ ）
A．口袋中有3个白球，2个黑球，1个红球，它们除颜色外都相同，因为袋中共有3种颜色的球，所以摸到红球的概率是
B．掷一枚硬币两次，可能的结果为两次都是正面，一次正面一次反面，两次都是反面，所以掷出两次都是反面的概率为
C．小明参加篮球投篮游戏，因为投篮一次，只有两种可能的结果，不是“投中”就是“未投中”，所以投中的概率为
D．掷一枚只有六个面骰子，合数点朝上的概率是
7．如图，直线a∥b，AC⊥AB，AC交直线b于点C，∠1＝60°，则∠2的度数是（ ）
A．30°B．35°C．45°D．50°
8．二元一次方程组 的正整数解有（ ）组解
A．0B．3C．4D．6
9．如图，是同一副扑克中的4张扑克牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，小明从中抽出一张，则抽到偶数的概率是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，点D在△ABC的边AB的延长线上，DE∥BC，若∠A＝35°,∠C＝24°,则∠D的度数是（ ）
A．24°B．59°C．60°D．69°
11．已知，则等于（ ）
A．5B．4C．3D．2
12．某文具店一本练习本和一支水笔的单价合计为3元，小妮在该店买了20本练习本和10支水笔，共花了36元．如果设练习本每本为x元，水笔每支为y元，那么根据题意，下列方程组中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．将命题“同角的余角相等”，改写成“如果…，那么…”的形式 ．
14．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为 ．
15．华维西桥十字路口南北方向的红绿灯设置为：红灯30秒，绿灯60秒，黄灯3秒，小华由南向北经过路口遇到红灯的概率为 ．
16．如图，七巧板拼成的正方形各区域分别用数字标号，如果小球在正方形中自由滚动，并随机停留在某区域，它最终停留在4号区域的概率为 ．
17．下列事件：
①检查生产流水线上的一个产品，是合格品；
②三条线段组成一个三角形；
③a是实数，则|a|＜0；
④一副扑克牌中，随意抽出一张是红桃K；
⑤367个人中至少有2个人生日相同；
⑥一个抽奖活动的中奖率是1%，参与抽奖100次，会中奖．
其中属于确定事件的是 ．（填序号）
18．如图，求的度数 ．

三、解答题
19．已知关于，的方程组的解是，求的值．
20．如图所示，已知直线a、b、c、d、e，且，，请判断直线a与c的位置关系，并证明．
21．盒中有x枚黑棋和y枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．
（1）从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，写出表示x和y关系的表达式．
（2）往盒中再放进10枚黑棋，取得黑棋的概率变为，求x和y的值．
22．实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．

(1)如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，且则______， ______；
(2)在（1）中，若，则______；若，则______；
(3)由（1）、（2），请你猜想：当两平面镜a，b的夹角______时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a，b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，请说明理由．
23．在不透明的袋子中有黑棋子10枚和白棋子若干（它们除颜色外都相同），现随机从中摸出10枚记下颜色后放回，这样连续做了10次，记录了如下的数据：
根据以上数据，解答下列问题：（I）直接填空：第10次摸棋子摸到黑棋子的频率为 ；
（Ⅱ）试估算袋中的白棋子数量．
24．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5即2（2x+5y）+y＝5③，把方程①代入③得：2×3+y＝5，y＝﹣1，把y＝﹣1代入①得x＝4，所以，方程组的解为．
请你解决以下问题：
（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组．
（2）已知x，y满足方程组，求x2+4y2﹣xy的值．
25．学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题．
(1)小明遇到了下面的问题：如图1，，点P在，内部，探究，，的关系小明过点P作的平行线，可得，，之间的数量关系是：_______；
(2)如图2，若，点P在AC，BD外部，，，的数量关系是否发生变化？请写出证明过程．
