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2023-2024学年甘肃省兰州第一中学高一下学期7月期末学业质量检测数学试题（含解析）
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这是一份2023-2024学年甘肃省兰州第一中学高一下学期7月期末学业质量检测数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设集合A= x −1A. {1}B. {1,2}C. {3}D. {1,3}
2.故选：B设aA. ab>b2B. ba>abC. 1a<1bD. a+bb<1
3.已知数列 2，2，2 2，4，…，则16 2是这个数列的( )
A. 第8项B. 第9项C. 第10项D. 第11项
4.记等差数列an的前n项和为Sn，若a5=2，a2−a5a4=8a6，则S20=( )
A. 180B. −180C. 162D. −162
5.已知函数y=fx在x=x0处的导数为1，则limΔx→0fx0+Δx−fx02Δx=( )
A. 0B. 12C. 1D. 2
6.在数列{an}中，a1=12，an=1−1an−1(n≥2,n∈N+)，则a2023=( )
A. 12B. 1C. −1D. 2
7.函数y=x+2csx在区间0,π2上的最大值是( )
A. π3+1B. π4+ 2C. π6+ 3D. π2
8.已知tan(α−π6)=2，tan(α+β)=−3，则tan(β+π6)=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论中，正确的是( )
A. 函数y=2x−1是指数函数
B. 函数y=ax2+1(a>1)的值域是[1,+∞)
C. 若am>an(a>0,a≠1)，则m>n
D. 函数f(x)=ax−2−3(a>0,a≠1)的图像必过定点(2,−2)
10.已知定义在R上的函数fx满足f(x)>−f ′(x)，则下列式子成立的是( )
A. f2019ef(2020)
C. fx是R上的增函数D. t>0，则有fx11.数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=2Sn(n∈N∗)，则有( )
A. Sn=3n−1B. {Sn}为等比数列
C. an=2⋅3n−1D. an=1,n=12⋅3n−2,n≥2
12.已知数列an的前n项和为Sn=33n−n2，则下列说法正确的是( )
A. an=34−2nB. S16为Sn的最小值
C. a1+a2+⋯+a16=272D. a1+a2+⋯+a30=450
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若函数f(x)=2ax+2a+1,x∈−1,1,值有正有负，则实数a的取值范围为
14.函数f(x)= 3sin2x−cs2x− 3的正数零点从小到大构成数列an，则a3=
15.已知函数fx的导函数为f′x，且满足关系式f(x)=−x3+2f′(1)x+ex，则f′1的值等于 ．
16.已知函数f(x)=2x3−6x2+3，对任意的x∈[−2,2]都有f(x)≤a，则a的取值范围为 ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
设函数f(x)=x3−92x2+6x−a．
(1)求函数f(x)的单调区间．
(2)若方程f(x)=0有且仅有三个实根，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
已知数列an各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足4Sn=an+12．
(1)求数列an的通项公式．
(2)设bn=1anan+1，求数列bn的前n项和Tn．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=xex−a(a∈R)
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若方程f(x)=0有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围．
20.(本小题12分)
设{an}是公比大于1的等比数列，a1+a2+a3=14，且a2+1是a1，a3的等差中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn=anlg2(12)n，求数列{bn}的前n项和Tn．
21.(本小题12分)
设函数fx=ex−ax2−x−1,a∈R．
(1)a=0时，求fx的最小值；
(2)若fx≥0在0,+∞恒成立，求a的取值范围．
22.(本小题12分)
已知函数fx=2 3sinxcsx+2cs2x−1．
(1)求fx的最小正周期；
(2)求fx的对称中心的坐标；
(3)求函数fx在的区间−π6,π4上的最大值和最小值．
答案解析
1.B
【解析】解：∵集合A={ x |−1∴集合A∩B=1,2，
故选B．
2.A
【解析】对于A选项：由ab⋅b，即ab>b2，A选项正确；
对于B选项：由a0，b+a<0，b−a>0，
所以ba−ab=b+a(b−a)ab<0，则有ba对于C选项：由a0，所以aab对于D选项：因为a0，即a+bb>1，D选项不正确．
故选：A
3.B
【解析】解：由数列 2，2，2 2，4，…，则这个数列的通项公式为an= 2n，
令16 2= 2n，
解得n=9，
故16 2是这个数列的第9项.
