高考数学专题六解析几何　微专题35　直线与圆课件PPT

这是一份高考数学专题六解析几何　微专题35　直线与圆课件PPT，共60页。PPT课件主要包含了x－4y＋5＝0，－7或1等内容，欢迎下载使用。

高考中，直线与圆的方程偶尔单独命题，此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题的形式出现.直线与圆的方程综合命题时会有一定的深度，常常与圆锥曲线结合在一起以解答题的形式出现，难度中等偏上.
典例1　(1)(2023·黄山模拟)“a＝4”是“直线ax＋y＋a＝0和直线4x＋(a－3)y＋a＋5＝0平行”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
考点一　直线、圆的方程
∵直线ax＋y＋a＝0和直线4x＋(a－3)y＋a＋5＝0平行，∴a(a－3)－1×4＝0，解得a＝4或a＝－1，当a＝4时，两直线分别为4x＋y＋4＝0,4x＋y＋9＝0，两直线平行，符合题意；当a＝－1时，两直线分别为－x＋y－1＝0,4x－4y＋4＝0，即为x－y＋1＝0，x－y＋1＝0，两直线重合，不符合题意，综上所述，a＝4.故“a＝4”是“直线ax＋y＋a＝0和直线4x＋(a－3)y＋a＋5＝0平行”的充要条件.
(2)(多选)(2023·汕头模拟)已知直线l1：2x－y－3＝0，l2：x－2y＋3＝0，圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，若圆C与直线l1，l2都相切，则下列选项一定正确的是A.l1与l2关于直线y＝x对称B.若圆C的圆心在x轴上，则圆C的半径为3或9C.圆C的圆心在直线x＋y－6＝0或直线x－y＝0上D.与两坐标轴都相切的圆C有且只有2个
对于A，设直线l1：2x－y－3＝0上任意一点(x0,2x0－3)关于直线y＝x对称的点为(m，n)，
解得m－2n＋3＝0，所以点(m，n)在直线l2：x－2y＋3＝0上，所以l1与l2关于直线y＝x对称，故A正确；
对于B，因为圆C的圆心在x轴上，设圆心为(a,0)，因为圆C与直线l1，l2都相切，
对于C，由圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，得圆心为(a，b)，半径为r，因为圆C与直线l1，l2都相切，
解得a＋b－6＝0或a＝b，所以圆心(a，b)在直线x＋y－6＝0或直线x－y＝0上，故C正确；对于D，由圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，得圆心为(a，b)，半径为r，因为圆C与两坐标轴都相切，得圆心到x轴的距离为|b|，到y轴的距离为|a|，
所以r＝|a|且r＝|b|，即|a|＝|b|，解得a＝b或a＝－b，
当a＝－b时，此时不满足，所以与两坐标轴都相切的圆C有且只有2个，故D正确.
跟踪训练1　(1)已知直线l1：2x－y＋1＝0，l2：x＋ay－1＝0，且l1⊥l2，则点P(1,2)到直线l2的距离d等于
∵直线l1：2x－y＋1＝0，l2：x＋ay－1＝0，且l1⊥l2，∴2×1－1×a＝0，解得a＝2，
(2)(2023·济南模拟)已知圆C1：x2＋y2＝2关于直线l对称的圆为圆C2：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，则直线l的方程为________________.
圆C2：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0化为(x＋1)2＋(y－2)2＝2.由题意可知圆C1的圆心为C1(0,0)，圆C2的圆心为C2(－1,2)，圆C1与圆C2关于直线l对称，则两圆心C1，C2关于直线l对称.
