江西省南昌市第二中学等部分学校2024届高三下学期3月联考数学试题（Word版附解析）

这是一份江西省南昌市第二中学等部分学校2024届高三下学期3月联考数学试题（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知F为椭圆的右焦点,A,B分别为椭圆C的上顶点和右顶点,若的周长为3a,则椭圆C的离心率为( )
A.B.C.D.
2．甲、乙两人进行网球比赛,连续比赛三局,各局比赛结果相互独立.设乙在第一局获胜的概率为、第二局获胜的概率为,第三局获胜的概率为,则甲恰好连胜两局的概率为( )
A.B.C.D.
3．如图, 已知圆柱底面半径为2,高为3, 是轴截面,E, F分别是母线,上的动点 (含端点), 过与轴截面垂直的平面与圆柱侧面的交线是圆或椭圆,当此交线是椭圆时,其离心率的取值范围是( )
A.B.C.D.
4．直线与圆相切,则( )
A.或12B.2或C.或D.2或12
5．在空间中,“经过点,法向量为的平面的方程（即平面上任意一点的坐标满足的关系式）为:”.用此方法求得平面和平面的方程,化简后的结果为和,则这两平面所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
6．设双曲线(,)的左焦点为F,直线过点F且与双曲线C在第二象限的交点为P,,其中O为坐标原点,则双曲线C的方程为( )
A.B.C.D.
7．已知A,B,C是双曲线上不同的三点,且,直线AC,BC的斜率分别为,.若的最小值为2,则双曲线的离心率为( )
A.B.2C.D.
8．已知双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为(c为双曲线的半焦距),则双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．如图,已知四棱锥中,平面ABCD,底面ABCD为正方形,,Q为线段BC上一点(含端点),则直线PQ与平面PCD所成角不可能是( )
A.0B.C.D.
10．连续拋掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件“第一次出现2点”，“第二次的点数小于5点”，“两次点数之和为奇数”，“两次点数之和为9”，则下列说法正确的有( )
A.A与B不互斥且相互独立B.A与D互斥且不相互独立
C.B与D互斥且不相互独立D.A与C不互斥且相互独立
11．已知圆,则下列结论正确的是( )
A.无论n为何值,圆都与轴相切
B.存在整数n,使得圆与直线相切
C.当时,圆上恰有11个整点(横,纵坐标都是整数的点)
D.若圆上恰有两个点到直线的距离为,则
12．双曲抛物线又称马鞍面,其形似马具中的马鞍表面而得名.其在力学、建筑学、美学中有着广泛的应用.在空间直角坐标系中,将一条xOy平面内开口向上的抛物线沿着另一条yOz平面内开口向下的抛物线滑动（两条抛物线的顶点重合）所形成的就是马鞍面,其坐标原点被称为马鞍面的鞍点,其标准方程为,则下列说法正确的是( )
A.用平行于xOy平面的面截马鞍面,所得轨迹为双曲线
B.用法向量为的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线
C.用垂直于y轴的平面截马鞍面所得轨迹为双曲线
D.用过原点且法向量为的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线
三、填空题
13．如图所示,已知双曲线的右焦点为F,双曲线C的右支上一点A,它关于原点O的对称点为B,满足,且,则双曲线C的离心率是_________________.
14．某人有3种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多）,要在如图所示的6个点A,B,C,,,上各装一个灯泡,要求同一条线段两端的灯泡不同色,则不同的安装方法共有____________种.（用数字作答）
15．椭圆与抛物线有共同的焦点F,点P是椭圆与抛物线其中的一个交点,轴,则椭圆的离心率为_____________.
16．在长方体中,,,点E为的中点,则点B到平面的距离为____________.
四、解答题
17．如图，在三棱柱中，底面，，，到平面的距离为1.
（1）证明：；
（2）已知与的距离为2，求与平面所成角的正弦值.
18．已知抛物线的焦点为F,过F作垂直于x轴的直线与抛物线C交于A、B两点,O为坐标原点,的面积为2.