故选B.
4.B
【解析】∵a5=2，a2−2a4=8a6，
∴a1+4d=2a1+d−2a1−6d=8a1+40d,
解得a1+4d=2a1+d−2a1−6d=8a1+40d,
∴d=−2，a1=10，
∴a20=10+19×−2=−28，
∴S20=a1+a20⋅202=−180．
故选：B.
5.B
【解析】因为函数y=fx在x=x0处的导数为1，
所以limΔx→0fx0+Δx−fx02Δx=12limΔx→0fx0+Δx−fx0Δx=12f′x0=12×1=12．
故选：B
6.A
【解析】解：a2=1−1a1=1−2=−1 ， a3=1−1a2=1+1=2 ， a4=1−1a3=1−12=12 ，
可得数列 {an} 是以3为周期的周期数列， ∴a2023=a3×674+1=a1=12 ，
故选：A．
7.C
【解析】对于函数y=x+2csx，y′=1−2sinx．
当00；当π6所以，函数y=x+2csx在区间0,π6上单调递增，在区间π6,π2上单调递减．
所以，ymax=π6+2csπ6=π6+ 3．
故选：C．
8.A
【解析】解：∵tan (α−π6)=2，tan (α+β)=−3，
则tan(β+π6)=tan[(α+β)−(α−π6)]=tan(α+β)−tan(α−π6)1+tan(α+β)tan(α−π6)=−3−21+(−3)×2=1，
故选A．
9.BD
【解析】解：对于A，根据指数函数是指形如y=ax，(其中a>1且a≠1)的函数，判断函数y=2x−1不是指数函数，选项A错误；
对于B，二次函数y=ax2+1，a>1时，ax2⩾0，则y=ax2+1⩾1，所以函数y=ax2+1(a>1)的值域是[1,+∞)，选项B正确；
对于C，0an得m对于D，函数f(x)=ax−2−3中，令x−2=0，则x=2，y=f(2)=1−3=−2，则f(x)的图象必过定点(2,−2)，选项D正确．
故选BD．
10.AD
【解析】解：由f(x)>−f′(x)，
得exf(x)+exf ′(x)>0，
即[exf(x)] ′>0，
所以函数y=exf(x)为增函数，
故e2019f(2019)所以f(2019)故A正确，B不正确；
函数y=exf(x)为增函数时，
f(x)不一定为增函数，
如y=ex(12)x=(e2)x是增函数，
但y=(12)x是减函数，
所以C不正确；
因为函数y=exf(x)为增函数，
所以t>0时，
有exf(x)故有f(x)所以D正确．
故选AD．
11.ABD
【解析】解：数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=2Sn(n∈N∗)①，
所以当n≥2时，an=2Sn−1②，
①−②得：an+1−an=2an，
所以an+1=3an，即an+1an=3(常数)，
所以数列{an}是以2为第二项，3为公比的等比数列．
所以an=2×3n−2，(首项不符合通项)，
故an=1(n=1)2×3n−2(n≥2)．
故选项D正确，C错误．
对于选项B：an+1=2Sn，所以Sn+1−Sn=2Sn，所以Sn+1=3Sn，
即Sn+1Sn=3(常数)，
所以数列{Sn}是以S1=1为首项，3为公比的等比数列，故B正确．
所以Sn=1×3n−1=3n−1，故A正确．
故选：ABD．
12.AC
【解析】解：数列{an}的前n项和为Sn=33n−n2，n∈N∗
当n=1时，a1=32，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=33n−n2−33(n−1)+(n−1)2=−2n+34，
当n=1时也成立，
∴an=34−2n，故A正确；
由于Sn=33n−n2=−(n−332)2+3324，当n=16或17时，Sn取得最大值，故B错误；
由an=−2n+34≥0，解得n≤17，
∴|a1|+|a2|+…+|a16|=a1+a2+a3+…+a16=16(32+2)2=272，故C正确；
∴|a1|+|a2|+…+|a30|=a1+…+a16−(a17+a18+…+a30)=272−14(0−26)2=454，故D错误．
故选：AC．
13.−∞,−14
【解析】当a=0时，f(x)=1，不成立；
当a≠0时，f(−1)⋅f(1)<0，即−2a+2a+12a+2a+1<0，
解得a<−14，
故答案为：−∞,−14
14.5π4
