必刷卷01-2020-2021学年高一数学下学期期中仿真必刷模拟卷（人教A版2019）

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2020-2021学年高一下学期数学期中仿真必刷模拟卷【人教A版2019】
期中检测卷01
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知复平面内，（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B
【分析】直接利用复数的运算和几何意义的应用求出该点所表示的位置．
【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），
所以（2﹣i）（a+bi）＝2a+b+（2b﹣a）i，
由于对应的点在虚轴的正半轴上，
所以，
即，
所以a＜0，b＞0．
故该点在第二象限．
故选：B．
【知识点】复数的代数表示法及其几何意义

2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（　　）
A． B． C． D．

【答案】D
【分析】利用平行四边形的性质以及向量相等的概念，再利用平面向量基本定理进行转化即可．
【解答】解：因为ABCD为平行四边形，
所以，
故．
故选：D．
【知识点】平面向量的基本定理

3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（　　）
A．﹣1 B．﹣ C． D．1

【答案】B
【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t的值．
【解答】解：向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），
所以+＝（6t+3，11），
﹣＝（4t+2，5）．
又（+）∥（﹣），
所以5（6t+3）﹣11（4t+2）＝0，
解得t＝﹣．
故选：B．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示

4.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（　　）
A． B．2 C．2 D．2

【答案】D
【分析】先根据M，N满足的条件，将（+）•＝0化成的表达式，从而判断出矩形ABCD为正方形；再将+＝x+y，左边用表示出来，结合x+y＝3，即可得NC+MC＝4，最后借助于基本不等式求出MN的最小值．
【解答】解：当M，N分别是边BC，DC的中点时，
有（+）•＝＝＝，
所以AD＝AB，则矩形ABCD为正方形，
设，，则＝．
则x＝2﹣λ，y＝2﹣μ．又x+y＝3，所以λ+μ＝1．
故NC+MC＝4，则MN＝＝（当且仅当MC＝NC＝2时取等号）．
故线段MN的最短长度为2．
故选：D．
【知识点】平面向量数量积的性质及其运算

5.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（　　）
A．3 B．4 C．5 D．9

【答案】B
【分析】由题意画出图形，再由复数模的几何意义，数形结合得答案．
【解答】解：由|z+3+4i|≤2，得z在复平面内对应的点在以Q（﹣3，﹣4）为圆心，以2为半径的圆及其内部．
如图：

|z﹣1﹣i|的几何意义为区域内的动点与定点P得距离，
则M＝|PQ|+2，m＝|PQ|﹣2，
则M﹣m＝4．
故选：B．
【知识点】复数的运算

6.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（　　）
A．R2 B．R2 C．R2 D．R2

【答案】B
【分析】设圆锥的底面半径为r，求得圆锥的高，由球的截面性质，运用勾股定理可得r，由圆锥的表面积公式可得所求．
【解答】解：如图，设圆锥的底面半径为r，
则圆锥的高为r，
则R2＝r2+（r﹣R）2，
解得r＝R，
则圆锥的表面积为S＝πr2+πr•2r＝3πr2
＝3π（R）2＝πR2，
故选：B．

【知识点】球内接多面体、旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

7.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（　　）

A．π B．π C．π D．π

【答案】A
【分析】先根据题意求得正四面体的体积，进而得到六面体的体积，再由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，设丸子的半径为R，则，由此求得R，进而得到答案．
【解答】解：由题意可得每个三角形面积为，
由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，可得该四面体的高为，
故四面体的体积为，
∵该六面体的体积是正四面体的2倍，
∴六面体的体积是，
由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥，
设丸子的半径为R，则，解得，
∴丸子的体积的最大值为．
故选：A．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积