（1）求抛物线C的标准方程;
（2）若直线l与抛物线C交于P,Q两点,是线段PQ的中点,求直线l的方程.
19．抗击疫情众志成城.假期期间一高中同学积极参加社区抗疫宣传活动.抗疫宣传活动共分3批次进行,每次活动需要同时派出2名志愿者,且每次派出人员均从5名志愿者同学中随机抽选,已知这5名志愿者中,有2人有活动经验,其他3人没有活动经验.经验可以累积.
（1）求5名志愿者中“小K”,在这3批次安装活动中有且只有一次被抽选到的概率;
（2）求第二次抽选时,选到没有活动经验志愿者的人数最多可能是几人？请说明理由.
20．某高校自主招生考试分笔试与面试两部分,每部分考试成绩只记“通过”与“不通过”,两部分考试都“通过”者,则考试“通过”,并给予录取.甲､乙两人在笔试中“通过”的概率依次为0.5,0.6,在面试中“通过”的概率依次为0.4,0.3,笔试和面试是否“通过”是独立的,那么
(1)甲､乙两人都参加此高校的自主招生考试,谁获得录取的可能性大？
(2)甲､乙两人都参加此高校的自主招生考试,求恰有一人获得录取的概率.
21．下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图.
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，17）建立模型①：；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，7）建立模型②：.
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.
22．某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据：
并计算得，，.
（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；
（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.
附：相关系数，.
参考答案
1．答案：D
解析：由题意可得,所以,即,解得或(舍去).
2．答案：B
解析：设甲第i局胜,,2,3,且,,
则甲恰好连胜两局的概率,
故选：B．
3．答案：A
解析：分析可知,与接近平行时, 交线接近是一个圆,离心率接近0；时,交线是一个长轴最大的椭圆,此时长轴,离心率,故离心率的取值范围是 .
4．答案：D
解析:直线与圆心为,半径为1的圆相切,或12,故选D.
5．答案：B
解析：由题意,平面和平面的法向量分别是
,,
设平面和平面的夹角为,
故选:B.
6．答案：D
解析：设左焦点F的坐标为,由点F过直线,
所以,解得,
设右焦点为N,连接PF,PO,PN.
由,故三角形PFN为直角三角形,即,
又因为直线斜率为,设直线倾斜角为,则.
又,则,,
由双曲线定义,则,
所以,
所以
所以双曲线C的方程为.
故选:D.
7．答案：C
解析：
8．答案：C
解析：双曲线的渐近线方程为,焦点坐标为,其中,
一个焦点到一条渐近线的距离为,即,由此可得双曲线的离心率为.故选:C.
9．答案：CD
解析：
10．答案：ABD
解析：对于A，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次与第二次的结果互不影响，即A与B相互独立；第一次出现2点，第二次的点数小于5点可以同时发生，A与B不互斥：故A正确；对于B，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次的结果会影响两次点数之和，即A与D不相互独立；第一次出现2点，则两次点数之和最大为8，即A与D不能同时发生，即A与D互斥，故B正确：对于C，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第二次的结果会影响两次点数之和，即B与D不相互独立；若第一次的点数为5点，第二次的点数为4点，则两次点数之和为9，即B与D可以同时发生，即B与D不互斥，故C错误；对于D，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次的结果不会影响两次点数之和的奇偶，即A与C相互独立；若第一次的点数为2，第二次的点数为3，则两次点数之和为5是奇数，即A与C可以同时发生，即A与C不互斥，故D正确.故选ABD.
11．答案：AD
解析：对A,由题意可知圆的圆心坐标为,半径为n,
则圆心到轴的距离等于圆的半径,则A正确.
对B,由圆与直线相切,得,解得,则B错误.
对C,当时,圆,
则上的整点有,,,,,,,,,,,,共12个,则C错误.
对D,圆心到直线的距离,则,解得,故D正确.
故选:AD.