【解析】f(x)= 3sin2x−cs2x− 3=2 32sin2x−12cs2x− 3=2sin2x−π6− 3，
令fx=0得2x−π6=π3+2kπ或2x−π6=2π3+2kπ，k∈Z，
所以x=π4+kπ或x=5π12+kπ，k∈Z，
所以正数零点从小到大构成数列a1=π4，a2=5π12，a3=5π4，⋯．
15.3−e
【解析】解：由题意可得f′x=−3x2+2f′1+ex，
令x=1得f′1=−3+2f′1+e，
即f′1=3−e．
故答案为：3−e．
16.[3,+∞)
【解析】解：f′(x)=6x2−12x=6x(x−2)；
∴当x∈(−2,0)时，f′(x)>0，f(x)在x∈(−2,0)单调递增，当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)在x∈(0,2)单调递减；
∴f(0)=3是f(x)在[−2,2]上的最大值；
∴a≥3；
∴a的取值范围为[3,+∞)．
故答案为：[3,+∞)．
17.解：(1)f′(x)=3x2−9x+6 ，当f′(x)>0时，x>2或x<1. .当f′(x)<0时，1(2)由(1)知，函数在(−∞,1)为增，(1,2)为减函数，(2,+∞)为增函数，根据函数的图像特征，判断x轴应在极值之间，由{f(1)>0f(2)<0得，2
【解析】(1)f′(x)=3x2−9x+6，，解f′(x)>0或f′(x)<0 或的解集；(2)先求极值点，判断单调性，然后根据图形，判定x轴于图像有三个交点时的位置，从而列不等式．
18.解：(1)∵4Sn=an+12，
∴4a1=a1+12，解得a1=1，
当n≥2时，由4Sn=an+12①可得，
4Sn−1=an−1+12②，
①−②：an+an−1an−an−1−2=0，
∵an>0，∴an+an−1≠0，∴an−an−1−2=0，
即∴an−an−1=2，
∴an是以a1=1为首项，以d=2为公差的等差数列，
∴an=a1+(n−1)d=1+2(n−1)=2n−1
综上所述，结论是：an=2n−1．
(2)由(1)可得bn=1anan+1=1(2n−1)(2n+1)=1212n−1−12n+1
∴Tn=ba+b2+⋯+bn=121−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1
=121−12n+1=n2n+1，
综上所述，Tn=n2n+1．
【解析】(1)由n=1可得=1(2n−1)(2n+1)a1=1，再由n≥2时，4Sn−1=an−1+12与条件作差可得an−an−1=2，从而利用等差数列求通项公式即可；
(2)由bn利用裂项相消求和即可．
19.解：(1)∵f(x)=xex−a(a∈R)
所以f′(x)=ex−xex(ex)2=1−xex
∴当x<1时，f′(x)>0，当x>1时，f′(x)<0；
即f(x)的单调递增区间是(−∞,1)，单调递减区间是(1,+∞)．
(2)由f(x)=xex−a=0得a=xex，
将此方程的根看作函数y=xex与y=a的图象交点的横坐标，
由(1)知函数y=xex在x=1时有极大值1e，作出其大致图象，
∴实数a的取值范围是0
【解析】(1)首先求出函数的导函数，再解不等式即可得到函数的单调区间；
(2)由f(x)=xex−a=0得a=xex，将此方程的根看作函数y=xex与y=a的图象交点的横坐标，结合(1)中相关性质得到函数的图象，数形结合即可得到参数的取值范围；
20.解：(1)设等比数列{an}的公比为q，由题意可得2(a2+1)=a1+a3，
又a1+a2+a3=14，可得2(a1q+1)=a1+a1q2，a1+a1q+a1q2=14，
解得a1=2，q=2(12舍去)，
则an=2·2n−1=2n；
(2)解法一：由bn=anlg2(12)n=−n·2n，
−Tn=1·2+2·22+3·23+…+n·2n，
−2Tn=1·22+2·23+3·24+…+n·2n+1，
两式相减可得Tn=2+22+23+…+2n−n·2n+1
=2(1−2n)1−2−n·2n+1=2n+1−n·2n+1−2，
所以Tn=(1−n)·2n+1−2．
解法二：由bn=anlg2(12)n=−n·2n=(−2n+n)·2n=[−2(n+1)+4−(−n+2)]·2n，
所以bn=[−(n+1)+2]·2n+1−(−n+2)·2n，
