2022-2023学年江苏省镇江市句容市碧桂园学校高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年江苏省镇江市句容市碧桂园学校高二（下）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.圆(x−1)2+(y+2)2=2的圆心坐标和半径长分别为( )
A. (1,−2)和2B. (−1,2)和 2C. (1,−2)和1D. (1,−2)和 2
2.下列求导运算正确的是( )
A. (sinπ3)′=csπ3B. (1+ex)′=1+ex
C. (csxx)′=xsinx−csxx2D. (2ex)′=2ex
3.在等比数列{an}中，a1=1，a3=4，则a7=( )
A. −128B. 128C. −64D. 64
4.过点(1,2)且垂直于直线3x−2y+5=0的直线方程为( )
A. 2x+3y−8=0B. 2x−3y+4=0C. 3x−2y+1=0D. 2x+3y+8=0
5.设等差数列{an}的前n项和Sn，若a4+a10=4，则S13=( )
A. 13B. 14C. 26D. 52
6.椭圆C：x2m+y24=1(0A. 1B. 2C. 3D. 72
7.已知函数f(x)=aln(x−1)+e−x−1在定义域内单调递增，则实数a的最小值为( )
A. 1e2B. 2e2C. 1eD. e2
8.若点M是圆C：x2+y2−4x=0上的任一点，直线l：x+y+2=0与x轴、y轴分别相交于A、B两点，则∠MAB的最小值为( )
A. π12B. π4C. π3D. π6
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列四个命题中真命题有( )
A. 直线y=x+2在y轴上的截距为−2
B. 经过定点A(0,2)的直线都可以用方程y=kx+2表示
C. 直线2x+my+6=0(m∈R)必过定点(−3,0)
D. 已知直线3x+4y+9=0与直线6x+my+24=0 平行，则平行线间的距离是35
10.下列式子正确的是( )
A. C72=C75B. C53=C42+C43C. A53=C53A33D. A64=4A63
11.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，O为坐标原点，直线y=x− 3过F2交C于A，B两点，若△AF1B的周长为8，则( )
A. 椭圆焦距为 3B. 椭圆方程为x24+y2=1
C. 弦长|AB|=85D. S△OAB=4 65
12.如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，若原正三角形边长为1，记第n个图中图形的边数为an，第n个图中图形的周长为bn，则下列命题正确的是( )
A. a3=48B. an=3an−1(n≥2)
C. b4=649D. 数列{bn}的前n项和为9(43)n−9
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知等差数列{an}前9项的和为27，a6=4，则a10= ______．
14.二项式(x+2x)8的展开式中，常数项为______(用数值表示)．
15.如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为30°，液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为______．
16.已知函数f(x)=ex的图像与直线y=kx+2k相切，则k= ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
有3名男生与4名女生，在下列不同条件下，分别求排法种数(要求用数字作答)．
(1)全体排成一排，女生必须站在一起；
(2)全体排成一排，男生互不相邻；
(3)全体排成一行，其中甲，乙，丙三人从左至右的顺序不变．
18.(本小题12分)
已知圆C：x2+y2−4x−6y+12=0，点A(3,5)．
(1)将圆C的方程化为标准方程，并写出圆C的圆心坐标及半径r；
(2)求过点A的圆的切线方程．
19.(本小题12分)
等比数列{an}的公比为2，且a2，a3+2，a4成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn=lg2an+an，求数列{bn}的前n项和Tn．
20.(本小题12分)
已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an+1=2Sn+2(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn=an(an−1)(an+1−1)，Tn为数列{bn}的前n项和，求证：Tn<12．
21.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，离心率e=12，点F到左顶点的距离为3．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若A，B是椭圆C的上下两顶点，C，D是椭圆C上异于A，B关于y轴对称的两点，直线AC，BD与x轴分别交于点M，N.试判断以MN为直径的圆是否过定点，如经过，求出定点坐标；如不过定点，请说明理由．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=xe3x−1(其中e是自然对数的底数)，g(x)=2mx+lnx．
