甘肃省白银市靖远县第四中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

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时间：120分钟；分值：150分
一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，，若，（ ）
A. 8B. 6C. 4D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可得到的值.
【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，解得：，
故选：A.
2. 已知向量满足，则（ ）
A. 8B. C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据模长平方可得.
【详解】因为，
所以，
又因为
所以，
所以.
故选：D.
3. 在中，若为边上的中线，点在上，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用三角形法则和平行四边形法则表示向量.
【详解】如图所示，在中，
因为为边上的中线，
所以为的中点，
所以由平行四边形法则有：
，
又点在上，且
所以，
所以
，
故选：A.
4. 向量，，则在上的投影向量为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接由投影向量公式求解即可.
【详解】在上的投影向量为.
故选：D.
5. 已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量垂直数量积等于，结合已知条件求出，利用向量夹角公式即可求解.
【详解】由，所以，即，
因为，设向量的夹角为，
所以，所以
故选：B.
6. 设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】∵
∴−=3(−)；
∴=−.
故选A.
7. 某校共有学生2500人，为了解学生的身高情况，用分层抽样的方法从三个年级中抽取容量为50的样本，其中高一抽取14人，高二抽取16人，则该校高三学生人数为（ ）
A. 600B. 800C. 1000D. 1200
【答案】C
【解析】
【分析】利用分层抽样的方法直接求解.
【详解】高三应抽取人，所以高三的学生人数为
故选：C
8. 在边长为2的正方形中，为的中点，点在线段上运动，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，设，表达出，求出取值范围.
【详解】以A为坐标原点，分别以AB，AD为x轴，y轴，建立直角坐标系，
则，设，
则，
因为，所以，
.
故选：B
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的部分分，有选错的得0分.
9. 下列关于平面向量的说法中不正确的是（ ）
A. ，,若,则
B. 单位向量，，则
C. 若且，则
D. 若点为的重心，则
【答案】AC
【解析】
【分析】利用向量共线的坐标表示即可判断A，将展开后结合即可判断B，向量数量积不满足消去律，可判断选项C，根据向量的线性运算及三角形重心的性质可判断选项D.
【详解】对于选项A：因为，则，解得：，故选项A不正确；
对于选项B：，所以
，故选项B正确；
对于选项C：根据向量几何意义可知若且，则不一定成立，故选项C不正确；
对于选项D：若点为的重心，取的中点，则
，故选项D正确，
故选：AC
10. 下列命题中是真命题的有（ ）
A. 一组数据2，1，4，3，5，3的平均数、众数、中位数相同；
B. 有A、B、C三种个体按3：1：2的比例分层抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则样本容量为30；
C. 若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是甲；
D. 一组数1，2，2，2，3，3，3，4，5，6的80%分位数为4.5．
【答案】AD
【解析】
【分析】对于A，直接求出平均数，众数和中位数即可判断；
对于B，利用分层抽样直接求样本容量即可判断；
对于C，计算出乙组数据的方差为4.4，利用方差的意义即可判断；
对于D，直接求出该组数据的分位数即可判断．
【详解】A：数据的平均数为，
众数和中位数都是3，故A正确；
B：根据样本的抽样比等于各层的抽样比知，
样本容量为，故B错误；
C：乙组数据的平均数为，
乙组数据的方差为，
所以这两组数据中较稳定的是乙，故C错误；
D：该组数据共10个数，由，
则该组数据的分位数为4.5，故D正确．
故选：AD
11. 的内角、、的对边分别为、、，则下列命题正确的是（ ）．
A. 若，则是的垂心
B. 若，则直线必过的外心
C. 若，则为直角三角形
D. 若，则角的最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】推导出，同理可得，，可判断A选项；利用设，，则，以、为邻边作平行四边形，利用菱形的几何性质可判断B选项；由可得，利用平面向量垂直的数量积表示可判断C选项；分析可知，利用平面向量数量积的运算性质结合基本不等式可求得的最小值，结合角的取值范围可判断D选项.