可得Tn=[(−2+2)·22−(−1+2)·21]+[(−3+2)·23−(−2+2)·22]+…+{[−(n+1)+2]·2n+1−(−n+2)·2n}==[−(n+1)+2]·2n+1−2=(1−n)·2n+1−2．
即Tn=(1−n)·2n+1−2．
【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q，由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比和首项，进而得到所求通项公式；
(2)解法一：运用数列的错位相减法求和，计算可得所求和；
解法二：运用数列的裂项相消求和，计算可得所求和．
21.解：(1)当a=0时，fx=ex−x−1，f′x=ex−1，
当x<0时，f′x<0，函数单调递减，当x>0时，f′x>0，函数单调递增，
故当x=0时，函数fx取得最小值f0=0．
(2)∵f′x=ex−2ax−1，
令gx=ex−2ax−1,x≥0，则g′x=ex−2a，
①当a≤12时，g′x≥0，函数gx在0,+∞上单调递增，gx≥g0=0，即f′x≥0，
所以fx在0,+∞上单调递增，fx≥f0=0，满足题意；
②当a>12时，由g′x=0可得x=ln2a，
当x∈0,ln2a时，g′x<0，函数gx在0,ln2a上单调递减，
当x∈ln2a,+∞时，g′x>0，函数gx在ln2a,+∞上单调递增
当x∈0,ln2a时，gx所以fx12不符合题意．
综上可得，a的范围为−∞,12．
【解析】(1)把a=0代入后对函数求导，结合导数与单调性的关系可求函数的单调性，进而可求最值；
(2)结合导数研究函数的单调性，然后结合函数的性质可求．
22.解：(1)fx= 3sin2x+cs2x=2sin2x+π6，
则fx的最小正周期T=2π2=π，
(2)由2x+π6=kπ，k∈Z，得x=12kπ−π12，k∈Z，
即fx的对称中心的坐标为12kπ−π12,0，k∈Z．
(3)当−π6≤x≤π4时，−π6≤2x+π6≤2π3，
则当2x+π6=π2时，函数取得最大值，最大值为2sinπ2=2，
当2x+π6=−π6时，函数取得最小值，最小值为2sin−π6=2×−12=−1．
【解析】(1)利用辅助角公式进行化简，结合周期公式进行计算即可
(2)根据三角函数的对称性进行求解
(3)求出角的范围，结合三角函数的有界性以及最值性质进行求解即可．
1.设集合A= x −1
2.故选：B设a
3.已知数列 2，2，2 2，4，…，则16 2是这个数列的( )
A. 第8项B. 第9项C. 第10项D. 第11项
4.记等差数列an的前n项和为Sn，若a5=2，a2−a5a4=8a6，则S20=( )
A. 180B. −180C. 162D. −162
5.已知函数y=fx在x=x0处的导数为1，则limΔx→0fx0+Δx−fx02Δx=( )
A. 0B. 12C. 1D. 2
6.在数列{an}中，a1=12，an=1−1an−1(n≥2,n∈N+)，则a2023=( )
A. 12B. 1C. −1D. 2
7.函数y=x+2csx在区间0,π2上的最大值是( )
A. π3+1B. π4+ 2C. π6+ 3D. π2
8.已知tan(α−π6)=2，tan(α+β)=−3，则tan(β+π6)=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论中，正确的是( )
A. 函数y=2x−1是指数函数
B. 函数y=ax2+1(a>1)的值域是[1,+∞)
C. 若am>an(a>0,a≠1)，则m>n
D. 函数f(x)=ax−2−3(a>0,a≠1)的图像必过定点(2,−2)
10.已知定义在R上的函数fx满足f(x)>−f ′(x)，则下列式子成立的是( )
A. f2019
C. fx是R上的增函数D. t>0，则有fx
A. Sn=3n−1B. {Sn}为等比数列
C. an=2⋅3n−1D. an=1,n=12⋅3n−2,n≥2
12.已知数列an的前n项和为Sn=33n−n2，则下列说法正确的是( )
A. an=34−2nB. S16为Sn的最小值
C. a1+a2+⋯+a16=272D. a1+a2+⋯+a30=450
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若函数f(x)=2ax+2a+1,x∈−1,1,值有正有负，则实数a的取值范围为
