2023年山东省淄博市博山区中考数学二模试卷（含解析）

2023年山东省淄博市博山区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  实数、在数轴上的对应点位置如图所示，下列结论中正确的是(    )

 

A.  B.  C.  D.

4.  小明解方程的步骤如下：
解：方程两边同乘，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
以上解题步骤中，开始出错的一步是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列说法正确的是(    )

A. 是无理数 B. 明天巴中城区下雨是必然事件
C. 正五边形的每个内角是 D. 相似三角形的面积比等于相似比

6.  如图，直线，截线，相交成角，，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  射击比赛中，某队员的次射击成绩如图所示，则下列结论错误的是(    )

 

A. 平均数是环 B. 中位数是环 C. 众数是环 D. 方差是

8.  下列关于二次函数的图象和性质的叙述中，正确的是(    )

A. 点在函数图象上 B. 开口方向向上
C. 对称轴是直线 D. 与直线有两个交点

9.  一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后开始匀速行驶．过了一段时间，汽车到达下一车站．乘客上下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶．下图中近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  如图，在菱形中，分别以，为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点，，连接，若直线恰好过点与边交于点，连接，则下列结论错误的是(    )

A.  B. 若，则
C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）

11.  据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到已知，则用科学记数法表示是______

12.  如图，任意将图中的某一白色方块涂黑后，能使所有黑色方块构成的图形是轴对称图形的概率是______ ．

13.  如图，在中，，，延长到点，使，连接，则的度数是______

14.  如图，，，是上的三点，若，则的度数是______

15.  关于的方程的解是正数，则的取值范围是          ．

三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）

16.  解不等式组：并写出它的正整数解．

四、解答题（本大题共7小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
请分别用公式法和配方法两种方法解方程：．

18.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

19.  本小题分
如图，在中，，将平移个单位长度得到，点，分别是，的中点，求的最大值和最小值．

20.  本小题分
在“双减”背景下，某区教育部门想了解该区，两所学校九年级各名学生的课后书面作业时长情况，从这两所学校分别随机抽取名九年级学生的课后书面作业时长数据保留整数，整理分析过程如下：
【收集数据】学校名九年级学生中，课后书面作业时长在组的具体数据如下：
，，，，，，，，，
，，，，，，，，．
【整理数据】不完整的两所学校的频数分布表如下，不完整的学校频数分布直方图如图所示：

【分析数据】两组数据的平均数、众数、中位数、方差如下表：

根据以上信息，回答下列问题：
本次调查是______调查选填“抽样”或“全面”；
统计表中，______，______；
补全频数分布直方图；
在这次调查中，课后书面作业时长波动较小的是______学校选填“”或“”；
按规定，九年级学生每天课后书面作业时长不得超过分钟，估计两所学校名学生中，能在分钟内包括分钟完成当日课后书面作业的学生共有______人．

21.  本小题分
如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于，两点，且与轴和轴分别交于点、点．
根据图象直接写出不等式的解集；
求反比例函数与一次函数的解析式；
点在轴上，且，请求出点的坐标．

22.  本小题分
第届冬奥会也称年北京冬奥会于年月日至月日在中国北京举行，北京成为了历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．冬奥会上跳台滑雪是一项极为壮观的运动．运动员经过助滑、起跳、空中飞行和着陆，整个动作连贯一致，一气呵成，如图，某运动员穿着滑雪板，经过助滑后，从倾斜角
的跳台点以速度沿水平方向跳出，若忽略空气阻力影响，水平方向速度将保持不变．同时，由于受重力作用，运动员沿竖直方向会加速下落，因此，运动员在空中飞行的路线是抛物线的一部分，已知该运动员在点着陆，且忽略空气阻力，请回答下列问题：
求该运动员从跳出到着陆垂直下降了多少？
以为坐标原点建立直角坐标系，求该抛物线表达式；
若该运动员在空中共飞行了，求他飞行后，垂直下降了多少？

23.  本小题分
如图，在中，，，点在边上，、分别为、的中点，连接过点作的垂线，与、分别交于、两点．连接，交于点．

的度数为______；
连接，求的面积的最大值；
与存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；
求的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：点与点关于原点成中心对称，
，，
，
故选：．
由中心对称的性质可求，的值，即可求解．
本题考查了中心对称，关于原点对称的点的坐标，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是．
 