(1)讨论函数g(x)的单调性；
(2)若f(x)≥g(x)在(0,+∞)上恒成立，求m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由圆的方程(x−1)2+(y+2)2=2，可知圆心为(1,−2)，半径r= 2．
故选：D．
根据圆的标准方程理解判断．
本题考查的知识点：圆的方程，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：(sinπ3)′=( 32)′=0，A错误；
(1+ex)′=ex，B错误；
(csxx)′=−xsinx−csxx2，C错误；
(2ex)′=2ex，D正确．
故选：D．
根据基本初等函数的求导公式以及导数的运算法则，判断每个选项，可得答案．
本题考查导数的运算，属于基础．
3.【答案】D
【解析】解：设等比数列{an}的公比为q，
则q2=a3a1=4，
所以a7=a1q6=a1(q2)3=1×43=64．
故选：D．
设等比数列{an}的公比为q，求出q2的值，可得出a7=a1q6，代值计算即可得解．
本题主要考查等比数列的通项公式，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：设垂直于直线3x−2y+5=0的直线为2x+3y+C=0，
代入点(1,2)得C=−8，
则所求直线为2x+3y−8=0．
故选：A．
设垂直于直线3x−2y+5=0的直线为2x+3y+C=0，代入点(1,2)得C的值，即得解．
本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：在等差数列{an}中，由a4+a10=4，得2a7=4，即a7=2．
∴S13=(a1+a13)×132=13a7=26．
故选：C．
由已知结合等差数列的性质求得a7，再由等差数列的前n项和得答案．
本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前n项和，是基础题．
6.【答案】C
【解析】解：根据题意可知 4−m2=12，m∈(0,4)，解得m=3．
故选：C．
根据椭圆的几何性质，建立方程，即可求解．
本题考查椭圆的几何性质，方程思想，属基础题．
7.【答案】A
【解析】解：f(x)的定义域为(1,+∞)，f′(x)=ax−1−e−x，
由于函数f(x)在定义域内单调递增，
则f′(x)≥0在(1,+∞)恒成立，
则f′(x)=ax−1−e−x≥0，即a≥(x−1)e−x，
令g(x)=(x−1)e−x(x>1)，
则g′(x)=e−x−(x−1)e−x=(2−x)e−x，
令g′(x)>0，解得：12，
所以g(x)在(1,2)上单调递增，在(2,+∞)上单调递减，
所以g(x)max=g(2)=(2−1)e−2=1e2．
故a≥1e2，
故实数a的最小值为1e2．
故选：A．
对f(x)求导，由f(x)在定义域内单调递增，可得f′(x)≥0在(1,+∞)恒成立，即a≥(x−1)e−x在(1,+∞)恒成立，令g(x)=(x−1)e−x(x>1)，转化为求g(x)max，可得a的取值范围．
本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：由题意可知∠CAB=π4，
若∠MAB最小，则AM应为圆C的切线，
∵|AC|=4，|MC|=2，如图所示，可得∠CAM=π6，
∴∠MAB的最小值为π4−π6=π12．
故选：A．
由题意可知∠CAB=π4，AM为圆C的切线时，∠MAB最小，求解即可．
本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想，属中档题．
9.【答案】CD
【解析】解：令x=0，则y=2，所以直线y=x+2在y轴上的截距为2，故A错误；
若直线的斜率不存在，即直线x=0，虽然经过点A(0,2)，但不能用y=kx+2表示，故B错误；
令y=0，则x=−3，所以2x+my+6=0(m∈R)必过定点(−3,0)，故C正确；
直线3x+4y+9=0与直线6x+my+24=0 平行，
则63=m4≠249，解得m=8，直线6x+8y+24=0可化为3x+4y+12=0，
所以两平行直线间的距离为d=|12−9| 32+42=35，故D正确．
故选：CD．
选项A，根据截距的定义，即可求解；
选项B，直线的斜率有可能不存在；
选项C，令y=0，则x=−3，可得定点为(−3,0)；
选项D，根据两平行直线间的距离公式，即可得解．
本题主要考查命题的真假判断与应用，考查转化能力，属于基础题．
10.【答案】ABC
【解析】解：由组合数的性质可得：C72=C75,C53=C42+C43,A53=C53A33,A64=6×5×4×3,A63=6×5×4，
所以A64≠4A63.即ABC正确，D错误，
故选：ABC．
利用组合数与排列数的性质及其计算公式即可判断出正误．
本题考查了排列与组合数的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
11.【答案】BC
【解析】解：因为△AF1B的周长为8，所以4a=8，得a=2，
因为y=x− 3过F2，所以c= 3，所以b2=a2−c=c2=4−3=1，所以椭圆的焦距为2 3，故A错误；
所以椭圆的方程为程为x24+y2=1，故B正确；
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由x24+y2=1y=x− 3，得5x2−8 3x+8=0，