8.已知半球O与圆台OO'有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．

【答案】D
【分析】根据题意画出图形，结合图形利用圆台的母线长表示出半球的半径r，计算圆台的侧面积，利用导数求得侧面积取得最大值时对应的母线长和半球的半径，从而求得圆台母线与底面所成角的余弦值．
【解答】解：如图1所示，
设BC＝x，CO′＝r，作CF⊥AB于点F，延长OO′交球面于点E，
则BF＝1﹣r，OO′＝CF＝＝．
由圆的相交弦定理和图2知，CO′•O′E•O′H＝（1+OO′）•（1﹣OO′），
即r2＝（1+）•（1﹣），解得r＝1﹣，
所以圆台的侧面积为S侧＝π•（1+1﹣）•x（0＜x＜）；
求导数得S侧′＝π（2﹣x2），令S侧＝0，得出当x＝时S侧取得最大值，
所以当x＝BC＝时，r＝1﹣＝，
则BF＝1﹣r＝；
在轴截面中，∠OBC为圆台母线与底面所成的角，
在Rt△CFB中，cos∠OBC＝＝．
故选：D．
【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）


二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）

9.下列有关向量命题，不正确的是（　　）
A．若||＝||，则＝ B．已知≠，且•＝•，则＝
C．若＝，＝，则＝ D．若＝，则||＝||且∥

【答案】AB
【分析】根据向量的概念与向量的模的概念逐一分析各个选项即可得解．
【解答】解：向量由两个要素方向和长度描述，A错误；
若∥，且与垂直，结果成立，当不一定等于，B错误；
若＝，＝，由向量的定义可得＝，C正确；
相等向量模相等，方向相同，D选项正确．
故选：AB．
【知识点】向量的概念与向量的模

10.若复数z满足，则（　　）
A．z＝﹣1+i B．z的实部为1 C．＝1+i D．z2＝2i

【答案】BC
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．
【解答】解：由＝，
得z＝，
∴z的实部为1；＝1+i；z2＝（1﹣i）2＝﹣2i．
故选：BC．
【知识点】复数的运算

11.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，AF∩CE＝G，则（　　）

A． B．
C． D．

【答案】AB
【分析】对于A：直接利用三角形法则的应用和线性运算的应用求出结果．
对于B：利用三角形法则的应用和线性运算的应用求出结果．
对于C：利用平行线分线段成比例和三角形法则和线性运算的应用求出结果．
对于D：直接利用平行线成比例的应用求出结果．
【解答】解：在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，AF∩CE＝G，
如图所示：

根据三角形法则：
对于A：，故选项A正确．
对于B：E，F分别为线段AD，CD的中点，所以，故选项B正确．
对于C：过E作EH∥DC，所以，所以，故，整理得，
所以，即＝，故选项C错误．
对于D：根据平行线分线段成比例定理，点B、G、D共线，故选项D错误．
故选：AB．
【知识点】平面向量的基本定理

12.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为2，E为线段B1C上的动点，O为AC的中点，P为棱CC1上的动点，Q为棱AA1的中点，则以下选项中正确的有（　　）
A．AE⊥B1C
B．直线B1D⊥平面A1BC1
C．异面直线AD1与OC1所成角为
D．若直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，则m∥平面B1D1Q

【答案】BD
【分析】根据面面平行和垂直的性质、判定，结合图形，从而可判断选项的正误．
【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C⊥BC1，B1C⊥AB，BC1∩AB＝B，
∴B1C⊥平面ABC1D1，
∵只有当E运动到线段B1C的中点时，AE⊥B1C才成立，故A错误．
连接B1D1，∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面A1B1C1D1，
∴DD1⊥A1C1，∵BD1⊥A1C1，BD1∩DD1＝D1，
∴A1C1⊥平面BDD1B1，∴A1C1⊥B1D，
同理可得BC1⊥B1D，又A1C1∩BC1＝C1，
∴直线B1D⊥平面A1BC1，故选项B正确．
连接BD，BC1，则AD1∥BC1，
∴∠OC1B（或其补角）即为异面直线AD1与OC1所成的角．
因为正方体的棱长为2，则BC1＝2，OB＝，在Rt△C1OB中，OC1＝，
∴cos∠OC1B＝＝，∴∠OC1B＝，故选项C错误．
由题意知，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为棱CC1上的动点，Q为棱AA1的中点，
直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，且BD∥B1D1，
∴m∥B1D1.∵m⊄平面B1D1Q，
∴m∥平面B1D1Q，故选项D正确．
故选：BD．

