江西省部分学校2022-2023学年高二下学期4月期中联考数学试题（Word版附解析）

高二数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第二册第一章占30%，第二章第1节至第5节占70%.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 在等比数列中，若，，则（    ）

A.  B. 9 C. 15 D. 7

【答案】A

【解析】

【分析】由等比数列的性质可得.

【详解】.

故选：A.

2. 已知，则（    ）

A. 1 B. 3 C. 6 D. 9

【答案】D

【解析】

【分析】利用导数的定义式以及极限的性质可求答案.

【详解】.

故选：D.

3. 已知函数的导函数为，的图象如图所示，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据已知条件作出切线，利用导数的几何意义及斜率的定义即可求解.

【详解】依次作出函数在处的切线，如图所示

根据导数的几何意义及图形中切线的斜率可知，．

故选：B.

4. 已知为函数图象上一点，则曲线在点处的切线的斜率的最小值为（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据导数的几何意义可得曲线在点处的切线的斜率，结合基本不等式计算即可求解.

【详解】的定义域为.

，

故曲线在点处的切线的斜率的最小值为2.

故选：C.

5. 现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.函数的图象在处的曲率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】求出、，代值计算可得出函数的图象在处的曲率.

【详解】因为，所以，，

所以，，

所以

故选：D.

6. 已知，则（    ）

A. 1 B. 9 C. 18 D.

【答案】D

【解析】

【分析】两边求导，再利用赋值法，即可求解.

【详解】对等式两边求导，可得.令，可得.

故选：D.

7. 若函数满足，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】易得，再将两边同时求导即可得解.

【详解】因为，所以为偶函数，

将两边同时求导得，

所以.

故选：B.

8. 设数列的前项和为，若，则称数列是数列的“均值数列”.已知数列是数列的“均值数列”，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意求出和，从而求出，即可求解.

【详解】因为，①

所以，，②

①-②得，，所以，故

故，

.

故选：C.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列求导正确的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用导数的求导法则及复合函数求导可得答案.

【详解】若，则，故A错误；

若，则，故B正确；

若，则，故C正确；

若，则，故D正确；

故选：BCD.

10. 过点且与曲线相切的直线的方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】设过点的切线与曲线相切于点，根据导数的几何意义求出切线方程，再根据切线过点求出，即可得解.

【详解】设过点的切线与曲线相切于点，

因为，则曲线在点处的切线斜率为，

所以切线方程为，

因为切线过点，所以，解得或，

故切线方程为或.

故选：BC.

11. 已知曲线在处的切线与曲线在处的切线重合，则（    ）

A.  B.

C.  D. 曲线在处的切线方程为

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据求导法则以及导数的几何意义可得答案.

【详解】由题意可得，曲线在处的切线方程为.

令，则，即，A正确.

，曲线在处的切线方程为，

即，所以

解得，，B错误，C正确.

曲线在处的切线方程为，D正确.

故选：ACD.

12. 在如图所示的数表中，第1行是从1开始的正整数，从第2行开始每个数是它肩上两个数之和，则（    ）

1   2   3   4   5    6   …

3   5   7   9   11  …

8  12  16   20  …

…

A. 第2023行第1个数为

B. 第2023行的数从左到右构成公差为的等差数列

C. 第2023行第2023个数为

D. 数表中小于50的数有89个

【答案】ACD

【解析】

【分析】由表中数据可知，每行是等差数列，第行的公差为，每一行的第一个数构成数列，结合递推关系得，进而依次讨论各选项即可得答案.

【详解】数表中，每行是等差数列，且第一行的公差为1，第二行的公差为2，第三行的公差为4，第行的公差为.

设每一行的第一个数构成数列，由数表可得，即

所以，，，即数列是以为首项，为公差的等差数列，

所以，即，

所以，第2023行第1个数为，A正确.

第2023行的数从左到右构成公差为的等差数列，B错误.

第2023行第2023个数为，C正确.

第1行小于50的数有49个；

第2行的数构成的数列的通项公式为，令，解得，则第2行小于50的数字有24个；

第3行的数构成的数列的通项公式为，令，解得，则第3行小于50的数有11个；

第4行的数构成的数列的通项公式为，令，解得，则第4行小于50的数有4个；

第5行的数构成的数列的通项公式为，令，解得，则第5行小于50的数有1个.

故数表中小于50的数有89个，D正确.

故选：ACD

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于建立等差数列模型，进而根据每一行的第一个数构成数列的递推关系求解的通项公式，进而实现问题解决.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.

13. 函数在区间上的平均变化率为______.

【答案】 

【解析】

【分析】根据平均变化率的公式进行求解即可.

【详解】解：函数在区间上的平均变化率为.

故答案为：

14. 已知函数，则________.

【答案】##-0.5

【解析】

【分析】将作为常量对求导，得到导函数，再将作为未知量求解即可.

【详解】由解析式知：，即，解得.

故答案为：.

