江西省部分学校2023届高三数学（文）下学期一轮复习验收联考（2月）试题（Word版附解析）

2022—2023学年高三一轮复习验收考试

数学文科

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2．回答选择题吋，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60张在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】化简集合，利用交集的定义求.

【详解】因为，，

所以.

故选：B.

2. 已知i是虚数单位，复数，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由复数除法运算化简，再由复数线性运算及共轭复数即可求.

【详解】，∴.
故选：D

3. 随着工业自动化和计算机技术的发展，中国机器人进入大量生产和实际应用阶段，下图为2022年中国服务机器人各行业渗透率调查情况.

根据该图，下列结论错误的是（）

A. 物流仓储业是目前服务行业中服务机器人已应用占比最高的行业

B. 教育业目前在大力筹备应用服务机器人

C. 未计划使用服务机器人占比最高的是政务服务业

D. 图中八大服务业中服务机器人已应用占比的中位数是33.3%

【答案】ABC

【解析】

【分析】对ABC，分别由图观察已应用、筹备中、未计划占比最高的服务行业，即可判断；

对D，由中位数定义即可求.

【详解】对A，由图易知，物流仓储业在目前服务行业中服务机器人已应用占比最高，A对；

对B，由图易知，教育业在目前服务行业中服务机器人筹备中占比最高，B对；

对C，由图易知，政务服务业在目前服务行业中服务机器人未计划占比最高，C对；

对D，由图易知，八大服务业中服务机器人已应用占比已经排好序，故中位数，D错.

故选：ABC

4. 已知双曲线，下列结论正确的是（）

A. C的实轴长为 B. C的渐近线方程为

C. C的离心率为 D. C的一个焦点的坐标为

【答案】C

【解析】

【分析】求出实半轴、虚半轴、半焦距，即可按定义逐个判断.

【详解】对A，C的实轴长为，A错；

对B，C的渐近线方程为，B错；

对C，C的离心率为，C对；

对D，C的焦点的坐标为，D错.

故选：C

5. 中国某些地方举行婚礼时要在吉利方位放一张桌子，桌子上放一个装满粮食的升斗，斗面用红纸糊住，斗内再插一杆秤、一把尺子，寓意为粮食满园、称心如意、十全十美．下图为一种婚庆升斗的规格，把该升斗看作一个正四棱台，忽略其壁厚，则该升斗的容积约为（）（参考数据：，参考公式：）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由勾股定理算出高h，即可由公式求体积.

【详解】由题意，正四棱台中，设棱台高为，则，

故.

故选：B

6. 函数的一个单调递减区间为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】令，可得函数的单调递减区间为，再求函数的单调递增求解，再判断各选项即可得解.

【详解】令，

解得，

即函数的单调递减区间为，

取可得，为函数的单调递减区间，B正确；

取可得，为函数的单调递减区间，

令，

解得，

即函数的单调递增区间为，

取可得，为函数的单调递增区间，A错误；

因为在上单调递增，C错误；

取可得，为函数的单调递增区间，

所以在上单调递增，D错误

故选：B.

7. 已知实数，满足则的最小值是（）

A.  B.  C.  D. 1

【答案】A

【解析】

【分析】画出可行域及目标函数，由几何意义求出最小值.

【详解】画出可行域与目标函数，

联立，解得，

当直线过点时，取得最小值，，

故最小值为 .

故选：A

8. 若，则（）

A. 0 B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】结合倍角公式、三角函数在对应象限的符号、辅助角公式化简即可.

【详解】，.

故选：D

9. 已知，，，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】结合指数函数单调性及指数式对数式转换即可判断.

【详解】由，∴，
.

∴.

故选：D

10. 已知非零向量，满足，，若与的夹角为，则（）

A. 1 B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由化简得，由与的数量积建立方程即可求得参数.

【详解】由，得，，

∴，

∴，解得

故选：B

11. 已知圆柱的轴截面是边长为4的正方形，底面圆的圆周在球O的表面上，底面圆所在平面被球O截得的是半径为的圆面，若点O在圆柱内，则球O的表面积与圆柱的表面积之比为（）

A. 2 B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由轴截面列方程解出球的半径，再计算球O的表面积与圆柱的表面积之比.

【详解】由题意圆柱底面半径为2，圆柱的高为4，

圆柱和球的轴截面如图所示，，，设球的半径为，

则 ，

解得 ，则球O的表面积与圆柱的表面积之比为 .

