人教A版（2019）高一数学下学期期中达标测评卷（A卷）(含答案)

这是一份人教A版（2019）高一数学下学期期中达标测评卷（A卷）(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．如图，在中，点D是线段上靠近A的三等分点，点E是线段的中点，则( )
A.B.
C.D.
2．复数在复平面内对应的点在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3．已知上底面半径为,下底面半径为的圆台存在内切球（与上、下底面及侧面都相切的球）,则该圆台的体积为( )
A.B.C.D.
4．如图,平行六面体的各棱长均为2,,,则( )
A.B.C.D.
5．若，则称与互为“邻位复数”.已知复数与互为“邻位复数”，a，，则的最大值为( )
A.B.C.D.8
6．设m,n是两条不同的直线,,是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )
A.若,,,则
B.若,,,则
C.若m,n是两条不同的异面直线,,,,,则
D.若,,则m与所成的角和n与所成的角互余
7．已知直角梯形，，，，P是BC边上的一点，则的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．已知在四面体中，，二面角的大小为，且点A，B，C，D都在球O的球面上，M为棱上一点，N为棱的中点.若，则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．设z是非零复数,则下列说法正确的是( )
A.若,则B.若,则
C.若,则D.若,则
10．已知平面向量，，，则下列说法正确的是( )
A.B.若，则
C.D.若，，则
11．如图，直三棱柱中，O是与的交点，M是线段上的一动点，，，则下列结论正确的是( )
A.平面平面
B.三棱锥的体积是定值
C.存在点M，使平面
D.异面直线与所成角的正切值的最大值为2
12．已知向量，，，则( )
A.若，则
B.在方向上的投影向量为
C.存在，使得在方向上投影向量的模为1
D.的取值范围为
三、填空题
13．设为复数z的共轭复数,若复数z满足,则_____.
14．设向量，且，则向量在向量方向上的投影是_______.
15．某同学想为台灯更换一种环保材料的灯罩，如图所示，该灯罩是一个有上底面无下底面的圆台.经测量，灯罩的上底面直径为，下底面直径为，灯罩的侧面展开图是一个圆心角为的扇环，则新灯罩所需环保材料的面积为___________（结果中保留）.
16．已知正三棱锥,底面ABC是边长为2的正三角形,若,且,则正三棱锥外接球的半径为_____________.
四、解答题
17．已知复数(i是虚数单位,),且为纯虚数(是的共轭复数)
（1）求实数m及;
（2）设复数,且复数对应的点在第二象限,求实数的取值范围.
18．如图，在三棱锥中，平面平面，且，.
（1）证明：平面.
（2）若，点M满足，求二面角的大小.
19．已知向量，，.
（1）若，求x的值；
（2）记，求函数的图象向右平移个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，求函数的值域.
20．已知点,,,且.试问:
（1）t为何值时,点P在坐标轴上?
（2）四点O,A,B,P能否成为平行四边形?若能,求出相应的t值,若不能,请说明理由.
参考答案
1．答案：A
解析：由题图，.
故选：A.
2．答案：C
解析：,
因为,所以复数z在复平面内对应的点在第三象限.
故选：C.
3．答案：D
解析：由题可得圆台的母线长为,
所以高,
所以该圆台的体积,
故选：D.
4．答案：B
解析：平行六面体的各棱长均为2,,,
,,
,而,
,
.
故选：B.
5．答案：B
解析：，故，如图所示，点在圆上，而表示点到原点的距离，故的最大值为.故选B.
6．答案：C
解析：A．,,则,又,则,所以不正确,A不正确;
B．,,,则或,故B不正确;
C．若m,n是两条不同的异面直线,,,,,则,C正确．
D．由时,m,n与所成的角没有关系,时,由面面平行的性质知n与,所成的角相等,m与,所成的角相等,
因此m与所成的角和n与所成的角不一定互余,D不正确.
故选：C．
7．答案：D
解析：方法一：因为P在BC边上，不妨设，则（其中），所以
.因为，所以.