【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系、异面直线及其所成的角、直线与平面垂直、命题的真假判断与应用


三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

13.已知向量＝（m，1），＝（m﹣6，m﹣4），若∥，则m的值为　　．

【答案】2或3
【分析】根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得（m﹣4）m﹣（m﹣6）＝0，变形解可得m的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，知向量＝（m，1），＝（m﹣6，m﹣4），
若∥，则有（m﹣4）m﹣（m﹣6）＝0，
变形可得：m2﹣5m+6＝0，
解可得m＝2或3，
故答案为：2或3．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示

14.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积S＝　　．

【分析】设圆锥的母线长为l，底面半径为r，根据题意列出方程组求出l和r的值，再计算圆锥的高轴截面面积．
【解答】解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，
由题意得，
解得l＝9，r＝3；
所以圆锥的高为h＝＝＝6，
所以圆锥的轴截面面积为S＝×＝18．
故答案为：18．
【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）、扇形面积公式

15.如图，已知有两个以O为圆心的同心圆，小圆的半径为1，大圆的半径为2，点A为小圆上的动点，点P，Q是大圆上的两个动点，且•＝1，则||的最大值是　　．


【分析】由向量的和差运算求出数量积•的表达式，再由||的值为1，可得﹣﹣＝0，再由（+﹣）2的展开可得|+﹣|＝3，再由绝对值不等式的定理可得||的取值范围，求出其最大值．
【解答】解：由题意＝（﹣）•（﹣）＝﹣﹣+1＝1，
所以﹣﹣＝0，
由（+﹣）2＝+2+2+2（﹣﹣）＝9，
所以|+﹣|＝3，
又|+|﹣||≤|+﹣|≤|+|+||，
所以2≤|+|≤4，
又|+|2+|﹣|2＝2（||2+||2）＝16，
所以0≤|﹣|，
即0≤||，
||的最大值是2，
故答案为：2．
【知识点】平面向量数量积的性质及其运算

16.如图，在三棱锥A﹣BCD的平面展开图中，已知四边形BCED为菱形，BC＝1，BF＝，若二面角A﹣CD﹣B的余弦值为﹣，M为BD的中点，则CD＝　　，直线AD与直线CM所成角的余弦值为　　．


【分析】将三棱锥A﹣BCD的直观图还原，取CD中点N，连接AN，BN，可知ANB为二面角A﹣CD﹣B的平面角，设CD＝a（0＜a＜2），根据题意由余弦定理建立关于a的方程，解出即可求得CD的值，取AB的中点O，连接OM，OC，则∠OMC为直线AD与直线CM所成的角或其补角，求出相关边的长度，利用余弦定理直接求解即可．
【解答】解：将三棱锥A﹣BCD的直观图还原，则BC＝BD＝AC＝AD＝1，，
取CD中点N，连接AN，BN，则AN⊥CD，BN⊥CD，故∠ANB为二面角A﹣CD﹣B的平面角，
设CD＝a（0＜a＜2），则，故，
又二面角A﹣CD﹣B的余弦值为，故，解得，即；
取AB的中点O，连接OM，OC，易知OM∥AD，
所以∠OMC为直线AD与直线CM所成的角或其补角，
易知，所以，
∴直线AD与直线CM所成角的余弦值为．
故答案为：；．

【知识点】二面角的平面角及求法、异面直线及其所成的角


四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.已知，．
（1）若与同向，求；
（2）若与的夹角为120°，求．