14.函数f(x)= 3sin2x−cs2x− 3的正数零点从小到大构成数列an，则a3=
15.已知函数fx的导函数为f′x，且满足关系式f(x)=−x3+2f′(1)x+ex，则f′1的值等于 ．
16.已知函数f(x)=2x3−6x2+3，对任意的x∈[−2,2]都有f(x)≤a，则a的取值范围为 ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
设函数f(x)=x3−92x2+6x−a．
(1)求函数f(x)的单调区间．
(2)若方程f(x)=0有且仅有三个实根，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
已知数列an各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足4Sn=an+12．
(1)求数列an的通项公式．
(2)设bn=1anan+1，求数列bn的前n项和Tn．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=xex−a(a∈R)
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若方程f(x)=0有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围．
20.(本小题12分)
设{an}是公比大于1的等比数列，a1+a2+a3=14，且a2+1是a1，a3的等差中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn=anlg2(12)n，求数列{bn}的前n项和Tn．
21.(本小题12分)
设函数fx=ex−ax2−x−1,a∈R．
(1)a=0时，求fx的最小值；
(2)若fx≥0在0,+∞恒成立，求a的取值范围．
22.(本小题12分)
已知函数fx=2 3sinxcsx+2cs2x−1．
(1)求fx的最小正周期；
(2)求fx的对称中心的坐标；
(3)求函数fx在的区间−π6,π4上的最大值和最小值．
答案解析
1.B
【解析】解：∵集合A={ x |−1
故选B．
2.A
【解析】对于A选项：由a
对于B选项：由a
所以ba−ab=b+a(b−a)ab<0，则有ba
故选：A
3.B
【解析】解：由数列 2，2，2 2，4，…，则这个数列的通项公式为an= 2n，
令16 2= 2n，
解得n=9，
故16 2是这个数列的第9项.
故选B.
4.B
【解析】∵a5=2，a2−2a4=8a6，
∴a1+4d=2a1+d−2a1−6d=8a1+40d,
解得a1+4d=2a1+d−2a1−6d=8a1+40d,
∴d=−2，a1=10，
∴a20=10+19×−2=−28，
∴S20=a1+a20⋅202=−180．
故选：B.
5.B
【解析】因为函数y=fx在x=x0处的导数为1，
所以limΔx→0fx0+Δx−fx02Δx=12limΔx→0fx0+Δx−fx0Δx=12f′x0=12×1=12．
故选：B
6.A
【解析】解：a2=1−1a1=1−2=−1 ， a3=1−1a2=1+1=2 ， a4=1−1a3=1−12=12 ，
可得数列 {an} 是以3为周期的周期数列， ∴a2023=a3×674+1=a1=12 ，
故选：A．
7.C
【解析】对于函数y=x+2csx，y′=1−2sinx．
当0
所以，ymax=π6+2csπ6=π6+ 3．
故选：C．
8.A
【解析】解：∵tan (α−π6)=2，tan (α+β)=−3，
则tan(β+π6)=tan[(α+β)−(α−π6)]=tan(α+β)−tan(α−π6)1+tan(α+β)tan(α−π6)=−3−21+(−3)×2=1，
故选A．
9.BD
【解析】解：对于A，根据指数函数是指形如y=ax，(其中a>1且a≠1)的函数，判断函数y=2x−1不是指数函数，选项A错误；
对于B，二次函数y=ax2+1，a>1时，ax2⩾0，则y=ax2+1⩾1，所以函数y=ax2+1(a>1)的值域是[1,+∞)，选项B正确；
对于C，0
故选BD．
10.AD
【解析】解：由f(x)>−f′(x)，
得exf(x)+exf ′(x)>0，
即[exf(x)] ′>0，
所以函数y=exf(x)为增函数，
故e2019f(2019)