2.【答案】 

【解析】解：与不是同类项不能加减，故选项A计算不正确；
B.，故选项B计算不正确；
C.，故选项C计算不正确；
D.，故选项D计算正确．
故选：．
利用合并同类项法则、完全平方公式、平方差公式、提公因式法分别计算各题，根据计算结果得结论．
本题主要考查了整式的运算，掌握整式的运算法则和整式的提取公因式法是解决本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：由数轴知，，，
A错误，
，故B正确，
，故C错误，
，故D错误．
故选：．
利用数轴可知，的大小和绝对值，然后判断即可．
本题考查了数轴，绝对值，实数加减法，实数的大小比较，解题的关键是综合应用以上知识解题．
 

4.【答案】 

【解析】解：方程两边同乘应为：，
出错的步骤为：，
故选：．
对题目的解题过程逐步分析，即可找出出错的步骤．
本题考查解一元一次方程，解题关键在于能准确观察出出错的步骤．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
是有理数，
故A不符合题意；
B.明天巴中城区下雨是随机事件，故B不符合题意；
C.正五边形的每个内角是，故C符合题意；
D.相似三角形的面积比等于相似比的平方，故D不符合题意；
故选：．
根据二次根式的化简可得，随机事件，正五边形每个内角是，相似三角形的性质，逐一判断即可解得．
本题考查了无理数，随机事件，多边形的内角，三角形的面积，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，

，
，
，
，
，，
．
故选：．
由邻补角的定义可求得，再由平行线的性质可得，利用三角形的外角性质即可求．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
 

7.【答案】 

【解析】解：这次射击成绩从小到大排列为：、、、、、、、、、，
故平均数为：环，故选项A不合题意；
中位数为：环，故选项B不合题意；
众数是环，故选项C不合题意；
方差为：，故选项D符合题意．
故选：．
分别根据平均数，中位数，众数以及方差的定义解答即可．
本题考查了折线统计图，平均数，中位数，众数以及方差，解答本题的关键是掌握相关统计量的求法．
 

8.【答案】 

【解析】解：、把代入，
得，
A错误；
B、化简二次函数：，
，
二次函数的图象开口方向向下，
B错误；
C、二次函数对称轴是直线
，
C错误；
D、，
，
，
，
二次函数的图象与直线有两个交点，
D正确；
故选：．
A、把代入，求函数值再与点的纵坐标进行比较；
B、化简二次函数：，根据的取值判断开口方向；
C、根据对称轴公式计算；
D、把函数的问题转化为一元二次方程的问题，根据判别式的取值来判断．
此题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的性质，掌握这几个知识点的应用，其中函数的问题转化为一元二次方程的问题是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：
公共汽车经历：加速匀速减速到站加速匀速，
加速：速度增加，
匀速：速度保持不变，
减速：速度下降，
到站：速度为，
加速：速度增加，
匀速：速度保持不变．
观察四个选项的图象是否符合题干要求，只有选项符合．
故选：．
横轴表示时间，纵轴表示速度，根据加速、匀速、减速时，速度的变化情况，进行选择．
主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接．

由作法得垂直平分，
，，，
四边形为菱形，
，
，
为等边三角形，
，
，即选项的结论正确，不符合题意；
当，则，
，
，，，
，
在中，，所以选项的结论错误，符合题意；
四边形是菱形，
，即，所以选项的结论正确，不符合题意；
，，
，所以选项的结论正确，不符合题意．
故选：．
利用菱形的性质、解直角三角形等知识逐项判断即可．
本题考查线段的垂直平分线、线段垂直平分线的性质、菱形的性质等知识点，灵活运用菱形的性质和垂直平分线的性质是解答本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：
故答案为：．
绝对值小于的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，当涂黑或或或区域时，所有黑色方块构成的图形是轴对称图形，
则是轴对称图形，
故答案为：．
根据轴对称图形的概念、概率公式计算即可．
本题考查的是概率的计算、轴对称图形的概念，正确理解轴对称图形的概念、掌握概率公式是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，
．
，，，
．
故答案为：．
利用等边对等角求得，然后利用三角形外角的性质求得答案即可．
本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是了解“等边对等角”的性质，难度不大．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接，
，
．
，
．
故答案为：．
连接，根据圆周角定理求出的度数，根据等腰三角形的性质解答即可．
本题考查的是圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解题的关键．
 

15.【答案】且 

【解析】

【分析】
先去分母得，可解得，由于关于的方程的解是正数，则并且，即且，解得且．
本题考查了分式方程的解：先把分式方程化为整式方程，解整式方程解分式方程要记得检验是否为增根．
【解答】
解：去分母得，
解得，
关于的方程的解是正数，
且，
且，解得且，
的取值范围是且．
故答案为：且．  