【分析】（1）设＝λ＝（2λ，0），由||＝1可得2λ＝1，解可得λ的值，即可得答案，
（2）根据题意，由数量积的计算公式可得•＝﹣1，设＝（x，y），由数量积的坐标计算公式可得•＝2x＝﹣1，即可得x的值，由向量模的计算公式可得y的值，即可得的坐标，由向量的坐标计算公式计算可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，与同向，且，
设＝λ＝（2λ，0），
又由||＝1，则有2λ＝1，即λ＝，
则＝（1，0）；
（2），则||＝2，
若与的夹角为120°，则•＝||||cos120°＝2×1×cos120°＝﹣1，
设＝（x，y），则•＝2x＝﹣1，则x＝﹣，
又由||＝1，则x2+y2＝1，解可得y＝±，
故＝（，±），
则+＝（，±）．
【知识点】平面向量数量积的性质及其运算、数量积表示两个向量的夹角

18.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a＝4，b＝6，cosA＝﹣．
（1）求c；
（2）求cos2B的值．

【分析】（1）由余弦定理即可求得c的值；
（2）先由同角三角函数的平方关系求得sinA的值，再由正弦定理求出sinB的值，最后根据cos2B＝1﹣2sin2B，得解．
【解答】解：（1）由余弦定理知，a2＝b2+c2﹣2bccosA，即48＝36+c2﹣2×6×c×（﹣），
整理得，c2+4c﹣12＝0，
解得c＝2或﹣6（舍负），
故c＝2．
（2）∵cosA＝﹣，且A∈（0，π），
∴sinA＝＝，
由正弦定理知，＝，即＝，
∴sinB＝，
∴cos2B＝1﹣2sin2B＝﹣．
【知识点】余弦定理

19.已知：复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1（1﹣i）＝z2（1+i）（i为虚数单位），|z1|＝．
（Ⅰ）求z1的值；
（Ⅱ）若z1的虚部大于零，且（m，n∈R），求m，n的值．

【分析】（Ⅰ）设z1＝x+yi（x，y∈R），则z2＝﹣x+yi，由题意列方程组求得x，y的值，则答案可求；
（Ⅱ）求得z1，代入，利用复数代数形式的乘除运算化简化简，再由复数相等的条件求解．
【解答】解：（Ⅰ）设z1＝x+yi（x，y∈R），则z2＝﹣x+yi，
∵z1（1﹣i）＝z2（1+i），|z1|＝，
∴，解得或，
即z1＝1﹣i或z1＝﹣1+i；
（Ⅱ）∵z1的虚部大于零，∴z1＝﹣1+i，则，
则有，
∴，解得．
【知识点】复数的运算

20.（Ⅰ）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i＝（i为虚数单位）
（Ⅱ）设z是虚数，ω＝z+是实数，且﹣1＜ω＜2．
（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；
（2）设，求证：μ为纯虚数；
（3）在（2）的条件下求ω﹣μ2的最小值．

【分析】（Ⅰ）利用待定系数法，结合复数相等进行求解即可
（Ⅱ）设z＝a+bi，结合ω是实数求出a，b的取值范围，结合复数的有关概念进行证明求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）原方程等价为|z|2+（z+）i＝＝1﹣i，
设z＝x+yi，x，y∈R，
代入方程整理得x2+y2+2xi＝1﹣i，得得，即z＝﹣±i．
（Ⅱ）（1）z＝a+bi，a，b∈R且b≠0，
则ω＝z+＝a+bi+＝（a+）+（b﹣）i，
∵ω＝z+是实数，∴b﹣＝0，得1﹣＝0，即a2+b2＝1，即|z|＝1，
则ω＝z+＝2a∈（﹣1，2），
∴a∈（﹣，1）．
（2）证明：＝＝＝，
由（1）知a2+b2＝1，则μ＝i，
∵a∈（﹣，1）．b≠0，∴μ是纯虚数．
（3）ω﹣μ2＝2a+＝2a+＝2a﹣＝2a﹣1+＝2[（a+1）+]﹣3，
∵a∈（﹣，1），∴a+1＞0，
∴（a+1）+≥2＝2，当且仅当a+1＝，即a＝0时取等号，
即ω﹣μ2＝2[（a+1）+]﹣3≥2×2﹣3＝1，
即ω﹣μ2的最小值为1
【知识点】复数的运算

