第06讲 有理数的乘方-【同步精品】2024年七上数学同步精品讲义（人教版）

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第06讲 有理数的乘方知识点01 乘方的定义与计算乘方的意义：求 的积的运算叫做乘方。一般地：（个）可以记作： ，读作： 。当把看做的次方的结果时，也可读作： ，所以乘方的结果叫做 ，其中是 ，是 。 特别提示：当指数是 时，指数可以省略不写。即直接写成。底数是 或 时，要把底数用括号括起来。如－2的三次方写成 ；的四次方写成 。任何数都可以看做是它本身的 次方，一个数的2次方可以读作： ，一个数3次方可以读作： 。题型考点：①乘方的意义。②幂的认识。【即学即练1】1．43表示的意义是（　　）A．4+4+4 B．4×4×4 C．4×3 D．3×3×3×3【即学即练2】2．代数式可以表示为（　　）A．2+n B．2n C．2 D．n2【即学即练3】3．中，底数是　 　，指数是　 　．【即学即练4】4．对于式子（﹣2）3，下列说法不正确的是（　　）A．指数是3 B．底数是﹣2 C．幂为﹣6 D．表示3个﹣2相乘知识点02 乘方的计算乘方的计算： 。在计算有理数的乘方时，先根据有理数的乘方的意义把有理数的乘方转化为 ，计算时先确定幂的 ，在计算幂的 。可以计算出结果，也可以用幂来表示结果。 特别提示：正数的任何次方都是 。负数的奇次方是 ，负数的偶次方是 。0的任何正整数次方（除0外）都得 。1的任何次方都得 ，﹣1的奇次方得 ，﹣1的偶次方得 。 题型考点：乘方的计算。【即学即练1】5．计算：（1）（﹣4）3； （2）（﹣2）4； （3）．【即学即练2】6．（﹣1）2021的相反数是（　　）A．1 B．﹣1 C．2021 D．﹣2021【即学即练3】7．（﹣1）2020等于（　　）知识点03 有理数的偶次方 有理数的偶次方：由乘方的计算可知，任何一个数的偶次方得到的结果都 大于等于0 ，即任何数的偶次方（常见的平方）都是 ，都具有 ，几个非负数的和等于0，这几个非负数分别等于 。即，则 。 题型考点：①有理数的乘法计算。②乘法运算定律的应用。【即学即练1】8．若|x﹣2|+（y+3）2＝0，则yx＝　 　．【即学即练2】9．如果|a+2|+（b﹣1）2＝0，那么代数式（a+b）2021的值是（　　）A．1 B．﹣1 C．±1 D．2021知识点04 的区别与联系三者的意义：表示的意义是 ，即 ，底数是 。表示的意义是 ，即 ，底数是 。表示的意义是 ，即 ，底数是 。三者的联系 当为奇数时， 和 相等，他们与互为 。当为偶数时， 和 相等，他们与互为 。 题型考点：求倒数。【即学即练1】10．下列各组的两个数中，运算后的结果相等的是（　　）A．23和32 B．﹣33和（﹣3）3 C．﹣22和（﹣2）2 D．﹣（）3和﹣【即学即练2】11．对于式子（﹣3）6与﹣36，下列说法中，正确的是（　　）A．它们的意义相同 B．它们的结果相同 C．它们的意义不同，结果相等 D．它们的意义不同，结果也不相等【即学即练3】12．下列说法中正确的是（　　）A．﹣an和（﹣a）n一定是互为相反数 B．当n为奇数时，﹣an和（﹣a）n相等 C．当n为偶数时，﹣an和（﹣a）n相等 D．﹣an和（﹣a）n一定不相等知识点05 科学计数法科学计数法：把一个大于10或小于﹣10的数用 的形式来表示。这种表示数的方法就叫做科学计数法。其中 ≤＜ 。为 。方法技巧：确定：移动小数点到只有 整数时得到的数就是。确定：小数点移动了几位就是几。特别提示：当数后面带有数级单位时，的值是由小数点的移动位数＋级数单位后的位数。万级是4位数，亿级是8位数。科学计数法还原：还原时，等于多少就将 向 移动多少位，若位数不够时 补足。 题型考点：①用科学计数法表示数。【即学即练1】13．2022年冬奥会即将在北京举行，北京也即将成为迄今为止唯一个既举办过夏季奥运会，又举办过冬季奥运会的城市，据了解北京冬奥会的预算规模为15.6亿美元，政府补贴6%（9400万美元）．其中1 560 000 000用科学记数法表示为（　　）A．1.56×109 B．1.56×108 C．15.6×108 D．