26．已知：点C在的一边OA上，过点C的直线．作的平分线CF，过点C画CF的垂线CG，如图所示．
(1)若，求及的度数；
(2)求证：CG平分；
参考答案与解析
1．D
【分析】根据必然事件．不可能事件．随机事件的概念可区别各类事件．
【解答】解：A．明天天气是晴天是随机事件，故A错误；
B．一辆汽车随机到达个路口，遇到红灯是随机事件，故B错误；
C．打开电视机，正在播放泰安新闻是随机事件，故C错误；
D．367人中至少有2人生日相同是必然事件，故D正确．
故选：D．
【点拨】本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件．不可能事件．随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2．C
【分析】依据同旁内角互补，两直线平行，即可得到正确结论．
【解答】解：如图，当∠1+∠3=180°时，不能够推理得到AB∥CD；
当∠1=∠2时，不能够推理得到AB∥CD；
当∠3+∠4=180°，∠4=∠5时，∠3+∠5=180°，能够推理得到AB∥CD；
当∠3=∠4时，不能够推理得到AB∥CD；
故选：C．
【点拨】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同旁内角互补，两直线平行．
3．B
【分析】根据命题的定义对各个选项进行分析从而得到答案．
【解答】解：A．不能判断其真假，不构成命题，故本选项错误；
B．是，因为能够判断真假，故本选项正确；
C．不能判断其真假，不构成命题，故本选项错误；
D．不能判定真假且不是陈述句，不构成命题，故本选项错误．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了学生对命题与定理的理解及掌握情况，比较简单．
4．B
【分析】此题考查了解二元一次方程组．利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到与的值，代入原式计算即可求出值．
【解答】解：∵，
，
①②得：，
解得：，
把代入①得：，
则原式，
故选：B．
5．C
【分析】根据平行线的性质可得∠EAB=∠FBA=60°，再根据垂线的定义和角的和差可得∠DBF+∠CAE=180°．
【解答】解：∵AB∥EF，∠E=∠F=120°，
∴∠EAB=180°-∠E=180°-120°=60°，∠FBA=180°-∠F =180°-120°=60°，
∵AC⊥AB，AB⊥BD，
∴∠CAB=∠ABD=90°，
∴∠DBF+∠CAE=∠CAB+∠EAB+∠ABD-∠ABF=90°+60°+90°-60°=180°．
故选：C．
【点拨】本题考查平行线的性质定理，垂线的定义．理解两直线平行，同旁内角互补是解决此题的关键．
6．D
【分析】本题考查等可能事件的概率．根据概率公式可判断A；用列举法列举出所有可能结果，然后根据概率公式解答可判断B；先判断是否为等可能事件，即可判断C；1、2、3、4、5、6中，合数为4、6，根据概率公式可判断D．
【解答】解：A、摸到红球的概率是，故该选项错误；
B、掷一枚硬币两次，出现的可能结果为：正正、正反、反正、反反，所以出现两次都是反面的概率为，故该选项错误；
C、小明参加篮球投篮游戏，投中和不投中的可能性不一样，所以不是等可能事件，无法计算其概率，故该选项错误；
D、掷一枚只有六个面骰子，合数点朝上的概率是，故该选项正确．
故选：D．
7．A
【分析】根据三角形的内角和得，求出∠B得度数，再利用平行线的性质即可求解．
【解答】解：∵，
∴，
∴ ，
∵
∴，
∵，
∴，
故选：A．
【点拨】本题考查三角形内角和定理以及平行线的性质，掌握三角形内角和为180°是解题的关键．
8．C
【解答】，
①-②×2得，
ay+4y=6,
∴,
∴当a+4=6，3，2，1，即a=2，-1，-2，-3时，y的值是正整数，
此时y=1，2，3，6；
把y=1，2，3，6代入②得，
x=2,4,6,12，
∴方程组的正整数解有4组.
故选C.
9．C
【分析】本题主要考查概率，熟练掌握利用概率公式求解概率是解题的关键．根据题意及概率公式可直接进行求解．
【解答】解：同一副扑克中的4张扑克牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，小明从中抽出一张，可能会出现3，6，10，Q（即12）四个数字．每个数字出现的机会相同，即有4个可能结果，而这4个数中有6，10，12三个偶数，则有3种可能，所以抽到偶数的概率是．
故选：C．
10．B
【解答】【分析】根据三角形外角性质得∠DBC=∠A+∠C，再由平行线性质得∠D=∠DBC.
【解答】∵∠A=35°，∠C=24°，
∴∠DBC=∠A+∠C=35°+24°=59°，
又∵DE∥BC，
∴∠D=∠DBC=59°，
故选B.
