专题六　第2讲　圆锥曲线的方程与性质--高三高考数学复习-PPT

这是一份专题六　第2讲　圆锥曲线的方程与性质--高三高考数学复习-PPT，共60页。PPT课件主要包含了考点一，考点二，考点三，专题强化练，x±y＝0，又e1，单项选择题，多项选择题等内容，欢迎下载使用。

高考对这部分知识的考查侧重三个方面：一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆的离心率、双曲线的离心率以及渐近线问题；三是抛物线的性质及应用问题.
圆锥曲线的定义与标准方程
椭圆、双曲线的几何性质
抛物线的几何性质及应用
1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|).(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|).(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”“定型”：确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；“计算”：利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值.
　 (1)(2023·全国乙卷)已知点A(1， )在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为___.
则2p＝5，抛物线的方程为y2＝5x，
方法一　因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，①|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs∠F1PF2＝|F1F2|2，
联立①②，解得|PF1|2＋|PF2|2＝21，
由椭圆方程可知，a2＝9，b2＝6，c2＝a2－b2＝3，
方法三　因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，①|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs∠F1PF2＝|F1F2|2，
求圆锥曲线的标准方程时的常见错误双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a2＝b2＋c2，双曲线中的关系式为c2＝a2＋b2；确定圆锥曲线的方程时还要注意焦点位置.
　　　(1)(2023·资阳模拟)已知双曲线C：x2－ ＝1(m>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l经过F2且与C的右支相交于A，B两点，若|AB|＝2，则△ABF1的周长为A.6 B.8 C.10 D.12
由双曲线的定义，可得|AF1|－|AF2|＝2a＝2，|BF1|－|BF2|＝2a＝2，所以|AF1|＝2＋|AF2|，|BF1|＝2＋|BF2|，又|AB|＝2，则△ABF1的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF2|＋|BF2|＋6＝|AB|＋6＝8.
圆M：x2＋(y－3)2＝1的圆心为M(0,3)，r＝1，设椭圆的左焦点为F1，如图，由椭圆的定义知，|PF|＋|PF1|＝2a＝4，所以|PF|＝4－|PF1|，所以|PQ|＋|PF|≤|PM|＋r＋|PF|＝|PM|＋1＋4－|PF1|＝5＋|PM|－|PF1|≤5＋|MF1|，当且仅当M，P，F1三点在同一条直线上时取等号，
1.求离心率通常有两种方法
(2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围.
考向1　椭圆、双曲线的几何性质
　(1)(多选)已知椭圆C： ＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，则下列说法正确的是A.F1，F2的坐标分别为(－2,0)，(2,0)B.椭圆的短轴长为10C.|PF1|的最小值为1D.当P是椭圆的短轴端点时，∠F1PF2取到最大值
∴c2＝a2－b2＝4，对于A，c＝2，F1，F2的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，故A正确；
对于C，a－c≤|PF1|≤a＋c，∴|PF1|的最小值为1，故C正确；对于D，当P在椭圆的长轴端点时，∠F1PF2＝0；当P不在长轴端点时，0<∠F1PF2<π，利用余弦定理可知
当|PF1|＝|PF2|，即P在椭圆的短轴端点时，cs∠F1PF2最小，此时∠F1PF2最大，故D正确.
(2)(2023·东三省四市教研体模拟)已知双曲线C： ＝1(a>0)过点(－2,1)，则其渐近线方程为________.
则C的离心率为________.
方法一　依题意，设|AF2|＝2m，则|BF2|＝3m＝|BF1|，|AF1|＝2a＋2m，在Rt△ABF1中，9m2＋(2a＋2m)2＝25m2，则(a＋3m)(a－m)＝0，故a＝m或a＝－3m(舍去)，所以|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，|BF2|＝|BF1|＝3a，则|AB|＝5a，
方法二　依题意，以O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，得F1(－c，0)，F2(c，0)，令A(x0，y0)，B(0，t)，
所以25c2b2－16c2a2＝9a2b2，即25c2(c2－a2)－16a2c2＝9a2(c2－a2)，整理得25c4－50a2c2＋9a4＝0，则(5c2－9a2)(5c2－a2)＝0，解得5c2＝9a2或5c2＝a2，
(1)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合椭圆(或双曲线)的定义，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.(2)求双曲线渐近线方程的关键在于求 的值，也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到.