21.如图，直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AC＝1，，A1A＝4，点M为线段A1A的中点．
（1）求直三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积；
（2）求异面直线BM与B1C1所成的角的大小．（结果用反三角表示）


【分析】（1）由V＝S△ABC•A1A，即可得解；
（2）易知∠MBC或其补角即为所求，再在△MBC中，由余弦定理求得cos∠MBC的值，即可．
【解答】解：（1）∵，
∴V＝S△ABC•A1A＝×4＝2．
（2）∵BC∥B1C1，
∴∠MBC或其补角是异面直线BM与B1C1所成的角，
在△MBC中，BM＝CM＝，BC＝，
由余弦定理得，cos∠MBC＝＝，
∴∠MBC＝arccos，
故异面直线BM与B1C1所成的角为．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积、异面直线及其所成的角

22.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点G在棱D1C1上，且D1G＝D1C1，点E、F、M分别是棱AA1、AB、BC的中点，P为线段B1D上一点，AB＝4．
（Ⅰ）若平面EFP交平面DCC1D1于直线l，求证：l∥A1B；
（Ⅱ）若直线B1D⊥平面EFP．
（i）求三棱锥B1﹣EFP的表面积；
（ii）试作出平面EGM与正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面EGM与棱A1D1交于点Q，求三棱锥Q﹣EFP的体积．


【分析】（1）根据面面平行的性质即可得到EF∥l，再结合线线平行的传递性即可证明结论；
（2）（i）先根据直线B1D⊥平面EFP得到B1D⊥EP，进而得到P是DB1的中点，然后依次求出三棱锥的四个面的面积再相加即可得到三棱锥B1﹣EFP的表面积；
（ii）①根据公理“一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内”作出平面EGM与正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面的交线即可；②根据NEFP四点共面，且三角形PNE与三角形PEF面积相等，那么三棱锥Q﹣EFP的体积等于三棱锥P﹣ENQ的体积，直接利用三棱锥的体积公式求解即可．
【解答】解：（1）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
因为平面ABB1A1∥平面 DCC1D1，平面EFP∩平面 ABB1A1＝EF，
所以EF∥l，
因为点E、F 分别是棱 AA1、AB 的中点，
所以 EF∥A1B，
所以l∥A1B．
（2）（i）因为直线 B1D⊥平面 EFP，EP⊂平面 EFP，
所以 B1D⊥EP，又因为△DAE≌△B1A1E，
所以DE＝B1E，
所以DP＝B1P，
因为，
×，
，
所以三棱锥B1﹣EFP的表面积为．
（ii）作图步骤如下：
连接GE，过点G作GH⊥DC于点H，连接HA并延长交GE的延长线于点I，连接IM并延长交AB于点J交DC的延长线于点K，
再连接GK交CC1于点S，连接MS并延长交B1C1的延长线于点R，连接RG并延长交A1D1于点Q，再连接EQ，GS，EJ，
则图中EQ，QG，GS，SM，MJ，JE即为平面EGM与正方体各个面的交线．

设 BJ＝CK＝x，由题知
2AJ＝HC+CK＝3+x，
所以，所以，
解得，
因为，
∵MC＝2，∴，
所以，

如上图，设N为线段A1D1的中点，可证点N在平面PEF内，且三角形PNE与三角形PEF面积相等，
所以，三棱锥Q﹣EFP的体积＝三棱锥Q﹣ENP的体积＝三棱锥P﹣ENQ的体积＝，
所以三棱锥Q﹣EFP 的体积为 ．
【知识点】平面与平面垂直、棱柱、棱锥、棱台的体积、棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积