【详解】对于A选项，由题意可得，
所以，，同理可得，，故为的垂心，A对；
对于B选项，设，，则，
以、为邻边作平行四边形，则平行四边形为菱形，
则，所以，，
又因为平分，故必经过的内心，B错；
对于C选项，由可得，
整理可得，即，故为直角三角形，C对；
对于D选项，，则
，
所以，，即，
当且仅当时，等号成立，又因为，故，
即角的最大值为，D对.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量与的夹角为60°，||=2，||=1，则| +2 |= ______ .
【答案】
【解析】
【详解】∵平面向量与的夹角为，
∴.
∴
故答案.
点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式．
(2) 常用来求向量的模．
13. 已知某企业有男职工人，女职工人，为了解该企业职工的业余爱好，采用抽样调查的方式抽取人进行问卷调查，最适当的抽样方法是_______________________；其中女职工被抽取的人数为_______________________．
【答案】 ①. 分层抽样 ②.
【解析】
【分析】根据特征可知最佳抽样方法为分层抽样，按抽样比例计算可得女职工被抽取的人数.
【详解】最适当的抽样方法是分层抽样．女职工被抽取的人数为．
故答案为：①分层抽样；②60.
14. 在中，，，，则______
【答案】
【解析】
【分析】根据角的余弦定理形式求解出的值，再根据余弦定理求解出的值.
【详解】因为，
所以，
所以，
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或者演算步骤.
15. 已知向量，．
（1）若，求的值；
（2）若，求与的夹角的余弦值．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量平行列方程，即可求得的值；
（2）根据平面向量垂直列方程，求出的值，再结合坐标运算求与的夹角的余弦值即可．
【小问1详解】
因为，，，所以，
即，所以或．
【小问2详解】
因为，所以，即
所以，
所以，即，
所以,，则，
所以.
16. 为了解同学们每天进行户外锻炼的时长，某兴趣小组在高一年级随机调查了500位同学，得到如下的样本数据的频率分布直方图．
（1）求a，并估计每天户外锻炼时长在40min～70min的人数；
（2）用样本估计总体，估计高一年级同学每天进行户外锻炼的平均时长（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）求高一年级同学每天进行户外锻炼的时长的75%分位数．
【答案】（1），220
（2）37 （3）49.5
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图各矩形面积之和为1求，然后用总人数乘以频率即可估计；
（2）由平均数的计算公式直接计算即可求解；
（3）由百分位数的定义直接列方程求解即可.
【小问1详解】
∵，∴，
估计每天户外锻炼时长在40min～70min的人数为（人）．
【小问2详解】
由题意知，平均时长为（min）．
【小问3详解】
∵，．
∴高一年级同学每天进行户外锻炼的时长的75%分位数在之间，
设高一年级同学每天进行户外锻炼的时长的75%分位数为x，
则，解得，
∴高一年级同学每天进行户外锻炼的时长的75%分位数是49.5min．
17. 设，为两个不共线的向量，若，.
（1）若与共线，求实数的值；
（2）若，为互相垂直的单位向量，且，求实数的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由与共线，设，由，可得且，即可求得结果；
（2）由已知可得，化简计算即可求得结果.
【小问1详解】
根据题意，，为两个不共线的向量，且，；
若与共线，则存在实数k，使得
则有，
则有且，解可得；
【小问2详解】
，为互相垂直的单位向量，
若，则有，
变形可得：，故.
18. 已知向量，，其中，.求：
（1），；
（2）与的夹角的余弦值.
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】（1）根据，，得到的坐标，再利用坐标运算求数量积及.
（2）设与夹角为，先求得，再利用夹角公式求解.
【详解】（1）因为，，
所以，，
所以，
所以，
所以.
（2）设与的夹角为，，，
所以.
【点睛】本题主要考查向量的坐标表示，向量的模以及数量积的运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
19. 如图所示，是△ABC的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于，两点.
（1）若，求的值；
（2）设，，，，求的值；
【答案】（1）；
（2）3.
【解析】
【分析】（1）利用向量的线性运算的几何表示，将用表示，进而即得；
（2）由，将用表示，利用三点共线即得.
【小问1详解】
因，
所以，
又因为的中点，
所以，
所以，又，
所以；
【小问2详解】
因，，，，
所以，，又因，
所以，
又因，，三点共线，
所以，即.