如图所示，设|F1F2|＝2c，∵4|F2N|＝3|F2M|，设|F2N|＝3t，则|F2M|＝4t，
由椭圆定义可知|F1N|＝2a－3t，|F1M|＝2a－4t，|F1N|＋|F1M|＝|MN|＝4a－7t＝5t，解得a＝3t，∴|F1N|＝2a－3t＝3t＝|F2N|，|F1M|＝2a－4t＝2t，
在△F1MF2中，由余弦定理可得
∵∠NF1F2＋∠MF1F2＝π，∴cs∠NF1F2＋cs∠MF1F2＝0，
抛物线的焦点弦的几个常见结论设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(2)|AB|＝x1＋x2＋p.(3)当AB⊥x轴时，弦AB的长最短为2p.
　(1)(多选)(2023·常德模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)经过点M(1,2)，其焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，则
因为抛物线y2＝2px(p>0)经过点M(1,2)，所以22＝2p，解得p＝2，故A正确；所以抛物线方程为y2＝4x，则焦点F(1,0)，
消去x整理得y2－4my－4＝0，则Δ＝16m2＋16>0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，则x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2，x1x2＝(my1＋1)(my2＋1)＝m2y1y2＋m(y1＋y2)＋1＝1，所以|AB|＝x1＋x2＋2＝4m2＋4≥4，故B正确；
(2)(2023·南昌模拟)首钢滑雪大跳台是冬奥史上第一座与工业旧址结合再利用的竞赛场馆，它的设计创造性地融入了敦煌壁画中飞天的元素，建筑外形优美流畅，飘逸灵动，被形象地称为雪飞天.中国选手谷爱凌和苏翊鸣分别在此摘得女子自由式滑雪大跳台和男子单板滑雪大跳台比赛的金牌.雪飞天的助滑道可以看成一个线段PQ和一段圆弧 组成，如图所示.假设圆弧 所在圆的方程为C：(x＋25)2＋(y－2)2＝162，若某运动员在起跳点M以倾斜角为45°且与圆C相切的直线方向起跳，起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在y轴上的抛物线的一部分，如图所示，则该抛物线的轨迹方程为
由于某运动员在起跳点M以倾斜角为45°且与圆C相切的直线方向起跳，故kCM＝－1，又圆C的圆心为C(－25,2)，所以直线CM所在的方程为y－2＝－(x＋25)，代入(x＋25)2＋(y－2)2＝162，
所以点M的坐标为(－16，－7).由于起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在y轴上的抛物线的一部分，故设抛物线方程为y＝ax2＋c，则y′＝2ax，
利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来沟通已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算.
　(1)苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑(如图1所示)，“门”的内侧曲线呈抛物线形.图2是“东方之门”的示意图，已知|CD|＝30 m，|AB|＝60 m，点D到直线AB的距离为150 m，则此抛物线顶端O到AB的距离为A.180 m B.200 mC.220 m D.240 m
以O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，由题意设D(15，h)，h<0，B(30，h－150)，
所以此抛物线顶端O到AB的距离为50＋150＝200(m).
(2)(多选)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝8x上过焦点的两个不同的点，O为坐标原点，焦点为F，则
由抛物线y2＝8x，可得焦点为F(2,0)，故A错误；由焦半径公式可得|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋2＋x2＋2＝x1＋x2＋4，故B正确；设直线l的方程为x＝my＋2，与抛物线的方程联立，可得y2－8my－16＝0，则y1＋y2＝8m，y1y2＝－16，故C错误；
3.(2023·宁德质检)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，P为抛物线上一个动点，A(－1,3)，则|PF|＋|PA|的最小值为A.3 B.4 C.5 D.6
由题意可知抛物线x2＝4y的焦点坐标为F(0,1)，准线l的方程为y＝－1，过P作PQ⊥l于Q，如图所示，由抛物线定义可知|PF|＝|PQ|，所以|PF|＋|PA|＝|PQ|＋|PA|，则当A，P，Q三点共线时，|PQ|＋|PA|取得最小值，所以|PF|＋|PA|的最小值为3－(－1)＝4.