函数y=exf(x)为增函数时，
f(x)不一定为增函数，
如y=ex(12)x=(e2)x是增函数，
但y=(12)x是减函数，
所以C不正确；
因为函数y=exf(x)为增函数，
所以t>0时，
有exf(x)
故选AD．
11.ABD
【解析】解：数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=2Sn(n∈N∗)①，
所以当n≥2时，an=2Sn−1②，
①−②得：an+1−an=2an，
所以an+1=3an，即an+1an=3(常数)，
所以数列{an}是以2为第二项，3为公比的等比数列．
所以an=2×3n−2，(首项不符合通项)，
故an=1(n=1)2×3n−2(n≥2)．
故选项D正确，C错误．
对于选项B：an+1=2Sn，所以Sn+1−Sn=2Sn，所以Sn+1=3Sn，
即Sn+1Sn=3(常数)，
所以数列{Sn}是以S1=1为首项，3为公比的等比数列，故B正确．
所以Sn=1×3n−1=3n−1，故A正确．
故选：ABD．
12.AC
【解析】解：数列{an}的前n项和为Sn=33n−n2，n∈N∗
当n=1时，a1=32，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=33n−n2−33(n−1)+(n−1)2=−2n+34，
当n=1时也成立，
∴an=34−2n，故A正确；
由于Sn=33n−n2=−(n−332)2+3324，当n=16或17时，Sn取得最大值，故B错误；
由an=−2n+34≥0，解得n≤17，
∴|a1|+|a2|+…+|a16|=a1+a2+a3+…+a16=16(32+2)2=272，故C正确；
∴|a1|+|a2|+…+|a30|=a1+…+a16−(a17+a18+…+a30)=272−14(0−26)2=454，故D错误．
故选：AC．
13.−∞,−14
【解析】当a=0时，f(x)=1，不成立；
当a≠0时，f(−1)⋅f(1)<0，即−2a+2a+12a+2a+1<0，
解得a<−14，
故答案为：−∞,−14
14.5π4
【解析】f(x)= 3sin2x−cs2x− 3=2 32sin2x−12cs2x− 3=2sin2x−π6− 3，
令fx=0得2x−π6=π3+2kπ或2x−π6=2π3+2kπ，k∈Z，
所以x=π4+kπ或x=5π12+kπ，k∈Z，
所以正数零点从小到大构成数列a1=π4，a2=5π12，a3=5π4，⋯．
15.3−e
【解析】解：由题意可得f′x=−3x2+2f′1+ex，
令x=1得f′1=−3+2f′1+e，
即f′1=3−e．
故答案为：3−e．
16.[3,+∞)
【解析】解：f′(x)=6x2−12x=6x(x−2)；
∴当x∈(−2,0)时，f′(x)>0，f(x)在x∈(−2,0)单调递增，当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)在x∈(0,2)单调递减；
∴f(0)=3是f(x)在[−2,2]上的最大值；
∴a≥3；
∴a的取值范围为[3,+∞)．
故答案为：[3,+∞)．
17.解：(1)f′(x)=3x2−9x+6 ，当f′(x)>0时，x>2或x<1. .当f′(x)<0时，1
【解析】(1)f′(x)=3x2−9x+6，，解f′(x)>0或f′(x)<0 或的解集；(2)先求极值点，判断单调性，然后根据图形，判定x轴于图像有三个交点时的位置，从而列不等式．
18.解：(1)∵4Sn=an+12，
∴4a1=a1+12，解得a1=1，
当n≥2时，由4Sn=an+12①可得，
4Sn−1=an−1+12②，
①−②：an+an−1an−an−1−2=0，
∵an>0，∴an+an−1≠0，∴an−an−1−2=0，
即∴an−an−1=2，
∴an是以a1=1为首项，以d=2为公差的等差数列，
∴an=a1+(n−1)d=1+2(n−1)=2n−1
综上所述，结论是：an=2n−1．
(2)由(1)可得bn=1anan+1=1(2n−1)(2n+1)=1212n−1−12n+1
∴Tn=ba+b2+⋯+bn=121−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1
=121−12n+1=n2n+1，
综上所述，Tn=n2n+1．