0.156×1010【即学即练2】14．在经过长达3个月的火星停泊轨道运行探测后，我国首次火星探测任务“天问一号”探测器于2021年5月15日稳稳降落在火星乌托邦平原南部的预选着陆区，迈出了我国星际探测征程的重要一步，火星作为地球的近邻，到地球的最近距离约为5500万千米，将5500万用科学记数法表示应为（　　）A．5.5×103 B．5.5×106 C．5.5×107 D．5.5×1010知识点06 近似数与有效数字相关概念：准确数：确切的反映实际的数。近似数：与实际接近但有差别的数。近似数的精确度：近似数与准确数的接近程度叫做精确度。一个近似数四舍五入到哪一位就说这个说精确到哪一位。精确度的表示方法：①用数位表示，如精确到个位、十位、百分位等；②用小数表示，如精确到0.1或0.01等。特别提示：求一个科学计数法表示的数的精确度时应先将其还原，看科学计数法中的的最后一位在哪一位就是精确到哪一位。求一个后面有级数单位的数的精确度时也应先将其还原，看原数最后一位在哪个位置就精确到哪一位。 题型考点：①精确度的判断。【即学即练1】15．用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（　　）A．0.1（精确到0.1） B．0.05（精确到百分位） C．0.05（精确到千分位） D．0.0502（精确到0.0001）【即学即练2】16．由四舍五入得到的近似数88.35万．精确到（　　）A．十分位 B．百分位 C．百位 D．十位【即学即练3】17．近似数3.14×104的精确到（　　）A．个位 B．百位 C．百分位 D．千位题型01 有理数的混合运算法则：先算乘方，在算乘除，最后算加减。有括号的先算括号，能简便运算的简便运算。【典例1】计算：（1）（﹣1）3﹣×[2﹣（﹣3）2]． （2）﹣22+|5﹣8|+24÷（﹣3）×．【典例2】计算﹣20+（﹣5）﹣（﹣18）； （2）﹣9÷3+（﹣）×12+（﹣3）2；（3）﹣14﹣（1﹣0.5）××[2﹣（﹣32）]； （4）﹣72+2×（﹣3）2+（﹣6）÷（﹣）2．题型02 【典例1】下列各组数中，相等的一组是（　　）A．（﹣3）2与﹣32 B．（﹣2）3与﹣23 C．23与32 D．与【典例2】下列各式中，不相等的是（　　）A．（﹣5）2和52 B．（﹣5）2和﹣52 C．（﹣5）3和﹣53 D．|﹣5|3和|﹣53|题型03 有理数的偶次方【典例1】已知（a+3）2+|b﹣2|＝0，则ab＝　 　．【典例2】若x、y为有理数，且（5﹣x）2+|y+5|＝0，则（）2021＝　 　．【典例3】若有理数a、b、c满足|a﹣1|+|b+4|+（4c﹣1）2＝0，求（abc）250÷（a6×b4×c3）的值．题型04 科学计数法【典例1】港珠澳大桥是世界上总体跨度最长的跨海大桥，全长55000米，其中海底隧道部分全长6700米，是世界最长的公路沉管隧道和唯一的深埋沉管隧道，也是我国第一条外海沉管隧道，将数字55000用科学记数法表示为（　　）A．5.5×104 B．55×103 C．5.5×103 D．0.55×105【典例2】电影《长津湖之水门桥》上映后，票房一路高歌，2022年2月9日单日票房为113000000元，113 000 000用科学记数法可表示为（　　）A．11.3×108 B．1.13×108 C．1.13×109 D．113×107【典例3】国家统计局于2021年5月11日发布了第七次全国人口普查主要数据情况的公告，全国人口共计141178万人，与2010年的133972万人相比，增加7206万人．其中数据7206万用科学记数法可表示为（　　）A．7.206×103 B．72.06×106 C．7.206×105 D．7.206×107题型05 精确度的判断【典例1】将34.945取近似数精确到十分位，正确的是（　　）A．34.9 B．35.0 C．35 D．35.05【典例2】用四舍五入法对0.06045取近似值，错误的是（　　）A．0.1（精确到0.1） B．0.06（精确到百分位） C．0.061（精确到千分位） D．