新高考数学二轮复习专题六解析几何第2讲圆锥曲线的定义、方程与性质课件

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1.圆锥曲线的定义(1)椭圆:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|);(2)双曲线:||PF1|-|PF2||=2a(0<2a<|F1F2|);(3)抛物线:|PF|=|PM|,点F不在直线l上,PM⊥l于点M.
若点F在直线l上,点的轨迹是过F且与l垂直的直线
误区警示利用椭圆、双曲线的定义解题时,要注意两种曲线的定义形式及其限制条件.如在双曲线的定义中,有两点是缺一不可的:其一、绝对值;其二、0<2a<|F1F2|.如果满足第二个条件而不满足第一个条件,动点到两定点的距离之差为常数,而不是差的绝对值为常数,那么其轨迹只能是双曲线的一支.
2.圆锥曲线的标准方程
(3)抛物线:y2=2px(p>0),y2=-2px(p>0),x2=2py(p>0),x2=-2py(p>0).
名师点析注意区分椭圆与双曲线的标准方程,尤其是方程中a,b,c三者之间的关系,以及焦点所在位置.
3.圆锥曲线的几何性质
方程中勿忘“±”及“x”
(2)椭圆、双曲线中a,b,c之间的关系
注意离心率e与渐近线的斜率的关系
名师点析已知双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时,可直接应用上述②中的公式,此时易忽视焦点所在的坐标轴导致漏解.
4.直线与圆锥曲线的位置关系判断方法:通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断.
名师点析直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解,在应用根与系数的关系解决问题时,必须先有“判别式Δ≥0”.在求交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题时都应在“Δ>0” 前提下进行.
解析 如图所示,抛物线C:y2=4x的焦点坐标为F(1,0),过C上一点M作其准线的垂线,垂足为N,若∠NMF=120°,可得|MF|=|MN|,∠NFO=∠FNM=30°.
[例1-2]在平面直角坐标系中,一动圆C与x轴切于点A(4,0),分别过点M(-5,0),N(5,0)作圆C的切线并交于点P(点P不在x轴上),则点P的轨迹方程为(　　)
解析 如图,设切线PM,PN上的切点分别为B,D,则|PB|=|PD|,|MB|=|MA|,|NA|=|ND|,|PM|-|PN|=|MA|-|NA|=9-1=8,所以P点轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支(除去与x轴的交点),2a=8,a=4,c=5,则
解析 设椭圆C的左焦点为F1,如图,连接AF1,BF1,因为|OA|=|OB|,|OF1|=|OF|,所以四边形AF1BF为平行四边形.
解题心得求圆锥曲线的标准方程时“先定型,后计算”(1)“定型”是指确定圆锥曲线的类型,即确定圆锥曲线焦点所在的位置.(2)“计算”是指利用待定系数法求出方程中的a2,b2,p的值,最后代入相应的标准方程写出结果.注意:当焦点位置无法确定时,抛物线方程常设为y2=2ax或x2=2ay(a≠0),椭圆方程常设为mx2+ny2=1(m>0,n>0,且m≠n),双曲线方程常设为mx2-ny2=1(mn>0).
(3)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为　　　　　　　　. 
不妨设A在双曲线的右支上,由双曲线定义可得|AF1|-|AF2|=2a=2①,
命题角度1　圆锥曲线的几何性质
解析 因为过双曲线的右顶点且与渐近线平行的直线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,2),所以抛物线的准线方程为x=-2,从而抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(2,0).
因为过双曲线的右顶点且与渐近线平行的直线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,2),
2.求双曲线渐近线方程的关键在于求 的值,在计算过程中也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”,然后因式分解得到.
解题心得1.研究圆锥曲线的性质时,一是要结合圆锥曲线的定义,二是要与三角形中的定理(如勾股定理、角平分线定理等)相结合.
答案 (1)ACD　(2)4　
命题角度2　求圆锥曲线的离心率
规律方法求椭圆(或双曲线)离心率(或其取值范围)的常用方法
(3)若得到的是关于a,c的齐次方程pc2+qac+ra2=0(p,q,r为常数,且p≠0),则转化为关于e的方程pe2+qe+r=0求解.(4)根据椭圆或双曲线的几何性质构建关于e的等式(或不等式),求出离心率(或离心率的范围).
(1)若可以根据题意求得a,c,直接利用e= 求解.
(2)某同学在篮球场打球时,无意间发现当球放在地面上时,球的斜上方的一只灯泡照过来的光线使得球在地面上留下了影子,这个影子有点像数学课堂上学过的椭圆,但自己还是不太确定这个想法,于是他回到家里重新翻阅了教材对椭圆这一节知识进行学习和思考,当他读到教材中的阅读材料后瞬间明白自己的猜想是没有问题的,而且通过学习,他还确定地面和球的接触点(切点)就是椭圆影子的焦点.如图,地平面上有一个球,其中球的半径为1个单位长度,在球的右上方有一只灯泡(当成质点),灯泡与地面的距离为3个单位长度,灯泡垂直照射在平面上的点为A,椭圆的顶点中到A点的距离最短时为1个单位长度,则这个椭圆的离心率为　　　　　. 
(2)如图,以A为原点建立直角坐标系,由题可知|NQ|=a+c,|QR|=a-c,因此只需要求出N,Q,R的横坐标即可.由题可得P(0,3),R(-1,0),则PR:3x-y+3=0,kPR=3.
A.3x-2y-2=0B.3x+2y-4=0C.3x+4y-5=0D.3x-4y-1=0
解析 设AB的中点为M,设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),
设直线AB的倾斜角为θ,又|AF2|=|BF2|,所以AB⊥MF2,可得|OM|=|OF1|=|OF2|,
规律方法解决中点弦问题的两种方法(1)韦达定理法:联立直线与曲线的方程,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.(2)点差法:设出交点坐标,利用交点在曲线上,坐标满足方程,将交点坐标代入曲线方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率关系求解.
(1)已知直线l与抛物线C:x2=8y相交于A,B两点,若线段AB的中点为(1,2),则直线l的方程为(　　)A.4x-y+7=0B.4x+y-3=0C.x-4y+7=0D.x+4y-3=0
答案 (1)C　(2) A
命题角度2　弦长问题[例3-3]已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为圆x2+(y-1)2=2的圆心,又经过抛物线C的焦点且倾斜角为60°的直线交抛物线C于A,B两点,则|AB|=　　　　　. 
[例3-4]已知双曲线C: =1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于P,Q两点,当|PQ|最小时,四边形F1PF2Q的面积为　　　　　. 
规律方法求圆锥曲线弦长的常用方法
(2)特别地,圆中求弦长用垂径定理,抛物线中求焦点弦弦长可用抛物线的焦点弦弦长公式|AB|=x1+x2+p.
(2)过抛物线y2=8x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,若|AF|=6,则|AB|=　　　　　. 
整理得x2-5x+4=0,可得x1+x2=5.由抛物线的定义,可得|AB|=x1+x2+p=5+4=9.
(2)由题可知点P(2,1),设直线AP的斜率为k,由题意知,直线BP的斜率为-k.设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AP的方程为y-1=k(x-2),即y=kx+1-2k.
解题心得解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤(1)由题意设出直线或曲线方程,设交点为A(x1,y1),B(x2,y2).(2)联立直线与曲线方程,消元得到关于x(或y)的一元二次方程.(3)写出根与系数的关系式.(4)将所求问题或题中关系转化为x1+x2,x1x2(或y1+y2,y1y2)的形式,并代入根与系数的关系式求解.