16.【答案】解：解不等式得，
解不等式得，
不等式组的解集为：，
不等式组的正整数解为：，，． 

【解析】本题主要考查了一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的正整数解，利用一元一次不等式组的解法正确求得不等式组的解集是解题的关键．解不等式组求出它的解集，再取正整数解即可．
 

17.【答案】解：配方法，
移项得，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，；
公式法：
，，，
，
，
，． 

【解析】用配方法解方程，首先移项，把常数项移到等号的右边，再将二次项系数化为，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可使左边变形成完全平方式，右边是常数，直接开方即可求解；用公式法解方程，首先找出方程中二次项系数，一次项系数及常数项，计算出根的判别式，由根的判别式大于，得到方程有解，将，及的值代入求根公式即可求出原方程的解．
此题考查了解一元二次方程公式法和配方法，解题时要注意解题步骤的准确应用．
 

18.【答案】解：



，
当时，原式． 

【解析】先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，二次根式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
 

19.【答案】解：取的中点，的中点，连接，，，，
将平移个单位长度得到，
，，
点、分别是、的中点，
，
，
即，
的最大值为，最小值为， 

【解析】取的中点，的中点，连接，，，，根据平移的性质和三角形的三边关系即可得到结论．
本题考查了平移的性质，三角形的三边关系，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
 

20.【答案】解：抽样  ；
，；
补全频数分布直方图：

；
   

【解析】解：根据题意知本次调查是抽样调查；
故答案为：抽样．
，
中位数为第个和第个平均数，
故答案为：，．
补全频数分布直方图：

因为学校的方差为，学校的方差为，
，
课后书面作业时长波动较小的是学校，
故答案为：．
人．
故答案为：．
根据题意知本次调查是抽样调查；
用总数减去其它组的频数求，利用求中位数的方法求；
根据学校的频数分布表补全频数分布直方图；
根据方差即可判断；
分别求出在分钟内包括分钟完成当日课后书面作业的学生即可．
本题主要考查了统计表，众数，中位数以及方差的综合运用，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
 

21.【答案】解：当的图象在图象的下方时，成立，
．
将代入得：，
反比例函数为：．
将，代入得：，
解得：，
一次函数的表达式为：．
在中，当时，，
．



，
，
在轴上，
，
．
或． 

【解析】通过图象位置关系解不等式．
用待定系数法法求解析式．
先求的面积，再求的坐标．
本题考查一次函数和反比例函数的综合问题，数形结合，将线段的长度转化为坐标运算是求解本题的关键．
 

22.【答案】解：如图，以为原点，建立平面直角坐标系．
过点作轴于点．
在中，，
答：该运动员从跳出到着陆垂直下降了；

在中，，
，
由题意抛物线顶点为，经过．
设抛物线的解析式为，
则有，
，
抛物线的解析式为．

当时，，
他飞行后，垂直下降了． 

【解析】如图，以为原点，建立平面直角坐标系，过点作轴于点解直角三角形求出即可；
设抛物线的解析式为，求出点的坐标，代入求出即可；
求出，的值即可判断．
本题考查二次函数的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会构建平面直角坐标系解决问题，属于中考常考题型．
 

23.【答案】解：
如图，连接，

，，
，，
设，则，
，
，
，，
，
，
点是的中点，
，
，
，，
，
，
，
，
，
当时，的面积的最大值为；

，，理由如下：
在和中，

≌，
，，
，
，
，
，
点是的中点，
，
；
如图，以为斜边，构造等腰直角，作于．
，则点、、均在上，
设的半径为，
则，，，
由得≌，

，
，
，
即的最大值为．

 

【解析】

【分析】
本题主要考查了等腰直角三角形，圆的构造，三角形的中位线定理，全等三角形的性质及判定方法，
由等腰三角形的性质可得，由三角形中位线定理可得，可求解；
设，由等腰直角三角形的性质和三角形中位线定理可求的长，由三角形面积公式和二次函数的性质可求解；
由“”可证≌，可得，，可求解；

以为斜边，构造等腰直角，可得点、、均在圆上，然后利用全等三角形的性质得出，利用“垂线段最短”得出，然后分别求出各线段长度，最终得到的最大值．
【解答】
解：，，
，，
、分别为、的中点，
，，
，
故答案为：；
见答案；
见答案；
见答案．