12．答案：AB
解析：因为马鞍面的标准方程为,
对于A,平行于xOy平面的面中为常数,不妨设为,
得,故所得轨迹是双曲线.,故A正确;
对于B,法向量为的平面中x为常数,不妨设为,
则,为抛物线方程,故B正确;
对于C,垂直于y轴的平面中y为常数,不妨设为,
则,为抛物线方程,故C错误;
对于D,不妨设平面上的点坐标为,
因为平面过原点且法向量为,由,得,
故,代入马鞍面标准方程,得,
当时,方程为,不是物物线,故D错误.
故选：AB.
13．答案：
解析：设双曲线的左焦点为,连接,,根据双曲线的对称性可知,
四边形为平行四边形,由题意以及双曲线定义,
可得,
则,,,
所以 ,
即,即,
所以双曲线C的离心率为：,
故答案为：.
14．答案：12
解析：先安排下底面三个顶点共有种不同的安排方法,
再安排上底面的三个顶点共有种不同的安排方法,
由分步计数原理可知：共有种不同的安排方法,
故答案为：12.
15．答案：
解析：
16．答案：
解析：
17．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：如图，
底面，底面ABC，
.又，，平面，，
平面.又平面，
平面平面.
过作交于O，又平面平面，平面，
平面.
到平面的距离为1，，
在中，，，设，则.
，，为直角三角形，且，，，，
，解得，，
.
（2），，，，，如图，过B作，交于D，则D为中点，由直线与距离为2，所以.
，，，
在中，，
延长AC，使，连接，
由，知四边形为平行四边形，，平面ABC.又平面，.
在中，，，，
在中，，，
.
又点A到平面的距离也为1，所以与平面所成角的正弦值为.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题可得,代入抛物线方程得,,
,
的面积,
,
所求抛物线C的标准方程为;
（2）易知直线l不与x轴垂直,设所求方程为：,
设,,由P,Q在抛物线C上得：,
两式相减化简得：,
又,,代入上式解得：.
故所求直线l的方程为：.
即.
19．答案：（1）
（2）第二次抽取到的没有活动经验志愿者人数最有可能是1人;理由见详解.
解析：（1）5名志愿者中“小K”在每轮抽取中,被抽取到的概率为,
则这3批次安装活动中有且只有一次被抽选到的概率.
（2）第二次抽取到的没有活动经验志愿者人数最有可能是1人.
设X表示第一次抽取到的没有活动经验志愿者人数,X可能的取值有0,1,2,
则;;.
设表示第二次抽取到的没有活动经验志愿者人数,可能的取值有,
则;
;
,
因,
故第二次抽取到的没有活动经验志愿者人数最有可能是1人.
20．答案：(1)甲获得录取的可能性大;
(2)0.308.
解析：（1）记“甲通过笔试”为事件,“甲通过面试”为事件,“甲获得录取”为事件A,“乙通过笔试”为事件,“乙通过面试”为事件,“乙获得录取”为事件B,
则,,即,
所以甲获得录取的可能性大.
（2）记“甲乙两人恰有一人获得录取”为事件C,则
.
21．答案：（1）226.1亿元，256.5亿元
（2）利用模型②得到的预测值更可靠
解析：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为（亿元）.
利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为（亿元）.
（2）利用模型②得到的预测值更可靠.理由如下：
（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势，2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近.这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠，
（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠.（合理即可）
22．答案：（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为，平均一棵的材积量为
（2）
（3）
解析：（1）样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值，
样本中10棵这种树木的材积量的平均值，据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为，平均一棵的材积量为.
（2），则.
（3）设该林区这种树木的总材积量的估计值为，又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可得，解得.则该林区这种树木的总材积量估计为.样本号i
根部横截面积
材积量
1
0.04
0.25
2
0.06
0.4
3
0.04
0.22
4
0.08
0.54
5
0.08
051
6
0.05
0.34
7
0.05
0.36
8
0.07
0.46
9
0.07
0.42
10
0.06
0.4
总和
0.6
3.9