典例2　(1)(多选)(2023·邵阳模拟)已知圆A：x2＋y2＝1，圆B：x2＋y2－4x－4y＋4＝0，直线l：mx－y＋1－m＝0，则下列说法正确的是A.圆B的圆心坐标为(2,2)B.圆A与圆B有四条公切线C.点M在圆A上，点N在圆B上，则线段MN长的最大值为D.直线l与圆B一定相交，且相交弦长的最小值为　
考点二　直线、圆的位置关系
对于A，圆B的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4，圆B的圆心坐标为(2,2)，故A正确；对于B，圆A的圆心为A(0,0)，半径为r1＝1，圆B的半径为r2＝2，
所以圆A与圆B相交，故圆A与圆B有两条公切线，故B错误；
对于D，直线l的方程可化为m(x－1)－(y－1)＝0，所以直线l过定点C(1,1)，因为(1－2)2＋(1－2)2<4，故点C在圆B内，所以直线l与圆B相交，
(2)(多选)(2023·江苏四校联考)已知经过点P(2,4)的圆C的圆心坐标为(0，t)(t为整数)，且与直线l：　－y＝0相切，直线m：ax＋y＋2a＝0与圆C相交于A，B两点，下列说法正确的是A.圆C的标准方程为x2＋(y－4)2＝2B.若PA⊥PB，则实数a的值为－2C.若|AB|＝　　，则直线m的方程为x－y＋2＝0或7x－y＋14＝0D.弦AB的中点M的轨迹方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5
对于A，设圆C的半径为r，由题意可得圆C的方程为x2＋(y－t)2＝r2(t为整数)，
∵t∈Z，∴t＝4，则r＝2，则圆C的标准方程为x2＋(y－4)2＝4，故A错误；
对于B，由选项A的分析可知圆C的标准方程为x2＋(y－4)2＝4，圆心C(0,4)，∵点P(2,4)在圆C上，且PA⊥PB，∴线段AB为圆C的一条直径，∵直线m：ax＋y＋2a＝0与圆C相交于A，B两点，∴圆心C(0,4)在直线m上，∴4＋2a＝0，解得a＝－2，故B正确；对于C，由选项A的分析可知圆C的半径为2，圆心C(0,4)，
则直线m的方程为x－y＋2＝0或7x－y＋14＝0，故C正确；对于D，直线m的方程可化为y＝－a(x＋2)，过定点N(－2,0)，由圆的性质可得CM⊥MN，∴点M的轨迹是以线段CN为直径的圆，
则该圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，
跟踪训练2　(1)(多选)(2023·宣城模拟)已知点M(0，－2)，N(1，－1)，且点P在圆C：x2－4x＋y2＝0上，C为圆心，则下列结论正确的是A.直线MN与圆C相交所得的弦长为4B.|PM|－|PN|的最大值为C.△PMN的面积的最大值为2D.当∠PMN最大时，△PMN的面积为1
圆C：x2－4x＋y2＝0，即(x－2)2＋y2＝4，所以圆C是以C(2,0)为圆心，2为半径的圆.对于A，直线MN的方程为x－y－2＝0，过圆心，所以直线MN与圆C相交所得的弦长为直径4，故A项正确；
对于D，当MP与圆C相切时，∠PMN最大，不妨设P(0,0)，
(2)(2023·东北三省三校联考)已知圆C：(x－1)2＋(y－4)2＝4，直线y＝kx＋1交圆C于M，N两点，若△CMN的面积为2，则实数k的值为________.
圆C：(x－1)2＋(y－4)2＝4，圆心C(1,4)，半径r＝2，设圆心C(1,4)到直线y＝kx＋1的距离为d，则d为△CMN的边MN上的高，
两边平方得(4－d2)d2＝4，即d4－4d2＋4＝0，所以d2＝2，
化简可得(k－3)2＝2(k2＋1)，所以k2＋6k－7＝0，解得k＝－7或k＝1.