0.0605（精确到0.0001）【典例3】据报道，国新办于2021年5月11日上午就第七次全国人口普查主要数据结果举行发布会，发布会上透露全国人口已达14.1178亿人，这里的近似数“14.1178亿”精确到（　　）A．亿位 B．千万位 C．万分位 D．万位1．下列数值中，（﹣4）2的计算结果是（　　）A．8 B．﹣8 C．16 D．﹣162．2023年3月5日，在第十四届全国人民代表大会第一次会议上，李克强总理做政府报告时指出我国人民生活水平不断提高，基本养老保险参保人数增加1.4亿、覆盖10.5亿人，基本医保水平稳步提高．将“10.5亿”用科学记数法可表示为（　　）A．10.5×109 B．1.05×1010 C．0.105×1011 D．1.05×1093．计算（﹣1）2022+（﹣1）2023等于（　　）A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣24．下列等式成立的是（　　）A．22×23＝25 B．22×23＝26 C．22×23＝28 D．22×23＝295．某平台发布2022卡塔尔世界杯观赛报告称，2022世界杯累计直播观看人次达106.253亿，用户直播总互动达13.67亿．将数据106.253按照四舍五入精确到十分位，其结果是（　　）A．106.0 B．106.2 C．106.25 D．106.36．下列各对数中，数值相等的是（　　）A．+23与+32 B．﹣32与（﹣3）2 C．﹣23与（﹣2）3 D．3×22和（3×2）27．定义新运算“⊗”，规定：a⊗b＝a2﹣|b|，则（﹣2）⊗（﹣1）的运算结果为（　　）A．﹣5 B．﹣3 C．5 D．38．如果|a+2|+（b﹣1）2＝0，那么（a+b）2009的值是（　　）A．﹣1 B．1 C．﹣2009 D．20099．某人一天饮水1890mL，请用四舍五入法将1890mL精确到1000mL，并用科学记数法表示为　 　mL．10．已知a，b满足|a﹣3|+（b+2）2＝0，则式子（a+b）2022的值是 　 　．11．若34＝3a，34+34+34＝3b，则a+b＝　 　．12．我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表是两种运算对应关系的一组实例：根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log216＝4，②log525＝5，③log2＝﹣1．其中正确的是 　 　．13．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值等于2，求x3+cdx2﹣的值．14．定义新运算“@”与“⊕”：a@b＝，a⊕b＝．（1）计算3@（﹣2）﹣（﹣2）⊕（﹣1）的值；（2）若A＝3b@（﹣a）+a⊕（2﹣3b），B＝a@（﹣3b）+（﹣a）⊕（﹣2﹣9b），比较A和B的大小．15．概念学习规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．初步探究（1）直接写出计算结果：2③＝　　，⑤＝　 　；（2）关于除方，下列说法错误的是 　 　A．任何非零数的圈2次方都等于1；B．对于任何正整数n，1ⓝ＝1；C.3④＝4③D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．深入思考我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．（﹣3）④＝　 　；5⑥＝　 　；⑩＝　 　．（2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于 　 　；（3）算一算：．课程标准学习目标①有理数的乘方运算②偶次方的非负性③科学计数法表示较大的数④近似数以及有效数字掌握乘方的定义与运算。掌握偶次方的非负性，结合绝对值的非负性解题。掌握科学计数法的表示方法，能够对一个较大的数用科学计数法表示。掌握近似数及其有效数字解决相关题目。指数运算21＝222＝423＝8…31＝332＝933＝27…新运算log22＝1log24＝2log28＝3…log33＝1log39＝2log327＝3…