新教材2024高考数学二轮专题复习分册一专题六解析几何第三讲圆锥曲线__大题备考微专题2定点问题

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(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m与双曲线C交于不同的两点A，B，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，从下面两个条件中选一个(多选只按先做给分)，证明：直线l过定点．
①k1＋k2＝1；②k1k2＝1.
技法领悟
直线过定点问题的解题策略
(1)用参数表示出直线的方程，根据直线方程的特征确定定点的位置．
(2)从特殊点入手，先确定定点，再证明该定点符合题目条件．
[巩固训练2] [2023·全国乙卷]已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率是，点A(－2，0)在C上．
(1)求C的方程；
(2)过点(－2，3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点．
微专题2 定点问题
提分题
[例2] (1)解析：由题意可知：点P(4，3)在双曲线上，所以＝1；
过P做x轴的平行线y＝3，与y＝±x相交于M，N两点，那么M，N两点可求：M(，3)，N(－，3)；
所以|4－|·|4＋|＝|16－|＝a2||＝a2＝4，所以a＝2；
代入＝1，可知b＝，所以双曲线的方程为＝1.
(2)解析：选①：由题意可知，直线l与双曲线C交于不同的两点A, B，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程：，
得(3－4k2)x2－8kmx－4m2－12＝0，
所以3－4k2≠0，Δ＝(－8km)2－4(3－4k2)(－4m2－12)>0，即m2＋3－4k2>0；
x1＋x2＝，x1x2＝，
由条件k1＋k2＝1，所以＝1，
所以(x2－4)(kx1＋m－3)＋(x1－4)(kx2＋m－3)＝(x1－4)(x2－4)，
整理可得2kx1x2＋(m－3－4k)(x1＋x2)－8(m－3)＝x1x2－4(x1＋x2)＋16，
代入韦达定理得m2＋2km－8k2－6k－6m＋9＝0，
即(m－2k－3)(m＋4k－3)＝0，
解得m＝2k＋3或m＝－4k＋3；
当m＝2k＋3时，y＝kx＋m＝kx＋2k＋3＝k(x＋2)＋3，则直线l过定点(－2，3)；
当m＝－4k＋3时，y＝kx＋m＝kx－4k＋3＝k(x－4)＋3，则直线l过定点P(4，3)，不合题意；
综上可得，直线l过定点(－2，3)．
选②：由题意可知，直线l与双曲线C交于不同的两点A, B，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程：，
得(3－4k2)x2－8kmx－4m2－12＝0，
所以3－4k2≠0，Δ＝(－8km)2－4(3－4k2)(－4m2－12)>0，即m2＋3－4k2>0；
x1＋x2＝，x1x2＝，
由条件k1k2＝1得·＝1，
即＝1，
整理可得
＝1.
代入韦达定理，整理可得7m2＋32km＋16k2－18m－9＝0，
即(7m＋4k＋3)(m＋4k－3)＝0，解得m＝－或m＝－4k＋3，
当m＝－时，y＝kx＋m＝kx－＝k(x－)－，则直线l过定点(，－)；
当m＝－4k＋3时，y＝kx＋m＝kx－4k＋3＝k(x－4)＋3，则直线l过定点P(4，3)，不合题意；
综上可得，直线l过定点(，－)．
[巩固训练2] (1)解析：因为点A(－2，0)在C上，所以＝1，得b2＝4.
因为椭圆的离心率e＝＝，所以c2＝a2，
又a2＝b2＋c2＝4＋a2，所以a2＝9，c2＝5，
故椭圆C的方程为＝1.
(2)解析：由题意知，直线PQ的斜率存在且不为0，
设lPQ：y－3＝k(x＋2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由，得(4k2＋9)x2＋(16k2＋24k)x＋16k2＋48k＝0，
则Δ＝(16k2＋24k)2－4(4k2＋9)(16k2＋48k)＝－36×48k>0，
故x1＋x2＝－，x1x2＝.
直线AP：y＝(x＋2)，
令x＝0，解得yM＝，
同理得yN＝，
则yM＋yN＝2
＝2
＝2
＝2
＝2×
＝6.
所以MN的中点的纵坐标为＝3，
所以MN的中点为定点(0，3)．