解得x1+x2=8 35，x1x2=85，
所以AB= (1+1) (x2−x1)2= 2[(x2+x1)2−4x1x2= 2[(8 35)2−4×85=85，故C正确；
原点到直线y=x− 3的距离为d=− 3 2= 62，
所以S△OAB=12d×AB=12× 62×85=2 65.故D错误．
故选：BC．
利用椭圆的性质逐项计算判断即可．
本题考查椭圆的性质与弦长公式，属基础题．
12.【答案】ACD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，易得a1=3，从第二个图形开始，每一个图形的边数是相邻前一个图形的4倍，即an=4an−1(n≥2)，则a3=16a1=48，A正确；
对于B，由A的结论，an=4an−1(n≥2)，B错误，
对于C，易得b1=3，从第二个图形开始，每一个图形的边数是相邻前一个图形的4倍，边长是相邻前一个图形的13，则bn=43bn−1(n≥2)，故b4=b1(43)3=649，C正确；
对于D，由C的结论，b1=3，bn=43bn−1，数列{bn}是首项为3，公比为43的等比数列，
则数列{bn}的前n项和Sn=3×[(43)n−1]43−1=9(43)n−9，D正确．
故选：ACD．
根据题意，由图形分析an、an−1和bn、bn−1的关系，由此分析选项是否正确，综合可得答案．
本题考查数列的应用，涉及归纳推理的应用，属于中档题．
13.【答案】8
【解析】解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
所以9a1+36d=27a1+5d=4，解得：a1=−1，d=1，
则a10=a1+9d=8．
故答案为：8．
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解．
本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题．
14.【答案】1120
【解析】解：因为二项式(x+2x)8的展开式通项为Tr+1=C8rx8−r(2x)r=C8r2rx8−2r，
令8−2r=0，得r=4，故常数项为T5=C8424=1120．
故答案为：1120．
先求出二项式(x+2x)8的展开式通项，然后令8−2r=0得r=4，即可求出常数项．
本题主要考查了二项式定理的应用，属于基础题．
15.【答案】 32
【解析】解：设圆柱的底面半径为r，
因为一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为30°，液面呈椭圆形状，
则2b=2r，2r2a=sin30°=12，即ba=12，
因此该椭圆的离心率为e=ca= c2a2= a2−b2a2= 1−(ba)2= 1−(12)2= 32．
故答案为： 32．
根据题意求出ba的值，然后利用离心率公式e= 1−(ba)2即可求得该椭圆的离心率的值．
本题主要考查了圆柱的结构特征，考查了椭圆离心率的求解，属于中档题．
16.【答案】1e
【解析】解：根据题意，直线y=kx+2k与函数f(x)的图象相切，设切点的坐标为(a,b)，
函数f(x)=ex，则有b=ea，其导数f′(x)=ex，则f′(a)=ea；
则切线的方程为y−b=ea(x−a)，变形可得y=eax−aea+b，
又由切线的方程为y=kx+2k，
则有b=eak=eab−aea=2k，
解可得b=1e，a=−1，k=1e；
故答案为：1e．
根据题意，设切点的坐标为(a,b)，求出函数f(x)的导数，由导数的几何意义分析可得切线的方程，结合题意可得b=eak=eab−aea=2k，解可得a、b、k的值，即可得答案．
本题考查利用导数计算切线的斜率、方程，注意求出切点的坐标，属于中档题．
17.【答案】解：(1)根据题意，分2进行分析：
①将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有A44种方法，
②再将4名女生进行全排列，也有A44种方法，
故共有A44×A44=576种排法；
(2)根据题意，分2进行分析：
①男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有A44种方法，
②再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有A53种方法，
故共有A44×A53=1440种排法；
(3)根据题意，分2进行分析：
①从7个位置中选四个安排除甲，乙，丙以外的4个人，有A74种方法，
②剩下的三个位置从左至右依次安排甲，乙，丙，仅有一种安排，
故共有A74=840种排法．
【解析】(1)根据题意，分2进行分析：①将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，②再将4名女生进行全排列，由分步计数原理计算可得答案；
(2)根据题意，分2进行分析：①先排女生，②再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，由分步计数原理计算可得答案；
(3)根据题意，分2进行分析：①①从7个位置中选四个安排除甲，乙，丙以外的4个人，②剩下的三个位置从左至右依次安排甲，乙，丙，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，注意常见方法的使用，属于基础题．
18.【答案】解：(1)圆C的方程化为标准方程为(x−2)2+(y−3)2=1，