4.(2023·泉州模拟)已知双曲线C的焦点分别为F1，F2，虚轴为B1B2.若四边形F1B1F2B2的一个内角为120°，则C的离心率等于
因为|F1F2|＝2c，|B1B2|＝2b，c>b，由对称性可得四边形F1B1F2B2为菱形，且∠F1B1F2＝120°，
5.(2023·厦门模拟)比利时数学家旦德林发现：两个不相切的球与一个圆锥面都相切，若一个平面在圆锥内部与两个球都相切，则平面与圆锥面的交线是以切点为焦点的椭圆.如图所示，这个结论在圆柱中也适用.用平行光源照射一个放在桌面上的球，球在桌面上留下的投影区域内(含边界)有一点A，若平行光与桌面夹角为30°，球的半径为R，则点A到球与桌面切点距离的最大值为
由题意，如图所示，则∠BAC＝30°，∠BAO＝15°，∠AOB＝75°，所以A到球与桌面切点距离的最大值为|AB|＝tan 75°·R＝tan(30°＋45°)·R
6.(2023·沧州模拟)焦点为F的抛物线y2＝2px(p>0)上有一点P(2,2p)，O为坐标原点，则满足|MP|＝|MO|＝|MF|的点M的坐标为
将点P的坐标代入抛物线中得(2p)2＝2p×2，解得p＝1，则P(2,2)，所以OP的斜率为1，且OP的中点为(1,1)，则OP的垂直平分线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，
|MP|＝|MO|＝|MF|，则点M为OP的垂直平分线和OF的垂直平分线的交点，
由圆P：x2＋(y－3)2＝2x，可得(x－1)2＋(y－3)2＝1，可得圆P的圆心坐标为P(1,3)，半径r＝1，
设椭圆的右焦点为F1，根据椭圆的定义可得|MF|＝2a－|MF1|，所以|MF|－|MN|＝2a－(|MF1|＋|MN|)，又由|MN|min＝|MP|－r，如图所示，当点P，M，N，F1四点共线时，
即P，N′，M′，F1时，|MF1|＋|MN|取得最小值，(|MF1|＋|MN|)min＝(|MF1|＋|MP|－r)＝|PF1|－r＝3－1＝2，所以(|MF|－|MN|)max＝2×2－2＝2.
设M(x1，y1)，由M在渐近线上，
又由题可得A1(－a，0)，
将其与双曲线方程联立，消去y得
由题可知，其判别式大于0，设P(x2，y2)，由根与系数的关系，得
由A2I⊥x轴，则 ＝0，又A2(a，0)，
10.(2023·汕头模拟)已知曲线C：x2＋y2cs α＝1，α∈[0，π]，则下列结论正确的是A.曲线C可能是圆，也可能是直线B.曲线C可能是焦点在y轴上的椭圆C.当曲线C表示椭圆时，则α越大，椭圆越圆D.当曲线C表示双曲线时，它的离心率有最小值，且最小值为
设m＝cs α∈[－1,1]，故曲线C的方程可表示为x2＋my2＝1(－1≤m≤1).对于A，当m＝0时，曲线C的方程为x2＝1，可得x＝±1，此时曲线C为两条直线；当m＝1时，曲线C的方程为x2＋y2＝1，此时曲线C是一个圆，故A正确；
设|F2Q|＝m，|F1Q|＝4－m，在△PF1Q中，|F1P|2＋|PQ|2－2|F1P||PQ|cs∠F1PF2＝|F1Q|2，
12.(2023·益阳模拟)已知直线l过抛物线C：x2＝－4y的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线，两切线交于点G，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，G(xG，yG)，则下列选项正确的是A.yAyB＝1
抛物线C：x2＝－4y的焦点F(0，－1)，准线方程为y＝1，设直线l的方程为y＝kx－1，
以线段AB为直径的圆的圆心为(x0，y0)，
所以△GAB面积的取值范围为[4，＋∞)，D不正确.
三、填空题13.双曲线经过一点A(1,0)，渐近线方程为y＝± x，则该双曲线的标准方程为___________.
可设双曲线方程为2x2－y2＝λ(λ≠0)，将A(1,0)代入方程得λ＝2，
由题意可知A(b，0)，B(0,2)，
15.(2023·滨州模拟)圆锥曲线的光学性质被人们广泛地应用于各种设计中，例如从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线镜面反射后，反射光线的反向延长线经过另一个焦点.如图，从双曲线C的右焦点F2发出的光线通过双曲线镜面反射，且反射光线的反向延长线经过左焦点F1.已知入射光线F2P的斜率为－2，且F2P和反射光线PE互相垂直(其中P为入射点)，则双曲线C的渐近线方程为____________________.
2x＋y＝0和2x－y＝0
所以渐近线方程为2x＋y＝0和2x－y＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1>x2，由y2＝4x得p＝2，F(1,0)，
消去y得3x2－10x＋3＝0，