【点拨】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键.
11．C
【分析】此题主要考查了解二元一次方程组．两个方程相加即可求出的值．
【解答】解：∵，
∴将方程组中两个方程相加得：，
∴．
故选：C．
12．B
【分析】根据等量关系“一本练习本和一支水笔的单价合计为3元”，“20本练习本的总价+10支水笔的总价=36”，列方程组求解即可．
【解答】设练习本每本为x元，水笔每支为y元，
根据单价的等量关系可得方程为x+y=3，
根据总价36得到的方程为20x+10y=36，
所以可列方程为：，
故选B．
【点拨】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，得到单价和总价的2个等量关系是解决本题的关键．
13．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等
【分析】根据“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论，即可求解．
【解答】解：命题“同角的余角相等”，可以改写成：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．
故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．
14．115°或65°
【分析】分两种情况：等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角，分别进行求解即可
【解答】解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+25°=115°；
②如图2，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是90°-25°=65°.
故答案为115°或65°
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质，注意此类题的两种情况，同时考查了：直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
15．
【分析】由红灯的时间为30秒，绿灯的时间为60秒，黄灯的时间为3秒，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵该路口红灯30秒，绿灯60秒，黄灯3秒，
∴小华由南往北开车经过该路口时遇到红灯的概率是，
故答案为：．
【点拨】此题主要考查了概率的意义以及概率求法，正确理解概率的意义是解题关键．
16．
【分析】设4号七巧板的面积为1，根据七巧板拼成的正方形的几何形状得到正方形的面积为8，然后利用概率公式求解即可．
【解答】解：4号七巧板的面积为1，
则5号等腰直角三角形的腰长为1，斜边长为，
则正方形的边长为，正方形的面积为8，
∴小球最终停在4号区域的概率，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了简单的概率计算，解题的关键在于能够熟练掌握七巧板的相关知识.
17．③⑤
【分析】直接利用随机事件、确定事件的定义分别分析得出答案．
【解答】解：①检查生产流水线上的一个产品，是合格品，是随机事件，不符合题意；
②三条线段组成一个三角形，是随机事件，不符合题意；
③a是实数，则|a|＜0，是不可能事件，符合题意；
④一副扑克牌中，随意抽出一张是红桃K，是随机事件，不符合题意；
⑤367个人中至少有2个人生日相同，是必然事件，符合题意；
⑥一个抽奖活动的中奖率是1%，参与抽奖100次，就一定会中奖，是随机事件，不符合题意；
故答案为：③⑤
【点拨】此题主要考查了随机事件以及非负数的性质，正确掌握相关定义是解题关键．
18．##180度
【分析】先根据三角形的外角性质可得，，再根据三角形的内角和定理即可得．
【解答】解：如图，

由题意可得，，，
而，
所以．
故答案为.
【点拨】本题考查了三角形的外角性质、三角形的内角和定理，掌握三角形的外角性质是解题关键．
19．9
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组．将代入原方程组，可得出关于，的二元一次方程组，求得，的值，再代入计算即可求解．
【解答】解：将代入原方程组得：，
解得，
．
20．．理由见解析
【分析】本题考查了平行线的判定．先证明和，再根据平行于同一条直线的两直线互相平行得出结论．
【解答】解：．理由如下，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
21．（1）关系式；（2）x=15，y=25．
【分析】（1）根据盒中有x枚黑棋和y枚白棋，得出袋中共有（x+y）个棋，再根据概率公式列出关系式即可；
（2）根据概率公式和（1）求出的关系式列出关系式，再与（1）得出的方程联立方程组，求出x，y的值即可．
【解答】（1）∵盒中有x枚黑棋和y枚白棋，
∴袋中共有（x+y）个棋，
∵黑棋的概率是，
∴可得关系式；
（2）如果往口袋中再放进10个黑球，则取得黑棋的概率变为，又可得；
联立求解可得x=15，y=25．
【点拨】考查概率的求法,如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=.