15. 一个装有水的圆柱形水杯水平放在桌面上，在杯内放入一个圆柱形铁块后，水面刚好和铁块的上底面齐平，如图所示．已知该水杯的底面圆半径为6 cm，铁块底面圆半径为3 cm，放入铁块后的水面高度为6 cm，若从时刻开始，将铁块以1 cm/s的速度竖直向上匀速提起，在铁块没有完全离开水面的过程中，水面将______（填“匀速”或“非匀速”）下降；在时刻，水面下降的速度为______ cm/s．

【答案】    ①. 匀速    ②.

【解析】

【分析】由圆柱形铁块竖直向上匀速提起，可得水面匀速下降；根据已知得出水面高度H与时刻的函数关系，通过导数求瞬时速度.

【详解】设在铁块没有完全离开水面的过程中，水面高度为H，铁块离开水面的高度为h，

则水和铁块的体积为，即①．

铁块距离杯底的高度为②．

由①②可得．令函数，则．

故水面将匀速下降，下降的速度为．

故答案为：匀速；.

16. 已知数列满足，，若对任意，，不等式恒成立，则的取值范围为______.

【答案】

【解析】

【分析】将两边同除，即可得到，从而得到为常数数列，即可求出的通项公式，则，原题等价于对任意恒成立，令，则，即可求出参数的取值范围.

【详解】因为，所以，即，

所以，所以为常数数列，

即，可得，所以，

所以原题等价于对任意恒成立，

令，，则，即，

解得，所以实数的取值范围为.

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 求下列函数的导数：

（1）；

（2）.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用商的求导法则可得答案；

（2）利用积的求导法则以及复合函数求导法则可得答案.

【小问1详解】

；

【小问2详解】

.

18. 设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行路程（单位：m）与时间（单位：s）满足关系式.

（1）当时，求该运动员的滑雪速度；

（2）当该运动员的滑雪路程为37m时，求此时的滑雪速度.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据路程与时间关系，求解即可得答案；

（2）解方程得，再求即可.

【小问1详解】

解：因为，所以，

所以当时，该运动员的滑雪速度为.

【小问2详解】

解：由题意得，解得或（舍去）.

因为，所以，

当运动员的滑雪路程为37m时，此时的滑雪速度为.

19. 已知正项数列前项积为，.

（1）证明：数列为等差数列.

（2）设数列的前项和为，证明：.

【答案】（1）证明见解析   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）当时，由结合变形可得出，结合等差数列的定义可证得结论成立；

（2）求出，可求得数列的表达式，可得出，求出，即可证得结论成立.

【小问1详解】

证明：当时，，即.

当时，，得（舍去），

所以数列是以为首项，为公差的等差数列.

【小问2详解】

证明：由（1）得.

因为，所以，.

.

20. 已知函数的图象经过点，曲线在处的切线与轴平行.

（1）求，的值.

（2）试问曲线上任一点处的切线与轴和直线所围成的三角形的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

【答案】（1）   

（2）定值，2

【解析】

【分析】（1）由可得，由导数的几何意义可得，即可求出a、b；

（2）由（1），根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线方程，令求出切线与轴的交点B坐标，切线方程联立直线方程，求出交点C坐标，再求出直线与y轴的交点D，结合三角形面积公式计算即可求解.

【小问1详解】

因为，所以.

，因为曲线在处的切线与轴平行，

所以，解得，

经检验，符合题意，故；

【小问2详解】

由（1）可得，.

在曲线上任取一点，

则曲线在处的切线方程为.

令，可得，所以切线与轴交于点.

联立解得

所以切线与直线交于点

直线与轴交于点，则，

所以.

故曲线上任一点处的切线与轴和直线所围成的三角形的面积为定值2.

21. 已知函数，.

（1）当时，求曲线在处的切线方程.

（2）若，是否存在直线与曲线和都相切？若存在，求出直线的方程（若直线的方程含参数，则用表示）；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）   

（2）存在，或

【解析】

【分析】（1）根据导数的几何意义，先求导数得到切线的斜率，利用点斜式可得方程；

（2）先求两个函数的导数，利用公切线建立等量关系，求解方程可得答案.

【小问1详解】

当时，，，.

曲线在处的切线方程为，即.

【小问2详解】

设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，，.

曲线在点A处的切线为，

与曲线相切于点，

则且（*），

由，则，

代入（*）得，

解得或.

当时，直线.当时，，直线.

故存在直线与曲线和都相切，直线的方程为或.

22. 已知等比数列的前项和为，公比，.

（1）求通项公式；

（2）设，记的前项和为，若对于任意恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用等比数列的求和公式可求得的值，再利用等比数列的通项公式可求得数列的通项公式；

（2）求出数列的通项公式，利用错位相减法可求得的表达式，由参变量分离法可得出，令，分析数列的单调性，求出数列最小项的值，即可出实数的取值范围.

【小问1详解】

解：因为，

所以，

整理得，解得，

所以.

【小问2详解】

解：因为，所以，

所以，

，

两式相减得

，所以，

因为对于恒成立，

所以，即，

令函数，则，

所以单调递增，，所以，.

故的取值范围为.