2022-2023学年甘肃省定西市岷县八年级（上）开学数学试卷（二）（含解析）

2022-2023学年甘肃省定西市岷县八年级（上）开学数学试卷（二）

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 有个数的平均数是，另外有个数的平均数是，这个数的平均数是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是(    )
    

A.  B.  C.  D.

4. 在四边形中，，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，这个条件可以是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知中，，，，的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 正比例函数图象经过不同象限的两点，，则下列判断正确的是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

7. 一根长的牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为，则的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

8. 为考察两名实习工人的工作情况，质检部将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成甲、乙两组数据，如下表：

关于以上数据，说法正确的是(    )

A. 甲、乙的众数相同 B. 甲、乙的中位数相同
C. 甲的平均数小于乙的平均数 D. 甲的方差小于乙的方差

9. 矩形各内角平分线若围成一个四边形，则这个四边形一定是(    )

A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 平行四边形

10. 把直线向上平移个单位后，与直线的交点在第二象限，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度米与火车行驶时间秒之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论：
    火车的长度为米； 火车的速度为米秒；
    火车整体都在隧道内的时间为秒；
    隧道长度为米．其中正确的结论是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 如图，在一张矩形纸片中，，，点、分别在，上，将纸片沿直线折叠，点落在上的一点处，点落在点处，有以下四个结论：
    四边形是菱形；
    平分；
    线段的取值范围为；
    当点与点重合时，．
    以上结论中，你认为正确的有个．(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

13. 矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数是______．
14. 若是关于的正比例函数，则常数______．
15. “植树造林，绿化环境”，今年某中学八年级一班同学都积极参加了“植树节”植树活动，本次活动中该班同学植树情况的部分统计结果如图所示，该班同学植树株数的中位数是______株．

16. 一次函数，当时，，则的值是______．
17. 正方形、、，按如图放置，其中点、、在轴的正半轴上，点、、在直线上，则点的坐标为______ ．

18. 如图，在菱形中，，对角线平分角，点是内一点，连接、、，若，，，则菱形的面积等于________．

三、计算题（本大题共1小题，共10分）

19. 如图所示，一根长的木棍，斜靠在与地面垂直的墙上，设木棍的中点为若木棍端沿墙下滑，且端沿地面向右滑行．
    请判断木棍滑动的过程中，点到点的距离是否变化，并简述理由．
    在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值．

四、解答题（本大题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20. 本小题分
    计算：
    ；
    ．
21. 本小题分
    九章算术卷九“勾股”中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问葭长几何．注释：今有正方形水池边长丈，芦苇生长在中央，长出水面尺．将芦苇向池岸牵引，恰好与水岸齐，问芦苇的长度一丈等于尺．
    
    解决下列问题：
    示意图中，线段的长为______尺，线段的长为______尺；
    求芦苇的长度．
22. 本小题分
    星期天上午，某动物园熊猫馆来了甲、乙两队游客，两队游客的年龄如表所示：
    甲队：

乙队：

根据上述数据完成表格：

根据前面的统计分析，回答下列问题：
能代表甲队游客一般年龄的统计量是______；
平均数能较好地反映乙队游客的年龄特征吗？为什么？

23. 本小题分
    小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小玲开始跑步中途改为步行，到达图书馆恰好用小东骑自行车以的速度直接回家，两人离家的路程与各自离开出发地的时间之间的函数图象如图所示．
    
    家与图书馆之间的路程为______，小玲步行的速度为______；
    求小东离家的路程关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
    求两人相遇的时间．
24. 本小题分
    如图，在矩形中，，点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是，连接、、设点、运动的时间为．
    当为何值时，四边形是矩形；
    当为何值时，四边形是菱形．

25. 本小题分
    如图，在中，，，垂足为点，是外角的平分线，，垂足为点．
    求证：四边形为矩形；
    当满足什么条件时，四边形是一个正方形？请给出证明．

26. 本小题分
    某学校为改善办学条件，计划采购、两种型号的空调，已知采购台型空调和台型空调，需费用元；台型空调比台型空调的费用多元．
    求型空调和型空调每台各需多少元；
    若学校计划采购、两种型号空调共台，且型空调的台数不少于型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过元，该校共有哪几种采购方案？
    在的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、原式，故此选项不符合题意．
B、原式，故此选项不符合题意．
C、是最简二次根式，故此选项符合题意．
D、原式，故此选项不符合题意．
故选：．
根据最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，进而分别判断得出答案．
此题主要考查了最简二次根式，正确掌握最简二次根式的定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据平均数的求法：共个数，这些数之和为，故这些数的平均数是．
故选：．
根据平均数的公式求解即可，个数的和加个数的和除以即可．
本题考查的是样本平均数的求法．．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了实数与数轴，绝对值，属于基础题．
根据题意，可得，，进行求解即可．
【解答】
解：根据数轴可知，，
所以，
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：，
四边形是矩形，
当时，四边形是正方形，
故选：．
根据正方形的判定方法即可判定；
本题考查正方形的判定，解题的关键是记住正方形的判定方法：
先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
还可以先判定四边形是平行四边形，再用或进行判定．
 