【解析】(1)由n=1可得=1(2n−1)(2n+1)a1=1，再由n≥2时，4Sn−1=an−1+12与条件作差可得an−an−1=2，从而利用等差数列求通项公式即可；
(2)由bn利用裂项相消求和即可．
19.解：(1)∵f(x)=xex−a(a∈R)
所以f′(x)=ex−xex(ex)2=1−xex
∴当x<1时，f′(x)>0，当x>1时，f′(x)<0；
即f(x)的单调递增区间是(−∞,1)，单调递减区间是(1,+∞)．
(2)由f(x)=xex−a=0得a=xex，
将此方程的根看作函数y=xex与y=a的图象交点的横坐标，
由(1)知函数y=xex在x=1时有极大值1e，作出其大致图象，
∴实数a的取值范围是0
【解析】(1)首先求出函数的导函数，再解不等式即可得到函数的单调区间；
(2)由f(x)=xex−a=0得a=xex，将此方程的根看作函数y=xex与y=a的图象交点的横坐标，结合(1)中相关性质得到函数的图象，数形结合即可得到参数的取值范围；
20.解：(1)设等比数列{an}的公比为q，由题意可得2(a2+1)=a1+a3，
又a1+a2+a3=14，可得2(a1q+1)=a1+a1q2，a1+a1q+a1q2=14，
解得a1=2，q=2(12舍去)，
则an=2·2n−1=2n；
(2)解法一：由bn=anlg2(12)n=−n·2n，
−Tn=1·2+2·22+3·23+…+n·2n，
−2Tn=1·22+2·23+3·24+…+n·2n+1，
两式相减可得Tn=2+22+23+…+2n−n·2n+1
=2(1−2n)1−2−n·2n+1=2n+1−n·2n+1−2，
所以Tn=(1−n)·2n+1−2．
解法二：由bn=anlg2(12)n=−n·2n=(−2n+n)·2n=[−2(n+1)+4−(−n+2)]·2n，
所以bn=[−(n+1)+2]·2n+1−(−n+2)·2n，
可得Tn=[(−2+2)·22−(−1+2)·21]+[(−3+2)·23−(−2+2)·22]+…+{[−(n+1)+2]·2n+1−(−n+2)·2n}==[−(n+1)+2]·2n+1−2=(1−n)·2n+1−2．
即Tn=(1−n)·2n+1−2．
【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q，由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比和首项，进而得到所求通项公式；
(2)解法一：运用数列的错位相减法求和，计算可得所求和；
解法二：运用数列的裂项相消求和，计算可得所求和．
21.解：(1)当a=0时，fx=ex−x−1，f′x=ex−1，
当x<0时，f′x<0，函数单调递减，当x>0时，f′x>0，函数单调递增，
故当x=0时，函数fx取得最小值f0=0．
(2)∵f′x=ex−2ax−1，
令gx=ex−2ax−1,x≥0，则g′x=ex−2a，
①当a≤12时，g′x≥0，函数gx在0,+∞上单调递增，gx≥g0=0，即f′x≥0，
所以fx在0,+∞上单调递增，fx≥f0=0，满足题意；
②当a>12时，由g′x=0可得x=ln2a，
当x∈0,ln2a时，g′x<0，函数gx在0,ln2a上单调递减，
当x∈ln2a,+∞时，g′x>0，函数gx在ln2a,+∞上单调递增
当x∈0,ln2a时，gx
综上可得，a的范围为−∞,12．
【解析】(1)把a=0代入后对函数求导，结合导数与单调性的关系可求函数的单调性，进而可求最值；
(2)结合导数研究函数的单调性，然后结合函数的性质可求．
22.解：(1)fx= 3sin2x+cs2x=2sin2x+π6，
则fx的最小正周期T=2π2=π，
(2)由2x+π6=kπ，k∈Z，得x=12kπ−π12，k∈Z，
即fx的对称中心的坐标为12kπ−π12,0，k∈Z．
(3)当−π6≤x≤π4时，−π6≤2x+π6≤2π3，
则当2x+π6=π2时，函数取得最大值，最大值为2sinπ2=2，
当2x+π6=−π6时，函数取得最小值，最小值为2sin−π6=2×−12=−1．
【解析】(1)利用辅助角公式进行化简，结合周期公式进行计算即可
(2)根据三角函数的对称性进行求解
(3)求出角的范围，结合三角函数的有界性以及最值性质进行求解即可．
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