22．(1)，
(2)，
(3)
【分析】（1）根据入射角与反射角相等，可得，．根据邻补角的定义可得，根据可以求出，，根据三角形的内角和为，即可求出答案；
（2）结合题（1）可知的度数都是；
（3）证明，由，证得和互补即可．
【解答】（1）解：入射角和反射角相等
即，
根据邻补角的定义
根据
根据三角形内角和为，可知
．
（2）解：
同理可得当时，
，
，
∴．
（3）由（1）、（2）猜想，当两平面镜的夹角时，总有．
证明：，
，
，
，
，
，
．

【点拨】本题是数学知识与物理知识的结合．运用了数形结合的思维，本题解题的关键在于理解射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．
23．（1）0.6（2）白棋子的数量约为15枚
【分析】（I）用第10次黑棋数除以第10次摸出的棋子总数可得答案；
（Ⅱ）先求出这10次摸出黑棋的总数占摸出的棋子总数的频率，再设白棋子有x枚，根据黑棋子数的频率列出关于x的方程，解之求得x的值可得答案.
【解答】解:（I）第10次摸棋子摸到黑棋子的频率为6÷10=0.6，
故答案为0.6；
（Ⅱ）根据表格中数据知，摸到黑棋子的频率为=0.4，
设白棋子有x枚，
由题意，得：=0.4，
解得：x=15，
经检验：x=15是原分式方程的解，
答：白棋子的数量约为15枚．
【点拨】此题主要考查了频数与频率，根据试验次数得出黑棋子的频率，从而得出关于白棋子个数的方程是解决问题的关键.
24．（1）；（2）15.
【分析】（1）由②得出3（2x﹣3y）﹣2y＝9③，把①代入③得出15﹣2y＝9，求出y，把y＝3代入①求出x即可；
（2）由①求出x2+4y2＝③，把③代入②求出xy＝2，①﹣②得出x2﹣3xy+4y2＝11，即可求出答案．
【解答】解：（1）
由②得：3（2x﹣3y）﹣2y＝9③，
把①代入③得：15﹣2y＝9，
解得：y＝3，
把y＝3代入①得：2x﹣9＝5，
解得：x＝7，
所以原方程组的解为；
（2）
由①得：3（x2+4y2）﹣2xy＝47，
x2+4y2＝③，
把③代入②得：2×+xy＝36，
解得：xy＝2，
①﹣②得：x2﹣3xy+4y2＝11，
∴x2+4y2＝11+3×2＝17，
∴x2+4y2﹣xy＝17﹣2＝15．
【点拨】本题考查了解高次方程组、解二元一次方程组和二元一次方程组的解等知识点，能够整体代入是解此题的关键．
25．(1)
(2)发生了变化，证明见解析
【分析】(1)根据平行线的性质即可得到∠APB，∠A，∠B之间的关系；
2)过点P作PF∥AC，则∠APF=∠A，由AC∥BD可得PF∥BD，进而可得∠B=∠BPF，即可得到∠A，∠B，∠APB的数量关系．
【解答】（1）解：过点P作l1的平行线为PC，如图所示：
∵ ，
∴∠A=∠APC，
∵，
∴，
∴∠B=∠BPC
∴ ；
故答案为：；
（2）解：发生变化；
如图，过点PF∥AC，则∠APF=∠A，
又∵AC∥BD，
∴ ，
∴，
∴ ，
，，的数量关系是．
【点拨】本题主要考查平行线的性质与判定，解题关键是构造合适的辅助线．
26．(1)，
(2)见解析
【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的性质，可以求得及∠ECF的度数
（2）根据角平分线的性质、平角的定义可以求得∠OCG和∠DCG的关系，从而可以证明结论成立．
【解答】（1）解：∵直线，
∴∠ACE=∠AOB，
∵∠AOB= 40°，
∴∠ACE= 40°，
∴∠ACD= 180°-∠ACE= 140°，
∵CF平分∠ACD，
∴∠ACF=∠FCD，
∴∠ACF= 70°，
∴∠ECF=∠ECA +∠ACF = 40°+ 70°= 110°；
（2）证明∵CF平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴CG平分．
【点拨】本题考查平行线的性质、垂线等知识，解答本题的关键是熟记平行线的性质定理．
次数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
黑棋数
2
5
1
5
4
7
4
3
3
6