考点三　隐圆问题(阿波罗尼斯圆)典例3　(1)被誉为古希腊“数学三巨匠”之一的数学家阿波罗尼斯发现：平面内一动点P到两个不同定点A，B的距离之比为常数k(k>0且k≠1)，则点P的轨迹是一个圆心在直线AB上的圆，简称“阿氏圆”.据此请回答如下问题：已知△ABC中，A为一动点，B，C为两定点，且|AB|＝2|AC|，|BC|＝a，△ABC面积记为S，若a＝3，则Smax＝____；若S＝1，则a的取值范围为___________.
以B为原点，BC所在的直线作为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，若a＝3，即|BC|＝3，则不妨设C在x正半轴上，则C(3,0)，设△ABC的顶点A(x，y)，而|AB|＝2|AC|，
根据条件可知A不在直线BC上，则y≠0，所以点A的轨迹为圆(x－4)2＋y2＝4除去点(6,0)与(2,0)，可得|y|max＝2，
同样的，当|AB|＝2|AC|，|BC|＝a时，
由题意，设A(－1,0)，B(1,0)，P(x，y)，
即(x－2)2＋y2＝3，
因为|PA|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝2(x2＋y2＋1)，其中x2＋y2可看作圆(x－2)2＋y2＝3上的点(x，y)到原点(0,0)的距离的平方，
跟踪训练3　(1)(2023·株洲模拟)在平面直角坐标系中，已知两点O(0,0)，A(3,4)到直线l的距离分别是1与4，则满足条件的直线l共有A.1条 B.2条C.3条 D.4条
分别以O，A为圆心，以1,4为半径作圆，
所以两圆外切，如图所示，有三条公切线，即满足条件的直线l共有3条.
A.[2,8] B.[3,8]C.[2,7] D.[3,7]
所以A为圆O:x2＋y2＝1上任意一点，
1.若平面内两条平行线l1：x＋(a－1)y＋2＝0，l2：ax＋2y＋1＝0间的距离为 ，则实数a等于A.2 B.－2或1 C.－1 D.－1或2
因为两直线l1：x＋(a－1)y＋2＝0，l2：ax＋2y＋1＝0平行，可得1×2＝(a－1)×a且1×1≠2a，解得a＝2或a＝－1，当a＝2时，l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋1＝0，即l1：2x＋2y＋4＝0，
当a＝－1时，l1：x－2y＋2＝0，l2：－x＋2y＋1＝0，即l2：x－2y－1＝0，
2.(2023·福建名校联盟大联考)设圆C：x2－2x＋y2－3＝0，若直线l在y轴上的截距为1，则l与C的交点个数为A.0 B.1C.2 D.以上都有可能
∵直线l在y轴上的截距为1，∴直线l过定点(0,1)，∵02－2×0＋12－3＝－2<0，∴点(0,1)在圆内，∴直线l与C的交点个数为2.
整理得3a2－10a＋7＝0，
4.(2023·沈阳模拟)已知圆O：x2＋y2＝1与圆C：(x－3)2＋y2＝r2外切，直线l：x－y－5＝0与圆C相交于A，B两点，则|AB|等于
圆O：x2＋y2＝1的圆心O的坐标为(0,0)，半径为1，圆C：(x－3)2＋y2＝r2的圆心C的坐标为(3,0)，半径为r，因为圆O与圆C外切，所以|OC|＝1＋r，所以r2＝4.