故选：C

12. 已知函数有两条与直线平行的切线，且切点坐标分别为，，则的取值范围是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用导数的几何意义求出在两点处的切线斜率，即可得出是的两根，利用韦达定理即可得出的取值范围.

【详解】根据题意可知的定义域为，所以，

易得，

由导数的几何意义可得切点为时，切线斜率为,

同理可得，点处切线斜率为；

又因为两条切线与直线平行，可得，即

所以是关于方程的两根，

所以，即，又

可得；

所以，由可得

即，所以的取值范围是.

故选：D

【点睛】关键点点睛：本题的关键在于利用导数的几何意义和两直线平行的位置关系得出关于的等量关系，再根据函数定义域和韦达定理即可求得表达式的取值范围.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 经过点，，且面积最小的圆的标准方程为__________．

【答案】

【解析】

【分析】圆的面积最小即直径最小，即当直径为AB时最小，求出圆心及半径即可得标准方程.

【详解】圆的面积最小即直径最小，即当直径为AB时最小，此时圆心为，半径为，故所求圆的标准方程为.

故答案为：.

14. 若函数是偶函数，则__________．

【答案】1

【解析】

【分析】根据偶函数的定义结合对数运算求得的值即可.

【详解】∵为偶函数，定义域为，

∴对任意的实数都有，

即，

∴，

由题意得上式对任意的实数恒成立，

∴，解得,所以

故答案为：1

15. 已知在，，，，则的面积为__________．

【答案】##

【解析】

【分析】由正弦定理求得AB，由面积公式结合三角恒等变换化简求值.

【详解】由正弦定理得，.

.

故答案为：

16. 圆锥曲线C的弦AB与过弦的端点A，B的两条切线的交点P所围成的三角形PAB叫做阿基米德三角形，若曲线C的方程为，弦AB过C的焦点F，设，，，则有，，对于C的阿基米德三角形PAB给出下列结论：①点P在直线上；②；③；④，其中所有正确结论的序号为__________．

【答案】①④

【解析】

【分析】由已知可设直线的方程为，联立方程组，结合设而不求法依次判断各命题即可.

【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，

过点，斜率不存在的直线与抛物线只有一个交点，不符合已知条件，

故可设直线方程为，

联立，消得，，

方程的判别式，

所以，

所以，

因为，，

所以，，

因为，所以点P在直线上，命题①正确；

，命题②错误；

，命题③错误；

因为，

所以，

，

所以，命题④正确；

故答案为：①④.

【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；

(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17. 已知等差数列的前n项和为，，．

（1）求与；

（2）在下列两个条件中选一个，求数列的前30项和．

①；②．

注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】（1）

（2）选①，；选②，.

【解析】

【分析】（1）由条件得出与d的方程组求解，即可由公式法得出结果；

（2）①由裂项相消法求和，②由分组求和法求和.

小问1详解】

由得①，

由得②，

联立①②解得，∴；

【小问2详解】

选①，，

∴数列的前30项和；

选②，，

∴数列的前30项和；

18. 如图，在长方体中，，，点E在棱上，且．

（1）证明：；

（2）求三棱锥的体积．

【答案】（1）证明见解析;

（2） .

【解析】

【分析】(1)通过证明平面得到.

(2) 将三棱锥的体积转化为三棱锥的体积求解.

【小问1详解】

因为是长方体，所以平面，

因为平面，所以，

因为，面A1DC，

所以平面，

因为平面，所以.

【小问2详解】

在平面中，由得，所以，

所以，所以，所以，

所以，

因为平面，所以平面，所以DC为三棱锥的高，

所以 .