5.【答案】 

【解析】解：

，，
．
故选：．
要求的面积，只需求出两条直角边的乘积，根据勾股定理，得再根据完全平方公式求出的值，进而得到三角形的面积．
本题考查的是勾股定理及完全平方公式，根据题意求出的值是解答此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：正比例函数图象经过不同象限的两点，，
，，
故选：．
根据正比例函数的性质可知，函数图象在第一、三象限或者第二、四象限，从而可以判断、的正负情况，从而可以解答本题．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确正比例函数是特殊的一次函数，知道正比例函数的性质，利用函数的思想解答．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
根据杯子内牙刷的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案．
此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内牙刷的取值范围是解决问题的关键．
【解答】
解：将一根长为的牙刷，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，
当牙刷与杯底垂直时，最大，
当牙刷与杯子底面直径及杯高构成直角三角形时，最小，
当杯子中牙刷最短时，等于杯子的高，
杯子中牙刷最长时，其长度是：，
的取值范围是：，
即．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：、甲的众数为，乙的众数为，故原题说法错误；
B、甲的中位数为，乙的中位数为，故原题说法错误；
C、甲的平均数为，乙的平均数为，故原题说法错误；
D、甲的方差为，乙的方差为，甲的方差小于乙的方差，故原题说法正确；
故选：．
根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；对于个数，，，，则就叫做这个数的算术平均数；进行计算即可．
此题主要考查了众数、中位数、方差和平均数，关键是掌握三种数的概念和方差公式．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图所示，四边形是矩形，
，
、、、分别是角平分线，
矩形的四个角被分成的八个角都是角，
，
同理可得，
四边形的四个角都是直角，四边形是矩形，
可以证明≌，
，
，
即，
矩形是正方形．
故选：．
作出图形，先判定围成的四边形是矩形，再求出邻边相等，然后判定出四边形为正方形，从而得解．
本题考查了矩形的四个角都是直角的在，全等三角形的判定与性质，正方形的判定，作出图形更形象直观，易于理解与表达．
 

10.【答案】 

【解析】解：直线向上平移个单位后可得：，
联立两直线解析式得：，
解得：，
即交点坐标为，
交点在第二象限，
，
解得：．
故选：．
直线向上平移个单位后可得：，求出直线与直线的交点，再由此点在第二象限可得出的取值范围．
本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标，注意第二象限的点的横坐标小于、纵坐标大于．
 

11.【答案】 

【解析】解：在段，所用的时间是秒，路程是米，则速度是米秒．故正确；
火车的长度是米，故错误；
整个火车都在隧道内的时间是：秒，故正确；
隧道长是：米，故错误．
故正确的是：．
故选：．
根据函数的图象即可确定在段，所用的时间是秒，路程是米，则速度是米秒，进而即可确定其它答案．
本题主要考查了用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
 

12.【答案】 

【解析】解：与，与都是矩形的对边、的一部分，
，，
四边形是平行四边形，
由翻折的性质得，，
四边形是菱形，
故正确；
，
只有时平分，
故错误；
点与点重合时，设，则，
在中，，
即，
解得，
点与点重合时，，
，
线段的取值范围为，
故正确；
过点作于，
则，
由勾股定理得，
，
故正确；
综上所述，结论正确的有共个．
故选：．
先判断出四边形是平行四边形，再根据翻折的性质可得，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出正确；
根据菱形的对角线平分一组对角线可得，然后求出只有时平分，判断出错误；
点与点重合时，设，表示出，利用勾股定理列出方程求解得到的最小值，点与点重合时，，求出，然后写出的取值范围，判断出正确；
过点作于，求出，再利用勾股定理列式求解得到，判断出正确．
此题是四边形综合题，主要考查了折叠问题与菱形的判定与性质、勾股定理的综合应用，熟练掌握菱形的判定定理和性质定理、勾股定理是解本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，四边形是矩形，
，
，
，
．

故答案为：．
只要证明，根据三角形的外角的性质即可解决问题．
本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意得，且．
．
故答案为：．
根据正比例函数的定义形如的函数是正比例函数，其中为常数且解决此题．
本题主要考查正比例函数，熟练掌握正比例函数的定义是解决本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据图表，植树株的人，占；则总人数为人，植株的有人，
该班同学植树株数的中位数是株；
故答案为：．
先求出植树的总人数，再得出植株的人数，然后根据中位数的定义即可得出答案．
此题考查了中位数，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
 

16.【答案】或 

【解析】解：当时，此函数是增函数，
当时，，
当时，；当时，，
，
解得；
当时，此函数是减函数，
当时，，
当时，；当时，，
，
解得：，
的值是或．
故答案为：或．
分和两种情况，结合一次函数的增减性，可得到关于、的方程组，求解即可．
本题考查的是一次函数的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论．
 

17.【答案】 

【解析】解：设正方形的边长为，则，所以，解得，得到；
设正方形的边长为，则，，解得，得到；
设正方形的边长为，则，，解得，得到，
所以．
故答案为．
设正方形的边长为，则，根据一次函数图象上点的坐标特征得到，解得，得到，然后利用同样的方法可求得，，则．
本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．
 