如图，构建平面直角坐标系，
所以P(x，y)在以A为圆心，1为半径的圆上，
设A所在平面为α，圆的另一半所在平面为β，若P∈α，则P，A，O三点共线时，
若P∈β，设P(4cs θ，4sin θ)，A′在β上的投影为A1，
又A′到y轴的距离为3，
而A1到x轴的距离为2，
7.(多选)(2023·临沂模拟)已知圆C：x2＋y2－6x＋8＝0，点A(0,4)，点P在圆C上，O为坐标原点，则A.线段AP长的最大值为6
根据题意可知圆C：(x－3)2＋y2＝1的圆心C(3,0)，半径r＝1，如图所示，
当且仅当A，C，P三点共线且C点在A，P之间时，等号成立，所以A正确；
若以线段AP为直径的圆过原点O，由直径所对圆周角为直角可得∠AOP＝90°，易知当P在x轴上时，满足题意；所以以线段AP为直径的圆可能过原点O，所以C错误；设点P(x0，y0)，易知x0∈[2,4]，y0∈[－1,1]，
8.(多选)(2023·湖南新高考教学教研联盟联考)设k∈R，过定点A的动直线l1：x＋ky＝0和过定点B的动直线l2：kx－y＋3－k＝0交于点P，M是圆C：(x－2)2＋(y－4)2＝4上的任意一点，则下列说法正确的有
由圆的标准方程可得圆心为C(2,4)，半径r＝2，直线l2过的定点为B(1,3).显然当k＝0时直线l1也与圆C相切，故A错误；
当l2⊥CB时所得弦长最短，则 ＝－1，又 ， ，所以k＝－1，得l2：x＋y－4＝0，
由l1：x＋ky＝0⇒A(0,0)，当k＝0时，l1：x＝0，l2：y＝3，有l1⊥l2，
当k≠0时， ， ，则 ，
所以l1⊥l2，又点P是两直线的交点，所以PA⊥PB，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，因为(|PA|＋|PB|)2＝|PA|2＋|PB|2＋2|PA||PB|≤2(|PA|2＋|PB|2)＝20，
9.(2023·淄博模拟)在平面直角坐标系中，已知点P(3,1)，直线y＝kx＋b与圆x2＋y2＝10交于M，N两点，若△PMN为正三角形，则实数b＝______.
由题意可知P(3,1)在圆上，如图.设MN中点为H，连接PH，因为△PMN为正三角形，则PH过点原点O，且PH⊥MN，
故y＝kx＋b即为y＝－3x＋b，
因为△PMN为正三角形，则O点为△PMN的中心，由中心及重心性质知，
结合P(3,1)在圆上，△PMN是圆的内接正三角形，可知b<0，即b＝－5.
10.(2022·新高考全国Ⅰ)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程______________________________________________________________________________________.
x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0(答案不
唯一，只需写出上述三个方程中的一个即可)
如图，因为圆x2＋y2＝1的圆心为O(0,0)，半径r1＝1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心为A(3,4)，半径r2＝4，所以|OA|＝5，r1＋r2＝5，所以|OA|＝r1＋r2，所以两圆外切，公切线有三种情况：①易知公切线l1的方程为x＝－1.②另一条公切线l2与公切线l1关于过两圆圆心的直线l对称.
则点O(0,0)到l2的距离为1，
即7x－24y－25＝0.
易知t>0，则点O(0,0)到l3的距离为1，
即3x＋4y－5＝0.综上，所求直线方程为x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0.
11.在平面直角坐标系中，已知点A(0,3)，若动点M满足|MA|＝2|MO|，则动点M的轨迹方程是________________；若直线l：x＋my－1＝0与该轨迹交于点P，Q，当|PQ|取最小值时，m＝_____.
x2＋(y＋1)2＝4
设动点M(x，y)，因为|MA|＝2|MO|，
化简整理得x2＋(y＋1)2＝4，所以动点M的轨迹的方程是x2＋(y＋1)2＝4，该轨迹是以点C(0，－1)为圆心，2为半径的圆，直线l：x＋my－1＝0恒过定点B(1,0)，点B(1,0)在圆x2＋(y＋1)2＝4内，由圆的性质知，当弦PQ长最短时，直线l垂直于直线BC，
所以当|PQ|取最小值时，m＝1.
12.在平面直角坐标系中，已知B，C为圆x2＋y2＝9上两点，点A(1,1)，且AB⊥AC，则线段BC长的取值范围是_________________.
如图，设BC的中点为M(x，y)，因为|OB|2＝|OM|2＋|BM|2＝|OM|2＋|AM|2，所以9＝x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2，