∴圆心坐标为(2,3)，半径r=1；
(2)①当切线斜率存在时，设切线方程为y−5=k(x−3)，即y−kx+3k−5=0，
圆心(2,3)到切线距离d=|3−2k+3k−5| 1+k2=1，解得k=34，
∴切线方程为3x−4y+11=0，
②当切线斜率不存在时，切线方程为x=3，
∴所求切线方程为x=3或3x−4y+11=0．
【解析】本题主要考查了圆的一般方程化为标准方程，求圆的切线方程，是基础题．
(1)利用配方法即可求出圆C的标准方程，圆心坐标及半径r；
(2)对斜率分存在和不存在两种情况讨论，再利用相切d=r，即可求出切线方程．
19.【答案】解：(1)∵等比数列{an}的公比q=2，且a2，a3+2，a4成等差数列，
∴2(a3+2)=a2+a4，
∴2(4a1+2)=2a1+8a1，
∴a1=2，又q=2，
∴an=2n；
(2)∵bn=lg2an+an=n+2n，
∴Tn=(1+2+⋅⋅⋅+n)+(2+22+⋅⋅⋅+2n)
=n(n+1)2+2n+1−2．
【解析】(1)根据等差数列的性质，等比数列的通项公式，方程思想，即可求解；
(2)根据分组求和法，等差数列与等比数列的求和公式，即可求解．
本题考查差数列的性质，等比数列的通项公式，方程思想，分组求和法，等差数列与等比数列的求和公式，属中档题．
20.【答案】解：(1)设等比数列的公比为q，当n=1时，a2=2a1+2，
当n=2时，a3=2a1+2a2+2，
故a2=2a1+2 a3=2a1+2a2+2 ，整理得a1q=2a1+2 a1q2=2a1+2a1q+2 ，解得a1=2 q=3 ，
故an=2×3n−1．
证明：(2)由(1)得：bn=an(an−1)(an+1−1)=2×3n−1(2×3n−1−1)(2×3n−1)=12(12×3n−1−1−12×3n−1)，
故Tn=12×(1−15+15−117+...+12×3n−1−1−12×3n−1)=12×(1−12×3n−1)<12．
【解析】(1)直接利用数列的递推关系建立方程组，进一步求出数列的通项公式；
(2)利用裂项相消法和放缩法求出结果．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法的求和，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由题意得ca=12a+c=3，解得a=2c=1，∴b2=a2−c2=3，
∴椭圆C的方程为x24+y23=1．
(2)A(0, 3)，B(0,− 3)，设C(x0,y0)，D(−x0,y0)，

kAC=y0− 3x0，kBD=y0+ 3−x0，
直线AC的方程为y=y0− 3x0x+ 3，直线BD的方程为y=−y0+ 3x0x− 3，
令y=0，则xM=− 3x0y0− 3，xN=− 3x0y0+ 3，
设MN中点为E，则E的坐标为(− 3x0y0− 3+− 3x0y0+ 32,0)，即E(− 3x0y0y02−3,0)，
∵3x02+4y02=12，∴y02−3=−34x02，则E(4 3y03x0,0)，
|MN|2−|− 3x0y0− 3+− 3x0y0+ 3|2=|−3x0y02−3|=|4x0|，
∴圆E的方程为：(x−4 3y03x0)2+y2=16x02①，
令x0=−2，则y0=0，代入①得x2+y2=4②，
令x0=−1，则y0=32，代入①得(x+2 3)2+y2=16，
由①②得：x=0，y=±2，
代入①得(−4 3y03x0)2+4=16x02，
化简得48y02+36x02=9×16，即3x02+4y02=12，
∴圆E恒过定点(0,±2)．
【解析】(1)由已知条件列出方程组求出a，b，c，即可求得椭圆的标准方程；
(2)设C(x0,y0)，D(−x0,y0)，表示出直线AC的方程和直线BD的方程，令y=0，得到M、N和MN的中点E的坐标，表示出圆E的方程，取出特殊的点C代入方程，可得圆E恒过定点．
本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的综合应用，是难题．
22.【答案】解：(1)由题意得，g(x)的定义域为(0,+∞)，
由g(x)=2mx+lnx得g′(x)=2m+1x，
当m≥0时，g′(x)>0恒成立，即g(x)在(0,+∞)上单调递增．
当m<0时，令g′(x)=0解得x=−12m，
所以当g′(x)>0时，解得0−12m；
所以g(x)在(0,−12m)上单调递增，在(−12m,+∞)上单调递减．
综上，当m≥0时，函数g(x)在(0,+∞)上单调递增；
当m<0时，函数g(x)在(0,−12m)上单调递增，在(−12m,+∞)上单调递减．
(2)因为f(x)≥g(x)在(0,+∞)上恒成立，
即xe3x−1≥2mx+lnx在(0,+∞)上恒成立，
所以m≤xe3x−1−lnx2x，
令h(x)=xe3x−1−lnx2x=elnx+3x−1−lnx2x≥lnx+3x+1−1−lnx2x=32，
当且仅当lnx+3x=0时，等号成立，
所以m≤32，
因为当x=1e2时，ln1e2+3e2<0，当x=1e时，ln1e+3e>0，
所以存在x∈(1e2,1e)，使得lnx+3x=0，
所以m≤32，即m的取值范围是(−∞,32]．
【解析】(1)先求函数的定义域，再利用导数得出单调性和单调区间．
(2)把不等式恒成立问题转化为求 h(x)=xe3x−1−lnx2x的最小值的问题，再用放缩法求h(x)的最小值，即可求出m的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题．