方法二：如图，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立直角坐标系.则，，，，其中，设点，其中，，，.，，故选D.
8．答案：C
解析：由题意知与均为等边三角形，连接，，则，，是二面角的平面角，所以，又易知，所以是等边三角形.设P为的外心，Q为的中点，连接，，，则点O，P，Q都在平面内，建立平面直角坐标系如图.设，则，，所以.又，所以，因为，所以，则可得，，从而，.
9．答案：AB
解析：对于A,,故,正确;
对于B,,,故或（舍）,正确;
对于,若,则,故或,不正确;
对于D,,即为纯虚数,故,不正确.
故选：AB.
10．答案：AB
解析：，故A正确；
可得，
，则，故B正确；
表示与共线的向量，表示与共线的向量，原等式两边不一定相等，故C错误；
当，均与垂直时，此时，但与不一定相等，故D错误.
故选：AB.
11．答案：ABC
解析：由题意知，平面，所以，因为，，所以平面，所以平面平面，故A正确；因为平面，点M在线段上，所以M到平面的距离为定值，又因为的面积为是定值，所以三棱锥的体积是定值，故B正确；平面即平面，当M与C重合时，，可得平面，故C正确；取的中点N，连接，，，则有平面，所以，又异面直线与所成角的就是，所以，当M与C重合时，取最大值，所以的最大值为，故D错误；故选ABC.
12．答案：BCD
解析：对于A，若，则，则，所以A错误；
对于B，在方向上的投影向量为，故B正确；
对于C，，所以在方向上投影向量的模为：
，
当时，，所以存在，使得在方向上投影向量的模为1，故C正确；
对于D，向量，，
，
所以，则，故D正确.
故选：BCD.
13．答案：
解析：对于方程,,
由题意可知,z,是关于实系数方程的两个虚根,
由韦达定理可得.
故答案为:.
14．答案：
解析：向量，且，
，，
，，
，，
向量在向量方向上的投影是，
故答案：.
15．答案：
解析：画出圆台的轴截面（如图1）和圆台的侧面展开图（如图2），结合题意得，圆台的上底面半径，下底面半径，，，则扇环面积（圆台侧面积）为，所以新灯罩所需环保材料的面积为.
16．答案：
解析：设正三棱锥的底面中心为点,连接,则面,
连接并延长,交于点,连接,如图所示,
因为底面是正三角形,
则为的中点,,,
又,面,面,
所以面,又因为面,
所以,又因为,,
因为,所以,故面,又因为面,
所以面,
因为面,面,所以,
因为三棱锥是正三棱锥,且底面是边长为2的正三角形,
所以两两垂直,且,
将其补形成棱长为正方体,如图：
所以正三棱锥外接球的半径为.
故答案为：.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）,,
,
为纯虚数,
,解得,
故,则
（2）,
,
复数所对应的点在第二象限,
,解得,
故实数的取值范围为.
18．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：如图，取O为的中点，连接.
因为，所以.
因为平面平面，且两平面相交于，所以平面.
因为平面，所以.
又，且，所以平面.
（2）过点A作的平行线，以A为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，所以，，，，.
设平面的法向量为，
则即令，得.
易知平面的一个法向量为，
所以.
由图可知二面角为锐角，所以二面角的大小为.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1），，，
，，
，即，
，.
（2），
由图象向右平移，横坐标变为2倍得
，，
在单调递增，单调递减，
，
，即值域为.
20．答案：（1）或
（2）不能,理由见解析
解析：（1）由,,,
得,,
则,
若点P在x轴上,则,解得,
若点P在y轴上,则,解得,
综上,当或时,点P在坐标轴上;
（2）若四边形OABP为平行四边形,则,
,
该方程组无解,
四边形OABP不能成平行四边形,
若四边形OAPB为平行四边形,则,
,
所以,该方程组无解,
所以四边形OAPB不是平行四边形,
若四边形OPAB为平行四边形,则,
,
该方程组无解,
四边形OPAB不能成为平行四边形,
综上所述,四点O,A,B,P不能成为平行四边形.