19. 数据显示中国车载音乐已步入快速发展期，随着车载音乐的商业化模式进一步完善，市场将持续扩大，下表为2018—2022年中国车载音乐市场规模（单位：十亿元），其中年份2018—2022对应的代码分别为1—5．

（1）由上表数据知，可用指数函数模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程（a，b的值精确到0.1）；

（2）综合考虑2023年及2024年经济环境及疫情等因素，某预测公司根据上述数据求得y关于x的回归方程后，通过修正，把作为2023年与2024年这两年的年平均增长率，请根据2022年中国车载音乐市场规模及修正后的年平均增长率预测2024年的中国车载音乐市场规模．

参考数据：

其中，．

参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．

【答案】（1）

（2）（十亿元）

【解析】

【分析】（1）由得，由回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式求得，从而求得y关于x的回归方程.

（2）两年的年平均增长率为0.3，故2024年的中国车载音乐市场规模为

【小问1详解】

因为，所以两边同时取常用对数，得，设，所以，设，

因为，所以

，

所以

所以

所以

【小问2详解】

由题意知2023年与2024年这两年的年平均增长率，

2022年中国车载音乐市场规模为1.7，

故预测2024年的中国车载音乐市场规模（十亿元）.

20. 已知椭圆经过，，，中的3个点．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线与C交于M，N（点M在点N下方）两点，过点M与x轴垂直的直线与直线AB交于点P，与直线AN交于点Q，证明：点P为线段MQ的中点．

【答案】（1）

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）由椭圆的对称性和范围，可知，，在椭圆C上，把点代入可求椭圆C的标准方程；

（2）由已知得A，B两点坐标，设，，，直线与椭圆C联立方程组，表示出P，Q两点坐标，结合韦达定理证明，可得点P为线段MQ的中点．

【小问1详解】

因为点，关于原点对称，由椭圆的对称性可知点，要么都在椭圆C上，要么都不在椭圆C上，

因为椭圆C经过，，，中的3个点，

所以点，都在椭圆C上，有，

因为 在椭圆C上， ，所以不在椭圆C上，故在椭圆C上，

所以，代人 得，

所以椭圆C的标准方程为

【小问2详解】

由题意知，，设，，，

 由，消去得，

由得，

，，

直线AB的方程为，直线AN的方程为，

所以

所以

，

所以，

因为共线，所以点P是线段MQ的中点.

【点睛】解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．

21. 已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若，，且存在，，使得，求实数t的取值范围．

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

【分析】（1）讨论，两种情况，由导数得出单调性；

（2）讨论，，三种情况，得出，进而由得出实数t的取值范围．

【小问1详解】

因为，所以当时，，在上单调递增；

当时，时，，时，.

此时在上单调递增，在上单调递减.

综上可知，当时，在上单调递增；当时在上单调递增，在上单调递减.

【小问2详解】

当时，

由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减.

若，则在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减.

所以，

若，则

若，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减.

所以，即

所以存在，，使得，只需，

所以，即实数t的取值范围.

【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：

若在区间D上有最值，则

（1）恒成立：；；

（2）能成立：；.

若能分离常数，即将问题转化为：（或），则

（1）恒成立：；；

（2）能成立：；.

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

选修4-4：坐标系与参数方程

22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

（1）求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；

（2）若把直线l向上平移个单位长度后与曲线C有公共点，求实数a的取值范围．

【答案】（1）曲线C的普通方程为；直线l的直角坐标方程为.

（2）

【解析】

【分析】（1）曲线C的参数方程消参可得普通方程，直线l运用极坐标和直角坐标转换公式即可化为直角坐标方程；

（2）求出平移后的直线方程，与曲线方程联立方程组，由方程组有解，求实数a的取值范围．

【小问1详解】

由得，

所以 ，

所以曲线C的普通方程为.

由，得直线l的直角坐标方程为.

【小问2详解】

把直线l向上平移个单位长度后所得直线的方程为，即，

 由，消去得，

方程组有解，所以 ，即实数的取值范围是 .

选修4-5：不等式选讲

23. 已知．

（1）求不等式的解集；

（2）若a，，且对任意实数x，恒有，证明：．

【答案】（1）

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）分类讨论去绝对值，解一元二次不等式即可；

（2）分类讨论求出最小值，结合均值不等式，原命题等价成，解不等式即可得出结论.

【小问1详解】

，

∴可化为①或②或③，

①解得；②解得；③解得.

综上，不等式的解集为；

【小问2详解】

证明：，则当，；当时，.

则若a，，且对任意实数x，恒有等价于，

则，即，可解得或（舍去），当且仅当时等号成立.