18.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，想办法证明，利用勾股定理求出的平方即可解决问题．
【解答】

解：将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，作于．

四边形是菱形，
，，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，
，
≌，
，
，，
，
，，
，，
，，，
，
菱形的面积的面积，
故答案为．
 

19.【答案】解：不变．
理由：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，
斜边不变，
斜边上的中线不变；

当的斜边上的高等于中线时，为等腰直角三角形时，面积最大，
理由为：
证明：如图，若与不相等，则总有，
故根据三角形面积公式，有与相等时，的面积最大，
此时，．
的最大面积为． 

【解析】木棍滑动的过程中，点到点的距离不会变化．根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半即可判断；
当的斜边上的高等于中线时，的面积最大，就可以求出．
此题利用了在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；同时理解的面积什么情况最大是解决本题的关键．
 

20.【答案】解：原式

；
原式

． 

【解析】先把括号内的化为最简二次根式后合并，再算除法；
先算零指数幂，去绝对值，乘方运算，把二次根式化为最简二次根式，再算乘法，最后合并即可．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．
 

21.【答案】解：，；
设芦苇的长度尺，
则图中，，，
在中，，
由勾股定理得 ．
所以 ，
解得 ，
答：芦苇的长度为尺． 

【解析】

【分析】
此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键．
直接利用题意结合图形得出各线段长；
利用勾股定理得出的长进而得出答案．
【解答】
解：线段的长为尺，线段的长为尺；
故答案为：，；
见答案．  

22.【答案】        平均数或中位数或众数 

【解析】解：对于甲队：平均数；
方差为；
对于乙队：年龄为的最多，故众数为；
题中已将年龄从小到大排列，共人．找第、人的年龄为、岁，其平均数为，故中位数是；
填写表格如下：

故答案为：，，，；
平均数或中位数或众数；
故答案为：平均数或中位数或众数；
平均数不能较好地反映乙队游客的年龄特征．因为乙队游客年龄中含有两个极端值，受两个极端值的影响，导致乙队游客年龄方差较大，平均数高于大部分成员的年龄．
按照众数、中位数的求法，可得乙队游客的中位数是，众数是；再根据平均数、方差的计算方法，计算可得：甲队游客年龄的平均数为，方差是；
根据统计量的意义，结合甲队游客的数据，其分布比较均匀，无极端值，故可以用平均数或中位数或众数来描述甲队游客一般年龄；而乙队游客年龄中含有两个极端值，受两个极端值的影响，导致乙队游客年龄方差较大，平均数高于大部分成员的年龄，故平均数不能较好地反映乙队游客的年龄特征．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的计算方法及意义．
 

23.【答案】，；
小东从离家处以的速度返回家，则时，
他离家的路程，
自变量的范围为；
由图象可知，两人相遇是在小玲改变速度之前，
，
解得，
两人相遇时间为第分钟． 

【解析】

解：结合题意和图象可知，线段为小东路程与时间函数图象，折线为小玲路程与时间图象
则家与图书馆之间路程为，小玲步行速度为．
故答案为：，；
见答案；
见答案．
【分析】
认真分析图象得到路程与速度数据；
采用方程思想列出小东离家路程与时间之间的函数关系式；
两人相遇实际上是函数图象求交点．
本题是一次函数实际应用问题，考查了对一次函数图象代表意义的分析和从方程角度解决一次函数问题．  

24.【答案】解：由已知可得，，
在矩形中，，，
当时，四边形为矩形，
，得
故当时，四边形为矩形．
由可知，四边形为平行四边形
当时，四边形为菱形
即时，四边形为菱形，解得，
故当时，四边形为菱形． 

【解析】当四边形是矩形时，，据此求得的值；
当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间；
本题考查了菱形、矩形的判定与性质．解决此题注意结合方程的思想解题．
 

25.【答案】证明：，，
．
是外角的平分线，
，
，
，
，
，，
，
四边形为矩形．
解：答案不唯一，如：当时，四边形是一个正方形．
证明：，
，
，
，
，
四边形为矩形，
矩形是正方形．
故当时，四边形是一个正方形． 

【解析】由等腰三角形的性质得出证出，由矩形的判定可得出结论；
当时，四边形是一个正方形．证出，由正方形的判定可得出结论．
本题考查了对矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，及角平分线的性质等知识点的综合运用．
 

26.【答案】解：设型空调和型空调每台各需元、元，
，解得，，
答：型空调和型空调每台各需元、元；
设购买型空调台，则购买型空调台，
，
解得，，
、、，共有三种采购方案，
方案一：采购型空调台，型空调台，
方案二：采购型空调台，型空调台，
方案三：采购型空调台，型空调台；
设总费用为元，
，
当时，取得最小值，此时，
即采购型空调台，型空调台可使总费用最低，最低费用是元． 

【解析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和不等式的思想解答．
根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题；
根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以求得有几种采购方案；
根据题意和中的结果，可以解答本题．